多项式2
7多项式2升幂排列与降幂排列
不是
是
(6)
2x
2
是
成长的足迹
1. 单项式m2n2的系数是_______, 1 4 4 次单项式. 次数是______, m2n2是____
x, y -z 2. 多项式x+y-z是单项式 ,___的和, 1 . 3 它是___次___项式 -5 3. 多项式3m3-2m-5+m2的常数项是____, -2m 二次项的系数是_____. -2 一次项是_____,
１、p100练习1,2
2、多项式 x y 3x xy 是按 x 的降幂排列的，则m=?
7 2 4 m
3、p100习题1,2 4、p100习题3,4
思维升级
把 2 x y 看成一个“字母”，把 代数式 2x y2 1 2x y3 42x y 按“字母”（2x-y)的次数作升幂排 列。若2x-y＝３，试求这个代数式的 值。
2
例2：把多项式a b 3a b 3ab 重新排列.
3 2 2 3
（1） 按a升幂排列 ； （2）按a降幂排列
注意： 含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照
其中某一字母பைடு நூலகம்幂或降幂排列.
解： （1） 按a升幂排列为 b 2 3ab3 3a 2 b a 3
（2）按a降幂排列为
可以得到6种不同的排列方式，即x² +x+1， x+x² +1， x+1+x² ， x² +1+x， 1+x+ x² ， 1+x² +x.
问题3.以上六种排列中，你认为哪几种比较整齐？
x² +x+1 ，1+x+ x² 这样的排列比较整齐.
2.3多项式(2)
3
4 πx3 (2) 3 2 xy3 (5) 5
(3) − x πr (6)
180
3 (7) 4
一种窗户的下半部分是 宽为x，高为y的长方形 的长方形， 宽为 ，高为 的长方形，上 半部分是直径为x的半圆 的半圆， 半部分是直径为 的半圆，这 y 种窗户的面积是多少？ 种窗户的面积是多少？ 解：这种窗户的面积是
x
1 π ( 1 x )2 = xy + 1 π x2 xy + 8 2 2
(1)2 x − 1 (2) y + 7 y − 5 2 2 (3)9 x − 3 xy + y − 2 x + 5 y − 11 的次数是1 解： (1)2 x − 1 的次数是
例1 说出下列多项式的项数和次数 3
小结： 小结：
本课学习了哪些知识？ 本课学习了哪些知识？
作业： 作业：
课：P70. A. 4；B. 2 ； 家：P70.B. 1； ； 预习： 、什么是同类项， 预习：1、什么是同类项，合并同类 项？ 2、怎样合并同类项？ 、怎样合并同类项？
2.1.3多项式2
思考题：
1.多项式 5xmy2 (m 2)xy 3x
如果的次数为4次，则m为多少？
如果多项式只有二项，则m为多少？ 2.一个关于字母x的二次三项式的二次项 系数
为４，一次项系数为１，常数项为7
则这个二次三项式为＿４＿x＿２＋＿＿x＋＿７＿．
提高探究
• 已知n是自然数，多项式 y n+1+3x32x 是三次三项式，那么n可以是哪些数？
4、一个关于字母x的二次三项式的二次项 系数 为４，一次项系数为１，常数项为7，则这个二 次三项式为＿＿＿＿＿＿＿．
• 一个关于字母x的二次三项式的二次项 系数 为４，一次项系数为１，常数项为7
• 则这个二次三项式为＿＿＿＿＿＿＿．
10.多项式 3a 2b3 5a 2b2 4ab 2 共有几项， 多项式的次数是多少？ 第三项是什么，它的系数和次数分别是多少？
检测二
1、判断下列式子是否是单项式，不是的说明理由
1 ab 2
b
-π -m+1
2b2 23 m 1 3x 2y
3
a
2
-1 a 2bc3
a 2b3 7
0
表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的 一个数或一个字母也是单项式
注意：分母中有字母的式子不是单项式
2、判断下列式子是否是多项式，不是
的说明理由
检测一 ：列式表示
1．某公司职员，月工资a元，增加10%是 _____,达到_____元,
2．如果一个三位数，百位上数字是a十位上 数字为3，个位上数字为b，则这个三位数 为_____。
3. 一种小麦磨成面粉后，重量减轻10%，要得到
m千克面粉，需要小麦___千克。
4.电影院第一排有b个座位,后面每排都比前一排 多1个座位,若第n排有m个座位,那么m=___。
多项式的基本用法及其应用
多项式的基本用法及其应用多项式是数学中的一种基本概念，用于表达关于变量的代数式。
它在数学中有着广泛的应用，特别是在代数、微积分和统计学等领域。
本文将讨论多项式的基本用法及其应用。
一、多项式的定义及其形式多项式是指由若干个单项式相加减而成的式子。
