中考数学图形相似复习题及答案.doc
中考数学总复习之图形的相似(15大题)
中考数学总复习之图形的相似（15大题）1．小明和小红学习了《利用相似三角形测高》一课后，对我国杰出数学家刘徽的著作《海岛算经》非常感兴趣，也想利用相同的方法测量广场上路灯的高度．如图所示，他们在广场上竖立两根长均为1.5米的标杆BC 和DE ．测得标杆BC 在路灯AH 下的影长BF 为1米，标杆BF 在路灯AH 下的影长DG 为3米，两根标杆BC 和DE 之间的距离BD 为10.8米．已知AH ⊥HG ，CB ⊥BF ，ED ⊥DG ，点H 、B 、F 、D 、G 五点在同一直线上，求路灯的高AH ．2．如图，点D 、E 、F 分别是三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，DE ∥BA ，DF ∥CA ． （1）求证：∠FDE ＝∠A ．（2）若BD ：DC ＝1：4，S △CDE ＝16，求S △ABC ．3．（2023•镇海区校级一模）如图，在△ABC 中，BC AC=23，D ，M ，N 分别在直线AB ，直线AC ，直线BC 上．（1）若D 是AB 中点，∠MDN ＝∠A +∠B ，求MD ND ；（2）若点D ，M ，N 分别在AB ，CA ，CB 的延长线上，且ABBD=34，∠MDN ＝∠ACB ，求MD ND．4．（2023•工业园区校级模拟）如图，已知BF 是⊙O 的直径，A 为⊙O 上（异于B 、F ）一点，过点A 的直线MA 与FB 的延长线交于点M ，G 为BF 上一点，AG 的延长线交⊙O 于点E ，连接BE ，∠MAE +∠AFM ＝90°． （1）求证：AM ∥EF ；（2）MA ＝6√2，BE ＝2，记△AMF 的面积为S 1，记△AEF 的面积为S 2，记△EFG 的面积为S 3，若S 1•S 3=35S 22，求⊙O 的半径．5．（2023•舟山一模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，以A 为圆心，AE 为半径作⊙A 交BE 于点F ，直线AB 交⊙A 于G 、H 两点，AF 的延长线交BC 于点D ，作EK ⊥BC ，垂足为点K ． （1）求证：AD ⊥BC ； （2）求证：BF BE=AD AC；（3）当BF •BE ＝BG •BH 且AH ＝BD 时，求证：BFBG=AC BE．6．（2023春•桐城市月考）如图，平面直角坐标系中点A （﹣3，3），B （﹣5，1），C （﹣2，0），P （a 、b ）是△ABC 的边AC 上的任意一点．（1）以点M （﹣1，2）为位似中心，在M 点的右侧把△ABC 按2：1放大得△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；直接写出△A 1B 1C 1的边A 1C 1上与点P （a 、b ）的对应点P 1的坐标． （2）将△ABC 绕N （﹣1，﹣2）逆时针旋转90°得△A 2B 2C 2，画出△A 2B 2C 2，求旋转过程中线段BC在平面上扫过部分的面积．（用π表示）7．（2022秋•兴县期末）数学社团的同学们想用边长为20cm的正方形铝板，设计小组会徽下面是“兴趣小组”和“智慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题；“兴趣小组”：我们小组设计的会微如图1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”．“智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其中小正方形的面积为16cm2．解决问题：（1）“兴趣小组”设计的方案中，小正方形的边长约等于cm（精确到0.1 cm）．（2）请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少cm？8．（2023•蜀山区校级模拟）如图，已知△ABC ，在已知的直角坐标系网格内画出下面图形： （1）画出△ABC 的位似图形△A 1B 1C ，其中点C 为位似中心，且A 1B 1AB=2．（2）画出△ABC 经过平移后得到的△A 2B 2C 2，其中△ABC 的一边上的点K （x ，y ），平移后的对应点为K 2（x +4，y ﹣4）．9．（2023春•南岸区校级月考）如图，已知在直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，E 为AC 边上一点，连接BE ，过E 作ED ⊥AC ，交BC 边于点D ．（1）如图1，连接AD ，若CE ＝2，BD ＝3√2，∠C ＝45°，求△ADE 的面积； （2）如图2，作∠ABC 的角平分线交AC 于点F ，连接DF ，若∠BDE ＝∠CDF ，求证：AE +DE =√2BE ；（3）如图3，若∠C ＝30°，将△BCE 沿BE 折叠，得到△BEF ，且BF 与AC 交于点G ，连接AD ，DF ，点E 在AC 边上运动的过程中，当BF ⊥AC 时，直接写出DF DA的值．10．（2023春•西湖区校级期中）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，过点F 作DF ⊥BC ，其中AD =185，BC ＝8． （1）求证：AC 3BC 3=AE BF；（2）求BD 的值．11．（2023•普陀区一模）已知：如图，在四边形ABCD 中，E 为BC 上一点，AB •DE ＝AE •EC ，∠ABE ＝∠AED ． （1）求证：△ABE ∽△ECD ；（2）如果F 、G 、H 分别是AE 、DE 、AD 的中点，联结BF 、HF 、HG 、CG ．求证：BF •HF ＝CG •HG ．12．（2022秋•辽宁期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，联结AD ，BE 交于点G ，且AD ＝CD ． （1）如果BE ＝AB ，求证：BE •AG ＝BC •EG ；（2）如果射线CG 交AB 于点P ，且AD •AE ＝BD •CE ，求证：点P 是AB 中点．13．（2023•大连模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，AD＝3cm，BD＝4DC，点P是AB边上一动点（点P不与点A，B重合），过点P作PQ⊥BC于点Q，点M在射线QC上，且QM＝BQ．设BQ＝xcm，△PQM与△ABD重叠部分的面积为Scm2．（1）求AB的长；（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．14．（2022秋•河西区校级期末）如图，D，E，F是Rt△ABC三边上的点，且四边形CDEF 为矩形，BC＝6，∠A＝30°．（1）求AB的长；（2）设AE＝x，则DE＝，EF＝（用含x的表达式表示）；（3）求矩形CDEF的面积的最大值．15．（2023•宝山区一模）已知：如图，四边形ABCD、ACED都是平行四边形，M是边CD 的中点，联结BM并延长，分别交AC、DE于点F、G．（1）求证：BF2＝FM•BG；（2）联结CG，如果AB=√2CG，求证：∠BGC＝∠BAC．。
苏科版数学中考专题复习：图形的相似综合压轴题 专项练习题汇编(Word版,含答案)
苏科版数学中考专题复习：图形的相似综合压轴题专项练习题汇编1．已知四边形ABCD中，M，N两点分别在AB，BD上，且满足∠MCN＝∠BDC．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，①求证：△ACM∽△DCN；②求证：DN+BM＝CD；（2）如图2，当四边形ABCD为菱形时，若∠BAD＝120°，试探究DN，BM，CD的数量关系．2．在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题．【问题发现】（1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是，直线CD与BE的夹角为；【类比探究】（2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出CD的长．3．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．问题发现：（1）①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则＝；②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，则＝；拓展研究：（2）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：；解决问题：（3）如图4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值．4．在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD＝CE，连接BD、AE相交于点F．（1）如图1，当时，＝；（2）如图2，求证：△AFD∽△BAD；（3）如图3，当时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由．5．如图1，点D是△ABC中AB边上一点，∠ACD＝∠B，BC2＝AB•BD．（1）求证：∠ADC＝∠ACB；（2）求∠ACB的度数；（3）将图1中的△BCD绕点C顺时针旋转得到△ECF，BD的对应边EF经过点A（如图2所示），若AC＝2，求线段CD的长．6．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN ⊥DM，且MN＝DM，连接DN．（1）如图①，连接BD与BN，BD交MN于点E．①求证：△ABD∽△MND；②求证：∠CBN＝∠DNM；（2）如图②，当AM＝4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上．7．在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上，AB＝8，AD＝6．（1）如图1，当点G在CD上时，求AE+DG的值；（2）如图2，FG与CD相交于点N，连接EN，当EF平分∠AEN时，求证：EN＝AE+DN；（3）如图3，EG，FG分别交CD于点M，N，当MG2＝MN•MD时，求AE的值．8．【问题背景】如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，由已知可以得到：①△≌△；②△∽△．【尝试应用】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，求证：△ACE∽△ABD．【问题解决】如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上，，求的值．9．已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与C、D重合），将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图1，连接EF分别交AC、AB于点P、G．（1）请判断△AEF的形状；（2）求证：P A2＝PG•PF；（3）如图2，当点E是边CD的中点时，PE＝1，求AG的长．10．如图，等边△ABC的边长为12，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝4，点F 为BA延长线上一点，过点F作直线l∥BC，G为射线BC上动点，连接GD并延长交直线l于点H，连接FE并延长交BC于点M，连接HE并延长交射线BC于点N．（1）若AF＝4，当BG＝4时，求线段HF和EH的长；（2）若AF＝a（a＞0），点G在运动过程中，请判断△HGN的面积是否改变．若不变，求出其值（用含a的代数式表示）；若改变，请说明理由．11．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．（1）如图1，点D为AC上一点，DE∥BC交AB边于点E，若＝，求AD及DE的长；（2）如图2，折叠△ABC，使点A落在BC边上的点H处，折痕分别交AC、AB于点G、F，且FH∥AC．①求证：四边形AGHF是菱形；②求菱形的边长；（3）在（1）（2）的条件下，线段CD上是否存在点P，使得△CPH∽△DPE？若存在，求出PD的长；若不存在，请说明理由．12．如图①，AB∥MH∥CD，AD与BC相交于点M，点H在BD上．求证：．小明的部分证明如下：证明：∵AB∥MH，∴△DMH∽△DAB，∴．同理可得：＝，…．（1）请完成以上的证明（可用其他方法替换小明的方法）；（2）求证：；（3）如图②，正方形DEFG的顶点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，E、F在边BC 上，AN⊥BC，交DG于M，垂足为N，求证：．13．【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①CD2＝AD•BD；②AC2＝AB•AD；③BC2＝AB•BD，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．（1）请证明“射影定理”中的结论③BC2＝AB•BD．【结论运用】（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．①求证：△BOF∽△BED．②若CE＝2，求OF的长．14．如图①，在正方形ABCD中，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，将△ABP沿直线AP翻折得到△AEP，点Q是CD的中点，连接BQ交AE于点F，若BQ∥PE．（1）求证：△ABF∽△BQC；（2）求证：BF＝FQ；（3）如图②，连接DE交BQ于点G，连接EC，GC，若FQ＝6，求△GBC的面积．15．如图1，已知等边△ABC的边长为8，点D在AC边上，AD＝2，点P是AB边上的一个动点．（1）连接PC、PD．①当AP＝时，△APD∽△ACP；②若△APD与△BPC相似，求AP的长度；（2）已知点Q在线段PB上，且PQ＝2．①如图2，若△APD与△BQC相似，则∠ACQ与∠PDC之间的数量关系是；②如图3，若E、F分别是PD、CQ的中点，连接EF，线段EF的长是否是一个定值，若是，求出EF的长，若不是，说明理由．16．（1）如图①，点E，F分别在正方形边AB，BC上，且AF⊥DE，请直接写出AF与DE的关系．（2）如图②，点E，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD上，且AF⊥EG，求证：．（3）如图③，在（2）的条件下，连接AG，过点G作AG的垂线与CF交于点H，已知BH＝3，HG＝5，GA＝7.5，求的值．17．【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系：；【类比探究】（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他条件不变．①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．18．在相似的复习课中，同学们遇到了一道题：已知∠C＝90°，请设计三种不同方法，将Rt△ABC分割成四个小三角形，使每个小三角形与原三角形相似．（1）甲同学设计了如图1分割方法：D是斜边AB的中点，过D分别作DE⊥AC，DF ⊥BC，请判断甲同学的做法是否正确，并说明理由．（2）乙同学设计了如图2分割方法，过点D作FD⊥AB，DE⊥BC，连结EF，易证△ADF∽△ACB，△DEB∽△ACB，但是只有D在AB特殊位置时，才能证明另两个三角形与原三角形相似，李老师通过几何画板，发现∠A＝30°时，，∠A＝45°时，，∠A＝60°时，．猜测对于任意∠A，当＝（用AC，BC或AB相关代数式表示），结论成立．请补充条件并证明．（3）在普通三角形中，显然连结三角形中位线分割成四个小三角形与原三角形相似．你能参考乙同学的分割方法找到其他分割方法吗？请做出示意图并作适当分割说明（不要求证明过程）．19．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC边上，连接DE，取BC边的中点O，连接DO并延长到点F，使OF＝OD，连接CF，EF，令＝＝k．（1）①如图1，若k＝1，填空：＝；△ECF是三角形．②如图2，将①中△ADE绕点A旋转，①中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2所示情况给出证明；若不成立，请说明理由．（2）如图3，若k＝，AB＝AD，将△ADE由图1位置绕点A旋转，当点C，E，D三点共线时，请直接写出sin∠1的值．20．【基础探究】如图1，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB，AC为对角线，AD•CB＝DC•AC．（1）求证：AC平分∠DAB．（2）若AC＝8，AB＝12，则AD＝．【应用拓展】如图2，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB＝90°，AC为对角线，AD•CB ＝DC•AC，E为AB的中点，连结CE、DE，DE与AC交于点F．若CB＝6，CE＝5，请直接写出的值．参考答案1．（1）①证明：∵四边形ABCD为正方形∴∠ACD＝∠BDC＝∠BAC＝45°，又∵∠MCN＝∠BDC，∴∠MCN＝∠ACD＝45°，∴∠MCA+∠ACN＝∠ACN+∠DCN，∴∠MCA＝∠DCN，∴△ACM∽△DCN．②证明：由①可知：△ACM∽△DCN，∴，∴DN＝AM，∴AM+BM＝AB＝CD，∴DN+BM＝CD．（2）解：如图所示：连接AC，在DN上取一点P使∠PCD＝∠PDC＝30°，过P作PQ ⊥CD于Q，∴∠PCD＝∠PDC＝30°，∴∠NPC＝60°，又∵四边形ABCD为菱形且∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠NPC＝∠BAC，又∵∠ACP＝∠ACD﹣∠PCD＝30°，∠MCN＝∠BDC＝30°，∵∠MCN＝∠ACP，∴∠MCA+∠ACN＝∠ACN+∠NCP，∴∠MCA＝∠NCP，∴△AMC∽△PNC，∴，∵，∴CD＝CP，∴，∴AM，∴AM＝PN，∴AM+MB＝AB＝CD，∴PN+MB＝CD，∴（DN﹣DP）+MB＝CD，∴（DN﹣CD）+MB＝CD，即DN﹣CD+MB＝CD，∴DN+MB＝2CD．2．解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠A＝∠B＝∠DEA＝45°，∴AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，∴CD＝AC﹣AD＝m，BE＝AB﹣AE＝m，∴BE＝CD，∵∠A＝45°，∴直线CD与BE的夹角为45°，故答案为：BE＝CD，45°；（2）不满足，BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°，理由如下：如图2，过点C作CH⊥AB于H，延长CD、BE交于点F，∵CA＝CB，∴AH＝HB，∵∠ACB＝∠ADE＝120°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠DAE＝∠DEA＝30°，∴AC＝2CH，∠CAD＝∠BAE，由勾股定理得：AH＝AC，∴AB＝AC，同理可得：AE＝AD，∵∠CAD＝∠BAE，∴△CAD∽△BAE，∴＝＝，∠ACD＝ABE，∴BE＝CD，∠F＝∠CAB＝30°，∴BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°；（3）如图3，点E在线段BD上，∵m＝2，∴AD＝DE＝1，AB＝2，由勾股定理得：BD＝＝，∴BE＝BD﹣DE＝﹣1，∴CD＝BE＝，如图4，点D在线段BE上，BE＝BD+DE＝+1，∴CD＝BE＝，综上所述：当B，E，D三点共线．CD的长为或．3．（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°＝∠ADC，∴∠ADE+∠EDC＝90°＝∠EDC+∠DCF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴DE＝CF，故答案为：1；②解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，AB＝CD＝m，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴＝，故答案为：；（2）证明：如图所示，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠EGF＝180°，∴∠B＝∠EGF，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM，∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，∵AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵∠B＝∠EGF，∴∠EGF+∠A＝180°，∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF，∴△ADE∽△DCM，∴，即；（3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，在△BAD和△BCD中，，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD＝∠A＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠MBC＝∠ADC，∵∠CND＝∠M＝90°，∴△BCM∽△DCN，∴，∴，∴CM＝x，在Rt△CMB中，CM＝x，BM＝AM﹣AB＝x﹣5，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，∴（x﹣5）2+（x）2＝52，解得：x1＝0（舍去），x2＝8，∴CN＝8，∵∠A＝∠FGD＝90°，∴∠AED+∠AFG＝180°，∵∠AFG+∠NFC＝180°，∴∠AED＝∠CFN，∵∠A＝∠CNF＝90°，∴△AED∽△NFC，∴＝＝．