高一兆堂数学复习
2023高一数学第一次月考前巩固综合复习
高一考前冲刺-2023.3.18函数基础性质知识梳理1.函数的单调性:(1)y=f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔f (x)≥0⇔(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x1)-f(x2)x1-x2>0．(2)y=f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔f (x)≤0⇔(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或f(x1)-f(x2)x1-x2<0．2．单调性的运算性质(1)函数y=f(x)与函数y=f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性．(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．(3)在公共定义域内，函数y=f(x)(f(x)≠0)与y=1f(x)单调性相反．(4)在公共定义域内，函数y=f(x)(f(x)>0)与y=f n(x)和y=n f(x)具有相同的单调性．(5)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数．(6)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，且f(x)>0，g(x)>0，则f(x)•g(x)也是区间A上的增(减)函数．3．单调性与奇偶性结合奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．注意：单调区间不允许书写并集“∪”符号，书写用逗号“，”隔开即可.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= -f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称注意:由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是:定义域关于原点对称．3．函数的对称性(1)若函数y=f(x+a)为偶函数，则函数y=f(x)关于x=a对称．(2)若函数y=f(x+a)为奇函数，则函数y=f(x)关于点(a，0)对称．(3)若f(x)=f(2a-x)，则函数f(x)关于x=a对称．(4)若f(x)+f(2a-x)=2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．题型1.函数的定义域1.若函数f(x)=xax2+ax+1定义域为R，则实数a的取值范围是．2.已知函数f(2x−3)的定义域是[−1，4]，则函数f(1−2x)的定义域()A.[−2，1]B.[1，2]C.[−2，3]D.[−1，3]3.函数f (2x −1)的定义域为(0，1)，则函数f (1−3x )的定义域是．题型2.复合函数单调性4.函数y =log 13-x 2+2x +3 的单调增区间是.5.(2020•新高考II 卷)已知函数f (x )=lg (x 2-4x -5)在(a ，+∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A.(2，+∞)B.[2，+∞)C.(5，+∞)D.[5，+∞)6.已知y =log a (8-3ax )在[1，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.(0，1)B.1，43C.43，4 D.(1，+∞)7.已知函数f (x )=lg (-x 2+ax -1)在[2，3]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.[4，+∞)B.[6，+∞)C.103，4D.103，4 6. 函数的奇偶性及其应用1.函数奇偶性的几个重要结论(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)f (x )，g (x )在它们的公共定义域上有下面的结论:f (x )g (x )f (x )+g (x )f (x )-g (x )f (x )g (x )f (g (x ))偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数(3)若奇函数的定义域包括0，则f (0)=0．(4)若函数f (x )是偶函数，则f (-x )=f (x )=f (x )．(5)若函数y =f (x )的定义域关于原点对称，则f (x )+f (-x )为偶函数，f (x )-f (-x )为奇，f (x )⋅f (-x )为偶函数．2.常见奇偶性函数模型常见奇函数:（1）函数f (x )=m (a x +1a x -1)=m +2m a x -1(x ≠0)或函数f (x )=m (a x -1a x +1)=m -2ma x +1(m ∈R )．（2）函数f (x )=±(a x -a -x )．（3）函数f (x )=log a x +m x -m =log a (1+2m x -m )或函数f (x )=log a x -m x +m =log a (1-2mx +m)（4）函数f (x )=log a (x 2+1+x )或函数f (x )=log a (x 2+1-x )．常见偶函数:（1）函数f (x )=±(a x +a -x )．（2）函数f (x )=log a (a mx +1)-mx2．（3）函数f (|x |)类型的一切函数．题型3.函数奇偶性基础8.(2018•全国3卷)已知函数f (x )=ln (1+x 2-x )+1，f a =4，则f (-a )=．9.设函数f (x )=a -2x 1+a ⋅2x(a ∈R )是定义域上的奇函数，则a =．10.已知函数f (x )=lg (x 2+1+x )，正实数a ，b 满足f (2a -2)+f (b )=0，则2a +bab 的最小值为( )A.2 B.4C.6D.8题型4.函数奇偶性单调性结合11.已知函数f (x )=lg (x +x 2+1)-22x+1，则不等式f (2x +1)+f (x )>-2的解集为( )A.-13，+∞ B.-13，100 C.-∞，-13 D.-23，100 12.已知定义域为R 的函数f (x )=2x 2x +a-12是奇函数．