整式包括单项式与多项式
【特色训练】整式的概念
整式的概念一、目标认知学习目标：理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。
能按要求列出代数式，会求代数式的值。
会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数。
重点：单项式的概念，系数和次数。
基本理解多项式的概念和正确确定多项式的次数和项数。
难点：系数是负数或分数时的情形；多项式的次数和项的次数的异同点。
二、知识要点梳理知识点一：用字母表示数要点诠释：用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba知识点二：代数式要点诠释：诸如：16n ；2a+3b ；34 ；；等式子，叫做代数式。
（1）代数式中出现的乘号，通常写作“·”或省略不写，如6×b常写作6·b或6b；（2）数字与字母相乘时，数字写在字母前面，如6b一般不写作b6；（3）除法运算写成分数形式，如1÷a通常写作（4）带等号的式子（等式）不是代数式，如就不是代数式。
用字母来表示数．在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．知识点四：代数式的值要点诠释：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。
知识点五：单项式要点诠释：1．代数式都是由数与字母的乘积组成的，这样的代数式叫做单项式。
例如，、、abc、－m都是单项式．但不是单项式,因它分母中含有字母,相当于含有字母与字母的除法运算。
，，a，b都是单项式。
在a2b, ，2x2+3x+5中,只有a2b是单项式.2．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．例如，的系数是，的系数是，abc的系数是1，－m的系数是－1．注：特别地，单独一个数或一个字母也是单项式．3. 单项式的次数: 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如: x3y2的次数是x的指数3与y的指数2的和5,即x3y2的次数是5；ab的次数是2； 4abc的次数是3；2a的次数是1；4的次数是0。
代数式的概念和运算
分式得分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零得整式分式得值不变。
,,(其中,M就是不等于零得整式)
(3)分式得运算:
①分式加减法:;
;
②分式乘法:;
③分式除法:;
④分式乘方:(n为正整数)
7、二次根式:
(1)式子叫做二次根式;当被开方数大于等于零时二次根式有意义。
(2)二次根式得主要性质:
(3)易混得概念:如代数式就是无理式,而不应就是分式,因为根号下出现了字母“”,就应属无理式,而不就是有理式,也就不会就是分式。
2、正整数指数幂得几个公式:(以下这几个公式就是整式乘除法得基础必须熟练掌握)
(1)同底数得幂乘法:(就是正整数)
(2)幂得乘方:就是正整数)
(3)积得乘方:(就是正整数)
当,求关于含有a,b得代数式得值;第三种情况可能通过方程形式给出,如时,求某代数式得值。因此求某代数式得值有时也就是一道小综合题,需要寻求某个字母得值,或者整体代入求值。
5、因式分解:
因式分解得概念;把一个多项式化成几个整式得积得形式,叫做多项式得因式分解。
因式分解得方法:
(1)提公因式法:
(2)运用公式法:
(4)对于多于三项得多项式,一般应考虑运用分组分解法分解因式。
(5)在指定数(有理数,实数)得范围内进行因式分解,一定要分解到不能分解为止,题目中没有指定数得范围,一般就是指在有理数范围内分解。
(6)因式分解后,如果有相同得因式,在写成幂得形式,并且把各个因式化简。
6、分式:
(1)形如得式子叫做分式,其中A,B均为整式,B中含字母,注意:B得值不能为零,分式属于有理式得范畴,当分母不等于零时,分式有意义,当分子等于零时,但分母不等于零时分式得值为零。
第06讲 整式的概念和整式的加减w
第6讲 整式的概念和整式的加减知识方法扫描整式的概念1. 单项式与多项式统称整式．2．单项式由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个字或数也是单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数3． 多项式几个单项式的和叫做多项式．在多项式中的每个单项式叫做多项式项，其中，不含字母的项叫做常数项．一个多项式有几项就叫做几项式，次数最高的项的次数就叫做多项的次数. 把一个多项式的各项按照某一个字母的指数从大到小（或从小到大） 的顺序排列叫做降（或升）幂排列法．整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数也是同类项．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项．整式的加减实际就是合并同类项。