其中，单项式是指只包含一个变量和一个常数系数的代数式。
例如，x^2+3x-2就是一个多项式，其中x^2、3x和-2分别是三个单项式。
多项式的一般形式可以写成P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0。
其中，a0、a1、an-1和an均为常数系数，n为非负整数。
当一个多项式在最高次数的系数为1时，这个多项式称为“首一多项式”。
在多项式的表示中，我们还需要了解两个概念。
一是多项式的“次数”，它表示多项式中的最高项次数，比如x^2+3x-2的次数是2；二是多项式的“根”，它是指使多项式取值为零的变量值，比如x^2+3x-2在x=-1或2时取值为零，因此-1和2都是这个多项式的根。
二、多项式的基本运算多项式有四种基本运算：加法、减法、乘法和除法。
其中，加法和减法都是一种运算，乘法和除法也是一种运算，不过它们的实现方式有所不同。
1. 多项式的加法和减法多项式的加法和减法比较简单，只需要将同类项相加减即可。
例如，(2x^2+3x-5)+(5x^2-2x+1)可写成7x^2+x-4；(2x^2+3x-5)-(5x^2-2x+1)可写成-3x^2+5x-6。
2. 多项式的乘法多项式的乘法较为复杂，需要将每个单项式都与另一个多项式的所有单项式相乘，再将结果相加，最终得到一个新的多项式。
例如，(2x+1)(3x-2)可写成6x^2-1x-2。
多项式的乘法在很多数学应用中都有广泛的应用，比如平面几何和物理学等领域。
3. 多项式的除法多项式的除法相对其他运算要复杂一些。
它用于将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
例如，(2x^2+3x-5)/(x-2)的商式为2x+7，余数为19。
线性代数：第一章多项式2
线性代数：第⼀章多项式2§6 重因式⼀、重因式的定义定义9 不可约多项式称为多项式的重因式,如果,但.如果，那么根本不是的因式；如果，那么称为的单因式；如果，那么称为的重因式.注意. 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆.显然，如果的标准分解式为,那么分别是的重，重，… ,重因式.指数的那些不可约因式是单因式；指数的那些不可约因式是重因式.不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是存在多项式,使得,且.⼆、重因式的判别设有多项式,规定它的微商（也称导数或⼀阶导数）是.通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:同样可以定义⾼阶微商的概念.微商称为的⼀阶微商；的微商称为的⼆阶微商；等等. 的阶微商记为.⼀个次多项式的微商是⼀个次多项式；它的阶微商是⼀个常数；它的阶微商等于0.定理6 如果不可约多项式是多项式的⼀个重因式,那么是微商的重因式.分析: 要证是微商的重因式,须证,但.注意:定理6的逆定理不成⽴.如, ,是的2重因式,但根本不是是因式.当然更不是三重因式.推论1 如果不可约多项式是多项式的⼀个重因式,那么是，,…,的因式,但不是的因式.推论2 不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是是与的公因式.推论3 多项式没有重因式这个推论表明，判别⼀个多项式有⽆重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决，这个⽅法甚⾄是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域过渡到含的数域时都⽆改变,所以由定理6有以下结论:若多项式在中没有重因式,那么把看成含的某⼀数域上的多项式时, 也没有重因式.例1 判断多项式有⽆重因式三、去掉重因式的⽅法设有重因式,其标准分解式为.那么由定理5此处不能被任何整除.于是⽤去除所得的商为这样得到⼀个没有重因式的多项式.且若不计重数, 与含有完全相同的不可约因式.把由找的⽅法叫做去掉重因式⽅法.例2 求多项式的标准分解式.§7 多项式函数到⽬前为⽌，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表达式.在这⼀节，将从另⼀个观点，即函数的观点来考察多项式.⼀、多项式函数设(1)是中的多项式，是中的数，在(1)中⽤代所得的数称为当时的值,记为.这样，多项式就定义了⼀个数域上的函数.可以由⼀个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.