4．解：（1）如图，∵∠ABC＝∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝CE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠EAC＝∠DBA，∵，∴点D是AC中点，且△ABC是等边三角形，∴∠DBA＝30°，∴∠EAC＝30°，∴∠BAE＝∠DBA＝30°，∴AF＝BF，∴，故答案为：1；（2）由（1）可得△ABD≌△CAE，∴∠EAC＝∠DBA，∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD；（3）由（1）可得△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠EAC＝∠DBA，∴∠BFE＝∠DBA+∠BAF＝∠EAC+∠BAF＝∠BAD＝60°，设AF＝x，BF＝y，AB＝AC＝BC＝n，AD＝CE＝1，BD＝AE＝m，∵∠EAC＝∠DBA，∠ADB＝∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴，∴①，∵∠BFE＝∠C＝60°，∠DBC＝∠DBC，∴△BFE∽△BCD，∴，∴②，①÷②得：，∴，∵，即n＝4，∴．5．（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB．∴∠ADC＝∠ACB．（2）解：∵BC2＝AB•BD，∴．又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD．∴∠ACB＝∠CDB．∵∠ADC+∠CDB＝180°，∠ADC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CDB＝∠ADC＝90°．（3）解：∵△BCD绕点C顺时针旋转得到△ECF，∴CE＝BC，∠E＝∠B．∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠E．∴AC＝AE．∵∠ADC＝90°，∴CE⊥AB．∴CD＝DE＝CE．∴∵△ADC∽△ACB，∴．∴AD＝•AC＝1，在Rt△ADC中，．6．证明：（1）①∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，∴∠A＝∠DMN＝90°，∵AB＝6，AD＝4，MN＝DM，∴，∴△ABD∽△MND；②∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，∴∠ABC＝∠DMN＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，由①得△ABD∽△MND，∴∠ABD＝∠DNM，又∵∠MEB＝∠DEN，∴△MBE∽△DNE，∴，又∵∠MED＝∠BEN，∴△DME∽△NBE，∴∠NBE＝∠DME＝90°，∴∠CBN+∠CBD＝90°，∴∠CBN＝∠DNM；（2）如图②，过点N作NF⊥AB，交AB延长线于点F，连接AC，AN，则∠NF A＝90°，∵四边形ABCD为矩形，AD＝4，AB＝6，∴∠A＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，，则∠ADM+∠AMD＝90°，∵AM＝4BM，AB＝6，∴AM＝AB＝，又∵DM⊥MN，∴∠DMN＝90°，∴∠AMD+∠FMN＝90°，∴∠ADM＝∠FMN，∴△ADM∽△FMN，∴，，∴MF＝6，FN＝，∴，∴，∵∠ABC＝∠AFN＝90°，∴△ABC∽△AFN，∴∠BAC＝∠F AN，∴A，C，N三点在同一条直线上．7．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠DFN＝90°，∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠DFN＝∠AEF．∴△DFG≌△AEF（AAS），∴AF＝DG，AE＝DF，∴AE+DG＝AF+DF＝AD＝6；（2）证明：如图，延长NF，EA相交于H，∴∠HFE＝90°，∠HAF＝90°，∵∠HFE＝∠NFE，EF＝EF，∠HEF＝∠NEF，∴△HFE≌△NFE（ASA），∴FH＝FN，HE＝NE，∵∠AFH＝∠DFN，∠HAF＝∠D，∴△HF A≌△NFD（AAS），∴AH＝DN，∵EH＝AE+AH＝AE+DN，∴EN＝AE+DN；（3）解：如图，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，∴∠P＝90°，∵MG2＝MN•MD，∴＝，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴∠GDM＝45°，∠PDG＝45°，∴△PDG是等腰直角三角形，PG＝PD，∵∠AFE+∠PFG＝90°，∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠PFG＝∠AEF，∵∠A＝∠P＝90°，EF＝FG，∴△PFG≌△AEF（AAS），∴AF＝PG，AE＝PF，∴AE＝PD+DF＝AF+DF＝AD＝6．8．【问题背景】∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴△ABC∽△ADE．∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，故答案为：①△ABD≌△ACE；②△ABC∽△ADE．【尝试应用】∵△ABC∽△ADE，∴，∠CAB＝∠EAD，∴∠CAE＝∠BAD，∴△ACE∽△ABD；【问题解决】连接CE，由【尝试应用】知，△ABD∽△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝∠ADE＝30°，∵∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴，∵，∴，∵，∴．9．（1）解：△AEF是等腰直角三角形，理由如下：由旋转的性质可知：AF＝AE，∠F AE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∠CAB＝45°，由（1）知∠AFE＝45°，∴∠P AG＝∠AFP＝45°，又∵∠APG＝∠FP A，∴△APG∽△FP A，∴，∴P A2＝PG•PF；（3）解：设正方形的边长为2a，∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，∴∠ABF＝∠D＝90°，DE＝BF，∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝180°，∴F，B，C三点共线，∵DE＝EC＝BF＝a，BC＝2a，∴CF＝3a，EF＝＝＝a，∵BG∥EC，∴BG：EC＝FB：CF＝FG：FE＝1：3，∴BG＝，AG＝，GE＝a，∵∠GAP＝∠EG＝45°，∠AGP＝∠EGA，∴△AGP∽△EGA，∴，∴AG2＝GP•GE，∴（）2＝（）×，∴a＝或a＝0（舍去），∴AG＝．10．解：（1）如图1，由题意可得：BD＝DF＝8，∵HF∥BC，∴∠HFD＝∠B，在△HFD和△GBD中，，∴△HFD≌△GBD（ASA），∴HF＝BG＝4，连接DE，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∵AD＝AE＝4，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝4，∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴DE∥FH，∵FH＝DE＝4，∴四边形DEFH是平行四边形，∴HE和DF互相平分，∵DA＝AF，∴HE经过点A，∴HE＝2AE＝8；（2）如图2，面积不变，理由如下：连接DE，作FK⊥BC于K，在Rt△BFK中，∠B＝60°，BF＝12+a，∴FK＝BF•sin60°＝，由（1）得，DE∥FH＝BC，∴△HDE∽△HGN，△HFD∽△GBD，∴，，∴，∴，∴，∴GN＝，∴S△HGN＝＝＝，11．解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AD＝2，；（2）①由翻折不变性可知：AF＝FH，AG＝GH，∠AFG＝∠GFH，∵FH∥AC，∴∠AGF＝∠GFH，∴∠AGF＝∠AFG，∴AG＝AF，∴AG＝AF＝FH＝HG，∴四边形AGHF是菱形；②∵FH∥AC，∴△FBH∽△ABC，∴，又∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BH：FH：BF＝3：4：5，∴设BH＝3a，则FH＝AF＝4a，BF＝5a，∴4 a+5a＝10，∴，∴FH＝，即菱形的边长为；（3）在点P使得△CPH∽△DPE，理由如下：∵△CPH∽△DPE，∴，∵BH＝，∴CH＝，∴，∴．12．证明：（1）∴＝，两边都除以MH，得，；（2）如图1，作AE⊥BD于E，MF⊥BD于F，CG⊥BD于G，∴AE∥MF∥CG，∴，∵HH∥AB，∴，∴，同理可得：，由（1）得，，两边乘以，得，（3）如图2，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，∵，∴，∵四边形DEFG是正方形，∴MN＝DE＝DG，∴，两边都除以DG，得，．13．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°＝∠ACB，∵∠CBD＝∠ABC，∴△CBD∽△ABC，∴，∴BC2＝AB•BD；（2）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO•BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF•BE，∴BO•BD＝BF•BE，即，∵∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED；②解：在Rt△BCE中，∵BC＝6，CE＝2，∴BE＝＝2，∴DE＝4，BO＝3，由①知△BOF∽△BED，∴，∴，∴OF＝．14．（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CQB，由翻折的性质可知，∠E＝∠ABC＝90°∵PE∥BQ，∴∠AFB＝∠E＝90°，∴△AFB∽△BCQ；（2）证明：如图①中，设AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∵Q是CD的中点，∴CQ＝QD＝a，∵∠C＝90°，∴BQ＝＝＝a，∵△AFB∽△BCQ，∴＝，∴＝，∴BF＝a，∴QF＝a，∴＝＝，∴BF＝QF；（3）解：如图②，建立如图平面直角坐标系，过点E作EH⊥AB于点T．∵BF＝FQ，FQ＝6，∴BF＝4，∴BQ＝BF+FQ＝4+6＝10，∴CQ＝2，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴Q（4，2），∴直线BQ的解析式为y＝x，∵∠EAT＝∠CBQ，∠ATE＝∠BCQ＝90°，∴△ATE∽△BCQ，∴＝＝，∴＝＝，∴AT＝8，ET＝4，∴BT﹣AB﹣AT＝4﹣8，∴E（4，4﹣8），∵D（4，4），∴直线DE的解析式为：y＝x+2﹣10，由，解得，∴G（4﹣4，2﹣2），∴S△BCG＝××（2﹣2）＝20﹣4．15．解：（1）①∵等边△ABC的边长为8，∴AC＝8，∵△APD∽△ACP，∴，∵AD＝2，∴，∴AP＝4，故答案为4；②∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝8，∠A＝∠B＝60°，∵△APD与△BPC相似，∴△APD∽△BPC或△APD∽△BCP，Ⅰ、当△APD∽△BPC时，，∴，∴AP＝，Ⅱ、当△APD∽△BCP时，，∴，∴AP＝4，即△APD与△BPC相似时，AP的长度为或4；（2）①∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝8，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵△APD与△BQC相似，∴△APD∽△BQC或△APD∽△BCQ，Ⅰ、当△APD∽△BQC时，∠APD＝∠BQC，∴∠PDC＝∠A+∠APD＝60°+∠APD＝60°+∠BQC，∴∠BQC＝∠PDC﹣60°，∴∠ACQ＝∠ACB﹣∠BCQ＝60°﹣（180°﹣∠B﹣∠BAC）＝∠B+∠BQC﹣120°＝60°+∠PDC﹣60°﹣120°＝∠PDC﹣120°，∴∠PDC+∠ACQ＝120°；Ⅱ、当△APD∽△BCQ时，∠APD＝∠BCQ，∴∠PDC＝∠A+∠APD＝60°+∠APD＝60°+∠BCQ，∴∠BCQ＝∠PDC﹣60°，∴∠ACQ＝∠ACB﹣∠BCQ＝60°﹣（∠PDC﹣60°）＝120°﹣∠PDC，∴∠ACQ+∠PDC＝120°，即满足条件的∠ACQ与∠PDC之间的数量关系是∠ACQ+∠PDC＝120°或∠PDC﹣∠ACQ＝120°；②线段EF的长是一个定值，为．如图，连接AE并延长至G，使AE＝GE，连接PG，QG，∵点E是DP的中点，∴DE＝PE，∵∠AED＝∠GEP，∴△AED≌△GEP（SAS），∴AE＝GE，PG＝AD＝2，∠ADE＝∠GPE，∴PG∥AD，∴∠QPG＝∠BAC＝60°，∵PQ＝2＝PG，∴△PQG为等边三角形，∴QG＝2，∠PQG＝60°＝∠B，∴QG∥BC，连接GF并延长交BC于H，∴∠FQG＝∠FCH，∵点F是CQ的中点，∴FQ＝FC，∵∠QFG＝∠CFH，∴△QFG≌△CFH（ASA），∴FG＝FH，CH＝QG＝2，连接AH，过点A作AM⊥BC于M，∴∠AMC＝90°，CM＝BC＝4，在Rt△AMC中，AC＝8，根据勾股定理得，AM2＝AC2﹣CM2＝82﹣42＝48，在Rt△AMH中，MH＝CM﹣CH＝2，根据勾股定理得，AH＝＝＝2，∵AE＝GE，FG＝FH，∴EF是△AHG的中位线，∴EF＝AH＝，即线段EF的长是一个定值．16．解：（1）∵AF⊥DE，∴∠ADE+∠DAF＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠DAF＝∠AED，∵∠ADE＝∠ABF＝90°，AD＝AB，∴△ADE≌△DAF（AAS），∴AF＝DE；（2）过点G作GM⊥BA交于点M，∵AF⊥EG，∴∠F AB+∠AEG＝90°，∵∠F AB+∠AFB＝90°，∴∠AEG＝∠AFB，∵∠GME＝∠ABF＝90°，∴△GME∽△ABF，∴＝，∵AD＝GM，∴；（3）连接AH，∵AG⊥GH，∴△AGH是直角三角形，∵HG＝5，GA＝7.5，∴AH＝，在Rt△ABH中，BH＝3，AH＝，∴AB＝，∵∠AGH＝90°，∴∠DGA+∠CGH＝90°，∵∠DGA+∠GAD＝90°，∴∠GAD＝∠CGH，∴△DAG∽△CGH，∴＝＝，∴＝＝，∴AD＝6，由（2）知，∴＝＝．17．解：（1）如图②，BF与CD交于点M，与DE交于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∵△ECF是等腰直角三角形，∴CF＝CE，∠ECF＝90°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，∵∠BMC＝∠DMF，∠CBF+∠BMC＝90°，∴∠CDE+∠DMF＝90°，∴∠BND＝90°，∴BF⊥DE，故答案为：BF＝DE，BF⊥DE；（2）①如图③，，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠ECF＝90°，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∵，∴△BCF∽△DCE，∴＝；②如图③，连接BD，∵△BCF∽△DCE，∴∠CBF＝∠CDE，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝12，∵CE＝6，，∴＝，∴CF＝8，BC＝16，∵∠DBO+∠CBF+∠BDC＝∠BDO+∠CDE+∠BDC＝∠DBO+∠BDO＝90°，∴∠BOD＝90°，∴∠DOF＝∠BOE＝∠EOF＝90°，在Rt△DOF中，DF2＝OD2+OF2，在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，在Rt△DOB中，DB2＝OD2+OB2，在Rt△EOF中，EF2＝OE2+OF2，∴DF2+BE2＝OD2+OF2+OB2+OE2＝DB2+EF2，在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝162+122＝400，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+CF2＝62+82＝100，∴BD2+EF2＝400+100＝500，∴DF2+BE2＝500．18．解：（1）甲的做法正确，理由如下：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴∠EDF＝90°，DE∥BC，DF∥AC，∴，△AED∽△ACB，△BFD∽△BCA，即：AE＝CE，同理可得：BF＝CF，∴DF∥AC，EF∥AB，∴四边形AEFD是平行四边形，△CEF∽△CAB，同理可得：四边形DEFB是平行四边形，∴∠EFD＝∠A，∵∠AED＝∠EDF，∴△AED∽△FDE，∴四个小三角形与△ABC相似；（2）当时，△EDF∽△AFD∽△FEC，理由如下：∵△ADF∽△ACB，△DEB∽△ACB，∴①，②，得，，∴DE＝EF，∵DE∥AF，∴四边形ADFE是平行四边形，由（1）可得，△DEF和△CEF与△ABC相似，故答案是：；（3）如图，根据和AC和AB及AB的长度找出点D的位置，然后作DE∥AC交BC于E，作EF∥AB交AC于F，连接DF即可．19．解：（1）①∵O是BC的中点，∴OB＝OC，在△BOD和△COF中，，∴△BOD≌△COF（SAS），∴CF＝BD，∠OCF＝∠B，∵AD＝AE，AB＝AC，∴BD＝CE，∴CE＝CF，即：，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠OCF+∠ACB＝90°，∴∠ECF＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形，故答案是：1，等腰直角三角形，解：（2）如图1，仍然成立，理由如下：连接BD，由（1）得：CF＝BD，CF∥BD，∴∠CFO＝∠DBO，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠CAE＝∠BAD，在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD，∴CE＝CF，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ACE+∠EAO+∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠EAO+∠ABC＝90°，∴∠EAO+∠DBO＝90°，∴∠EAO+∠CFO＝90°，∴∠FCE＝90°，∴＝1，△ECF是等腰直角三角形；（3）如图2，连接BD，作AG⊥CD于G，设AD＝a，则AB＝，AC＝a，AE＝，由（2）得：∠CAE＝∠BAD，CF＝BD，∵，∴△CAE∽△BAD，∴，∠ACD＝∠ABD，∴，同理（2）得：∠CEF＝90°，∴∠ECF＝∠EAD＝90°，∴点C、A、B、D共圆，∴∠1＝∠ACG，∵AD＝a，AE＝，∠DAE＝90°，∴DE＝，由S△ADE＝得，AG＝a，∴sin∠ACD＝＝＝，∴sin∠1＝．20．（1）证明：∵∠ADC＝∠ACB，，∴△ADC∽△ACB，∴∠DAC＝∠CAB，∴AC平分∠DAB；（2）解：∵△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AB×AD，∵AC＝8，AB＝12，∴64＝12AD，∴AD＝，故答案为：；（3）解：∵∠ACB＝90°，点E为AB的中点，∴AB＝2CE＝10，∴AC＝8，∵△ADC∽△ACB，∴AD＝＝6.4，由（1）知∠DAC＝∠EAC，∵CE＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴△AFD∽△CFE，∴．。
中考数学复习《图形的相似》
(3)设 EG＝KD＝x，则 AK＝80－x. EF AK EF 80－x 3 ∵△AEF∽△ABC，∴BC＝AD，即120＝ 80 ，∴EF＝120－2x， 3 32 3 ∴矩形面积 S＝x(120－2x)＝－2x ＋120x＝－2(x－40)2＋2 400， 故当 x＝40 时，此时矩形的面积最大，最大面积为 2 400 mm2
(3)如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
【解析】(1)根据正方形的对边平行得到 BC∥EF，利用“平行于三角形的 一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似” EF 判定即可；(2)设 EG＝EF＝x，用 x 表示 AK，根据△AEF∽△ABC 列比例式BC AK ＝AD可计算正方形边长； (3)设 EG＝KD＝x， 根据△AEF∽△ABC 用 x 表示 EF， 根据矩形面积公式可以写出矩形面积关于 x 的二次函数，根据二次函数求出矩 形的最大值．
【解析】根据题意可知一块 10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费 180 元， 18 因此每平方厘米的广告费为：180÷50＝ 5 元，然后根据相似三角形的性质， 由该版面的边长都扩大为原来的 3 倍， 18 广告费为：3×10×3×5× 5 ＝1620 元．故选 C.