3. 灵活地去（添）括号括号前面去掉（或添上）“+”号，括号里各项都不变；括号前面去掉 （或添上）“-”号，括号里各项都变号，若有多层括号，去括号有三种方法：一是可以从里向外去；二是可以 从外向里去；三是可以里外同时去，同时在去括号后，在不影响计算结果 的前提下，也可以边去括号边合并同类项，从而简化计算，经典例题解析例1 (1997年北京市初二数学竞赛试题)同时都含有字母a ，b ，c ，且系数为1的7次单项式共有( )．(A)4个 (B) 12个 (C) 15个 (D) 25个解：设满足条件的单项式为p n m c b a 的形式，其中m 、n 、p 为自然数，且m+n+p=7．指数m ，n ，p 只能有如下四组可能: 1,1,5； l,2,4； 1,3,3； 2,2,3．所以满足条件的单项式有;,,;,,334242555c b a bc a c ab bc a c ab abc ;,,244224c b a c b a c ab .,,;,,223232322333333c b a c b a c b a c b a bc a c ab 总计有15个．故选（D ）例2．（1993年第4届“希望杯”邀请赛试题）在多项式42123431993---++m n n m n m n m y x v u y x v u （其中m ，n 为正整数）中，恰有两项是同类项，则m·n=解 若n m v u 1993与n m v u 23是同类项，则m=0，n=0，与已知条件矛盾。
第二节-整式的概念及其分类
整式的概念及其分类一、整式的概念1、整式：单项式和多项式合称为整式，或者分母中不含有字母的代数式叫做整式。
二、整式的分类1、单项式：由数和字母的积组成的代数式称为单项式。
①单独的一个数或者一个字母也称为单项式。
②单项式中不为0的数字因数，叫做单项式的系数。
③单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。
2、同类项：同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。
3、多项式：几个单项式的和称为多项式①多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项； ②多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。
4. 列代数式要注意①数字与字母、字母与字母相乘，要把乘号省略；②数字与字母、字母与字母相除，要把它写成分数的形式； ③如果字母前面的数字是带分数，要把它写成假分数 知识点1 代数式用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数.的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.例如：5，a ，32(a+b)，ab ，a 2-2ab+b 2等等. 请你再举3个代数式的例子：___________________________________________ 知识点2 列代数式时应该注意的问题(1)数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“·”. 如：-2×a=-2a ，3×a ×b=________，-2×x 2=________. (2)数字通常写在字母前面.如：mn ×(-5)=________， (a+b)×3=_______. (3)带分数与字母相乘时要化成假分数. 如：221×ab=________，切勿错误写成“221ab ”. (4)除法常写成分数的形式.如：S ÷x=x S， x ÷3=__________, x ÷312=__________ 典型例题：1、列代数式：（1）a 的3倍与b 的差的平方：___________________ （2）2a 与3的和：____________ （3）x 的54与32的和：______________ 知识点3 代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.例如：求当x=-1时，代数式x 2-x+1的值. 解：当x=1时，x 2-x+1=12-1+1=1. ∴当x=1时，代数式x 2-x+1的值是1.对于一个代数式来说，当其中的字母取不同的值时，代数式的值一般也不相同。
整式与代数式
整式与代数式代数是数学中的一个分支，主要研究的是数与数之间的关系以及这种关系的运算规律。
其中，整式和代数式是代数学中两个重要的概念。
一、整式整式是指由常数、变量及它们的乘积与幂的和或差组成的代数式。
常数可以是整数、有理数或实数，变量可以是字母或字母组合。
通常用字母表示整式中的变量，例如x、y、z等。
整式的形式可以是：1. 单项式：只包含一个项的整式。
例如2x、-3y^2。
2. 多项式：包含多个项的整式，各项之间通过加减运算符连接。
例如3x + 4y、-2x^2 + 5xy - 7。
整式的运算规则与整数的运算规则类似，可以进行加法、减法、乘法和幂运算。
例如，对于整式3x^2 + 2xy - 5y^2，可以进行如下的运算：1. 加法：将同类项合并，即将具有相同字母部分的项加在一起。
例如，3x^2 + 2xy - 5y^2 + x^2 - 4xy可以合并为4x^2 - 2xy - 5y^2。
2. 减法：将减数取相反数，再按加法规则进行运算。