因为在与数域中的数进⾏运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果那么定理7(余数定理)⽤⼀次多项式去除多项式，所得的余式是⼀个常数，这个常数等于函数值.如果在时函数值，那么就称为的⼀个根或零点.由余数定理得到根与⼀次因式的关系.推论是的根的充要条件是.由这个关系，可以定义重根的概念. 称为的重根，如果是的重因式.当时，称为单根；当时，称为重根.定理8 中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算.⼆、多项式相等与多项式函数相等的关系在上⾯看到，每个多项式函数都可以由⼀个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有,⽽对于中所有的数都有由定理8不难对这个问题给出⼀个否定的回答.定理9 如果多项式,的次数都不超过,⽽它们对n+1个不同的数有相同的值即,,那么=.因为数域中有⽆穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上⾯结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是⼀致的.换句话说，数域上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应⽤与推⼴，多项式看成形式表达式要⽅便些.三、综合除法根据余数定理,要求当时的值,只需⽤带余除法求出⽤除所得的余式.但是还有⼀个更简便的⽅法,叫做综合除法.设并且设. (2)其中⽐较等式(2)中两端同次项的系数.得到这样,欲求系数,只要把前⼀系数乘以再加上对应系数,⽽余式也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:表中的加号通常略去不写.例1 ⽤除.例2 求使能被整除注意 :若缺少某⼀项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.四、拉格朗⽇插值公式已知次数的多项式在的值.设依次令代⼊,得这个公式叫做拉格朗⽇(Lagrange)插值公式.例3 求次数⼩于3的多项式,使.下⾯介绍将⼀个多项式表成⼀次多项式的⽅幂和的⽅法.所谓次多项式表成的⽅幂和，就是把表⽰成的形式.如何求系数，把上式改写成,就可看出就是被除所得的余数，⽽就是被除所得的商式.⼜因为.⼜可看出是商式被除所得的余式，⽽.就是被除所得商式.这样逐次⽤除所得的商式，那么所得的余数就是.例4 将展开成的多项式.解令，则.于是.问题变为把多项式表成（即）的⽅幂和,-2 | 1 2 -3 1 5+) -2 0 6 -14--------------------------------------------------------2 | 1 0 -3 7 | -9+) -2 4 -2-------------------------------------------------------2 | 1 -2 1 | 5+) -2 8------------------------------------------------2 | 1 -4 | 9+) -2----------------------------------1 | -6所以.注意：将表成的⽅幂和，把写在综合除法的左边，将的⽅幂和展开成的多项式，那么相当于将表成的⽅幂和，要把写在综合除法的左边.§8 复系数和实系数多项式的因式分解⼀、复系数多项式因式分解定理代数基本定理每个次数的复系数多项式在复数域中有⼀个根.利⽤根与⼀次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：每个次数的复系数多项式在复数域上⼀定有⼀个⼀次因式.由此可知，在复数域上所有次数⼤于1的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有⼀次多项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：复系数多项式因式分解定理每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯⼀地分解成⼀次因式的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式其中是不同的复数，是正整数.标准分解式说明了每个次复系数多项式恰有个复根（重根按重数计算）.⼆、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果是实系数多项式的复根，那么的共轭数也是的根,并且与有同⼀重数.即实系数多项式的⾮实的复数根两两成对.