(1)求实数a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义加以证明；(3)若对任意的x ∈[1，2]，不等式f (x 2-mx )+f (x 2+4)>0成立，求实数m 的取值范围．13.已知定义域为R 的函数f (x )=b -2x 2x +a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)猜测f (x )的单调性，并用定义证明；(3)若对任意t ∈[-1，2]，不等式f (t 2+1)+f (-kt )<0恒成立，求实数k 的取值范围．7. 函数的对称性与周期性1.函数对称性①若函数y =f (x )关于直线x =a 对称，则f (a +x )=f (a -x )．②f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )关于直线x =(a +x )+(b -x )2=a +b2对称．③若函数y =f (x )关于点(a ，b )对称，则f (a +x )+f (a -x )=2b ．④f (a +x )+f (b -x )=2c ,则函数y =f (x )关于(a +b2,c )中心对称．⑤函数y =f (a +x )与y =f (a -x )关于y 轴对称，函数y =f (a +x )与y =-f (a -x )关于原点对称．8．函数对称性和迭代构造周期函数若已知函数图象具有多重对称性，可参照三角函数的对称性与周期性关系进行类比思考，将其转化为周期性的情况，具体如下：1．若函数f x 的图象关于直线x =a 与x =b 对称a ≠b ，则T =2b -a ．2．若函数f x 的图象关于点a ，0 对称，又关于点b ，0 对称a ≠b ，则T =2b -a ．3．若函数f x 的图象既关于直线x =a 对称，又关于点b ，0 对称a ≠b ，则T =4b -a ．对称性与周期性记忆口诀2：两次对称定周期，双轴双点二倍差，一轴一点四倍差．1．周期T =2a 的模型①f (x +a )=f (x −a )；②f (x +a )=−f (x )；③f (x +a )+f (x )=c (a ≠0)；④f (x +a )=1f (x )；⑤f (x +a )=−1f (x )；⑥f (x +a )=1−f (x )1+f (x )(f (x )≠−1)；⑦f (x +a )=f (x )+1f (x )−1(f (x )≠1)．2．周期T =3a 的模型f (x +a )=1-1f (x )(f (x )≠0)．3．周期T =4a 的模型f (x +a )=1+f (x )1−f (x )(f (x )≠1)．题型5.函数对称性和周期性综合题14.定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x )，当-3≤x <-1时，f (x )=-(x +2)2，当-1≤x <3时，f (x )=x ．则f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2012)=( )A.335B.338C.1678D.201215.(2018•课标Ⅱ卷理)已知f (x )是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，满足f (1-x )=f (1+x )．若f (1)=2，则f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (50)=( )A.-50B.0C.2D.5016.(多选)若f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f (1+x )=-f (1-x )，当x ∈[0，1]时，f (x )=x 2+x -2，则( )A.f (x )是以4为周期的周期函数B.f (2021)+f (2022)=-2C.函数y =f (x )-log 2(x +1)有3个零点D.当x ∈[3，4]时，f (x )=x 2-9x +1817.(多选)已知函数y =f (x )为R 上的奇函数，且对定义域内的任意x 都有f (1+x )=-f (1-x )，当x ∈(1，2)时，f (x )=1-log 2x ，则下列结论正确的是( )A.函数y =f (x )的图象关于点(k ，0)(k ∈Z )成中心对称B.函数y =|f (x )|是以1为周期的周期函数C.当x ∈(0，1)时，f (x )=log 2(2-x )-1D.函数y =f (|x |)在(k ，k +1)(k ∈Z )上单调递减9. 抽象函数抽象函数的模特函数通常如下：(1)若f (x +y )=f (x )+f (y )，则f (x )=xf (1)(正比例函数)证明：令x =y ，则f (x +x )=f (x )+f (x )，所以f (x +x +x +⋅⋅⋅+x n 个)=nf (x )，则f (nx )=nf (x )，再令x =1，故f (n )=nf (1)，即f (x )=xf (1)．例如：f (x )=2x ，即满足f (x )=xf (1)．(2)若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x (指数函数)(3)若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=log b x (对数函数)(4)若f (xy )=f (x )f (y )，则f (x )=x a (幂函数)(5)若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ，则f (x )=xf (1)-m (一次函数)题型6.抽象函数综合题18.函数f (x )对任意的实数a ，b ，都有f (a +b )=f (a )+f (b )-2，且当x >0时，f (x )>2．(1)求f (0)的值；(2)求证：f (x )是R 上的增函数；(3)若对任意的实数x ，不等式f (t ⋅4-x )+f (1-2-x )>4都成立，求实数t 的取值范围．初等函数1．指数及指数运算①正整数指数幂a n =a ⋅a ⋅a ⋅⋯⋅a n 个(n ∈N ∗)；②零指数幂a 0=1(a ≠0)；③负整数指数幂a -n =1an (a ≠0，n ∈N ∗)；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．