3．(2017· 杭州)如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC， AB 上，AG⊥BC 于点 G，AF⊥DE 于点 F，∠EAF＝∠GAC. (1)求证：△ADE∽△ABC； AF (2)若 AD＝3，AB＝5，求AG的值． 证明：(1)∵AF⊥DE，AG⊥BC，
EA OD 3 (2)两个矩形不可能全等．当EG＝ DE ＝2时，两个矩形相似， 3 3 3 EA＝2EG，设 EG＝x，则 EA＝2x，∴OB＝2＋2x，FB＝3－x， 3 3 5 ∴F(2＋2x，3－x)，∴(2＋2x)(3－x)＝6，解得 x1＝0(舍去)，x2＝3， 5 5 EG 3 5 ∴EG＝3，∴矩形 AEGF 与矩形 DOHE 的相似比为DE＝2＝6
中考数学专题13 图形的相似(第01期)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)
专题13 图形的相似1．（2019•常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4【答案】B【解析】∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1∶2．故选B．2．（2019•兰州）已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则BCB'C'=A．2 B．43C．3 D．169【答案】B【解析】∵△ABC∽△A'B'C'，∴8463BC ABB C A B''''=--．故选B．3．（2019•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD 上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【答案】B【解析】如图，作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，∴AE EGAD DH=，∵EF⊥AC，∠C=90°，∴∠EFA=∠C=90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴AE EFAD CD=，∴EG EFDH CD=，∵EG=EF，∴DH=CD，设DH=x，则CD=x，∵BC=12，AC=6，∴BD=12-x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴DH BDAC BC=，即12612x x-=，解得，x=4，∴CD=4，故选B．4．（2019•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则A．AD ANAN AE=B．BD MNMN CE=C．DN NEBM MC=D．DN NEMC BM=【答案】C【解析】∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴DN AN BM AM=，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴NE ANMC AM=，∴DN NEBM MC=．故选C．5．（2019•连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似A．①处B．②处C．③处D．④处【答案】B【解析】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、，“车”、“炮”之间的距离为1，12==，∴马应该落在②的位置，故选B．6．（2019•重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C【解析】∵△ABO∽△CDO，∴BO ABDO DC=，∵BO=6，DO=3，CD=2，∴632AB=，解得AB=4．故选C．7．（2019•赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AD AEAC AB=，即246AE=，解得AE=3，故选C．8．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC=A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3【答案】B【解析】如图，过O作OG∥BC，交AC于G，∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．又AD∶DC=1∶2，∴AD=DG=GC，∴AG∶GC=2∶1，AO∶OE=2∶1，∴S△AOB：S△BOE=2，设S △BOE =S ，S △AOB =2S ，又BO =OD ，∴S △AOD =2S ，S △ABD =4S ，∵AD ∶DC =1∶2，∴S △BDC =2S △ABD =8S ，S四边形CDOE=7S ，∴S △AEC =9S ，S △ABE =3S ，∴3193ABE AEC S BE S EC S S ===△△，故选B ． 9．（2019•常德）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB =AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是A ．20B ．22C ．24D ．26【答案】D【解析】如图，根据题意得△AFH ∽△ADE ，∴2239()()416AFH ADE S FH S DE ===△△，设S △AFH =9x ，则S △ADE =16x ，∴16x -9x =7，解得x =1，∴S △ADE =16， ∴四边形DBCE 的面积=42-16=26．故选D ．10．（2019•玉林）如图，AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有A ．3对B ．5对C ．6对D ．8对【答案】C【解析】图中三角形有：△AEG ，△ADC ，CFG ，△CBA ， ∵AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，∴△AEG ∽△ADC ∽CFG ∽△CBA ，共有6个组合分别为：∴△AEG ∽△ADC ，△AEG ∽CFG ，△AEG ∽△CBA ，△ADC ∽CFG ，△ADC ∽△CBA ，CFG ∽△CBA ，故选C ．11．（2019•淄博）如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD =∠B ．若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为A ．2aB ．52a C ．3aD ．72a【答案】C【解析】∵∠CAD =∠B ，∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA ，∴2()ACD BCA S AC S AB =△△，即14BCA a S =△， 解得，△BCA 的面积为4a ，∴△ABD 的面积为：4a -a =3a ，故选C ．12．（2019•邵阳）如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上 C ．AO ∶AA ′=1∶2D ．AB ∥A ′B ′ 【答案】C【解析】∵以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上，AB ∥A ′B ′， AO ∶OA ′=1∶2，故选项C 错误，符合题意．故选C ．13．（2019•淮安）如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB =3，DE =2，BC =6，则EF =__________．【答案】4【解析】∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB DEBC EF=，又AB =3，DE =2，BC =6，∴EF =4，故答案为：4．14．（2019•河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则ABCD=__________．【答案】2 5【解析】∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，∴22235 OA ABOC CD===+．故答案为：25．15．（2019•宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=__________．【答案】16 5【解析】在Rt△ABC中，AB，由射影定理得，AC2=AD·AB，∴AD=2ACAB=165，故答案为：165．16．（2019•本溪）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为__________．【答案】（2，1）或（-2，-1）【解析】以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），则点A的对应点A1的坐标为（4×12，2×12）或（-4×12，-2×12），即（2，1）或（-2，-1），故答案为：（2，1）或（-2，-1）．17．（2019•烟台）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（-2，-1），B（-2，-3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，-1），B1（1，-5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为__________．【答案】（-5，-1）【解析】如图，P点坐标为（-5，-1）．故答案为：（-5，-1）．18．（2019•南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠AC B．若AD=2，BD=3，则AC的长__________．【解析】∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，∴CD=BD=3，∴∠B=∠DCB，AB=AD+BD=5，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=∠B，∵∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC ADAB AC=，∴AC 2=AD ×AB =2×5=10，∴AC19．（2019•吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为90 m ，则这栋楼的高度为__________m ． 【答案】54【解析】设这栋楼的高度为h m ，∵在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时测得一栋楼的影长为60 m ， ∴1.8390h=，解得h =54（m ）．故答案为：54． 20．（2019•福建）已知△ABC 和点A '，如图．（1）以点A '为一个顶点作△A 'B 'C '，使△A 'B 'C '∽△ABC ，且△A 'B 'C '的面积等于△ABC 面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D '、E '、F '分别是你所作的△A 'B 'C '三边A 'B '、B 'C '、C 'A '的中点，求证：△DEF ∽△D 'E 'F '．【解析】（1）作线段A 'C '=2AC 、A 'B '=2AB 、B 'C '=2BC ，得△A 'B 'C '即可所求．∵A 'C '=2AC 、A 'B '=2AB 、B 'C '=2BC ， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴2()4A B C'ABC ''S A B''S AB==△△．（2）如图，∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴111222DE BC DF AC EF AB ===，，，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．21．（2019•凉山州）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2=AD·CD；（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．【解析】（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，∴△ABD∽△BCD，∴AD BD BD CD=，∴BD2=AD·CD．（2）∵BM∥CD，∴∠MBD=∠BDC，∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°，∴BM=MD，∠MAB=∠MBA，∴BM=MD=AM=4，∵BD2=AD·CD，且CD=6，AD=8，∴BD2=48，∴BC2=BD2-CD2=12，∴MC2=MB2+BC2=28，∴MC=∵BM ∥CD ，∴△MNB ∽△CND ，∴23BM MN CD CN ==，且MC =，∴MN =5． 22．（2019•巴中）△ABC 在边长为1的正方形网格中如图所示．①以点C 为位似中心，作出△ABC 的位似图形△A 1B 1C ，使其位似比为1∶2．且△A 1B 1C 位于点C 的异侧，并表示出A 1的坐标．②作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后的图形△A 2B 2C ． ③在②的条件下求出点B 经过的路径长．【解析】①如图，△A 1B 1C 为所作，点A 1的坐标为（3，-3）． ②如图，△A 2B 2C 为所作．③OB =点B 经过的路径长=90ππ1802⋅=．23．（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得AC =2 m ，BD =2.1 m ，如果小明眼睛距地面髙度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE ．【解析】如图，设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF 并延长交OE于点H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，∴AC MA MO FG MF MH==，即：AC OE OE OEBD MH MO OH OE BF ===++，∴21.62.1OEOE=+，∴OE=32，答：楼的高度OE为32米．24．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．【解析】（1）∵∠ACB=90°，AB=BC，∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，又∠APB =135°，∴∠PAB +∠PBA =45°， ∴∠PBC =∠PAB ， 又∵∠APB =∠BPC =135°， ∴△PAB ∽△PBC ．（2）∵△PAB ∽△PBC ，∴PA PB ABPB PC BC ==，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∴ABBC=∴PB PA ==，，∴PA =2PC ．（3）如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E ，∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3， ∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°， ∴∠APC =90°， ∴∠EAP +∠ACP =90°，又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°， ∴∠EAP =∠PCD ， ∴Rt △AEP ∽Rt △CDP ， ∴2PE APDP PC==，即322h h =，∴h 3=2h 2，∵△PAB ∽△PBC ，∴12h AB h BC==∴12h =，∴2212222322h h h h h h ==⋅=．即h 12=h 2·h 3．25．（2019•长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题） ③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1，1111AB BCA B B C =11CDC D ．求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． （3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD相似，求21S S 的值．【解析】（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等． ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例． ③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为：假，假，真． （2）如图1中，连接BD ，B 1D 1．∵∠BCD =∠B 1C 1D 1，且1111BC CDB C C D =， ∴△BCD ∽△B 1C 1D 1，∴∠CDB =∠C 1D 1B 1，∠C 1B 1D 1=∠CBD ， ∵111111AB BC CD A B B C C D ==，∴1111BD ABB D A B =， ∵∠ABC =∠A 1B 1C 1， ∴∠ABD =∠A 1B 1D 1， ∴△ABD ∽△A 1B 1D 1， ∴1111AD ABA D AB =，∠A =∠A 1，∠ADB =∠A 1D 1B 1， ∴11111111AB BC CD ADA B B C C D A D ===，∠ADC =∠A 1D 1C 1，∠A =∠A 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1， ∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． （3）∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似． ∴DE EFAE AB=， ∵EF =OE +OF ，∴DE OE OFAE AB+=， ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴DE OE DE OC OF AD AB AD AB AB =-=，，∴DE DE OE OF AD AD AB AB +=+，∴2DE DEAD AE =， ∵AD =DE +AE ， ∴21DE AE AE=+，∴2AE =DE +AE ， ∴AE =DE ，∴12S S =1．祝你考试成功!祝你考试成功!。
【中考复习】苏教版2023学年中考数学专题复习 图形的相似