实系数多项式因式分解定理每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯⼀地分解成⼀次因式与含⼀对⾮实共轭复数根的⼆次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除⼀次多项式外,只有含⾮实共轭复数根的⼆次多项式.因此，实系数多项式具有标准分解式其中全是实数，,是正整数，并且是不可约的，也就是适合条件..代数基本定理虽然肯定了次⽅程有个复根，但是并没有给出根的⼀个具体的求法.⾼次⽅程求根的问题还远远没有解决.特别是应⽤⽅⾯，⽅程求根是⼀个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的⼀个分⽀.三、次多项式的根与系数的关系.令(1)是⼀个(>0)次多项式,那么在复数域中有个根因⽽在中完全分解为⼀次因式的乘积:展开这⼀等式右端的括号,合并同次项,然后⽐较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.其中第个等式的右端是⼀切可能的个根的乘积之和,乘以.若多项式的⾸项系数那么应⽤根与系数的关系时须先⽤除所有的系数,这样做多项式的根并⽆改变.这时根与系数的关系取以下形式:利⽤根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1 求出有单根5与-2,有⼆重根3的四次多项式.例2. 分别在复数域和实数域上分解为标准分解式.§9 有理系数多项式作为因式分解定理的⼀个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何⼀个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是⼀个很复杂的问题，即使要判别⼀个有理系数多项式是否可约也不是⼀个容易解决的问题，这⼀点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这⼀节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第⼀，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进⽽解决求有理系数多项式的有理根的问题.第⼆，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.⼀、有理系数多项式的有理根设是⼀个有理系数多项式.选取适当的整数乘，总可以使是⼀个整系数多项式.如果的各项系数有公因⼦，就可以提出来，得到,也就是其中是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因⼦.如果⼀个⾮零的整系数多项式的系数没有异于±1的公因⼦,也就是说它们是互素的,它就称为⼀个本原多项式.上⾯的分析表明，任何⼀个⾮零的有理系数多项式都可以表⽰成⼀个有理数与⼀个本原多项式的乘积，即.可以证明，这种表⽰法除了差⼀个正负号是唯⼀的.亦即，如果,其中都是本原多项式，那么必有因为与只差⼀个常数倍，所以的因式分解问题，可以归结为本原多项式的因式分解问题.下⾯进⼀步指出，⼀个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是⼀致的.定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11 如果⼀⾮零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它⼀定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.推论设，是整系数多项式，且是本原多项式，如果，其中是有理系数多项式，那么⼀定是整系数多项式.这个推论提供了⼀个求整系数多项式的全部有理根的⽅法.定理12 设是⼀个整系数多项式.⽽是它的⼀个有理根,其中互素,那么(1) ;特别如果的⾸项系数，那么的有理根都是整根，⽽且是的因⼦.(2)其中是⼀个整系数多项式.给了⼀个整系数多项式,设它的最⾼次项系数的因数是,常数项的因数是那么根据定理12,欲求的有理根,只需对有限个有理数⽤综合除法来进⾏试验.当有理数的个数很多时,对它们逐个进⾏试验还是⽐较⿇烦的.下⾯的讨论能够简化计算.⾸先,1和-1永远在有理数中出现,⽽计算与并不困难.另⼀⽅⾯,若有理数是的根,那么由定理12,⽽也是⼀个整系数多项式.因此商都应该是整数.这样只需对那些使商都是整数的来进⾏试验.(我们可以假定与都不等于零.否则可以⽤或除⽽考虑所得的商.)例1 求多项式的有理根.