数理统计总复习a1

P{t > tα ( n)} = ∫
+∞ tα ( n )
h( t )dt = α
的点 tα ( n) 为 t ( n) 分布的上 α 分位点.
性质：（1）z1−α = − zα , t1−α ( n) = − tα ( n)
常用统计量的分布的分位点
F 分布的分位点 对于给定的 α , 0 < α < 1, 称满足条件
常用统计量的概率密度函数
F(n1, n2 )分布的概率密度为
n1 n1 2 −1 n1 + n2 n1 2 Γ y 2 n2 , y > 0, n1 + n2 ψ ( y) = 2 n1 n2 n1 Γ Γ 1 + y 2 2 n2 0, 其他 .
常用统计量的分布( 常用统计量的分布(二)
t 分布 设 X ~ N (0, 1), Y ~ χ 2 ( n), 且 X , Y 独立, X 则称随机变量 t = 服从自由度为 n 的 t Y /n 分布, 记为 t ~ t ( n).
t 分布又称学生氏 分布又称学生氏 学生氏(Student)分布 分布. 分布
θ ∈ Θ 满足
P {θ > θ } ≥ 1 − α ,
则称随机区间 (θ , + ∞ ) 是 θ 的置信水平为 1 − α 的单 侧置信区间 , θ 称为 θ 的置信水平为 1 − α 的单侧置 信下限 .
则称随机区间 (θ , θ ) 是θ 的置信水平为 1 − α 的置信 区间 , θ 和θ 分别称为置信水平为 1 − α 的双侧置信 区间的置信下限和置信 上限, 1 − α 为置信水平 .
单侧置信区间的定义
对于给定值 α (0 < α < 1) , 若由样本 X 1 , X 2 ,⋯, X n 确定的统计量 θ = θ ( X 1 , X 2 ,⋯, X n ) , 对于任意
2 ( n1 − 1) S12 + ( n2 − 1) S 2 2 2 , Sw = Sw . 其中 S w = n1 + n2 − 2
矩估计量
用样本矩来估计总体矩, 用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续 函数来估计总体矩的连续函数, 函数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称 矩估计法. 为矩估计法 矩估计法的具体做法: 矩估计法的具体做法: 令 µ l = Al , l = 1, 2,⋯, k ,
i =1
n
(二) 取对数 ln L(θ ) = ∑ ln p( xi ;θ ) 或 ln L(θ ) = ∑ ln f ( xi ;θ );
i =1 i =1 n n
d ln L( θ) d ln L( θ) , 并令 ( 三 ) 对 θ 求导 = 0,对数似 然方程 dθ dθ 解 方 程 即 得 未 知 参 数 θ的 极 大 似 然 估 计 值 ˆ . θ
设总体 X 的分布函数 F ( x;θ ) 含有一个未知参 数θ , 对于给定值 α (0 < α < 1), 若由样本 X 1 , X 2 ,⋯, X n 确定的两个统计量
θ = θ ( X 1 , X 2 ,⋯, X n )和θ = θ ( X 1 , X 2 ,⋯, X n ) 满足
P {θ ( X 1 , X 2 ,⋯, X n ) < θ < θ ( X 1 , X 2 ,⋯, X n )} = 1 − α ,
数理统计总复习
一、知识脉络 二、定义、定理及重要结论 定义、 三、题型分析及典型例题 题型分析及典型例题
一、样本及其分布
常 总体 样本 个体 用 统 计 量 的 分 布 F t
χ2
性 质
关关 于于 样样 本本 和和 方方 差差 的的 定定 理理
二、参数估计
矩估计量
估 计量 似 然 函 数
估 计 量 的 评 选
关于正态总体的样本和方差的定理
定理一 设 X 1 , X 2 , ⋯, X n 是来自正态总体 N ( µ ,σ 2 )
的样本 , X 是样本均值 , 则有 X ~ N ( µ , σ 2 / n).
定理二
设 X 1 , X 2 , ⋯, X n 是总体 N ( µ ,σ ) 的样本 ,
2
X , S 2 分别是样本均值和样本 方差, 则有 (1) ( n − 1) S 2
χ 2(n)分布的概率密度为
n y −1 − 1 y2 e 2 , n 2 n f ( y) = 2 Γ 2 0
y > 0,
其他 .
常用统计量的概率密度函数
t(n) 分布的概率密度函数为
n + 1 n +1 − Γ 2 2 1 + t 2 , − ∞ < t < +∞ . h( t ) = n n πnΓ 2
ˆ 取得最大值的 θ 作为未知参数 θ 的估计值 , ˆ 即 L( x1 , x 2 ,⋯ , xn ;θ ) = max L( x1 , x2 ,⋯ , xn ;θ ).