图形的相似一．选择题（共10小题）1．如图, 以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD, OA＝2, AC＝3, 则的值为（）A．B．C．D．2．已知线段a、b、c、d, 如果ab＝cd, 那么下列式子中一定正确的是（）A．B．C．D．3．已知＝, 那么的值是（）A．B．﹣C．5D．﹣54．在平面直角坐标系xOy中, 以原点O为位似中心, 把△ABO缩小为原来的, 得到△CDO, 则点A（﹣4, 2）的对应点C的坐标是（）A．（﹣2, 1）B．（﹣2, 1）或（2, ﹣1）C．（﹣8, 4）D．（﹣8, 4）或（8, ﹣4）5．如图, AD∥BE∥FC, 它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F, 如果AB＝4, AC ＝9, 那么的值是（）A．B．C．D．6．如图, 在△ABC中, AB＝AC＝6, D在BC边上, ∠ADE＝∠B, CD＝4, 若△ABD的面积等于9, 则△CDE的面积为（）A．4B．2C．3D．67．点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC）, 且AB＝2, 则AC的长为（）A．2B．﹣2C．﹣1D．3﹣8．若3x＝2y（y≠0）, 则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．9．线段a, b, c, d是成比例线段, 已知a＝2, b＝, 则d＝（）A．B．C．D．10．若△ABC∽△A'B'C', 且相似比为2：3, 则△ABC与△A'B'C'的面积比为（）A．2：3B．3：2C．4：9D．9：4二．填空题（共5小题）11．已知＝, 那么＝．12．如图, 在矩形ABCD中, E是CD边的中点, 且BE⊥AC于点F, 连接DF, 则下列结论：①；②；③AD＝DF；④AD2＝BE•BF．其中正确的是（把正确结论的序号都填上）．13．非零实数x, y满足2x＝3y, 则＝．14．已知, 则＝．15．如图, AB∥CD∥EF, 直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3, CE＝5, DF＝4, 则BD的长为．三．解答题（共6小题）16．如图, 已知正方形ABCD, 点在边BC上, 连接AE．（1）利用尺规在AE上求作一点F, 使得△ABE∽△DF A．（不写作法, 保留作图痕迹）（2）若AE＝4, AB＝3, 求DF的长．17．如图, 点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点, 直线CF交线段BA的延长线于点E．（1）求证：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF＝1：2, AE＝, S△AEF＝．①求AB的长；②求△EBC的面积．18．如图, 在矩形ABCD中, E为CD边上一点, 把△ADE沿AE翻折, 使点D恰好落在BC 边上的点F处．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若, 求EC的长．19．如图1, 在△ABC中, 已知AB＝6, AC＝8, BC＝10．点D是边BC上一动点, 过点D作DE⊥BC交射线CA于点E, 把△CDE沿DE翻折, 点C落在点G处, AD和GE相交于点F．（1）若点G和点B重合, 请在图2中画出相应的图形, 并求CE的长．（2）在（1）的条件下, 求证：△AFB∽△EFD．（3）是否存在这样的点D, 使得△ABG是等腰三角形？若存在, 请直接写出这时∠CAD 的正切值；若不存在, 请说明理由．20．定义：一般地, 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P, P'所在的直线都经过同一点O, 且有OP'＝k⋅OP（k≠0）, 那么这样的两个多边形叫做位似多边形, 点O叫做位似中心,（1）如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, ∠A＝30°, AB＝6cm．点P在AB上, 点Q在AC上, 以PQ为边作菱形PQMN, 点N在线段PB上且∠APQ＝120°, 在△ABC及其内部, 以点A为位似中心, 请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N', 且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；（3）如图, 四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, CD、EF相交于点M, 连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．21．如图, l1∥l2∥l3, AB＝7, DE＝6, EF＝12, 求AC的长．2023年中考数学专题复习--图形的相似参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图, 以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD, OA＝2, AC＝3, 则的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用位似图形的性质, 进而得出＝, 求出答案即可．【解答】解：∵以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD,∴△BOA∽△DOC,∴＝,∵OA＝2, AC＝3,∴＝．故选：D．【点评】此题主要考查了位似变换, 正确得出相似三角形是解题关键．2．已知线段a、b、c、d, 如果ab＝cd, 那么下列式子中一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据内项之积等于外项之积即可判断．【解答】解：∵ab＝cd,∴＝,故选：C．【点评】本题考查比例线段, 解题的关键是灵活运用内项之积等于外项之积解决问题, 属于中考基础题．3．已知＝, 那么的值是（）A．B．﹣C．5D．﹣5【分析】根据已知条件得出a＝5b, 再代入要求的式子进行计算, 即可得出答案．【解答】解：∵＝,∴3a﹣3b＝2a+2b,∴a＝5b,∴＝＝5．故选：C．【点评】此题考查了比例的性质, 熟练掌握两内项之积等于两外项之积．4．在平面直角坐标系xOy中, 以原点O为位似中心, 把△ABO缩小为原来的, 得到△CDO, 则点A（﹣4, 2）的对应点C的坐标是（）A．（﹣2, 1）B．（﹣2, 1）或（2, ﹣1）C．（﹣8, 4）D．（﹣8, 4）或（8, ﹣4）【分析】根据位似变换的性质计算, 即可解答．【解答】解：以原点O为位似中心, 把这个三角形缩小为原来的得到△CDO, 点A的坐标为（﹣4, 2）,则点A的对应点C的坐标为（﹣4×, 2×）或（4×, ﹣2×）, 即（﹣2, 1）或（2, ﹣1）,故选：B．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质, 解题关键是在平面直角坐标系中, 如果位似变换是以原点为位似中心, 相似比为k, 那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．5．如图, AD∥BE∥FC, 它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F, 如果AB＝4, AC ＝9, 那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式, 把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵AD∥BE∥FC, AB＝4, AC＝9,∴＝＝＝,故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理, 灵活运用定理、准对应关系是解题的关键．6．如图, 在△ABC中, AB＝AC＝6, D在BC边上, ∠ADE＝∠B, CD＝4, 若△ABD的面积等于9, 则△CDE的面积为（）A．4B．2C．3D．6【分析】过点D作DM⊥AB于M, 过点E作EN⊥BC于N, 根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠C, 再由三角形的外角定理推出∠DAB＝∠EDC, 从而得出△ABD∽△DCE, 根据相似三角形的性质求出EN, 即可求解．【解答】解：过点D作DM⊥AB于M, 过点E作EN⊥BC于N,∵AB＝AC＝6,∴∠B＝∠C,∵∠ADE＝∠B, ∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE,∴∠BAD＝∠CDE,∴△ABD∽△DCE．∴,∵△ABD的面积等于9,∴AB•DM＝×6×DM＝9,∴DM＝3,∴,∴EN＝2．∴△CDE的面积为CD•EN＝×4×2＝4,故选：A．【点评】本题考查等腰三角形的性质, 相似三角形的判定和性质, 利用等腰三角的性质及相似三角形的判定和性质求解是解题的关键．7．点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC）, 且AB＝2, 则AC的长为（）A．2B．﹣2C．﹣1D．3﹣【分析】根据黄金分割的定义可得到AC＝AB, 然后把AB＝2代入计算即可．【解答】解：根据题意得AC＝AB＝×2＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC）, 且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC）, 叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝≈0.618AB, 并且线段AB的黄金分割点有两个．8．若3x＝2y（y≠0）, 则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、由＝得, xy＝6, 故本选项比例式不成立；B、由＝得, 3x＝2y, 故本选项比例式成立；C、由＝得, 2x＝3y, 故本选项比例式不成立；D、由＝得, xy＝6, 故本选项比例式不成立．故选：B．【点评】本题考查了比例的性质, 主要利用了两内项之积等于两外项之积, 熟记性质是解题的关键．9．线段a, b, c, d是成比例线段, 已知a＝2, b＝, 则d＝（）A．B．C．D．【分析】根据成比例线段的概念, 可得a：b＝c：d, 再根据比例的基本性质, 即可求得d 的值．【解答】解：∵a：b＝c：d,∴ad＝bc,∵a＝2, b＝, c＝2,∴2d＝×2,∴d＝．故选：D．【点评】此题考查了成比例线段, 解题时一定要严格按照顺序写出比例式, 再根据比例的基本性质进行求解．10．若△ABC∽△A'B'C', 且相似比为2：3, 则△ABC与△A'B'C'的面积比为（）A．2：3B．3：2C．4：9D．9：4【分析】根据相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方, 解答即可．【解答】解：∵△ADE∽△ABC, 相似比为2：3,∴△ADE与△ABC的面积比为（2：3）2＝4：9．故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质, 相似三角形面积的比等于相似比的平方．二．填空题（共5小题）11．已知＝, 那么＝﹣．【分析】根据已知条件得出＝, 再把化成1﹣, 然后进行计算即可．【解答】解：∵＝,∴＝,∴＝1﹣＝1﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了比例的性质．题目比较简单, 解题的关键是掌握比例的性质与比例变形．12．如图, 在矩形ABCD中, E是CD边的中点, 且BE⊥AC于点F, 连接DF, 则下列结论：①；②；③AD＝DF；④AD2＝BE•BF．其中正确的是①③④（把正确结论的序号都填上）．【分析】根据E是CD边的中点, 得到CE：AB＝1：2, 根据矩形的性质得到CE∥AB, 推出△CEF∽△ABF, 求得＝（）2＝, 故选①选项正确；根据相似三角形的性质得到＝, 设CE＝a, AD＝b, 则CD＝2a, 于是得到＝, 故②选项错误；如图, 过D作DM∥BE交AC于N, 交AB于M, 根据平行四边形的判定定理得到四边形BMDE是平行四边形, 求得BM＝DE＝DC, 得到DM垂直平分AF, 根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DF, 故③选项正确；根据射影定理和矩形的性质得到AD2＝BE•BF．故④正确．【解答】解：∵E是CD边的中点,∴CE：AB＝1：2,∵四边形ABCD是矩形,∴CE∥AB,∴△CEF∽△ABF,∴＝（）2＝, 故选①选项正确；∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC, ∠ADC＝∠BCD＝90°,∴∠CAD＝∠BCF,∵BE⊥AC,∴∠CFB＝90°,∴∠ADC＝∠CFB,∴△ADC∽△CFB,∴＝,设CE＝a, AD＝b, 则CD＝2a,∴＝,即b＝a,∴＝,∴＝, 故②选项错误；如图, 过D作DM∥BE交AC于N, 交AB于M,∵DE∥BM, BE∥DM,∴四边形BMDE是平行四边形,∴BM＝DE＝DC,∴BM＝AM,∴AN＝NF,∵BE⊥AC于点F, DM∥BE,∴DN⊥AF,∴DM垂直平分AF,∴AD＝DF, 故③选项正确；∵∠BCE＝90°, BE⊥AC,∴BC2＝BF•BE,∵AD＝BC,∴AD2＝BE•BF．故④正确；故答案为：①③④．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质, 矩形的性质, 射影定理, 正确地作出辅助线是解题的关键．13．非零实数x, y满足2x＝3y, 则＝．【分析】根据比例的性质解决此题．【解答】解：∵2x＝3y,∴．故答案为：．【点评】本题主要考查比例的性质, 熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．14．已知, 则＝．【分析】根据比例的性质, 由, 得5x＝2（x+y）, 即3x＝2y, 即可求出答案．【解答】解：∵,∴5x＝2（x+y）,∴3x＝2y,∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质, 熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．15．如图, AB∥CD∥EF, 直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3, CE＝5, DF＝4, 则BD的长为．【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到＝, 然后利用比例性质得到BD的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF,∴＝, 即＝,解得BD＝．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例．三．解答题（共6小题）16．如图, 已知正方形ABCD, 点在边BC上, 连接AE．（1）利用尺规在AE上求作一点F, 使得△ABE∽△DF A．（不写作法, 保留作图痕迹）（2）若AE＝4, AB＝3, 求DF的长．【分析】（1）过点D作DF⊥AE于点F, 点F即为所求；（2）利用勾股定理全等三角形的性质求解．【解答】解：（1）如图, 点F即为所求．（2）∵四边形ABCD是正方形,∴AD＝AB＝3,∵△ABE∽△DF A,∴＝,∴＝,∴DF＝．【点评】本题考查作图﹣相似变换, 正方形的性质等知识, 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题, 属于中考常考题型．17．如图, 点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点, 直线CF交线段BA的延长线于点E．（1）求证：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF＝1：2, AE＝, S△AEF＝．①求AB的长；②求△EBC的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质, 可以得到BA∥CD, 然后即可得到∠E＝∠FCD, ∠EAF＝∠CDF, 从而可以得到结论成立；（2）①根据相似三角形的性质和题目中的数据, 平行四边形的性质, 可以计算出AB的长；②根据相似三角形面积比等于相似比的平方, 可以计算出△EBC的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴BA∥CD,∴∠E＝∠FCD, ∠EAF＝∠CDF,∴△AEF∽△DCF；（2）解：①由（1）知△AEF∽△DCF,∴,∵AF：DF＝1：2, AE＝,∴,∴DC＝2,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝DC,∴AB＝2；②∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴△EAF∽△EBC,∴＝（）2,∵S△AEF＝, AB＝2, AE＝,∴EB＝EA+AB＝3,∴＝＝,∴,解得S△EBC＝6,即△EBC的面积是6．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质, 解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答．18．如图, 在矩形ABCD中, E为CD边上一点, 把△ADE沿AE翻折, 使点D恰好落在BC 边上的点F处．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若, 求EC的长．【分析】（1）利用同角的余角相等, 先说明∠BAF＝∠EFC, 再利用相似三角形的判定得结论；（2）先利用勾股定理求出BF, 再利用相似三角形的性质得方程, 求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形,∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,∴∠D＝∠AFE＝90°．∵∠BAF+∠AFB＝180°, ∠AFB+∠EFC＝90°,∴∠BAF＝∠EFC．又∵∠B＝∠C,∴△ABF∽△FCE．（2）解：∵四边形ABCD是矩形,∴AB＝CD＝3．∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,∴AD＝AF＝6, DE＝EF．在Rt△ABF中,BF＝＝3．设CE的长为x, 则DE＝EF＝3﹣x．∵△ABF∽△FCE,∴＝．∴CE•AF＝BF•EF,即x×6＝3×（3﹣x）．∴x＝, 即EC＝．【点评】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质, 掌握“矩形的四个角都是直角、矩形的对边相等”、“折叠前后的两个图形全等”、“两角对应相等的两个三角形相似”及“相似三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键．19．如图1, 在△ABC中, 已知AB＝6, AC＝8, BC＝10．点D是边BC上一动点, 过点D作DE⊥BC交射线CA于点E, 把△CDE沿DE翻折, 点C落在点G处, AD和GE相交于点F．（1）若点G和点B重合, 请在图2中画出相应的图形, 并求CE的长．（2）在（1）的条件下, 求证：△AFB∽△EFD．（3）是否存在这样的点D, 使得△ABG是等腰三角形？若存在, 请直接写出这时∠CAD 的正切值；若不存在, 请说明理由．【分析】（1）先由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形, 且∠BAC＝90°, 再证明△CDE∽△CAB, 得＝, 则CE＝＝；（2）由DE垂直平分BC, 得BE＝CE, 则∠DEF＝∠DEC, 由△CDE∽△CAB, 得∠DEC ＝∠ABC, 由AD＝BD＝BC, 得∠ABC＝∠BAF, 则∠BAF＝∠DEF, 而∠AFB＝∠EFD, 即可证明△AFB∽△EFD；（3）作DI⊥AC于点I, 先由△DIC∽△BAC, 求得ID：IC：DC＝3：4：5, 再分四种情况分别求出DC的长, 并且求出相应的ID和AI的长, 即可由tan∠CAD＝, 求出∠CAD的正切值, 一是△ABG是等腰三角形, 且AG＝AB＝6, 作AH⊥BC于点H, 由×10AH＝×6×8＝S△ABC, 求得AH＝, 再由勾股定理求得GH＝BH＝, 则CD＝；二是△ABG是等腰三角形, 且BG＝AB＝6, 则CD＝×（10﹣6）＝2；三是△ABG 是等腰三角形, 且BG＝AG, 则CG＝AG＝BG＝BC＝5, 所以CD＝CG＝；四是△ABG是等腰三角形, 点G在CB的延长线上, 且BG＝AB＝6, DC＝×（10+6）＝8．【解答】（1）解：∵AB＝6, AC＝8, BC＝10,∴AB2+AC2＝BC2＝100,∴△ABC是直角三角形, 且∠BAC＝90°,由翻折得DG＝DC,∵DE⊥BC,∴∠GDE＝∠CDE＝∠BDE＝90°,∴点G在射线CB上,如图2, 点G和点B重合, 则DB＝DC＝BC＝5,∵∠CDE＝∠CAB＝90°, ∠C＝∠C,∴△CDE∽△CAB,∴＝,∴CE＝＝＝,∴CE的长是．（2）证明：如图2,∵DE垂直平分BC,∴BE＝CE,∴∠DEF＝∠DEC,∵△CDE∽△CAB,∴∠DEC＝∠ABC,∴AD＝BD＝BC,∴∠ABC＝∠BAF,∴∠BAF＝∠ABC＝∠DEC＝∠DEF,∵∠AFB＝∠EFD,∴△AFB∽△EFD．（3）解：存在,作DI⊥AC于点I, 则∠DIC＝∠AID＝∠BAC＝90°, ∵∠C＝∠C,∴△DIC∽△BAC,∴＝＝,∴＝＝＝, ＝＝＝,∴ID：IC：DC＝3：4：5,如图3, △ABG是等腰三角形, 且AG＝AB＝6,作AH⊥BC于点H, 则∠AHB＝90°,∵×10AH＝×6×8＝S△ABC,∴AH＝,∴GH＝BH＝＝,∴DC＝CG＝×（10﹣2×）＝,∴ID＝DC＝×＝, IC＝DC＝×＝,∴AI＝8﹣＝,∴tan∠CAD＝＝＝；如图4, △ABG是等腰三角形, 且BG＝AB＝6,∴CD＝×（10﹣6）＝2,∴ID＝×2＝, IC＝×2＝,∴AI＝8﹣＝,∴tan∠CAD＝＝＝；如图5, △ABG是等腰三角形, 且BG＝AG, 则∠GAB＝∠B, ∵∠GAC+∠GAB＝90°, ∠C+∠B＝90°,∴∠GAC＝∠C,∴CG＝AG＝BG＝BC＝5,∴CD＝CG＝,∴ID＝×＝, IC＝×＝2,∴AI＝8﹣2＝6,∴tan∠CAD＝＝＝；如图6, △ABG是等腰三角形, 点G在CB的延长线上, 且BG＝AB＝6, ∴DC＝×（10+6）＝8,∴ID＝×8＝, IC＝×8＝,∴AI＝8﹣＝,∴tan∠CAD＝＝＝3,综上所述, ∠CAD的正切值为或或或3．【点评】此题重点考查勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、线段的垂直平分线的性质、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法, 此题综合性强, 难度较大, 正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．20．定义：一般地, 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P, P'所在的直线都经过同一点O, 且有OP'＝k⋅OP（k≠0）, 那么这样的两个多边形叫做位似多边形, 点O叫做位似中心,（1）如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, ∠A＝30°, AB＝6cm．点P在AB上, 点Q在AC上, 以PQ为边作菱形PQMN, 点N在线段PB上且∠APQ＝120°, 在△ABC及其内部, 以点A为位似中心, 请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N', 且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；（3）如图, 四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, CD、EF相交于点M, 连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．【分析】（1）根据定义画出图形即可；（2）当M'点在BC上时, 菱形P'Q'M'N'的面积最大, 判定出△M'BN'是等边三角形, 在Rt △CM'Q'中求出BM'的长, 再求菱形的面积即可；（3）延长GF、BC交于O点, 连接AO, 先求出OF＝OC, OG＝BO, 连接OM, 通过证明△MOF≌△MOC（SAS）, 得∠FOM＝∠COM, △AGO≌△ABO（SAS）, 得∠FOA＝∠BOA, 证明出A、M、O三点共线, 即GF、BC、AM的延长线交于一点O, 再由平行线的性质得到＝＝, 即可证明△ABG与△MCF位似．【解答】解：（1）如图：（2）∵四边形P'Q'M'N'在△ABC内,∴当M'点在BC上时, 菱形P'Q'M'N'的面积最大,∵四边形PQMN是菱形, 四边形P'Q'M'N'是菱形,∴Q'M'∥AB, M'N'∥PQ,∵∠APQ＝120°,∴∠QPB＝∠M'N'B＝60°,∵∠CAB＝30°, ∠ACB＝90°,∴∠B＝60°,∴△BM'N'是等边三角形,∴M'B＝M'N'＝Q'M',∵AB＝6cm,∴BC＝3cm,∴CM'＝3﹣BM',在Rt△CM'Q'中, ∠CQ'M'＝30°,∴Q'M'＝2CM',∴BM'＝2（3﹣BM'）,解得BM'＝2,在△BM'N'中, 过点M'作M'E⊥BN'交于点E, ∵BM'＝2, ∠B＝60°,∴M'E＝,∴菱形P'Q'M'N'的面积＝2；（3）延长GF、BC交于O点, 连接AO,∵四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, ∴AG＝AB, ∠AGF＝∠ABC,∴∠OGB＝∠OBG,∴OG＝BO,∵GF＝BC,∴OF＝OC,∴＝,连接OM,∵∠GFE＝∠BCD,∴∠MFO＝∠MCO,∵∠OFC＝∠FCO,∴∠MCF＝∠FCM,∴CM＝FM,∴△MOF≌△MOC（SAS）,∴∠FOM＝∠COM,∵AG＝AB, ∠AGO＝∠ABO, GO＝BO,∴△AGO≌△ABO（SAS）,∴∠FOA＝∠BOA,∴MO与AO重合,∴A、M、O三点共线,∴GF、BC、AM的延长线交于一点O,∴MF∥AG,∴＝,∵CM∥AB,∴＝,∴＝＝,∴△ABG与△MCF位似．【点评】本题考查相似的综合应用, 掌握位似图形的定义, 平行线的定义, 菱形的性质, 直角三角形的性质, 等边三角形的性质是解题的关键．21．如图, l1∥l2∥l3, AB＝7, DE＝6, EF＝12, 求AC的长．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式, 把已知数据代入比例式计算即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3,∴,即,∴BC＝14,∴AC＝AB+BC＝7+14＝21．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理, 灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．。