例如，3x^2 +2xy - 5y^2 - (x^2 - 4xy)可以转化为3x^2 + 2xy - 5y^2 - x^2 + 4xy。
3. 乘法：将两个整式中的每个项相乘，然后将乘积相加。
例如，(3x + 2y)(2x - 5y)可以展开为6x^2 - 15xy + 4xy - 10y^2。
4. 幂运算：将整式中的每个项进行指数运算。
例如，(2x - 3y)^2可以展开为4x^2 - 12xy + 9y^2。
二、代数式代数式是指由常数、变量及它们的乘积与幂的和、差、积、商组成的表达式。
代数式可以包括整式，也可以包括其他的代数式。
代数式的形式可以是：1. 整式：由前面讲到的整式形式组成。
2. 分式：由两个代数式通过除法运算符相除得到的表达式。
例如，(3x^2 + 2xy - 5y^2)/(2x - 3y)。
3. 根式：由代数式的开方运算得到的表达式。
例如，√(x^2 + y^2)。
《整式》 知识清单
《整式》知识清单一、整式的概念整式是代数式的一部分，在数学中有着重要的地位。
单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
比如 5，a，3x 等都是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如，单项式 3x²的系数是 3，次数是 2。
多项式：几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
例如，多项式 2x²＋ 3x 1 有三项，分别是 2x²，3x，－1，其中－1 是常数项，次数最高项是 2x²，次数为2，所以这个多项式是二次三项式。
整式：单项式和多项式统称为整式。
二、整式的加减整式加减的实质就是合并同类项。
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
例如，2x²y 和 5x²y 是同类项，3 和－5是同类项。
合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
例如，3x ＋ 2x ＝ 5x，4y² 2y²＝ 2y²。
去括号法则：括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
例如：a ＋（b c) ＝ a ＋ b c ，a （b c) ＝ a b ＋ c 。
整式加减的一般步骤：（1）如果有括号，先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项。
三、整式的乘法1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：a^m × a^n ＝ a^（m ＋n) （m、n 都是正整数）例如：2³ × 2²＝ 2^（3 ＋ 2) ＝ 2^5 。
整式2-单项式和多项式以及习题大全
整式【整式】整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为：⎩⎨⎧多项式单项式整式1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。
或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.3．多项式：几个单项式的和叫多项式.4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：（若a 、b 、c 、p 、q 是常数）ax 2+bx+c 和x 2+px+q 是常见的两个二次三项式.➢ 单项式与多项式的分辨【基础练习】1. 代数式5.0-、2xy -、1322+-x x 、a -、1x、0中，单项式共有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2. 下列各式：2222111,1,25,,,2522x y a b x a ab b x -----+中单项式的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 3. 在代数式22513,2,,5,,02x x x y a xπ--中，单项式的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44. 下列代数式中属于单项式的是（ ） A ．85xy + B ．3x C ．312y + D ．π 5. 在代数式2222,,3,1,,23xy x x ab x x x -+--+中，是单项式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6. 在式子 中单项式的个数为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．5 7. 在式子212,,,0,3,22x yx ab a b x ++中，单项式的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个8. 在代数式2222,3,2,,23m m b n π---中，单项式的个数为（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个9. 