例2 证明在有理数域上不可约.⼆、有理数域上多项式的可约性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设是⼀个整系数多项式.若有⼀个素数,使得1. ;2. ;3. .则多项式在有理数域上不可约.由艾森斯坦判断法得到:有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如.,其中是任意正整数.艾森斯坦判别法的条件只是⼀个充分条件.有时对于某⼀个多项式,艾森斯坦判断法不能直接应⽤,但把适当变形后,就可以应⽤这个判断法.例3 设是⼀个素数,多项式叫做⼀个分圆多项式,证明在中不可约.证明：令，则由于,,令，于是,由艾森斯坦判断法，在有理数域上不可约，也在有理数域上不可约.第⼀章多项式(⼩结)⼀元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最⼤公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核⼼.⼀、基本概念.1.⼀元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,⼀元多项式环.2．基本结论:(1) 多项式的加法,减法和乘法满⾜⼀些运算规律.(2)(3) 多项式乘积的常数项(最⾼次项系数)等于因⼦的常数项(最⾼次项系数)的乘积.⼆、整除性理论1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法.(1) 带余除法定理.(2) 设.因此多项式的整除性不因数域的扩⼤⽽改变.3. 最⼤公因式和互素.(1) 最⼤公因式,互素的概念.(2) 最⼤公因式的存在性和求法------辗转相除法.(3) 设是与的最⼤公因式,则.反之不然.(4) .(5)三、因式分解理论1.不可约多项式(1) 不可约多项式的概念.(2) 不可约多项式p(x)有下列性质:(3) 整系数多项式在有理数域上可约它在整数环上可约.(4) 艾森斯坦判断法.2.因式分解的有关结果:(1) 因式分解及唯⼀性定理.(2) 次数⼤于零的复系数多项式都可以分解成⼀次因式的乘积.(3) 次数⼤于零的实系数多项式都可以分解成⼀次因式和⼆次不可约因式的乘积.3.重因式(1) 重因式的概念.(2) 若不可约多项式是的重因式,则是的重因式.(3) 没有重因式.(4) 消去重因式的⽅法:是⼀个没有重因式的多项式,它与具有完全相同的不可约因式.四、多项式根的理论1.多项式函数,根和重根的概念.2.余数定理.去除所得的余式为,则3.有理系数多项式的有理根的求法.4.实系数多项式虚根成对定理.5.代数基本定理.每个次复系数多项式在复数域中⾄少有⼀个根.因⽽次复系数多项式恰有个复根(重根按重数计算).6.韦达定理.7.根的个数定理.F[x]中次多项式在数域F中⾄多有个根.8.多项式函数相等与多项式相等是⼀致的.重点:⼀元多项式的因式分解理论.难点:最⼤公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别.本章主要内容之间的内在联系可⽤下列图表表⽰:。
七年级数学多项式2
4．下列选项中属于整式的是( D )
1 A.a
1 B.x2
1 C.xy
D．x＋y
5．已知正方形的边长为 a cm，现把正方形的边长增加 2 cm， 4(a＋2) 则此正方形的周长为____________ cm. 6．指出下列多项式的项和次数：
(1)a3－a2b＋ab2－1； (2)3n4－2n2＋mn.
整式 5．下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是 整式？
x－2 s ab2 1 1 1 2 3 2 0， π ，－x，－ 3 ， t ，－5,3m ＋1，2＋b，4x y z.
ab2 1 2 3 解：单项式是：0， π ，－x，－5，4x y z. x－2 多项式是：－ 3 ，3m2＋1. x－2 ab2 1 2 3 2 整式是：0， π ，－x，－ 3 ，－5,3m ＋1，4x y z.
4．指出下列多项式是几次几项式，并求出当 x＝1 时的多
项式的值．
(1)x2＋x－1； (2)4x5－2x4－3x2＋1.
解：(1)是二次三项式． 当 x＝1 时，x2＋x－1＝12＋1－1＝1. (2)是五次四项式． 当 x＝1 时， 4x5－2x4－3x2＋1 ＝4×15－2×14－3×12＋1＝4－2－3＋1＝0.
解：(1)多项式 a3－a2b＋ab2－1 的项是 a3，－a2b，ab2， －1，次数是 3. (2)多项式 3n4－2n2＋mn 的项是 3n4，－2n2，mn，次数是 4.
