2018马鞍山二模理科数学word含答案 安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测数学(理)试卷

安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数521i z ii=++的共轭复数为（ ）A ．12i -B ．12i + C. 1i - D ．1i-2．等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S r-=+，则r 的值为（ ）A ．13 B ．13-C. 19D ．19-3．若实数,x y 满足约束条件10,310,10.x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2zx y=+的最小值为（ ）A ．2B ．1 C. 4- D ．不存在 4. 已知函数()4,04,0,xx e x f x e x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩()2g x x=，则函数()()yfx g x =⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C. D ．5. 从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（ ） A ．310B ．25C.12D ．356．若()4s inc o s 2ax x d x π+=⎰，则a 的值不可能为（ ）A ．1312π B ．74π C.2912π D ．3712π7. 如图所示的一个算法的程序框图，则输出d 的最大值为（ ）A ．2 C. 1+．1+8.如图，点E 在正方体的棱1C C 上，且113C E C C =，削去正方体过1,,B ED 三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（ ）A ．B ．C. D ．9.二项式n⎛+⎝的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的顶的个数为（ ）A ．3B ．5 C. 6 D ．7 10．设0ω>，函数2c o s 5yx πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移5π个单位长度后与函数2s in 5yx πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象重合，则ω的最小值是（ ） A ．12B ．32C.52D ．7211.已知,M N为椭圆()222210x y a b ab+=>>上关于长轴对称的两点，,A B 分别为椭圆的左、右顶点，设12,k k 分别为直线,M A N B 的斜率，则124k k +的最小值为（ ）A ．2b aB ．3b aC.4b aD ．5b a12.已知数列{}n a 满足对13n ≤≤时，na n=，且对*n N∀∈，有312n n n na a a a ++++=+，则数列{}n n a ⋅的前50项的和为（ ）A ．2448B ．2525 C. 2533 D ．2652第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量,ab 满足，(),1,ab a b ==+=，则,a b 的夹角为 ．14.点F A B 、、分别为双曲线()2222:10,0x y Ca b ab-=>>的焦点、实轴端点、虚轴端点，且FAB∆为直角三角形，则双曲线C 的离心率为． 15.已知四面体A B C D 中，1,A BB C C D A C ====A B C D 的体积最大时，其外接球的表面积为 ．16.已知函数()222,0,4,0.3x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，函数()()()24g x fx fx a x a=+--+有三个零点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，A B C ∆中A 为钝角，过点A 作A DA C⊥交B C 于D，已知2A BA D ==.（1）若30B=︒，求BAD ∠的大小； （2）若3BCBD=，求B D 的长.18.某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()y g 与尺寸()x m m 之间近似满足关系式bya x=(,a b 为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:（1）根据所给数据，求y 关于x 的回归方程；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间,97e e ⎛⎫⎪⎝⎭内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记x 为取到优等品的件数，试求随机变量x 的分布列和期望. 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n nv u v u v u ，其回归直线()u a b v =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ni i i ni i v u n v uv n vβ==-⋅=-∑∑，u vαβ=-.19.如图，在五棱锥MA B C D E-中，四边形A B C D为等腰梯形，//,24A D B C A D B C A B ===，M E A ∆和M E D ∆都是边长为.（1）求证：M E ⊥面M B C ；（2）求二面角B M C D--的大小.20.直线4ykx =+与抛物线()2:20Cxp yp =>交于A B 、两点，且0O A O B⋅=，其中O 为原点.（1）求此抛物线的方程； （2）当0k=时，过,A B 分别作C 的切线相交于点D ，点E 是抛物线C 上在,A B 之间的任意一点，抛物线C 在点E 处的切线分别交直线A D 和B D 于点,P Q ，求ABE ∆与P Q D ∆的面积比. 21.已知函数()()()21ln ,02a x g x x x h x a -==>.（1）若()()g x h x <对()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（2）证明：不等式3422212111n en n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于正整数n 恒成立，其中 2.71828e=为自然对数的底数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xO y 中，直线l 的参数方程为：x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系xO y 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为o s ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程； （2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，求A B的大小.23.选修4-5：不等式选讲 已知()1f x x x m=+++，()232g x xx =++.（1）若0f x的最小值为1，求m的值；m>且()（2）不等式()3g x≤的解集为B，B Af x≤的解集为A，不等式()0⊆，求m的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BBBAD 6-10: BCADC 11、12：CB二、填空题13.23π26π 16.44,913⎡⎫--⎪⎢⎣⎭三、解答题17. 解：（1）在A B D ∆中，由正弦定理得sin sin A B A D A D BB=∠2sin sin 30A D B=∠︒，解得s in 2A D B∠=，又AD B ∠为钝角，则120A D B∠=︒，故30B A D ∠=︒.(另解：在A B D ∆中，由余弦定理解得2BD =，从而A B D ∆是等腰三角形，得30B A D ∠=︒）（2）设B D x=，则2D Cx=.