下列式子222222,32,,4,,,22a b x yz ab c a b xy y m x π++---，其中是多项式的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 10. 下列各式中是多项式的是（ ） A ．12-B ．x y +C ．3abD ．22a b -11. 下列代数式中的多项式共有（ ）个22231,,0.5,,,,,535n m x a abxy ax bx c a b x y ---++-. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12. 代数式：221()x y π+是（ ）A ．是单项式B ．是多项式C ．既不是单项式，也不是多项式D ．无法确定 【培优练习】13. 判断下列各代数式是否是单项式。
整式(单项式、多项式)
同类项、去括号、整式的加减法活页作业编写人：张本法 审查人：门晓霓 王兰 袁邦志 杜宗勤一、知识点：1、单项式： 。
2、多项式： 。
3、整式： 。
4、一个单项式中，所有字母的 叫单项式的次数，它只与 有关，与单项式的系数 ；一个多项式中， 的次数叫多项式的次数。
5、同类项的定义：所含字母 ，并且相同字母的次数也 的项叫做同类项。
6、合并同类项法则：系数相 ，字母及其指数 。
7、去括号法则：括号前是“+”号时，去掉括号和“+”号后括号里的各项符号都 ；括号前是“-”号时，去掉括号和“-”号后括号里的各项符号都 ；8、整式的加减法的步骤：（1） ；（2） 。
二、经典题型：例题一?m ,5)2(4xy 2=--+-的三次二项式，则是关于若y x xy m m的值为多少？是同类项，则与例二、单项式b y x y x a b a ---+a 33121?a 34.5a 02==y x b b x y 的和是单项式，则与变式练习：若.3,31a ,3])23(22[a 32222=-=++---b ab ab b a ab ab b 其中：例三，先化简，再求值的值。
）求代数式（变式练习：已知)(]2)2[(,3,2xy x y xy y x xy y x -----+=-=+1、2、3、4、5教师寄语：相信自己，一切皆有可能！ 的值。
时，多项式答案，并求出当的请你帮他正确地算出结果求出的答案是看成误将”时，试求，其中和学题“两个多项式例四：小强在做一道数B A x B A x x B A B A B A x x B B --=-+-+--+--=1,523.,254A 22多项式的值。
时并求当，项，试写出这个多项式和不含已知多项式,13)1()2(32234-=+-++-+x x x n x x n x m mx 的值是？数式的和仍为单项式，则代与若单项式n m y x y x n m +-32312.32,42,632222B A y xy x B x y xy x A ---=++-=计算：若时，它的值是？？，则当的值是时，多项式当25723=-+-=x bx ax x 的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.判断下列各式子是否是整式：
(1)1
4 3 (3) r 3
2x 1 (5) 3
是 是
(2)r 是
1 ( 4) x 1
不是
是
(6)
2x
2
是
1.多项式
3a b 5a b 4ab 2
2 3 2 2
共有几项，
多项式的次数是多少？ 第三项是什么，它的系数和次数分别是多少？ 2.写出一个多项式，使它的项数是3，次数是4
• 问题1：你所填入的式子有什么共同特 点？
问题2：它们与单项式有什么关系？
多项式 （1）几个单项式的和叫做_________.
多项式的项 （2）在多项式中，每个单项式叫做___________. 常数项 （3）在多项式中，不含字母的项叫做 _______. （4）在多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个 多项式的次数 ______________.
一（17）班
1、什么叫做单项式、单项式的系数、 单项式的次数？ 2、填空： －５ ，次数是_____ 1 (1) 单项式-5y的系数是_____ 4 １ ，次数是_____ (2) 单项式a3b的系数是_____
3 2 (3) 单项式 3ab 的系数是_____ ，次数是____ 2 2
(4)
5x yz与 15x zy 是同次单项式则n 2
在静水中的速度,那么船在这条河流中顺水行驶和逆 水行驶的速度分别怎样表示?
如果甲、乙两条船在静水中的速度分别是20千米/时 和35千米/时,则它们在这条河流中顺水行驶和逆水 行驶的速度各是多少?
分析:
船在河流中行驶时,船的速度需要分两种情况讨论:
顺水行驶:船的速度=船在静水中的速度+水流速度;
逆水行驶:船的速度=船在静水中的速度-水流速度;
4 2
解： 多项式 3n 2n 1的项有 3n , 2n ,
4 2
4
2
1， 多项式的次数是4。
例2.指出下列多项式是几次几项式：
（1）
（2）
x x 1
3
x 2x y 3 y
3 2 2
2
解：（1） x
（2）
3
x 1
是一个三次三项式.
x 3 2 x 2 y 2 3 y 2 是一个四次三项式.