有理数指数幂的性质①a m a n =a m +n (a >0，m ，n ∈Q )；②(a m )n =a mn (a >0，m ，n ∈Q )；③(ab )m =a m b m (a >0，b >0，m ∈Q )；④na m =a mn(a >0，m ，n ∈Q )．注意事项：对于根式记号n a ，要注意以下几点：①n ∈N ，且n >1；②当n 是奇数，则na n =a ；当n 是偶数，则na n =|a |=aa ≥0-a a <0；③负数没有偶次方根；④零的任何次方根都是零．⑤指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式：例a a a =a 12a 14a 18=a 12+14+18=a 78；4a ∙3a 2=a 14⋅a 23×14=a 512．⑥指数的逆运算过程：5116 -12=8116 -12=324-12=324×-12=49．2．对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果a x=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以a(a>0且a≠1)为底，记为log a N，读作以a为底N的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N；③自然对数：以e为底，记为ln N；(3)对数的性质和运算法则：①特殊对数：log a1=0；log a a=1；其中a>0且a≠1②对数恒等式：a log a N=N(其中a>0且a≠1，N>0)③对数换底公式：log a b=log c b log c a(4)对数的运算法则：①log a(MN)=log a M+log a N；②log a M N=log a M-log a N；③loga mb n=n m log a b(m，n∈R)；④a log a b=b和log a a b=b(5)换底公式和对数运算的一些方法：①常用换底：log a b=log c b log c a②倒数原理：log a b=1log b a如：log32=1log23．③约分法则：log a b⋅log b c=log a c如：log23⋅log34=log24=2；log315⋅log57⋅log155⋅log73=1．④归一法则：lg2+lg5=1⇒lg2⋅lg5+lg22+lg5=lg2lg5+lg2+lg5=lg5+lg2=1．3．指数函数的定义及图像函数名称指数函数y=a x定 义形如y=a x(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数图象0<a<1a>1性质定义域R，值域(0，+∞)a0=1，即时x=0，y=1，图象都经过(0，1)点a x=a，即x=1时，y等于底数a在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数x<0时，a x>1；x>0时，0<a x<1x<0时，0<a x<1；x>0时，a x>1既不是奇函数，也不是偶函数特殊函数：函数y =2x ，y =3x ，y =12x，y=13x的图象如图所示．4．对数函数的定义及图像函数名称对数函数定义形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数图象a >10<a <1性质定义域为(0，+∞)；值域为R 过定点(1，0)，即x =1时，y =0在(0，+∞)上增函数在(0，+∞)上是减函数当0<x <1时，y <0，当x ≥1时，y ≥0当0<x <1时，y >0，当x ≥1时，y ≤05．幂函数及其性质一般地，y =x a (a ∈R )(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数．比大小基础复习比大小基础同步升(降)次法．根据log a b=log a m b m可知，log23=log49=log827=log121 3．注意：一般出现在以2或者3为底数的对数比大小当中，底数真数次方一起同升同降．去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时候，需要将对数进行分离常数再比较．例如：log a(ma)=log a m+1；log a(ma n)=log a m+n．构造中间变量比大小在比较大小的题型中，对数是最为常见的，通常也是log a b对比log c d，指数和真数都不相等时，我们要么构造指数相等，要么选择中间变量进行比大小。
高一数学知识点复习考点大纲2023
高一数学知识点复习考点大纲2023高一年级数学知识点复习11.函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数;5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);6.判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;7.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
高一数学知识版块复习(必修1,4,5,3)
（一）集合1、设集合)(},2,1,2{},2,1{},,3|||{B C A B A Z x x x I I 则--==∈<=等于 .2、设集合∈<≤=x x x A 且30{N}的真子集．．．的个数是 . 3、设{}{}(,)46,(,)38A x y y x B x y y x ==-+==-，则A B = .4、设全集是实数集R ，}22|{≤≤-=x x M ，}1|{<=x x N ，则R C M N C R 等于 .5、设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则右图中 阴影部分表示的集合为 .6、设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214，则M N . 7、若集合{}R a x ax x A ∈=++=,012至多有一个元素，则a 的取值范围是8、满足{}4321,,,a a a a M ⊆,且},{},,{21321a a a a a M = 的集合M 的个数是 . 9、已知集合{,,}M a b a b =+，集合2{0,,}N a ab =，并且M N =，求实数,a b 的值.10、设集合{}03102≥-+=x x x A ,{}121-≤≤+=m x m x B ,若A B ⊆,求实数m 的取值范围.11、⑴已知{}}4|||{,0542<-=>--=a x x B x x x A ，且R B A = ，求实数a 取值的集合.