2014年湖州市八年级数学竞赛试卷

10. 已知整数 x y z ，且 2 x 2 y 2 z
过 10 件，单价为 80 元；如果一次性购买多于 10 件，那么每增加 1 件，购买的所有服装的单 价降低 2 元， 但单价不得低于 50 元． 按此优惠条件， 小丽一次性购买这种服装付了 1200 元． 请 问她购买了这种服装 件 12．长方形台球桌 ABCD 上，一球从 AB 边上某处 P 点击出，分别撞击球桌的边 BC、CD、DA 各 1 次后，又回到出发点 P 处． 每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边 所成的角相等(例如图中∠α=∠β)．若 AB=3，BC=4，
B（0，6）
第 13 题
第 14 题
三、解答题（共 4 题，分值依次为 12 分、12 分、12 分和 14 分，满分 50 分） 15． （1）填空： (a 1)(a 1) __________ ; 得 分
(a 1)(a 2 a 1) __________ ; (a 1)(a 3 a 2 a 1) __________ ;
则此球所走路线的总长度(不计球的大小)为 第 10 题 13. 如图在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为________． 14. 在平面直角坐标系中，称横、纵坐标均为整数的点为整点，如图所示的正方形 ABCD 内（包括边界） 整点的个数共有 个
(3)对于任意一个整数 b，是否存在实数 c，使得关于 x 的方程 x2＋bx＋c＝0 是“偶系二次方程”，并 说明理由．
18. 已知四边形 ABCD 是矩形，点 P 是直线 AD 与 BC 外的任意一点， 连接 PA、PB、PC、PD．请解答下列问题： （1）如图（1） ，当点 P 在线段 BC 的垂直平分线 MN 上（对角线 AC 与 BD 的交点 Q 除外）时，证明△PAC≌△PDB； （2）如图（2） ，当点 P 在矩形 ABCD 内部时，求证：PA2+PC2=PB2+PD2；
3．如图，已知△ABC 的面积为 24，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BC 4CF ，DCFE 是平行四边 形，则图中阴影部分的面积为------------------------（ A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 ） 第3题
4．如 图 ， 四 边 形 ABCD 中 ， ∠ A=∠ BCD=90°， BC=CD ， E 是 AD 延 长 线 上 一 点 ， 若 DE=AB=3cm ， CE=4 则 AD 的 长 是 A. 3 B. 4 ---------------------------------（ C. 5 D. 4 2
2 cm ，
） 第4题
5． 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2 分，输者记 0 分，如
果平局，两个选手各记 1 分。下列四个同学统计的比赛中全部选 手的得分总数，其中正确的 是
-----------------------------------------------------------------（ A. 1980 B. 2000 C.2014
）
D. 2050
6． 如图所示的方格纸中，点 A、B、C 都是格点（小正方形的顶点） ，则∠BAC 与∠BCA 度数的 和为 --------------------------------------------------------------------------------（ ）
A. 30° B. 45° C.60° D. 67.5°
2014 年湖州市八年级数学竞赛试卷
（2014 年 9－14 15 16 三 17 18 总分
评卷人 复查人 答题时注意: 1．解答书写时不要超过装订线． 2．可以用计算器
得
分
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）
得
分
评卷人
（3）若矩形 ABCD 在平面直角坐标系 xoy 中，点 B 的坐标为（1，1） ，点 D 的坐标为（5，3） ，如图（3） 所示，设△PBC 的面积为 y，△PAD 的面积为 x，求 y 与 x 之间的函数关系式．
P A Q B
M A D P N C B 图（2） C O D
y A H P B C x 图（3） D
16.
若 a﹥0,b﹥0,
a b ab
2a 3b ab
得
分
评卷人
求
的值
得
分
评卷人 17． 若 x1，x2 是关于 x 的方程 x2＋bx＋c＝0 的两个实数根，且|x1|＋|x2|＝2|k|(k 是整数)，则称方程 x2 27 ＋bx＋c＝0 为“偶系二次方程”．如方程 x2－6x－27＝0，x2＋3x－ ＝0，x2＋8x－48＝0,都是“偶系二次 4 方程”． (1)判断方程 x2＋x－12＝0 是否是“偶系二次方程”，并说明理由； (2)请你写出一个整数 c＝ ，使得关于 x 的方程 x2＋2x＋c＝0 是“偶系二次方程”，
（2）你发现规律了吗？请你用你发现的规律填空：
评卷人
(a 1)(a n a n1 a 2 a 1) __________ . 2013 32012 32011 3 的值. （3）根据上述规律，请你求 3
a( a b ) 3 b( a 5 b )
2 1．设 x 3 ， y 是不超过 x 的最大整数，则 x y 的值是
评卷人
----------------（
）
A.
3 1
B.
3 1
C.
32
D.
32
2．当 5 个整数从小到大排列后，其中位数为 4，如果这组数据的唯一众数是 6，那么这 5 个数的和的最大 值可能是-----------------------------------------------------------------（ A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 ）
D
A E
F C
A'
B
D'
第7题 第6题
7．如图，菱形纸片 ABCD 中， A 60 ，将纸片折叠，点 A、D 分别落在 A’、D’ 处，且 A’D’经过 B，EF 为折痕，当 D’F CD 时，
A．
CF 的值为 FD
-------------------（
）
3 1 2 3 1 8
B B．
3 6
C．
2 3 1 6
D．
8．如图，四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形，点 C、D 在边 AB 上，且 AC=DB=1，点 P 是线段 CD 上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作正方形 AMNP 和正方形 BRQP，E、F 分别为 MN、QR 的中点，连接 EF，设 EF 的 中点为 G， 则当点 P 从点 C 运动到点 D 时， 点 G 移动的路径长为 -------------------------------------( A.1 ） B.2 C. 3 D. 6
图（1）
得 分
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9. 德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形 （单位分数是分子为 1，分母为正整数的分数） ， 又称为莱布尼兹三角形：根据前 5 行的规律， 写出第 6 行的第三个数是 ．
评卷人
37 ，则 x y z = 8 11．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超