解: 设船在静水中的速度为v千米/时,则
当船顺水行驶时,船的速度为 (v+2.5)千米/时 当船逆水行驶时,船的速度为 (v-2.5)千米/时 若甲船在静水中的速度是20千米/时,即v=20,则 v+2.5=20+2.5=22.5
v-2.5=20-2.5=17.5
单项式与多项式统称整式
你能说出单项式、多项式、整式三者之间的关 系吗？ 单项式是整式，多项式也是整式，整式包括 单项式与多项式。多项式是由几个单项式相 加而成的。
师傅领进门
思考题：
1.一个关于字母x的二次三项式的二次项 系数 为４，一次项系数为１，常数项为7 ４x２＋x＋７ 则这个二次三项式为＿＿＿＿＿＿＿．
提高探究
2、已知n是自然数，多项式 y n+1+3x3-2x 是三次三项式，那么n 可以是哪些数？
例1、代数式3x + 4x – 2b是四次二 项式，试求a, b的值
几个单项式的和 叫做多项式. 思考:t-5是多项式吗?
3ab-4a2b是多项式吗?
例1：指出下列多项式的项和次数.
解：
（1）a 5
a b ab b
2
3
多项式的项：
a ,
5
a b,
2
ab,
2,
b
3
项的次数： 5， 多项式的次数：
３,
3
次数是5
练习1：指出下列多项式的项和次数.
3n 2n 1
2 n
1、一个数比数X的2倍小3，则这个数为_______ 2x-3
2、买一个篮球需要x元，买一个排球需要y 元买一 个足球 需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要 ___________元。 3x+5y+2z 3、如图三角尺的面积为 ； 4、如图是一所住宅区的建筑平面图，这所住宅 2+2x+18 x 的建筑面积是 ____ ㎡。
解: 设船在静水中的速度为v千米/时,则 当船顺水行驶时,船的速度为 (v+2.5)千米/时
当船逆水行驶时,船的速度为 (v-2.5)千米/时
例4: 一条河流的水流速度为2.5千米/时,如果 你能求出乙船所 已知船在静水中的速度 ,那么船在这条河流中 行驶的速度吗 ? 顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示?如 果甲、乙两条船在静水中的速度分别是20千米 /时和35千米/时,则它们在这条河流中顺水行 驶和逆水行驶的速度各是多少?
（5）多项式的每一项是否包括它前面的符号？ 多项式的每一项都包括它前面的符号，有正号 也有负号。 （6）单项式的次数与多项式的次数有什么区别？ 单项式的次数是所有字母的指数的和；多项 式的次数不是所有项的和。
它们是单项式吗？ 它们与单项式有什么关系？ 3x+5y+2z
项 项 项
X2+2x+18
其中不 含字母 的项叫 做常数 项
下列多项式的项分别是什么
项
次数 几次 几项式
X+Y a2+b-3c
1
2
X、Y a2、b、-3c 1
2
1次 2次 2次 5次
（一次二项式）
（二次三项式）
ab-
r2
ab、- r2
（二次二项式） （五次三项式）
X4+2x2Y3+18
X4、2X2Y3、18
找多项式的项时要注意什么 一般地，多项式里次数最高的项的次数， 就是这个 多项式的次数。
• 例3 用多项式填空，并指出他们的项和次数。
• （1）温度由t℃下降5℃后是（ • （2）甲数 x _________;
1 的 与乙数 3
）℃； 的
1 2
y
差可以表示为
• （3）下图中，圆环的面积为_________;
• （4）下图中，钢管的体积是_________;
r R a R
r
例4: 一条河流的水流速度为2.5千米/时,如果已知船
• 解：∵代数式的次数是四次
∴a
a+1
+ 1 = 4
∴a
= 3
又∵代数式的项是二项
∴2b=0即b=0 ∴a=3,
b=0
1、当k为何值时，多项式 4x y + xy - 5 是四次多项式？此时是关于x的3; 4 2、当m,n满足何条件时，多项式
是关于x的二次二项式？ 3、多项式 (m- 4)x 3 - x n + x - n 是关于x 的二次三项式，求m与n的差。