⑵对于集合}0342|{2=-+-=a ax x x A ，}022|{2=++-=a ax x x B ，是否存在实数a ，使=B A ∅？若a 不存在，请说明理由；若a 存在，求出a .1、函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是 .2、①223x x y +-= 的值域是_______ ___.②12++=x x y 的最小值是____ ___.③312-+=x x y 的值域是_____ __. ④ 函数xx y 1-=在]2,1[上的值域是___________. ⑤定义在R 上的函数()y f x =的值域为[,]a b ，则(1)y f x =+的值域为 . ⑥ 函数()31log f x x =+的定义域是(]1,9，则函数()()()22g x f x f x =+的值域是 .3、① 函数xxy +-=11的单调递减区间是 . ② 函数245x x y --=的增区间是 .4、若y ＝f(x)在区间(a ，b)上是增函数，则下列结论正确的是 ①)(1x f y =在区间(a ，b)上是减函数 ②y ＝－f(x)在区间(a ，b)上是减函数 ③y ＝|f(x)|2在区间(a ，b)上是增函数 ④y ＝|f(x)|在区间(a ，b)上是增函数 5、① 若函数22log (21)y ax x =++的定义域为R ，则实数a 的范围为__________． ② 已知函数)12lg(2++=x ax y 的值域为R ，则实数a 的范围是 .6、函数21()21x x f x -=+，求证：（１）函数()f x 是奇函数；（２）函数()f x 在R 上增函数．7、设)(x f 是定义在+R 上的增函数，并且对任意的0,0>>y x ，)()()(y f x f xy f +=总成立。
高一数学复习考点知识讲解课件36---等比数列的前n项和
高一数学复习考点知识讲解课件4.3.3 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列的前n 项和 考点知识1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 导语在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息．在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任．你知道这其中的缘由吗？其实这其中的缘由可由我们之前所学的指数函数来解释，还记得我们之前构造向家长索要零花钱的函数吗，原来我们想知道具体某一天你会得到多少钱，而现在我们想知道的是，经过一段时间，你一共获得了多少零花钱．一、等比数列前n 项和公式的推导问题1若等比数列{}a n 的首项是a 1，公比是q ，如何求该等比数列的前n 项的和？ 提示思路一：因为S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n ，所以S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －2＋a 1q n －1，上式中每一项都乘等比数列的公比可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得S n －qS n ＝a 1－a 1q n ，即(1－q )S n ＝a 1(1－q n )，当q ≠1时，有S n ＝a 1(1－q n )1－q，而当q ＝1时，S n ＝na 1.上述等比数列求前n 项和的方法，我们称为“错位相减法”．利用该公式，我们很容易解决一周能向家长要多少零花钱，S ＝2＋22＋23＋…＋27＝2(1－27)1－2＝28－2＝254. 思路二：当q ≠1时，由等比数列的定义得：a 2a 1＝a 3a 2＝…＝a n a n －1＝q ， 根据等比数列的性质，有a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝S n －a 1S n －a n＝q ， S n －a 1S n －a n＝q ⇒(1－q )S n ＝a 1－a n q ， 所以当q ≠1时，S n ＝a 1－a n q 1－q，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n 项和的两种形式，而这两种形式可以利用a n ＝a 1q n －1相互转化．思路三：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋q (a 1＋a 2＋…＋a n －1)，所以有S n ＝a 1＋qS n －1⇒S n ＝a 1＋q (S n －a n )⇒(1－q )S n ＝a 1－a n q ，所以当q ≠1时，S n ＝a 1－a n q 1－q 或S n ＝a 1(1－q n )1－q，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决．问题2同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？提示S 64＝1＋2＋22＋23＋…＋263＝1－2641－2＝264－1＝18446744073709551615，然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言，国王为了使自己不失信于民，于是他向发明者说：你这个提议很好，你自己去数吧．大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5800亿年．同学们，看来学好数学是多么的重要．知识梳理等比数列的前n 项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项求和公式 公式一S n ＝错误! 公式二S n ＝错误!注意点：(1)用等比数列前n 和公式求和，一定要对该数列的公比q ＝1和q ≠1进行分类讨论；(2)公式一中的n 表示的是所求数列的项数；(例如1＋2＋22＋…＋2n ＝1×(1－2n ＋1)1－2)；(3)公式二中的a n 在求和时，表示数列的最后一项；(例如1＋2＋22＋…＋2n ＝1－2n ×21－2)．(4)等比数列前n 项和公式的结构特点即q n 的系数与常数项互为相反数．