多项式的概念
1．下列各式中是多项式的是( C )
A．x 1 B.y ＋1 C．3a－2 x2y D. 2
2．下列各式不是多项式的为( B )
第2课时 多项式
1．下列各式中是单项式的为( D ) A．3>1 B．2－x C．x＋3 D．0
二次多项式
二次多项式、二次函数、二次方程，二次不等式名称之间的关系 多项式a c bx x ++2(a ≠0),称为二次多项式的一般形式(或称为标准形式).其他像a 2x (相当于在a c bx x ++2中a ≠0，b=0,c=o), a bx x +2(相当于在a c bx x ++2中a ≠0，b ≠0,c=o), a c x +2(相当于在a c bx x ++2中a ≠0，b=0, c ≠o), 都可看作是多项式a c bx x ++2(a ≠0)的特殊形式，它们都称为二次多项式，由此，根据它们得到的函数:y= a c bx x ++2(a ≠0), y= a 2x (a ≠0), y= a bx x +2(a ≠0),y= a c x +2(a ≠0),都称为二次函数，其中y= a c bx x ++2(a ≠0) 称为二次函数的一般形式(或称为标准形式).至于在y= a c bx x ++2中，若a=0, b=0,则y= a c bx x ++2就变为y=c 了（其中常数的c 可以是-2、3、0等），这种情形下就不能称之为二次函数了，而应称之为常数函数。
在y= a c bx x ++2(a ≠0), y= a 2x (a ≠0), y= a bx x +2(a ≠0), y= a c x +2(a ≠0)中，令y=0，就得到了一元二次方程：a c bx x ++2=0(a ≠0),a 2x =0(a ≠0),a bx x +2=0(a ≠0),a c x +2=0(a ≠0)其中，a c bx x ++2=0(a ≠0)称为一元二次方程的一般形式(或称为标准形式).其它a 2x =0(a ≠0),a bx x +2=0(a ≠0),a c x +2=0(a ≠0)则称为一元二次方程的特殊形式。
可见，一元二次方程相当于二次函数中函数值y=0时求自变量x 的值 在y= a c bx x ++2(a ≠0), y= a 2x (a ≠0), y= a bx x +2(a ≠0), y= a c x +2(a ≠0)中，令y ≥k ，或者y ＞k,或者y ＜k 或者y ≤k 或者y ≠k,(k 是常数，如-2，0，3等都可作为k 的取值),就得到一元二次不等式。
多项式展开式公式
多项式展开式公式多项式展开式可以用于求解多种数学问题，包括代数问题、几何问题和物理问题。
在代数中，多项式展开式可以用于解决方程、求多项式的根等问题。
在几何中，多项式展开式可以用于计算多边形的面积和体积，以及解决平面上的几何问题。
在物理中，多项式展开式可以用于计算物体的运动、力学系统的能量等。
1.二项式展开式：对于形如(a+b)^n的二项式，展开式可以由二项式定理给出：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n-1)*a^1*b^(n-1)+C(n,n)*a^0*b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
2.平方差展开式：对于形如(a-b)^2的平方差，展开式可以由平方差公式给出：(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^23.平方和展开式：对于形如(a+b)^2的平方和，展开式可以由平方和公式给出：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^24.立方差展开式：对于形如(a-b)^3的立方差，展开式可以由立方差公式给出：(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^35.立方和展开式：对于形如(a+b)^3的立方和，展开式可以由立方和公式给出：(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^36.二次多项式展开式：对于形如(ax+b)^2的二次多项式，展开式可以由二次多项式展开公式给出：(ax+b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^27.三次多项式展开式：对于形如(ax+b)^3的三次多项式，展开式可以由三次多项式展开公式给出：(ax+b)^3 = a^3x^3 + 3a^2bx^2 + 3ab^2x + b^3这些公式是多项式展开的基础，可以根据需求进行扩展和组合。
在实际应用中，我们可以使用这些展开式公式来计算多项式表达式的值、求解方程、进行因式分解等。
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多项式与多项式相乘
知识点
要点感知 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的________乘另一个多项式的________，再把所得的积________．(a ＋b)(p ＋q)＝____________．
热身练习1. 填空：(1) (a ＋4)(a ＋3)＝a·a ＋a ×3＋4×________＋4×3＝________；
(2) (2x －5y)(3x －y)＝2x·3x ＋2x·________＋(－5y)·3x ＋(－5y)·________＝ _________
2. 计算： （1） (x ＋5)(x －7)＝____________；
（2）(2x －1)(5x ＋2)＝____________．
知识点1 直接运用法则计算
1．计算：
(1)(m ＋1)(2m －1); (2)(2a －3b)(3a ＋2b)；
(3)(y ＋1)2; (4)a(a －3)＋(2－a)(2＋a)．
2．先化简，再求值：(x －5)(x ＋2)－(x ＋1)(x －2)，其中x ＝－4.