2021年中考数学真题 图形的相似(共55题)-(解析版)
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）22图形的相似（共55题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，位似比为2:3，点A ，B 的对应点分别为点A '，B '．若6AB =，则A B ''的长为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．15【答案】B 【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案． 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，位似比为2:3，∵23AB A B =''， ∵6AB =，∵623A B =''， ∵9A B ''= 故答案为：B ．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．2．（2021·山东东营市·中考真题）如图，ABC 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（1，0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作ABC 的位似图形A B C ''，并把ABC 的边长放大到原来的2倍，设点B 的横坐标是a ，则点B 的对应点B '的横坐标是（ ）A ．23a -+B ．21a -+C ．22a -+D ．22a --【答案】A 【分析】设点'B 的横坐标为x ，然后表示出BC 、'B C 的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解. 【详解】设点'B 的横坐标为x ，则B 、C 间的横坐标的差为1a -，'B 、C 间的横坐标的差为1x -+，ABC 放大到原来的2倍得到'''A B C ，∴()211a x -=-+，解得：23x a =-+. 故选：A. 【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键.3．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知路灯高5m PO =，树影3m AC =，树AB 与路灯O 的水平距离 4.5m AP =，则树的高度AB 长是（ ）A ．2mB ．3mC ．3m 2D ．10m 3【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可． 【详解】解：由题可知，CAB CPO ∽，∵AB ACOP CP =, ∵353 4.5AB =+， ∵()2AB m =， 故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．4．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE 的面积是3cm 2，则四边形BDEC 的面积为（ ）A ．12cm 2B ．9cm 2C ．6cm 2D ．3cm 2【答案】B 【分析】由三角形的中位线定理可得DE =12BC ，DE ∵BC ，可证∵ADE ∵∵ABC ，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∵DE =12BC ，DE ∵BC ，∵∵ADE ∵∵ABC ， ∵21()4ADEABCS DE SBC ∆∆==， ∵S ∵ADE =3， ∵S ∵ABC =12，∵四边形BDEC的面积=12-3=9(cm2)，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键．5．（2021·重庆中考真题）如图，△ABC与△BEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（）A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9【答案】A【分析】利用位似的性质得∵ABC∵∵DEF，OB：OE= 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题．【详解】解：∵∵ABC与∵DEF位似，点O为位似中心．∵∵ABC∵∵DEF，OB：OE= 1：2，∵∵ABC与∵DEF的周长比是：1：2．故选：A．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．6．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点P 是函数()110,0k y k x x=>>的图像上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数()220,0k y k x x=>>的图像于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中12k k >，下列结论：△//CD AB ；△122OCDk kS -=；△()21212DCPk k Sk -=，其中正确的是（ ）A ．△△B ．△△C ．△△D ．△【答案】B 【分析】设P （m ，1k m），分别求出A ，B ，C ，D 的坐标，得到PD ，PC ，PB ，P A 的长，判断PD PB和PC PA 的关系，可判断∵；利用三角形面积公式计算，可得∵PDC 的面积，可判断∵；再利用OCD OAPB OBD OCA DPC S S S S S =---△△△△计算∵OCD 的面积，可判断∵．【详解】解：∵PB ∵y 轴，P A ∵x 轴，点P 在1k y x =上，点C ，D 在2k y x=上，设P （m ，1k m ）， 则C （m ，2k m ），A （m ，0），B （0，1k m），令12k k m x =，则21k m x k =，即D （21k m k ，1k m ），∵PC =12k k m m -=12k k m -，PD =21k m m k -=()121m k k k -， ∵()121121m k k k k k PD PB m k --==，121211k k k k PC m kPA k m--==，即PD PCPB PA =，又∵DPC =∵BP A ， ∵∵PDC ∵∵PBA ， ∵∵PDC =∵PBC ， ∵CD ∵AB ，故∵正确； ∵PDC的面积=12PD PC ⨯⨯=()1212112m k k k k km --⨯⨯=()21212k k k -，故∵正确；OCD OAPB OBD OCA DPC S S S S S =---△△△△=()112221222112k k k k k k ----=()2121122k k k k k ---=()()21121112222k k k k k k k --- =()22112211222k k k k k k --- =221212k k k -，故∵错误；故选B ． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k 的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．7．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，ABC 中，BD AB ⊥，BD 、AC 相交于点D ，47AD AC =，2AB =，150ABC ∠=︒，则DBC △的面积是（ ）A B C D 【答案】A 【分析】过点C 作CE AB ⊥的延长线于点E ，由等高三角形的面积性质得到:3:7DBCABCS S=，再证明ADB ACE ，解得47AB AE =，分别求得AE 、CE 长，最后根据ACE 的面积公式解题． 【详解】解：过点C 作CE AB ⊥的延长线于点E ，DBC 与ADB △是等高三角形，43:::4:377ADB DBCSSAD DC AC AC === :3:7DBCABCSS∴=BD AB ⊥∴ADB ACE22416749ADB ACEAC S AD SAC AC ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭47AB AE ∴= 2AB =72AE ∴=73222BE ∴=-=150,ABC ∠=︒18015030CBE ∴∠=︒-︒=︒tan 30CE BE ∴=︒⋅=设4,3ADBDBCSx Sx ==494ACESx ∴=∴4917422x ∴=⨯14x ∴=3x ∴=， 故选：A ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．8．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1cos 4B =，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使ADE B ∠=∠，连结CE ，则CEAD的值为（ ）A ．32BCD ．2【答案】D 【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出12AD BD CD BC ===，在结合题意可得BAD B ADE ∠=∠=∠，即证明//AB DE ，从而得出BAD B ADE CDE ∠=∠=∠=∠，即易证()ADE CDE SAS ≅，得出AE CE =．再由等腰三角形的性质可知AE CE DE ==，BAD B ADE DAE ∠=∠=∠=∠，即证明ABD ADE ∼，从而可间接推出CE BDAD AB=．最后由1cos 4AB B BC ==，即可求出BD AB 的值，即CEAD的值． 【详解】∵在Rt ABC 中，点D 是边BC 的中点， ∵12AD BD CD BC ===， ∵BAD B ADE ∠=∠=∠， ∵//AB DE ．∵BAD B ADE CDE ∠=∠=∠=∠，∵在ADE 和CDE △中，AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵()ADE CDE SAS ≅，∵AE CE =，∵ADE 为等腰三角形，∵AE CE DE ==，BAD B ADE DAE ∠=∠=∠=∠，∵ABD ADE ∼， ∵DE AD BD AB =，即CE BD AD AB=． ∵1cos 4AB B BC ==， ∵12AB BD =， ∵2CE BD AD AB ==． 故选D ．【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形与相似三角形的判定和性质以及解直角三角形．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键．9．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将OAB 以原点O 为位似中心放大后得到OCD ，若()0,1B ，()0,3D ，则OAB 与OCD 的相似比是（ ）A ．2：1B ．1：2C ．3：1D ．1：3 【答案】D【分析】直接利用对应边的比等于相似比求解即可．【详解】解：由B 、D 两点坐标可知：OB =1，OD =3；∵OAB 与∵OCD 的相似比等于13OB OD =； 故选D ．【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中求两个位似图形的相似比的概念，同时涉及到了位似图形的概念、平面直角坐标系中点的坐标、线段长度的确定等知识；解题关键是牢记相似比等于对应边的比，准确求出对应边的比即可完成求解，考查了学生对概念的理解与应用等能力．10．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在Rt ABC △纸片中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，点,D E 分别在,AB AC 上，连结DE ，将ADE 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分EFB ∠，则AD 的长为（ ）A ．259B ．258C ．157D ．207【答案】D【分析】先根据勾股定理求出AB ，再根据折叠性质得出∵DAE=∵DFE ，AD=DF ，然后根据角平分线的定义证得∵BFD=∵DFE =∵DAE ，进而证得∵BDF=90°，证明Rt∵ABC ∵Rt∵FBD ，可求得AD 的长．【详解】解：∵90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，∵AB =，由折叠性质得：∵DAE=∵DFE ，AD=DF ，则BD =5﹣AD ，∵FD 平分EFB ∠，∵∵BFD =∵DFE=∵DAE ，∵∵DAE +∵B =90°，∵∵BDF +∵B =90°，即∵BDF =90°，∵Rt∵ABC ∵Rt∵FBD ， ∵BD BC DF AC =即534AD AD -=， 解得：AD =205， 故选：D ．【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．11．（2021·山东东营市·中考真题）如图，ABC 是边长为1的等边三角形，D 、E 为线段AC 上两动点，且30DBE ∠=︒，过点D 、E 分别作AB 、BC 的平行线相交于点F ，分别交BC 、AB 于点H 、G ．现有以下结论：△ABC S =；△当点D 与点C 重合时，12FH =；△AE CD +=；△当AE CD =时，四边形BHFG 为菱形，其中正确结论为（ ）A．△△△B．△△△C．△△△△D．△△△【答案】B【分析】过A作AI∵BC垂足为I，然后计算∵ABC的面积即可判定∵；先画出图形，然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定∵；如图将∵BCD绕B点逆时针旋转60°得到∵ABN，求证NE=DE；再延长EA到P使AP=CD=AN，证得∵P=60°，NP=AP=CD，然后讨论即可判定∵；如图1，当AE=CD时，根据题意求得CH=CD、AG=CH，再证明四边形BHFG为平行四边形，最后再说明是否为菱形．【详解】解：如图1, 过A作AI∵BC垂足为I∵ABC是边长为1的等边三角形∵∵BAC=∵ABC=∵C=60°，CI=1212 BC=∵AI=∵S∵ABC=1112224AI BC=⨯⨯=,故∵正确；如图2，当D 与C 重合时∵∵DBE =30°，ABC 是等边三角形∵∵DBE =∵ABE =30°∵DE =AE =1122AD =∵GE //BD ∵1BGDEAG AE ==∵BG =1122AB =∵GF //BD ,BG //DF∵HF =BG =12,故∵正确；如图3，将∵BCD 绕B 点逆时针旋转60°得到∵ABN∵∵1=∵2，∵5=∵6=60°，AN =CD ,BD =BN∵∵2+∵4=∵1+∵4=30°∵∵NBE=∵3=30°又∵BD=BN，BE=BE∵∵NBE∵∵DBE（SAS）∵NE=DE延长EA到P使AP=CD=AN∵∵NAP=180°-60°-60°=60°∵∵ANP为等边三角形∵∵P=60°，NP=AP=CD成立，则PE,需∵NEP=90°，但∵NEP不一定为90°，如果AE+CD=故∵不成立；如图1，当AE=CD时，∵GE//BC∵∵AGE=∵ABC=60°，∵GEA=∵C=60°∵∵AGE=∵AEG=60°，同理：CH=CD∵AG=CH∵BG//FH,GF//BH∵四边形BHFG是平行四边形∵BG=BH∵四边形BHFG为菱形，故∵正确．故选B．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．12．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在以AB为直径的O中，点C为圆上的一点，3⊥于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是=，弦CD ABBC AC∠的度数为（）AG的中点，则CBFA．18°B．21°C．22.5°D．30°【答案】C【分析】根据直径所对的圆周角是90︒，可知90ACB AFB ∠=∠=︒，根据3BC AC =，可知ABC ∠、BAC ∠的度数，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，AHC 为等腰三角形，再根据CAE BFG BCA ∽∽可求得CBF ∠的度数．【详解】解：∵AB 为O 的直径，∵90ACB AFB ∠=∠=︒，∵3BC AC =，∵=22.5ABC ∠︒，=67.5BAC ∠︒，∵点H 是AG 的中点，∵CE AH =，∵CAH ACH ∠=∠，∵CD AB ⊥，∵AEC GCA ∽，又∵,CAF CBF CGA FGB ∠=∠∠=∠，∵AEC GCA GFB ∽∽，∵90ACE ECB ABC ECB ∠+∠=∠+∠=︒，∵ABE ABC ∠=∠，∵AEC GCA GFB ACB ∽∽∽，∵22.5ABC ACE GAC GBF ∠=∠=∠=∠=︒，∵=22.5CBF ∠︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形，直角三角形斜边上中线等知识点，找出图形中几个相似三角形是解题关键．13．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，四边形ABCD中，已知AB△CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，△ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ△AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】依次分析当03t≤≤、36t<≤、610t<≤三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项．【详解】解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，∵DE =CF =4，∵点P ，Q 同时由A 点出发，分别沿边AB ，折线ADCB 向终点B 方向移动，在移动过程中始终保持PQ ∵AB ，∵PQ∥DE∥CF ，∵AD =5， ∵3==AE ,∵当03t ≤≤时，P 点在AE 之间，此时，AP =t ， ∵AP PQ AE DE=, ∵4=3PQ t ， ∵2142=2233APQ t S AP PQ t t ⋅=⨯=， 因此，当03t ≤≤时，其对应的图像为()22033y t t =≤≤，故排除C 和D ； ∵CD ＝3，∵EF =CD =3，∵当36t <≤时，P 点位于EF 上，此时，Q 点位于DC 上，其位置如图中的P 1Q 1，则111422APQ S t t =⨯⨯=， 因此当36t <≤时，对应图像为()236y t t =<≤，即为一条线段；∵∵ABC ＝45°，∵BF =CF =4，∵AB =3+3+4=10，∵当610t <≤时，P 点位于FB 上，其位置如图中的P 2Q 2，此时，P 2B =10-t ， 同理可得，Q 2P 2=P 2B =10-t ，()2221110522AP Q S t t t t =⨯-=-+，因此当610t <≤时，对应图像为()2156102y t t t =-+<≤，其为开口向下的抛物线的610t <≤的一段图像； 故选：B ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的推论、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积公式、二次函数的图像等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能分情况讨论等，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．