即S n ＝Aq n －A .例1求下列等比数列前8项的和：(1)12，14，18，…；(2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解(1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1281－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13，所以S 8＝a 1－a 8q 1－q ＝a 1－a 91－q ＝27－12431－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝164081. 反思感悟求等比数列的前n 项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q ＝1是否成立．跟踪训练1在14与78之间插入n 个数，组成所有项的和为778的等比数列，求此数列的项数．解设此数列的公比为q (易知q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 78＝14q n ＋1，778＝14－78q 1－q，解得⎩⎨⎧ q ＝－12，n ＝3，故此数列共有5项．二、等比数列中与前n 项和有关的基本运算例2在等比数列{a n }中，(1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ；(2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5；(3)a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求公比q .解(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝5，q ＝5或⎩⎨⎧ a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1080×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11. (2)方法一由题意知⎩⎨⎧ a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，解得⎩⎨⎧ a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝312. 方法二由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6，得q 3＝18，从而q ＝12.又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10，所以a 1＝8，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝312.(3)因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两个根．从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2，a 1＝64.又S n ＝a 1－a n q 1－q ＝126， 所以q ＝2或12.反思感悟等比数列前n 项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如q n ，a 11－q都可看作一个整体． (3)在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．跟踪训练2在等比数列{a n }中．(1)若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ；(2)已知S 4＝1，S 8＝17，求a n .解(1)由S n ＝a 1－a n q 1－q 得，112＝2－162q 1－q， ∴q ＝－2，又由a n ＝a 1q n －1得，162＝2(－2)n －1，∴n ＝5.(2)若q ＝1，则S 8＝2S 4，不符合题意，∴q ≠1，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝1， S 8＝a 1(1－q 8)1－q＝17， 两式相除得1－q 81－q 4＝17＝1＋q 4， 当q ＝2时，a 1＝115，当q ＝－2时，a 1＝－15，∴a n ＝115·2n －1或－15·(－2)n －1.三、分组求和法例3已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上．(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，c n ＝a n ＋b n ，T n 是数列{c n }的前n 项和，求T n . 解(1)因为点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，所以a n ＋1＝3S n ＋1，当n ≥2时，a n ＝3S n －1＋1.于是a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)⇒a n ＋1－a n ＝3a n ⇒a n ＋1＝4a n . 又当n ＝1时，a 2＝3S 1＋1⇒a 2＝3a 1＋1＝3t ＋1，所以当t ＝1时，a 2＝4a 1，此时，数列{a n }是等比数列．(2)由(1)，可得a n ＝4n －1，a n ＋1＝4n ，所以b n ＝log 4a n ＋1＝n ，c n ＝4n －1＋n ，那么T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n )＝(40＋41＋…＋4n －1)＋(1＋2＋…＋n )＝4n －13＋n (n ＋1)2.反思感悟分组求和的适用题型一般情况下形如c n ＝a n ±b n ，其中数列{}a n 与{}b n 一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列{}c n 的前n 项和，分别利用等差数列和等比数列前n 项和公式求和即可． 跟踪训练3已知数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝2.