∵A DA C⊥，∴21co s 2A D Cxx∠==，∴1co s A D Bx∠=-.在A B D ∆中由余弦定理得，(222228c o s 224x x A D B xx+--∠==⋅⋅，∴2814x xx-=-，解得2x=，故2BD=.18.解：（1）对(),0by a xa b =>，两边取自然对数得lnln ln y b x a=+，令ln ,ln ii i iv x u y ==，得ln ubv a=+，由122112ni i i ni i v u n v ubv n v==-⋅==-∑∑，ln 1aa e=⇒=，故所求回归方程为12ye x =.（2）由1212,498197y e x ee e x xxx ⎛⎫==∈⇒<< ⎪⎝⎭58,68,78x ⇒=，即优等品有 3 件，ξ的可能取值是0，1，2, 3，且()0333361020C C P C ξ⋅===,()1233369120C C P C ξ⋅===()2133369220C C P C ξ⋅===,()333361320C C P C ξ⋅===.其分布列为∴()199********2020202E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19.解：（1）证明：分别取A D 和B C 的中点,O F ，连接,,O F O M M F.由平面几何知识易知,,E O F 共线，且E F B C⊥.由4A E D E A D ===得2O E=，从而A O ME O M D O M∆≅∆≅∆，∴O M A D ⊥，又//A DB C，∴O MB C⊥.∴B C⊥面M E F ，∴B CM E⊥.在R t E O M ∆中，2O M=，∴M F==在等腰梯形A B C D 中，2,4O F E F ===，∴222E F M EM F=+，∴M EM F⊥，又M FB C F⋂=，,M F B C⊂面M B C ，∴M E⊥面M B C .（2）由（1）知M O ⊥面A B C D E 且O A O F⊥，故建立空间直角坐标系如图所示.则()()(),,(0,0,20,2,01,2,02,0,0),M E C D ---，()()1,2,0,2,0,2D C D M ==.由（1）知面M B C 的法向量为()0,2,2E M =.设面M D C 的法向量为(),,nx y z =，则由00n D C n D M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20220x y x z +=⎧⎨+=⎩，令2x=，得()2,1,2n=--，∴c o s,232n E M n E M n E M⋅===-⋅⋅.所以，二面角BM C D--大小为135︒.20.解：（1）设()()1122,,,A x y B x y ，将4y kx =+代入22x p y=，得2280x p k x p --=.其中 0∆>，12122,8x x p x x x p+==-.所以，221212121228164x x O A O Bx x y y x x p p⋅=+=+=-+.由已知，8160,2pp -+==.所以抛物线的方程24x y=.（2）当0k=时，()()4,4,4,4A B -，易得抛物线C 在,A B 处的切线方程分别为24y x =--和24y x =-.从而得()0,4D -.设()()222,2E a a a -<<，则抛物线C 在E 处的切线方程为2ya x a=-，设直线P Q 与x 轴交点为M ，则()20,Ma -.由2ya x a=-和24yx =--联立解得交点()2,2P a a --，由2ya x a=-和24y x =-联立解得交点()2,2Q aa +，所以()()()22114222422P Q DP Q S D Mx x aaa a∆=-=-----+=-，22114844422A B E E S A B y a a∆=-=⨯⨯-=-，所以ABE ∆与P Q D ∆的面积比为2. 21.解：（1）法一：记()()()21ln 22a f x g x h x x x x =-=-+，则()()ln 1x f x x a xϕ'==+-，()1x axϕ'=-，①当1a≥时，∵()x 1,∈+∞，∴()110x a a xϕ'=-<-≤，∴()f x '在()1,+∞上单减，又()110f a '=-≤，∴()0f x '<，即()f x 在()1,+∞上单减，此时，()1()102a f x f -<=-≤，即() ()g x h x <；②当01a <<时，考虑11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()10x a a a xϕ'=->-=，∴()f x '在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，又()110f a '=-≥，∴()0f x '>，即()f x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单増，综上所述，[)1,a ∈+∞.法二：当()x 1,∈+∞时，()()g x h x <等价于()22ln 1x x aFx x+>=，()()321ln x x x F x x--'=，记()1ln m x x x x=--，则()ln 0m x x '=-<，∴()m x 在()1,+∞上单减，∴()0(1)m x m <=，∴0()F x '<，即()F x 在()1,+∞上单减，()1(1)F x F <=，故[)1,a ∈+∞.（2）由（1）知：取1a =，当()0,x ∈+∞时，()()g x h x <恒成立，即21ln2x x x -<恒成立，即21ln2x x x-<恒成立，即()()()()22112ln 12121xxxx x x +-++<=++对于()0,x ∈+∞恒成立，由此，222222222211ln 122122k k k k k k k n n k n n n k n n n ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭+<=+≤+ ⎪ ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，1,2,,kL n=，于是2222221212ln 111ln 1ln 1ln 1n n L L n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦222222112122111n n L L n n n n n n ⎛⎫<+++++++ ⎪+++⎝⎭()()()()32322222111122112213414411n n n n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤++⎛⎫+++-+-⎢⎥=+=⋅=- ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()2211133441n n n n n ⎡⎤-+-⎢⎥=-≤+⎢⎥⎣⎦，故3422212111n L e n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.22.解：（1）由o s ρθ=，得圆C的直角坐标方程为：(2224xy-+=.（2）(法一)由直线l 的参数方程可得直线l的普通方程为：0x y +-，代入圆C 方程消去y可得230x -+=- 11 -∴12123x x x x +=⋅= ∴A B ==(也可以用几何方法求解）(法二）将直线l的参数方程代入圆C的方程可得：()()2224--+=整理得：221270t ++=∴1212272t t t t +=-⋅=根据参数方程的几何意义，由题可得：A B =-=23.解：（1）()()()111f x x x m x x m m =+++≥+-+=-(当1x=-时，等号成立） ∵()f x 的最小值为 1，∴11m -=，∴2m = 或0m =，又 0m >，∴2m =. （2）由()0g x ≤得，[]2,1B=--，∵B A ⊆， ∴(),3x B f x ∀∈≤，即()13xx m -+++≤444x m x x x m x ⇔+≤+⇔--≤+≤+ 42m x +⇔≥-且4m ≤422m +⇔-≤-且404m m ≤⇔≤≤.。