福建省福州八中2014届高三第四次质检考试数学文试题

第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填入答题纸的相应位置，否则不给分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．) 1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =， {1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为 A ．{}2 B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,82．在等差数列{}n a 中，3070200a a +=，则99S 的值为 A ．9900 B ．10000 C ．100D ．49503．命题“∃x 0∈Q R ð，x 30∈Q ”的否定是 A ．∃x 0∉Q R ð，x 30∈QB ．∃x 0∈Q R ð，x 30∉QC ．∀x ∉Q R ð，x 3∈QD ．∀x ∈Q R ð，x 3∉Q 4．设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==- 且a b ⊥ ，则||a b +=ABC．D ．105．下列命题正确的是 A ．0.20.2log 3log 2> B ．320.20.2> C ．0.20.223>D ．30.20.2log 3>6．“点*(,)()n nP n a n N ∈在直线1y x =+上”是“数列{}n a 为等差数列”的 A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分不必要条件7．在△ABC中，,3,3A BC AB π===则角C=A ．6πB ． 4π C ．34πD ．4π或34π8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围 A ．)1,1(- B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或9．设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为A ．－5B ．－4C ．－2D ．310．设00a ,b >>若2是4a 与2b 的等比中项，则21a b+的最小值为A ．22B ． 8C ．9D ．1011．如图,在边长为2的菱形ABCD 中 ,60ABC ∠= ，对角线相交于点O ,P 是线段BD 的一个三等分点，则 AP AC ⋅等于A. 1B ．2C. 3D ．412．定义一种运算bc ad d c b a -=*),(),(，若函数))51(,413(tan )log 1()(3xx x f π*=，，x 0 是方程0)(=x f 的解，且010x x <<，则)(1x f 的值A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0第Ⅱ卷二、填空题:(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 请将答案填入答题纸的相应位置，．．．．．．．．．．．．．．．否则不．．．给分．．) 13.若直线l :x+ay+2=0平行于直线2x-y+3=0,则直线l 在两坐标轴上的截距之和为 .14.已知向量()x x ωωsin ,cos =,()x x ωωcos 3,cos =，设函数x f ⋅=)(. 若函数)(x f 的零点组成公差为2π的等差数列，则函数)(x f 的值域为 .15．焦点在x 轴上，渐近线方程为3y x =±的双曲线的离心率为 ．16. 有下列各式：1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为 (n ∈N *)．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

请将答案填入答题纸的相应位置，否则不．．．．．．．．．．．．．．．．．．给分．．） 17. (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差=1d ，前n 项和为n S .（Ⅰ）若131,a ,a 成等比数列，求1a ； （Ⅱ）若519S a a >，求1a 的取值范围.18. (本小题满分12分)在区间[－1,2]上先后随机取两个数x y 、（Ⅰ）求先后随机得到的两个数x y 、满足32y x <+的概率.（Ⅱ）若先后随机得到的两个数x y N ∈、，求满足2y x =的概率.19．（本题满分12分）函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2 )的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f (x )的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设g (x )＝f (x )－cos2x ，求函数g (x )在区间[0,π2 ]上的最大值和最小值．20. （本题满分12分）已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 21. （本题满分12分）某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，顶点B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 的长度为x 米．（Ⅰ）要使仓库的占地面积不少于144平方米，求x 的取值范围；（Ⅱ）要规划建设的仓库是高度与AB 的长度相同的长方体建筑，问AB 的长度为多少时仓库的库容量最大．(墙地及楼板所占空间忽略不计)22. （本题满分14分）抛物线24E :y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以为圆心， |CO |为半径作圆.（Ⅰ）设圆C 与准线l 交于不同的两点M N 、. （1）如图，若点C 的纵坐标为2，求|MN |； （2）若2|AF ||AM ||AN |=⋅，求圆C 的坐标；（Ⅱ）设圆C 与准线l 相切时，切点为Q ，求四边形OFCQ 的面积.福州八中2013—2014高三毕业班第四次质量检查数学(文)试卷参考答案及评分标准三、解答题：18.解析: （Ⅰ）∵x y 、所在区间长度都为3,∴总体基本事件对应的区域为以3为边长的正方形的面积，为9 …….2分 令“先后随机得到的两个数x y 、满足32y x <+”为事件A ， 则事件A 对应的区域为图中阴影部分，…….4分面积为13913922-⋅⋅=- ∴395296P(A )-== 答：先后随机得到的两个数x,y 满足32y x <+的概率56. ..…….6分 （Ⅱ）若先后随机得到的两个数x y N ∈、，则{0,1,2}x y ∈、∴总体基本事件为9种：0,0；0, 1；0,2；1,0；1,1；1,2；2,0；2,1；2,2. ..…….8分 令“满足2y x =”为事件B ，则事件B 有2种：0,0；1,2. ..…….11分 ∴29P(B )=答：满足2y x =的概率29. .…….12分 ……3分 ……6分 ……9分 ……12分20.解: （Ⅰ）因为F(2,0)是中心在原点的椭圆的右焦点，所以设椭圆方程可设为142222=++b y b x . …….2分 又因为椭圆C 经过点A(2,3)，所以194422=++b b ,化简整理得036924=--b b ，…….4分 解得2b =12或2b =-3(舍去）.所以所求椭圆的方程为1121622=+y x . …….6分 （Ⅱ）假设存在平行于OA 的直线l .因为.23,23==l OA k k 所以所以设直线l 的方程为32y x t =+ 由.0123311216,232222=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=t tx x y y x t x y 得消去 因为直线l 与椭圆C 有公共点,所以22312120(t )(t ).∴∆=--≥ …….8分t -≤≤解得另一方面，由于直线OA 与l 的距离d=4，4= …….10分[t =±-解得所以符合题意的直线l 不存在. …….12分19. （Ⅰ）（Ⅱ）21.解：（Ⅰ）依题意得△NDC 与△NAM 相似，所以DC AM ＝NDNA，即x 30＝20－AD 20，故AD ＝20－23x ， ……3分 矩形ABCD 的面积为20x －23x 2(0<x <30)．要使仓库的占地面积不少于144平方米，则20x －23x 2≥144，……5分化简得x 2－30x ＋216≤0，解得12≤x ≤18. ……6分（Ⅱ）由(1)知仓库的体积V ＝20x 2－23x 3(0<x <30)，令V ′＝40x －2x 2＝0，得x ＝0或x ＝20. ……8分 列表（当0<x <20时，V ′>0，当20<x <30时，V ′<0，）……10分所以当x ＝20时V 取最大值，且最大值为8 0003，即AB 的长度为20米时仓库的库存容量最大．答：…… ……12分（Ⅱ）此时，|CO||CF ||CQ|==且圆C 过点F ………13分OFCQ 11111222S ∴=⋅+（） ……14分 ……4分……12分……6分……11分22.。