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)已知数列{}b n 满足b 1＝－12，b 2＝－114，设c n ＝a n ＋b n ，若数列{}c n 为等比数列，求数列{}b n 的前n 项和S n .解(1)数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝2，所以数列{}a n 是等差数列，且首项为1，公差为2， 因此，a n ＝1＋2()n －1＝2n －1.(2)由已知可得c 1＝a 1＋b 1＝1－12＝12，c 2＝a 2＋b 2＝3－114＝14，所以等比数列{}c n 的公比为q ＝c 2c 1＝12， 所以a n ＋b n ＝c n ＝c 1q n －1＝12n ，所以b n ＝c n －a n ＝12n －()2n －1，因此，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123－5＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －()2n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12n －⎣⎡⎦⎤1＋3＋5＋…＋()2n －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n ()1＋2n －12＝1－n 2－12n .1．知识清单：(1)等比数列前n 项和公式的推导．(2)等比数列中与前n 项和有关的基本运算．(3)分组求和法．2．方法归纳：公式法、分组求和法．3．常见误区：等比数列前n 项和公式中项数的判断易出错．1．在数列{a n }中，已知a n ＋1＝2a n ，且a 1＝1，则数列{a n }的前5项的和等于()A ．－25B ．25C ．－31D ．31答案D解析因为a n ＋1＝2a n ，且a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{a n }的前5项的和为25－12－1＝31. 2．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 等于() A.1－x n 1－x B.1－x n －11－xC.⎩⎨⎧ 1－x n 1－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1D.⎩⎨⎧ 1－x n －11－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1答案C解析当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1且x ≠0时，S n ＝1－x n1－x .3．设S n 为数列{}a n 的前n 项和，a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1，则S n 的值为()A ．2n －1B ．2n －1－1C ．2n －n －1D ．2n ＋1－n －2 答案D解析∵a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1×()1－2n1－2＝2n －1， ∴S n ＝()21－1＋()22－1＋…＋()2n －1＝2×()1－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2.4．已知在等比数列{a n }中，a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.答案32或6解析方法一当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，满足S 3＝92.当q ≠1时，依题意，得⎩⎨⎧ a 1q 2＝32，a 1(1－q 3)1－q ＝92.解得⎩⎨⎧ a 1＝6，q ＝－12.综上可得a 1＝32或a 1＝6.方法二⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝92，a 3＝32.所以a 1＋a 2＝3， 所以a 1＋a 2a 3＝1＋q q 2＝2， 所以q ＝1或q ＝－12.所以a 1＝32或a 1＝6.课时对点练1．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝1，则S 100等于()A ．4－2100B ．4＋2100C ．4－2－98D ．4－2－100答案C解析q ＝a 2a 1＝12. S 100＝a 1(1－q 100)1－q ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫121001－12 ＝4(1－2－100)＝4－2－98.2．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于()A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案D解析S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12. 3．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1＋a ，则a 3a 5等于()A ．4B ．8C ．16D ．32答案C解析等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1＋a ，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1＋a －(2n －2＋a )，化简得a n ＝2n －2.则a 3a 5＝2×23＝16.4．数列112，314，518，7116…的前n 项和S n 为()A ．n 2＋1－12n －1B ．n 2＋2－12n C ．n 2＋1－12n D ．