14．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，AE 是以BC 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．32π+B ．2π-C ．1D ．52π- 【答案】D【分析】取BC的中点O，设AE与∵O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，∵OF A=∵OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．【详解】解：取BC的中点O，设AE与∵O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，∵BC=AB=2，∥ABC=∥BCD=90°，∵AE是以BC为直径的半圆的切线，∵OB=OC=OF=1，∵OF A=∵OFE=90°，∵AB=AF=2，CE=CF，∵OA=OA，∵Rt∵ABO∵Rt∵AFO（HL），同理可证∵OCE∵∵OFE，∵,∠=∠∠=∠，AOB AOF COE FOE∵90∠+∠=︒=∠+∠，AOB COE AOB BAO∵COE BAO ∠=∠，∵ABO OCE ∽， ∵OC CE AB OB=， ∵12CE =， ∵15222222ABO OCE ABCE S S S SS S ππ-=-=+-=+-=阴影半圆半圆四边形； 故选D ．【点睛】 本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．15．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，6AB =，M 是AD 边上的一点，:1:2AM MD =．将BMA △沿BM 对折至BMN △，连接DN ，则DN 的长是（ ）A ．52BC ．3D 【答案】D【分析】延长MN 与CD 交于点E ，连接BE ，过点N 作NF CD ⊥，根据折叠的正方形的性质得到NE CE =，在Rt MDE 中应用勾股定理求出DE 的长度，通过证明MDE NFE ∽，利用相似三角形的性质求出NF 和DF 的长度，利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，延长MN 与CD 交于点E ，连接BE ，过点N 作NF CD ⊥，∵6AB =，M 是AD 边上的一点，:1:2AM MD =，∵2AM =，4DM =，∵将BMA △沿BM 对折至BMN △，四边形ABCD 是正方形，∵90BNE C ∠=∠=︒，AB AN BC ==，∵Rt BNE Rt BCE ≌(HL)，∵NE CE =，∵2EM MN NE NE =+=+，在Rt MDE 中，设DE x =，则628ME x x =-+=-，根据勾股定理可得()22248x x +=-，解得3x =，∵3NE DE ==，5ME =，∵NF CD ⊥，90MDE ∠=︒，∵MDE NFE ∽， ∵25EF NFNE DE MD ME ===，∵125NF =，95EF =， ∵65DF =，∵DN =，故选：D ．【点睛】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等内容，做出合适的辅助线是解题的关键．16．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，△O 的直径AB =8，AM ，BN 是它的两条切线，DE 与△O 相切于点E ，并与AM ，BN 分别相交于D ，C 两点，BD ，OC 相交于点F ，若CD =10，则BF 的长是A B C D 【答案】A【分析】过点D 作DG ∵BC 于点G ，延长CO 交DA 的延长线于点H ，根据勾股定理求得6GC =，即可得AD=BG =2，BC = 8，再证明∵HAO ∵∵BCO ，根据全等三角形的性质可得AH=BC =8，即可求得HD= 10；在Rt∵ABD 中，根据勾股定理可得BD =∵DHF ∵∵BCF ，根据相似三角形的性质可得DH DF BC BF=，由此即可求得BF=9【详解】过点D作DG∵BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，∵AM，BN是它的两条切线，DE与∵O相切于点E，∵AD=DE，BC=CE，∵DAB=∵ABC=90°，∵DG∵BC，∵四边形ABGD为矩形，∵AD=BG，AB=DG=8，在Rt∵DGC中，CD=10，∵6GC===，∵AD=DE，BC=CE，CD=10，∵CD= DE+CE = AD+BC =10，∵AD+BG +GC=10，∵AD=BG=2，BC=CG+BG=8，∵∵DAB=∵ABC=90°，∵AD∵BC，∵∵AHO=∵BCO，∵HAO=∵CBO，∵OA=OB，∵∵HAO∵∵BCO，∵AH=BC=8，∵AD=2，∵HD=AH+AD=10；在Rt∵ABD中，AD=2，AB=8，∵BD==∵AD∵BC，∵∵DHF∵∵BCF，∵DH DF=，BC BF∵10=，8解得，BF=故选A．【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．17．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，已知//⊥，3AD BC，AB BCAB=，点E 为射线BC上一个动点，连接AE，将ABE△沿AE折叠，点B落在点B'处，过点B'作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B'为线段MN的三等分点时，BE 的长为（）A ．32BC ．32D 【答案】D【分析】因为点'B 为线段MN 的三等分点，没有指明线段'B M 的占比情况，所以需要分两种情况讨论：∵1'3B M MN =；∵ 2'3B M MN =．然后由一线三垂直模型可证 'AMB ∵'B NE ，再根据相似三角形的性质求得 EN 的值，最后由 BE BN EN =-即可求得 BE 的长．【详解】当点'B 为线段MN 的三等分点时，需要分两种情况讨论：∵如图1，当1'3B M MN =时，∵AD ∵BC ，AB BC ⊥， MN BC ⊥，∵四边形ABNM 为矩形， ∵11'133B M MN AB ===， 22'233B N MN AB ===， BN AM =．由折叠的性质可得'3A B AB ==，'90AB E ABC ∠=∠=︒．在'Rt AB M 中，AM ==．∵''90AB M MAB ∠+∠=︒， ''90AB M EB N ∠+∠=︒，∵''EB N MAB ∠=∠，∵'B NE ∵'AMB ，∵''ENB N B M AM =，即 1EN =，解得 EN =，∵BE BN EN =-==．∵如图2，当2'3B M MN =时，∵AD ∵BC ，AB BC ⊥， MN BC ⊥，∵四边形ABNM 为矩形， ∵22'233B M MN AB ===， 11'133B N MN AB ===， BN AM =．由折叠的性质可得'3AB AB ==，'90AB E ABC ∠=∠=︒．在'Rt AB M 中，AM ===∵''90AB M MAB ∠+∠=︒， ''90AB M EB N ∠+∠=︒，∵''EB N MAB ∠=∠，∵'B NE ∵'AMB ，∵''EN B N B M AM =，即 2EN =EN =，∵BE BN EN =-==．综上所述，BE 的长为2或 5． 故选：D ．【点睛】 本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由'B 为线段MN 的三等分点，分两种情况讨论线段'B M 的占比情况，以及利用K 型相似进行相关计算是解决此题的关键．18．（2021·四川资阳市·中考真题）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成，恰好拼成一个大正方形ABCD ．连结EG 并延长交BC 于点M ．若1AB EF ==，则GM 有长为（ ）A ．5B ．3CD ．5【答案】D【分析】添加辅助线，过F 点作FI ∵HM ，通过证明两组三角形相似，得到FI 和GM 的两个关系式，从而求解GM ．【详解】如图所示，过F 点作FI ∵HM ，交BC 于点I ，证明勾股定理的弦图的示意图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成∴=90AEB ∠︒，BF AE CG ==，CF BE =，1FG EF ==，EG =又1AB EF ==∴222AE BE AB +=，即 ()2221BF BF ++=解得2BF =或3BF =-（舍去）∴=2BF AE CG ==，=3CF BE =FI∵HM∴CGM CFI ∆，~BFI BEM ∆ ∴32FICFGM CG ==， 32EMBEFI BF == ∴32FI GM =，32EG GMGMFI FI +==∴322GM=解得：GM =经检验：GM =故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形和勾股定理．本题的关键在于添加辅助线，建立所求线段与已知条件之间的联系．19．（2021·河北中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB （）A．1cm B．2cmC．3cm D．4cm【答案】C【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，所以图1和图2中的两个三角形相似，∵468AB ， ∵=3AB （cm ），故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求．20．（2021·四川宜宾市·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别在矩形的边AB 、AD 上，将矩形纸片沿CE 、CF 折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C 、H 、G 恰好在同一直线上，若AB ＝6，AD ＝4，BE ＝2，则DF 的长是（ ）A ．2B ．74C ．2D ．3【答案】A【分析】 构造如图所示的正方形CMPD ，然后根据相似三角形的判定和性质解直角三角形FNP 即可．【详解】如图，延长CE ，FG 交于点N ，过点N 作//l AB ，延长,CB DA 交l 于,M P ， ∵∵CMN =∵DPN =90°，∵四边形CMPD 是矩形，根据折叠，∵MCN =∵GCN ，CD =CG ，DF FG =，∵∵CMN =∵CGN =90°，CN =CN ，∵Rt MNC Rt GNC ∆≅∆，∵6CM CG CD ===，MN NG =∴四边形CMPD 为正方形，//BE MN∵CBE CMN ， ∵4263BE CB MN CM ===， 2BE =，3MN ∴=，3NP ∴=，设DF x =,则4AF x =-， 在Rt PNF 中，由222FP NP NF +=可得222(42)3(3)x x -++=+解得2x =；故选A ．【点睛】 本题考查了折叠问题，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形，勾股定理等知识点的综合运用，难度较大．作出合适的辅助线是解题的关键．21．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在44⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E 为BD 与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（ ）A ．12CE BD ≠B ．ABC CBD ≌ C ．AC CD = D ．ABC CBD ∠=∠【答案】D【分析】 由题意易得CE ∵AB ，然后根据相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边中线定理及全等三角形的判定可排除选项．【详解】解：∵每个小正方形的边长都为1，∵4,2,5AB AC BC CD BD ====，∵22225BC CD BD +==，AC CD ≠，故C 错误；∵∵BCD 是直角三角形，∵90BCD BAC ∠=∠=︒，∵5AB AC BC CD ==， ∵C ABC BD ∽△△，故B 错误；∵ABC CBD ∠=∠，故D 正确；∵E 为BD 与正方形网格线的交点，∵CE ∵AB ，∵ABC BCE CBD ∠=∠=∠，∵90DBC BDC BCE ECD ∠+∠=∠+∠=︒，∵BDC ECD ∠=∠， ∵12BE CE ED BD ===，故A 错误；故选D ．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、相似三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、相似三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．22．（2021·山东威海市·中考真题）如图，在ABC 和ADE 中，36CAB DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =．连接CD ，连接BE 并延长交AC ，AD 于点F ，G ．若BE 恰好平分ABC ∠，则下列结论错误的是（ ）A ．ADC AEB ∠=∠B ．//CD ABC ．DE GE =D ．2BF CF AC =⋅【答案】C【分析】 根据SAS 即可证明DAC EAB △≌△，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，结合相似三角形的判定和性质，即可一一判断【详解】,,36AB AC AD AE CAB DAE ==∠=∠=︒DAC EAB ∴∠=∠∴DAC EAB △≌△ADC AEB ∴∠=∠，故选项A 正确；,36AB AC CAB =∠=︒72ABC ACB ∴∠=∠=︒ BE 平分ABC ∠1362ABE CBF ABC ∴∠=∠=∠=︒DAC EAB △≌△36ACD ABE ∴∠=∠=︒ACD CAB ∴∠=∠//CD AB ∴，故选项B 正确；,36AD AE DAE =∠=︒72ADE ∴∠=︒72DGE DAE EAB ABE EAB ∠=∠+∠+∠=︒+∠即ADE DGE ∠≠∠DE GE ∴≠，故选项C 错误；72,36ABC ACB CAB CBF ∠=∠=︒∠=∠=︒∴∠=︒CFB72∴=BC BF∴△∽△ABC BFCBF CF∴=AB BCAB AC=BF CF∴=AC BF2=⋅，故选项D正确；BF CF AC故答案选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，能利用全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质是解题关键．二、填空题23．（2021·江苏无锡市·中考真题）下列命题中，正确命题的个数为________．△所有的正方形都相似△所有的菱形都相似△边长相等的两个菱形都相似△对角线相等的两个矩形都相似【答案】∵【分析】根据多边形的判定方法对∵进行判断；利用菱形的定义对∵进行判断；根据菱形的性质对∵进行判断；根据矩形的性质和相似的定义可对∵进行判断．【详解】解：所有的正方形都相似，所以∵正确；所有的菱形不一定相似，所以∵错误；边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以∵错误；对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以∵错误； 故答案是：∵．【点睛】本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题的关键．24．（2021·内蒙古中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点B 作BD CB ⊥，垂足为B ，且3BD =，连接CD ，与AB 相交于点M ，过点M 作MN CB ⊥，垂足为N ．若2AC =，则MN 的长为__________．【答案】65【分析】根据MN ∵BC ,AC ∵BC ,DB ∵BC ，得,BNM BCA CNM ABD ,可得,MN BN MN CN AC BC BD BC ,因为1BN CN BC BC ,列出关于MN 的方程，即可求出MN 的长．【详解】∵MN ∵BC ，DB ∵BC , 90ACB ∠=︒∵AC ∵MN ∵DB ，∵,BNM BCA CNM ABD ， ∵,MN BN MN CN AC BC BD BC 即,23MN BN MN CN BC BC , 又∵1BN CN BCBC ， ∵123MN MN ， 解得65MN =, 故填：65． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系．25．（2021·山东东营市·中考真题）如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，点F 是AD 上一点，将CDF 沿CF 折叠，点D 落在点G 处，连接DG 并延长交AB 于点E ．若5AE =，则GE 的长为________．【答案】4913【分析】因为折叠，则有DG CF ⊥，从而可知AED HDC △∽△，利用线段比求出DG 的长，即可求出EG ．【详解】如图, 四边形ABCD 是正方形12=90∴∠+∠︒因为折叠，DG CF ∴⊥，设垂足为HDH HG ∴=2390∴∠+∠=︒13∠∠∴=AED HDC ∴△∽△AE DHED DC =5AE =，12AD DC ==51312DH∴=6013DH ∴=EG ED GD ∴=-2ED GH =-6013213=-⨯4913=故答案为4913． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，找到AED HDC △∽△是解题的关键．26．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在ABC 中，D 为BC 上一点，3BC BD ==，则:AD AC 的值为________．【分析】证明∵ABD ∵∵CBA ，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】 ∵3BC BD ==，∵ABBC ==BDAB =，∵3ABBDBC AB ==，∵∵B =∵B ，∵∵ABD ∵∵CBA ，∵3ADBDAC AB ==．故答案为：3． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定及性质，证明∵ABD ∵∵CBA 是解决问题的关键． 27．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，O 为AB 的中点，OD 平分AOC ∠交AC 于点G ，OD OA =，BD 分别与AC ，OC 交于点E ，F ，连接AD ，CD ，则OG BC 的值为______；若CE CF =，则CF OF的值为______．【答案】12【分析】（1）根据条件，证明AOD COD ≅△△，从而推断90OGA ∠=，进一步通过角度等量，证明AOG ABC △△，代入推断即可.（2）通过OA OD OC OB ===，可知,,,A B C D 四点共圆，通过角度转化，证明ODF CBF △△，代入推断即可. 【详解】解：（1）∵90ACB ∠=︒，O 为AB 的中点∵OA OC =又∵OD 平分AOC ∠∵AOD COD ∠=∠又∵OD OD =∵AOD COD ≅△△∵AD CD =∵OD AC ⊥∵90OGA ∠=在AOG 与ABC 中GAO BAC ∠=∠,90OGA BCA ∠=∠=∵AOG ABC △△12OGAOBC AB ==（2∵OA OD OC OB ===∵,,,A B C D 四点共圆，如下图：∵CE CF =∵CEF CFE ∠=∠又∵CFE BFO ∠=∠∵CEF BFO ∠=∠∵AOD COD ≅△△∵AD CD =∵AD CD =∵OBF CBE ∠=∠∵90BFO OBF CEF CBE ∠+∠=∠+∠=即90BOC ∠=∵OB OC = ∵BC ===∵90OGA BCA ∠=∠= ∵ODB FBC ∠=∠∵OFD CFB ∠=∠∵ODF CBF △△∵CF BC OF OD==故答案为：12【点睛】本题考查三角形的相似，三角形的全等以及圆的相关知识点，根据图形找见相关的等量关系是解题的关键．28．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，点P 在线段OD 上，连接AP 并延长交CD 于点E ，过点P 作PF AP ⊥交BC 于点F ，连接AF 、EF ，AF 交BD 于G ，现有以下结论：△AP PF =；△DE BF EF +=；△PB PD -=；△AEF S 为定值；△APG PEFG S S =四边形．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．