( 其中 Θ 是 θ 可能的取值范围 )
θ ∈Θ
ˆ 这样得到的 θ 与样本值 x1 , x2 ,⋯, xn有关 , 记为 ˆ θ ( x1 , x2 ,⋯, xn ), 参数 θ 的极大似然估计值,
ˆ θ ( X 1 , X 2 ,⋯, X n ) 参数 θ 的极大似然估计量.
似然函数
1. 设总体 X 属离散型
L(θ ) = L( x1, x2 ,⋯, xn;θ ) = ∏ p( xi ;θ ), θ ∈Θ
n
L(θ )称为样本似然函数 .
i =1
2. 设总体 属连续型 设总体X
L(θ ) = L( x1, x2 ,⋯, xn;θ ) = ∏ f ( xi ;θ ),
常用统计量
1 n (1)样本平均值 X = ∑ X i . 样本平均值: 样本平均值 n i =1
(2)样本方差 样本方差: 样本方差 1 n 2 1 n 2 2 2 S = ∑ ( X i − X ) = n − 1 ∑ X i − nX . n − 1 i =1 i =1 (3)样本标准差 样本标准差: 样本标准差
极大似然估计法也适用于分布中含有多个 未知参数的情况. 未知参数的情况 此时只需令 ∂ ln L = 0, i = 1,2,⋯, k . 对数似然方程组 ∂θ i
解出由 k 个方程组成的方程组, 即可得各未知参 数 θ ( i = 1, 2, L , k ) 的极大似然估计值 ˆ . θ
i i
置信区间和置信上限、 置信区间和置信上限、置信下限
S=
S2 =
1 n 2 ∑(Xi − X ) . n − 1 i =1
1 n k (4)样本 k 阶(原点 矩: Ak = ∑ X i , k = 1, 2, ⋯ . 原点)矩 样本 原点 n i =1
(5)样本 阶中心矩: (5)样本 k 阶中心矩: 1 n B k = ∑ ( X i − X ) k , k = 2, 3, ⋯ . n i =1
2
2 2 2 2 设 χ1 ~ χ 2(n1 ), χ2 ~ χ 2(n2 ), 并且 χ1 , χ2 独 2 2 立, 则χ1 + χ2 ~ χ 2(n1 + n2 ).
性质2 性质 (χ 分布的数学期望和方差)
2
若 χ 2 ~ χ 2(n), 则E(χ 2 ) = n, D(χ 2 ) = 2n.
常用统计量的分布的分位点
χ 2 分布的分位点
对于给定的正数 α , 0 < α < 1, 称满足条件 P { χ > χα ( n)} = ∫
2 2 +∞
2
χα ( n )
f ( y )dy = α
2 的点 χα ( n) 为 χ 2 ( n) 分布的上 α 分位点.
常用统计量的分布的分位点
t 分布的分位点 对于给定的 α , 0 < α < 1, 称满足条件
常用统计量的分布( 常用统计量的分布(一)
χ 2分布
设 X 1 , X 2 ,⋯, X n 是来自总体 N (0, 1) 的样
2 2 本, 则称统计量 χ 2＝X 12 + X 2 + ⋯ + X n 服从自
由度为 n 的 χ 2 分布, 记为 χ 2 ~ χ 2 ( n).
χ 2 分布的性质
性质1 性质 (χ 分布的可加性)
σ
2
~ χ 2 ( n − 1); (2) X 与 S 2 独立.
关于正态总体的样本和方差的定理
定理三
设 X 1 , X 2 , ⋯, X n 是总体 N ( µ ,σ ) 的
2
样本, X , S 2 分别是样本均值和样本 方差, 则有 X −µ ~ t ( n − 1). S/ n
定理四
设 X 1 , X 2 , ⋯, X n1与 Y1 , Y2 , ⋯, Yn2 分别是
2 1 n1 n2
分别是这两个样本的方 差, 则有
S /S (1) ~ F ( n1 − 1, n2 − 1); σ /σ
2 (2) 当 σ 12 = σ 2 = σ 2 时,
2 1 2 1
2 2 2 2
( X − Y ) − ( µ1 − µ 2 ) ~ t ( n1 + n2 − 2), 1 1 Sw + n1 n2
i =1 n
L(θ )称为样本的似然函数 .
求极大似然估计量的步骤: 求极大似然估计量的步骤
(一 ) 写出似然函数 L(θ ) = L( x1 , x2 ,⋯, xn ;θ ) = ∏ p( xi ;θ )
i =1 n
或 L(θ ) = L( x1 , x2 ,⋯, xn ;θ ) = ∏ f ( xi ;θ );