知识点2 多项式乘以多项式的应用
3．若一个长方体的长、宽、高分别是3x －4，2x －1和x ，则它的体积是( )
A ．6x 3－5x 2＋4x
B ．6x 3－11x 2＋4x
C ．6x 3－4x 2
D ．6x 3－4x 2＋x ＋4
4．为参加市里的“灵智星”摄影大赛，小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长为a 厘米，宽为34
a 厘米的长方形形状，又精心在四周加上了宽2厘米的装饰彩框，那么小阳同学的这幅摄影作品照片占的面积是____________平方厘米．
5．我校操场原来的长是2x 米，宽比长少10米，现在把操场的长与宽都增加了5米，则整个操场面积增加了________平方米．
知识点3 (x ＋p)(x ＋q)＝x 2＋(p ＋q)x ＋pq
6．下列多项式相乘的结果为x 2＋3x －18的是( )
A ．(x －2)(x ＋9)
B ．(x ＋2)(x －9)
C ．(x ＋3)(x －6)
D ．(x －3)(x ＋6)
7．计算：
(1)(x ＋1)(x ＋4); (2)(m －2)(m ＋3)；
(3)(y ＋4)(y ＋5); (4)(t －3)(t ＋4)．
8．(佛山中考)若(x ＋2)(x －1)＝x 2＋mx ＋n ，则m ＋n ＝( )
A ．1
B ．－2
C ．－1
D ．2
9．计算：
(1)(m －2n)(－m －n)；
(2)(x 3－2)(x 3＋3)－(x 2)3＋x 2·x ；
(3)(－7x 2－8y 2)·(－x 2＋3y 2)；
(4)(3x －2y)(y －3x)－(2x －y)(3x ＋y)．
10．已知|2a ＋3b －7|＋(a －9b ＋7)2＝0，试求(14a 2－12ab ＋b 2)(12
a ＋b)的值．
11．若多项式(x 2＋mx ＋n)(x 2－3x ＋4)展开后不含x 3和x 2项，求m 和n 的值．
12．一个正方形的一边增加3 cm ，相邻的一边减少3 cm ，得到的长方形的面积与这个正方形每一边减少1 cm 所得的正方形的面积相等，求这个长方形的面积．
第3课时 多项式与多项式相乘
要点感知 每一项 每一项 相加 ap ＋aq ＋bp ＋bq
预习练习1－1 (1)a a 2＋7a ＋12 (2)(－y) (－y) 6x 2－17xy ＋5y 2 1－2 (1)x 2－2x －35 (2)10x 2－x －2 当堂训练
1．(1)原式＝2m 2－m ＋2m －1＝2m 2＋m －1. (2)原式＝6a 2＋4ab －9ab －6b 2＝6a 2－5ab －6b 2. (3)原式＝(y ＋1)(y ＋
1)＝y 2＋y ＋y ＋1＝y 2＋2y ＋1. (4)原式＝a 2－3a ＋4＋2a －2a －a 2＝－3a ＋4. 2.原式＝x 2＋2x －5x －10－x 2＋2x －x
＋2＝－2x －8.当x ＝－4时，原式＝－2×(－4)－8＝0. 3.B 4.(34
a 2＋7a ＋16) 5．(20x －25) 6.D 7.(1)原式＝x 2＋5x ＋4. (2)原式＝m 2＋m －6. (3)原式＝y 2＋9y ＋20. (4)原式＝t 2＋t －12. 课后作业
8．C 9.(1)原式＝－m 2－mn ＋2mn ＋2n 2＝－m 2＋mn ＋2n 2. (2)原式＝x 6＋x 3－6－x 6＋x 3＝2x 3－6. (3)原式＝7x 4－21x 2y 2＋8x 2y 2－24y 4＝7x 4－13x 2y 2－24y 4. (4)原式＝3xy －9x 2－2y 2＋6xy －6x 2－2xy ＋3xy ＋y 2＝－15x 2＋10xy －
y 2
. 10.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3b ＝7，a －9b ＝－7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.原式＝18a 3＋b 3＝18×23＋13＝2. 11．原式＝x 4－3x 3＋4x 2＋mx 3－3mx 2＋4mx ＋nx 2－3nx ＋4n ＝x 4＋(m －3)x 3＋(4－3m ＋n)x 2＋(4m －3n)x ＋4n.∵多项式展开后不含x 3和x 2项，∴m －3＝0，4－3m ＋n ＝0.∴m ＝3，n ＝5. 12.设正方形的边长为x cm.依题意得(x ＋3)(x －3)＝(x －1)(x －1)．解得x ＝5.∴长方形的面积为(5＋3)×(5－3)＝16(cm 2)．。