【答案】∵∵∵∵【分析】由题意易得∵APF =∵ABC =∵ADE =∵C =90°，AD =AB ，∵ABD =45°，对于∵：易知点A 、B 、F 、P 四点共圆，然后可得∵AFP =∵ABD =45°，则问题可判定；对于∵：把∵AED 绕点A 顺时针旋转90°得到∵ABH ，则有DE =BH ，∵DAE =∵BAH ，然后易得∵AEF ∵∵AHF ，则有HF =EF ，则可判定；对于∵：连接AC ，在BP 上截取BM =DP ，连接AM ，易得OB =OD ，OP =OM ，然后易证∵AOP ∵∵ABF ，进而问题可求解；对于∵：过点A 作AN ∵EF 于点N ，则由题意可得AN =AB ，若∵AEF 的面积为定值，则EF 为定值，进而问题可求解；对于∵由∵可得2AP AF =得∵APG ∵∵AFE ，然后可得相似比为AP AF =相似比的关系可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，PF AP ⊥，∵∵APF =∵ABC =∵ADE =∵C =90°，AD =AB ，∵ABD =45°，∵∵180ABC APF ∠+∠=︒，∵由四边形内角和可得180BAP BFP ∠+∠=︒，∵点A、B、F、P四点共圆，∵∵AFP=∵ABD=45°，∵∵APF是等腰直角三角形，∵AP PF=，故∵正确；∵把∵AED绕点A顺时针旋转90°得到∵ABH，如图所示：∵DE=BH，∵DAE=∵BAH，∵HAE=90°，AH=AE，∵45∠=∠=︒，HAF EAF∵AF=AF，∵∵AEF∵∵AHF（SAS），∵HF=EF，∵HF BH BF=+，∵DE BF EF+=，故∵正确；∵连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，如图所示：∵点O 是对角线BD 的中点，∵OB =OD ，BD AC ⊥，∵OP =OM ，∵AOB 是等腰直角三角形， ∵AB =，由∵可得点A 、B 、F 、P 四点共圆，∵APO AFB ∠=∠，∵90ABF AOP ∠=∠=︒，∵∵AOP ∵∵ABF ，∵2OPOAAPBF AB AF ===，∵OP =，∵2BP DP BP BM PM OP -=-==， ∵PB PD -=，故∵正确；∵过点A 作AN ∵EF 于点N ，如图所示：由∵可得∵AFB =∵AFN ，∵∵ABF =∵ANF =90°，AF =AF ，∵∵ABF ∵∵ANF （AAS ），∵AN =AB ，若∵AEF 的面积为定值，则EF 为定值，∵点P 在线段OD 上，∵EF 的长不可能为定值，故∵错误；∵由∵可得2APAF =∵∵AFB =∵AFN =∵APG ，∵F AE =∵P AG ，∵∵APG ∵∵AFE ，∵2GP AP EF AF ==，∵2122AGP AEF S S ⎛== ⎝⎭，∵12AGP AEF S S =，∵APGPEFG S S =四边形，故∵正确；综上所述：以上结论正确的有∵∵∵∵；故答案为∵∵∵∵．【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．29．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，将ABCD 绕点A 逆时针旋转到AB C D '''的位置，使点B '落在BC 上，B C ''与CD 交于点E ，若3,4,1AB BC BB '===，则CE 的长为________．【答案】98【分析】 过点C 作CM //C D ''交B C ''于点M ，证明ABB ADD ''∆∆∽求得53C D '=，根据AAS 证明ABB B CM ''∆≅∆可求出CM =1，再由CM //C D ''证明∵CME DC E '∆∽，由相似三角形的性质查得结论．【详解】解：过点C 作CM //C D ''交B C ''于点M ，。
2022中考数学考点专题训练——专题十：图形的相似(含答案)
备战2022最新中考数学考点专题训练——专题十：图形的相似1．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．2．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．3．如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE＝．4．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．5．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝．6．如图，C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，则△MCD与△BND的面积比为．7．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．8．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD＝1：3，则BE：EC＝．9．将一个面积为1的等边三角形挖去连接三边中点所组成的三角形（如第①图）后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如第②图、第③图）…如此进行挖下去，第④个图中，剩余图形的面积为，那么第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为（用含n的代数式表示）．10．如图，已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝5，点E在AB上，且AE：EB＝2：3，过点E作EF∥BC交CD于F，则EF 的长是．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，线段DC 绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果＝m，＝n．那么m与n满足的关系式是：m＝（用含n的代数式表示m）．12．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC 与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为．13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜15），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为．14．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝．15．如图所示，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似．16．如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若＝，则＝．17．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝．18．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝AC＝，CD＝1，对角线的交点为M，则DM＝．19．已知△ABC为钝角三角形，其最大边AC上有一点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线l，使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作的条数是．20．已知AM是△ABC中BC边上的中线，P是△ABC的重心，过P 作EF（EF∥BC），分别交AB、AC于E、F，则＝．21．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是BC边中点，AP交BD于点Q．则的值为．22．如图，在凸四边形ABCD中，AB∥CD，点E和F在边AB上，且CE∥AD，DF∥BC，DF与CE相交于点G，若△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，则四边形ABCD的面积等于．23．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为米．24．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是．25．如图，正方形ABCD中，点N为AB的中点，连接DN并延长交CB的延长线于点P，连接AC交DN于点M．若PN＝3，则DM 的长为．26．已知直角坐标系中，点A（0，3），B（﹣6，0）．连结AB，作直线y＝1，交AB于点P1，过P1作P1Q1⊥x轴于Q1；连结AQ1，交直线y＝1于点P2，P2Q2⊥x轴于Q2；…以此类推．则点Q3的坐标为；△PnQnA的面积为＝（用含n的代数式表示）．27．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，与BC边的交点为D，且DC＝BC，DE∥AC，与AB边的交点为E，若DE＝4，则BE的长为．28．如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE 与AC于点F，则的值是．29．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若＝，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有．30．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．31．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为．32．如图G为△ABC的重心，GE∥AC，若S△ABC＝72，则S△GDE ＝．33．李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A，B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM与x轴交于点N（n，0），如图3．当m＝时，n＝．34．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB＝．35．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是．备战2022最新中考数学考点专题训练——专题十：图形的相似参考答案1．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．【答案】解：∵∠AEC＝∠BED，∴当＝时，△BDE∽△ACE，即＝，∴CE＝．故答案为．2．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．【答案】解：∵AG＝2，GD＝1，∴AD＝3，∵AB∥CD∥EF，∴＝，故答案为：．3．如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE＝．【答案】解：∵D为AB的中点，∴BD＝AB＝，∵∠DBE＝∠ABC，∴当∠DBE＝∠ACB时，△BDE∽△BAC时，如图1，则＝，即＝，解得DE＝2；当∠BDE＝∠ACB时，如图2，DE交AC于F，∵∠DAF＝∠CAB，∴△ADF∽△ACB，∴△BDE∽△BCA，∴＝，即＝，解得DE＝，综上所述，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE ＝2或．故答案为2或．4．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．【答案】解：∵△BOC∽△AOB，∴＝，∴＝，∴OC＝1，∵点C在x轴上，∴点C的坐标为（1，0）或（﹣1，0）；故答案为：（1，0）或（﹣1，0）．5．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝．【答案】解：如图1，当MN∥BC时，则△AMN∽△ABC，故＝＝，则＝，解得：MN＝4，如图2所示：当∠ANM＝∠B时，又∵∠A＝∠A，∴△ANM∽△ABC，∴＝，即＝，解得：MN＝6，故答案为：4或6．6．如图，C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，则△MCD与△BND的面积比为．【答案】解：∵△ACM、△CBN都是等边三角形，∴△ACM∽△CBN，∴CM：BN＝AC：BC＝3：2；∵△ACM、△CBN都是等边三角形，∴∠MCA＝∠NDB＝∠BND＝60°，∴∠MCN＝60°＝∠BND，∴∠CMD＝∠NBD（三角形内角和定理）∴△MCD∽△BND∴△MCD与△BND的面积比为（）2＝（）2＝．7．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．【答案】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知＝，即＝，解得AM＝5m．则小明的影长为5米．8．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD＝1：3，则BE：EC＝．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BEF∽DAF，∴BE：AD＝BF：FD＝1：3，∴BE：BC＝1：3，∴BE：EC＝1：2．故答案为：1：2．9．将一个面积为1的等边三角形挖去连接三边中点所组成的三角形（如第①图）后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如第②图、第③图）…如此进行挖下去，第④个图中，剩余图形的面积为，那么第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为（用含n的代数式表示）．【答案】解：观察这几个图，可以看出来，分别在每个图形中，以每个小白三角形为一个基本图形，那么在这个图形中，就会有很多以一个白色三角形为基础的图形．则可以观察出规律，在第N个图形中，会有4n个基本形；也可以看出有3n白色三角形．那么剩余部分的面积就应该是：×大三角形的面积，即×大三角形的面积，那么第④个图中，剩余图形的面积为或，∵三角形的面积是1第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为：1﹣．故答案为：或；1﹣．10．如图，已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝5，点E在AB上，且AE：EB＝2：3，过点E作EF∥BC交CD于F，则EF 的长是．【答案】解：过点A作AN∥CD，分别交EF，BC于点M，N，∵AD∥BC，EF∥BC，∴AD∥EF∥BC，∴四边形AMFD与四边形ANCD是平行四边形，∴CN＝MF＝AD＝3，∴BN＝BC﹣CN＝5﹣3＝2，∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABN，∴EN：BM＝AE：AB，∵AE：EB＝2：3，∴AE：AB＝2：5，∴EM＝BN＝0.8，∴EF＝EM+FM＝0.8+3＝3.8．故答案为：3.8．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，线段DC 绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果＝m，＝n．那么m与n满足的关系式是：m＝（用含n的代数式表示m）．【答案】解：作DH⊥AC于H，如图，∵线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处，∴DE＝DC，∴EH＝CH，∵＝n，即AE＝nEC，∴AE＝2nEH＝2nCH，∵∠C＝90°，∴DH∥BC，∴＝，即m＝＝＝2n+1．故答案为：2n+1．12．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC 与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为．【答案】解：∵直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，令x＝0可得y＝1；令y＝0可得x＝﹣2，∴点A和点B的坐标分别为（﹣2，0）；（0，1），∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，∴＝＝，∴O′B′＝3，AO′＝6，∴B′的坐标为（﹣8，﹣3）或（4，3）．故答案为：（﹣8，﹣3）或（4，3）．13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜15），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为．【答案】解：当DE⊥AB于点E，设t秒时，E点没有到达B点前，∠BED＝90°，∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠BED＝90°，∴△BED∽△BCA，∴＝，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，∴AB＝10cm，BD＝3cm，∴＝，解得：t＝8.2，设t秒时，当E点到达B点后，∠BED＝90°，∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠BED＝90°，∴△BED∽△BCA，∴＝，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，∴AB＝10cm，BD＝3cm，∴＝，解得：t＝11.8，当DE⊥CB于DE，设t秒时，∠BDE＝90°，∵DE∥AC，∴△BED∽△BAC，∴＝＝，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，∴AB＝10cm，BD＝3cm，∴＝解得：t＝5，综上所述：t的值为5s或8.2s或11.8s．故答案为：5s或8.2s或11.8s．14．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝．【答案】解：如图1，当MN∥BC时，则△AMN∽△ABC，故＝＝，则＝，解得：MN＝4，如图2所示：当∠ANM＝∠B时，又∵∠A＝∠A，∴△ANM∽△ABC，∴＝，即＝，解得：MN＝6，故答案为：4或6．15．如图所示，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似．【答案】解：已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件∠B ＝∠AED（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似，故答案为：∠B＝∠AED．16．如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若＝，则＝．【答案】解：∵＝，∴＝，∵直线a∥b∥c，∴＝＝，故答案是：．17．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝．【答案】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝AB＝×4＝2﹣2．故答案为2﹣2．18．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝AC＝，CD＝1，对角线的交点为M，则DM＝．【答案】解：在△ABC中，∵∠BAC＝90°，且AB＝AC＝，∴BC＝＝＝，在△BCD中，∵∠BDC＝90°，CD＝1，∴BD＝＝＝3，又∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AMB＝∠DMC，∴△AMB∽△DMC，∴＝＝，即＝＝，解得：DM＝，故答案为：．19．已知△ABC为钝角三角形，其最大边AC上有一点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线l，使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作的条数是．【答案】解：如图1：过点P作PE∥AB的平行线，或者作PD∥BC的平行线，都可使截得的三角形与原三角形相似；过点P可作直线交边AC于点F，使得∠PFC＝∠A，可得△CFP∽△CAB，∴有3条；如图2：只有2条．∴这样的直线l可作的条数是3条或2条．故答案为：3或2．20．已知AM是△ABC中BC边上的中线，P是△ABC的重心，过P 作EF（EF∥BC），分别交AB、AC于E、F，则＝．【答案】解：如图分别过B、C两点作BG、CK平行于AM交直线EF于G、K，则有＝，＝，两式相加，又平行四边形BCKG中，PM＝（BG+CK），而由P为重心得AP ＝2PM，故．故答案为：1．21．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是BC 边中点，AP交BD于点Q．则的值为．【答案】解：连接OP，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∵PC＝PB，∴OP∥AB，OP＝AB，∴＝＝，∴＝，故答案为．22．如图，在凸四边形ABCD中，AB∥CD，点E和F在边AB上，且CE∥AD，DF∥BC，DF与CE相交于点G，若△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，则四边形ABCD的面积等于．【答案】解：∵AB∥CD，∴△EFG∽△CDG，∴S△EFG：S△CDG＝（）2＝（）2，又∵△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，∴（）2＝（）2＝，∴＝＝，∴＝＝﹣1，∵DF∥BC，∴△EFG∽△EBC，∴S△EFG：S△EBC＝（）2＝3﹣2，∴S△EBC＝3+2，∴S四边形GFBC＝3+2﹣1＝2+2，同理S四边形GDAE＝2+2，∴S四边形ABCD＝1+2+2+2+2+2＝7+4．故答案为：7+4．23．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为米．【答案】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴，∴＝，∴AC＝7（米），故答案为：7．24．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是．【答案】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．25．如图，正方形ABCD中，点N为AB的中点，连接DN并延长交CB的延长线于点P，连接AC交DN于点M．若PN＝3，则DM 的长为．【答案】解：∵四边形ABCD为正方形，N为中点，∴AD＝PB，AN＝BN，∠DAN＝∠PBN＝90°，在△PBN和△DNA中∴△PBN≌△DNA（SAS），∴DN＝PN＝3，即DM+MN＝3，∵AB∥CD，∴△AMN∽△CMD，∴＝＝，∴DM＝2，故答案为：2．26．已知直角坐标系中，点A（0，3），B（﹣6，0）．连结AB，作直线y＝1，交AB于点P1，过P1作P1Q1⊥x轴于Q1；连结AQ1，交直线y＝1于点P2，P2Q2⊥x轴于Q2；…以此类推．则点Q3的坐标为；△PnQnA的面积为＝（用含n的代数式表示）．【答案】解：①∵点A（0，3），B（﹣6，0），作直线y＝1，交AB 于点P1，∴OA＝3，OB＝6，P1Q1＝P2Q2＝P3Q3＝1，∵P1Q1⊥x轴于Q1，P2Q2⊥x轴于Q2，…，∴P1Q1∥P2Q2∥P3Q3∥…∥PnQn∥y轴，∴△BP1Q1∽△ABO，△P2Q1Q2∽△AQ1O，△P3Q2Q3∽△AQ2O，…，∴，，，…，∴BQ1＝2，Q1Q2＝，Q2Q3＝，…，∴Q1（﹣4，0），Q2（﹣，0），Q3（﹣，0），…，P1（﹣4，1），P2（﹣，1），P3（﹣，0），…，即Q1（﹣，0），Q2（﹣，0），Q3（﹣，0），…，P1（﹣，1），P2（﹣，1），P3（﹣，0），…，∴Qn﹣1（﹣，0），Qn（﹣，0），Pn﹣1（﹣，1）Pn （﹣，1），故点Q3的坐标为：Q3（﹣，0），故答案为：Q3（﹣，0）；②∵△AP1Q1的面积＝△ABQ1的面积﹣△BP1Q1的面积＝•BQ1•OA﹣•BQ1•P1Q1＝BQ1，△AP2Q2的面积＝△AQ1Q2的面积﹣△Q1P Q2的面积＝•Q1Q2•OA﹣•Q1Q2•P2Q2＝Q1Q2，…，∴△PnQnA的面积＝Qn﹣1Qn＝﹣﹣（﹣）＝．故答案为：．27．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，与BC边的交点为D，且DC＝BC，DE∥AC，与AB边的交点为E，若DE＝4，则BE的长为．【答案】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠EDA，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED＝4，∵DE∥AC，∴＝，而DC＝BC，∴BE＝2AE＝8．故答案为8．28．如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE 与AC于点F，则的值是．【答案】解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∵DE＝DC，∴AB＝CD＝DE＝CE，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴＝＝．故答案为：．29．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若＝，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有．【答案】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴EF＝AD＝CD，∠ACD＝45°，∠GFC＝90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF＝FC，∵EG＝EF﹣GF，DF＝CD﹣FC，∴EG＝DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），∴∠HEF＝∠HDC，∴∠AEH+∠ADH＝∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC＝∠AEF+∠ADF＝180°，故②正确；③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；④∵＝，∴AE＝2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH＝GH，∠FHG＝90°，∵∠EGH＝∠FHG+∠HFG＝90°+∠HFG＝∠HFD，在△EGH和△DFH中，，∴△EGH≌△DFH（SAS），∴∠EHG＝∠DHF，EH＝DH，∠DHE＝∠EHG+∠DHG＝∠DHF+∠DHG＝∠FHG＝90°，∴△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：设HM＝x，则DM＝5x，DH＝x，CD＝6x，则S△DHC＝×HM×CD＝3x2，S△EDH＝×DH2＝13x2，∴3S△EDH＝13S△DHC，故④正确；故答案为：①②③④．30．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．【答案】解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，＝，解得x＝24，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为：24．31．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为．【答案】解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．故答案为（﹣5，﹣1）．32．如图G为△ABC的重心，GE∥AC，若S△ABC＝72，则S△GDE ＝．【答案】解：∵G为△ABC的重心，∴AD为△ABC的中线，DG：AG＝1：2，∴S△ADC＝S△ABC＝×72＝36，∵GE∥AC，∴△DEG∽△DCA，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△DEG＝×36＝4．故答案为4．33．李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A，B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM与x轴交于点N（n，0），如图3．当m＝时，n＝．【答案】解：∵AB＝3，△PDE是等边三角形，∴PD＝PE＝DE＝1，以DE的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，∵△PDE关于y轴对称，∴PF⊥DE，DF＝EF，DE∥x轴，∴PF＝，∴△PFM∽△PON，∴＝，∵m＝，∴FM＝﹣，∴＝，解得：ON＝4﹣2，即n＝4﹣2．故答案为：4﹣2．34．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB＝．【答案】解：由位似变换的性质可知，△A′B′C′∽△ABC．∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∵A′B′∥AB＝＝，故答案为2：3；35．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是．【答案】解：如图，连接CE，∵△ABC∽△ADE，∴∠ACD＝∠AEG，又∵∠AGE＝∠DGC，∴△AGE∽△DGC，∴＝，又∵∠AGD＝∠EGC，∴△AGD∽△EGC，∴∠ADG＝∠ECG，又∵Rt△ADE中，∠ADG+∠AEG＝90°，∴∠ECG+∠ACD＝90°，即∠DCE＝90°，∵F是DE的中点，∴CF＝DE，∵△ABC∽△ADE，∴当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，当AD⊥BC时，AD＝＝4.8，∵＝，即＝，∴DE＝8，∴CF＝×8＝4．故答案为：4．。
初三数学第四章图形的相似章节练习题及答案
初三数学第四章图形的相似章节练习题及答案刚刚学习过图形的相似这一章节的学生们，大家都掌握了吗下面为大家带来一份初三数学上第四章图形的相似的章节练习题，文末附有答案，有需要的同学可以看一看，更多内容欢迎关注!知识点 1 平行线分线段成比例定理1. 如图，已知直线11 II 12 II 13 , AB=4 BC=6 DE=3 则EF为（）A.2B.4.5C.6D.82. 如图，已知11 II 12 II 13，如果DE： EF=3： 4, BC=8 那么AB 的长是（）A.323B.6C.3D.1633. （乐山中考）如图，1 1 I 12I 13，两条直线与这三条平行线分别交于点A B、C和D E、F.已知ABBC=32则DEDF勺值为（）A.32B.23C.25D.354. 如图，已知11 II 12 II 13 , AB=3 DE=2 EF=4,求AC的长.知识点 2 平行线分线段成比例定理勺推论5. （成都中考）如图，在厶ABC中, DE// BC AD=6 DB=3 AE=4 则EC的长为（）A.1B.2C.3D.46. 如图，在厶ABC中 , D, E分别在AB, AC上,且DE// BC,贝卩下列不成立的比例式是（）A.ADDB=AECEB.ADDB=DEBCC.ADAB=AEACD.ABDB=ACCE7. 已知线段a、b、c,求作线段x使ax二be，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是（）8. 如图，已知EG/ BC GF// DC, AE=3 EB=2 AF=6 求AD的值.中档题9. （嘉兴中考）如图，直线11 // 12 // 13 ,直线AC分别交11 ,12 ,13 于点A, B，C;直线DF分别交11，12，13 于点D，E，F，AC与DF相交于点H,且AH=2 HB=1 BC=5则DEEF的值为（）A.12B.2C.25D.3510. （包头中考）如图，在厶ABC中，点D, E，F分别在边AB AC BC上,且DE// BC EF// AB.若AD=2BD 贝卩CFBF的值为（）A.12B.13C.14D.2311. （扬州中考）如图练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上，若线段AB=4cm 则线段BC= _______ cm.12. 如图已知AD/ BE/ CF 它们依次交直线11 、12 于点A、B、C和点D E、F,如果AB=6 BC=8 DF=21,求DE的长.13. 如图，F是口ABCD勺边CD上一点，连接BF并延长交AD的延长线于点 E. 求证：DEAE=DFDC.14. 如图，在厶ABC中 , DF// AC DE// BC.求证：AE?CB=AC?CF.综合题15. 如图，在矩形ABCD K E是边CB延长线上的点，且EB=ABDE与AB相交于点F, AD=2 CD=1求AE及DF的长.参考答案1.B2.B3.D4. v 11 // 12 // 13，二ABBC=DEEF卩3BC=24「. BC=6.••• AC=AB+BC=3+6=9. 5.B 6.B 7.A 8. v EG/ BCAEEB=AGG又v GF // DC 二AGGC=AFF D.AEEB=AFFD卩32=6FD.「. FD=4.「.AD=AF+FD=10.9.D 10.A 11.12 12. 设DE为x，贝S EF=21-x. v AD// BE// CF, • ABBC 二DEE即68=x21-x.解得x=9.经检验，x=9是原分式方程的解，•DE=9. 13.证明：v 四边形ABCD是平行四边形，• CD// AB AD// BC. •DEAE=EFE同理可得EFEB=DFDC. DEAE=DFDC. 14证明：v DE// BC • ADAB二AEAC.DF// AC • ADAB=CFCB. AEAC=CFCB.AE?CB二AC?CF.5. v 四边形ABCD^矩形，且AD=2CD=1 • BC=AD=2 AB=CD=1 / ABC M C=90°，AB// DC；. EB=AB=1 在Rt△ ABE中, AE 二AB2+BE2二在Rt△ DCE中, DE二DC2+CE2=12+32=T0.AB// DC • EFDF二EBBC=1 设EF二x,贝S DF=2x.v EF+DF=DE • x+2x=10. • x=103.•DF=2x=2310.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 4 讲 图形的相似
2019-2020 年中考数学图形的相似复习题及答案
1．(2011 年浙江台州 )若两个相似三角形的面积之比为 1∶ 4，则它们的周长之比为 (
)
A ． 1∶ 2
B ．1∶ 4
C ． 1∶ 5
D ． 1∶ 16 2．下列各组线段 (单位： cm)中，是成比例线段的是 ( )
A ． 1,2,3,4
B ．1,2,2,4
C ． 3,5,9,13
D ． 1,2,2,3
3．(2012 年陕西 )如图 6－ 4－ 17，在△ ABC 中， AD ， BE 是两条中线，则 △
EDC ∶ S △ ＝
S ABC
(
)
图 6－4－ 17 图 6－4－ 18 图 6－ 4－ 19
图 6－ 4－ 20
A ． 1∶ 2
B ．2∶ 3
C ． 1∶ 3
D ． 1∶ 4
4．(2011 年江苏无锡 )如图 6－ 4－ 18，四边形 ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O ，且将
这个四边形分成①、②、③和④四个三角形．若 OA ∶ OC ＝OB ∶ OD ，则下列结论中一定正确 的是 ( )
A ．①和②相似
B ．①和③相似
C ．①和④相似
D ．②和④相似
5．(2011 年湖南怀化 )如图 6－ 4－ 19，在△ ABC 中， DE ∥ BC ，AD ＝ 5，BD ＝ 10， AE ＝ 3， 则 CE 的值为 ( ) A ． 9 B ． 6 C ． 3 D ． 4
6．如图 6－ 4－20，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形， O 为位似中心，相似比 为 1∶ 2，点 A 的坐标为 (1,0) ，则 E 点的坐标为 ()
A ． ( 2， 0) 3， 3
C ． ( 2， 2)
D ． (2,2)
B. 2 2
7．若△ ABC ∽△ A ′ B ′C ′， BC ＝ 3， B ′C ′＝ 1.8，则△ A ′ B ′ C ′与△ ABC 的相似比 为 ( )
A ． 5∶ 3
B ． 3∶ 2
C ． 2∶ 3
D ． 3∶5
8．(2012 年黑龙江牡丹江 )如图 6－ 4－ 21，在平行四边形 ABCD 中，过点 B 的直线与对角 线 AC ，边 AD 分别交于点 E 和 F ，过点 E 作 EG ∥BC ，交 AB 于点 G ，则图中相似三角形有 (
)
图 6－ 4－ 21
A ． 4 对
B ．5 对
C ． 6 对
D ．7 对
9．如图 6－ 4－ 22，已知在△ ABC 中，P 是 AB 上的一点， 连接 CP ，要使△ ACP ∽△ ABC ，只需添加条件 ____________(只要写出一种合适的条件 )．
图 6－ 4－ 22
10．如果两个相似三角形的相似比是
3∶5，周长的差为 4 cm ，那么较大三角形的周长为
______cm.
11．(2010 年广东佛山 )一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄
金分割，则这个人好看．如图 6－ 4－ 23，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿
多高的鞋子才能好看 (精确到 1 cm)?
参考数据：黄金分割比为5－ 1，5＝ 2.236
2
图6－ 4－ 23
12．已知：如图6－ 4－ 24，D，E 分别在△ ABC 的边 BC ，AC 上， AD，BE 交于点 G，AD ⊥BC，点 F 在 AD 上，且△ EFG∽△ BDG .
求证：△ AEF ∽△ ACD .
图6－ 4－ 24
13．(2012 年湖南株洲 )如图 6－ 4－ 25，在矩形 ABCD 中， AB＝6，BC＝ 8，沿直线 MN 对折，使 A， C 重合，直线 MN 交 AC 于点 O.
(1)求证：△ COM ∽△ CBA；
(2)求线段 OM 的长度．
图6－ 4－ 25
别是
二级训练
14．如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分
3 和
4 及 x，那么 x 的值 ()
A ．只有 1 个B．可以有 2 个C．有 2 个以上但有限D．有无数个
15．如图 6－ 4－ 26， A，B 两点分别位于一个池塘的两端，由于受条件限制无法直接度量
A，B 间的距离．小明利用学过的知识，设计了如下三种测量方法，如图
所示 (图中 a， b， c 表示长度，α，β，θ表示角度 )．
(1)请你写出小明设计的三种测量方法中AB 的长度：
6－ 4－ 26(1) 、(2)、(3)
图6－ 4－ 26(1)AB＝ ________，图 6－ 4－ 26(2)AB＝ ________，
图6－ 4－ 26(3)AB＝ ________；ww w.
(2)请你再设计一种不同于以上三种的测量方法，画出示意图 (不要求写画法 )，用字母标注需测
量的边或角，并写出 AB 的长度．
图6－ 4－ 26
16．如图 6－2－ 27，点 C，D 在线段 AB 上，△ PCD 是正三角形．
(1)当 AC， CD ，DB 满足怎样的关系时，△ACP ∽△ PDB ；
(2)当△ ACP∽△ PDB 时，求∠ APB 的度数．
图6－ 2－ 27
17．如图 6－ 4－ 28，江边同一侧有A，B 两间工厂，它们都垂直于江边的小路，长度分别
为 3 千米、 2 千米，且两条小路之间的距离为 5 千米，现要在江边建一个供水站向 A，B 两厂送水，欲使供水管最短，则供水站应建在距点 E 处多远的位置？
图6－ 4－ 28
三级训练
18． (2011 年湖南怀化 )如图 6－ 4－ 29，△ ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 上的高，BC＝40 cm，AD＝ 30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形是边 BC EFGH ，
使它的一边EF 在 BC 上，顶点G， H 分别在 AC， AB 上， AD 与 HG 的交点为点M.
AM HG
(1)求证：AD＝BC；
(2)求这个矩形EFGH 的周长．
图 6－ 4－ 29
第4 讲图形的相似
【分层训练】
1．A 2.B 3.D 4.B 5.B 6.C 7.D 8.C 9．∠ APC＝∠ ACB 10.10
11．解：设其应穿 xcm 高的鞋子，
根据题意，得65 ＝5－1 .
95＋ x 2
解得 x≈ 10cm.
12．证明：∵△ EFG ∽△ BDG ，
∴∠ EFG ＝∠ GDB .
又∵∠ ADC ＝ 90°，
∴∠ EFG ＝ 90°.
在△ AEF 和△ ACD 中，∠ AFE ＝∠ ADC ，
∠A＝∠ A，∴△ AEF ∽△ ACD.
13． (1) 证明：∵点 A 与点 C 关于直线MN 对称，
∴AC ⊥MN .
∴∠ COM ＝ 90°.
在矩形 ABCD 中，∠ B＝ 90°，
∴∠ COM ＝∠ B.
又∵∠ ACB ＝∠ ACB，
∴△ COM ∽△ CBA.
(2)解：∵在 Rt△ CBA 中， AB＝ 6，BC ＝8，
∴AC ＝10.
∴OC＝ 5.
∵△ COM ∽△ CBA，
∴OC＝ OM
.
CB AB
15
∴OM ＝
.
4
14． B
15．解： (1)a·tanα 2c b
(2)( 注：本题方法多种，下面列出 3 种供参考 )
方法一：如图 D43.
图D43
方法二：如图D44.
图D44
方法三：如图D45.
图D45
2
16．解： (1)当 CD ＝ AC·DB 时，
∵△ PCD 是等边三角形，
∴∠ PCD ＝∠ PDC ＝ 60°.
∴∠ ACP ＝∠ PDB＝ 120°.
若 CD 2＝ AC·DB ，则根据相似三角形的判定定理，得△ACP ∽△ PDB.
(2)当△ ACP∽△ PDB 时，∠ APC＝∠ PBD，
∵∠ PDB ＝ 120°，
∴∠ DPB ＋∠ DBP ＝ 60°.
∴∠ APC ＋∠ BPD＝ 60°.
∴∠ APB＝∠ CPD＋∠ APC＋∠ BPD＝ 120°.
17．解：如图 D46，作出 B 关于河岸的对称点C，连接 AC，则 BF ＋FA＝CF＋ FA＝ CA，根据两点之间线段最短，可知水站建在 F 处时，供水管路最短．
易得△ ADF ∽△ CEF .
∴设 EF＝ x，则 FD ＝5－ x.
根据相似三角形的性质，得EF ＝ CE， x ＝ 2，
FD AD 5－ x 3
解得 x＝ 2.即 EF ＝2 千米．
故应建在距点E2 千米处的位置．
图 D46
18． (1) 证明： ∵四边形 EFGH ∴ E F ∥GH. ∴∠ AHG ＝∠ ABC. 又∵∠ HAG ＝∠ BAC ，
∴ △ AHG ∽△ ABC.
AM HG ∴
AD ＝ BC
.
AM HG
(2)解： 由 (1)，得 AD ＝ BC ，设
为矩形，
HE ＝ x ，则 HG ＝2x ， AM ＝ AD －DM ＝ AD －HE ＝ 30－ x.
可得
30－ x ＝ 2x
，解得 x ＝12 ，即 2x ＝ 24. 30 40
∴矩形 EFGH 的周长为 2×(12＋ 24)＝ 72(cm)．。