n 2＋2－12n －1 答案C解析数列112，314，518，7116…的通项公式为a n ＝2n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋124＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋12n＝⎣⎡⎦⎤1＋3＋5＋…＋()2n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12n ＝n ()1＋2n －12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n 2＋1－12n .5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和等于()A.158或5B.3116或5C.3116D.158答案C解析设数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由已知得9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q， 解得q ＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，∴前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 6．(多选)已知正项等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a 3＝1，1a 1＋1a 3＋1a 5＝214，则() A.{}a n 必是递减数列B ．S 5＝314C ．公比q ＝4或14D ．a 1＝4或14答案BD解析设等比数列{}a n 的公比为q ，则q >0，因为a 1a 5＝a 23＝1，a 3＝a 1q 2＝1，所以1a 1＋1a 3＋1a 5＝1＋1a 1＋1a 5＝1＋a 5＋a 1a 1a 5＝1＋a 1＋a 5＝a 1＋1＋1a 1＝214， 解得⎩⎨⎧ a 1＝4，q ＝12或⎩⎨⎧ a 1＝14，q ＝2.当a 1＝4，q ＝12时，S 5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314，数列{}a n 是递减数列； 当a 1＝14，q ＝2时，S 5＝314，数列{}a n 是递增数列；综上，S 5＝314.7．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2×3n ＋r ，则r ＝________. 答案－2解析S n ＝2×3n ＋r ，由等比数列前n 项和的性质得r ＝－2.8．设数列{}a n 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}b n 是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋ab 3＋…＋ab 10＝________.答案1033解析∵数列{}a n 是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝2＋()n －1×1＝n ＋1，∵{}b n 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴b n ＝1×2n －1＝2n －1，∴ab n ＝2n －1＋1，∴ab 1＋ab 2＋ab 3＋…＋ab 10＝1－2101－2＋10＝1033. 9．已知等差数列{}a n 的前4项和为10，且a 2，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋2n ，求数列{}b n 的前n 项和S n .解(1)设等差数列{}a n 的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝10，()a 1＋d ()a 1＋6d ＝()a 1＋2d 2， 解得⎩⎨⎧ a 1＝52，d ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3. 所以a n ＝52或a n ＝－2＋3()n －1＝3n －5. (2)当a n ＝52时，b n ＝52＋2n ，此时S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝52n ＋2()1－2n 1－2＝2n ＋1＋52n －2； 当a n ＝3n －5时，b n ＝()3n －5＋2n ，此时S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－2＋3n －52·n ＋2()1－2n 1－2＝2n ＋1＋32n 2－72n －2. 10．已知等差数列{}a n 的前n 项的和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若b n ＝123n a +⎛⎫ ⎪⎝⎭－1，求数列{}b n 的前n 项和T n .解(1)设等差数列{}a n 的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，3a 1＋3×(3－1)d 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝1， 故数列{}a n 的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)，即a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝123n a +⎛⎫ ⎪⎝⎭－1＝3n －1，所以T n ＝()3＋32＋33＋…＋3n －n ＝3n ＋12－n －32.11．等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，则数列a 3，a 6，a 9，…，a 3n ，…的前n 项和为() A.a 1()1－q 2n 1－q B.a 1()1－q 3n 1－q 3C.a 3()1－q 3n 1－q 3D.a 2()1－q 2n 1－q答案C解析依题意得等比数列{a n }的通项a n ＝a 1q n －1，所以a 3n ＝a 1q 3n －1，因为a 3(n ＋1)a 3n ＝a 1q 3(n ＋1)－1a 1q 3n －1＝q 3， 所以数列{a 3n }是首项为a 3，公比为q 3的等比数列， 因为q ≠1，所以q 3≠1，所以数列{a 3n }的前n 项和为a 3[]1－(q 3)n1－q 3＝a 3()1－q 3n1－q 3. 12．已知数列{}a n 满足a 1＋12a 2＋122a 3＋…＋12n －1a n ＝n ，记数列{2a n －n }的前n 项和为S n ，则S n 等于()A ．2n－n 22－n 2B ．2n －n 22－n 2－1 C ．2n ＋1－n 22－n 2－2D ．2n －n 22－n 2－2答案C解析因为a 1＋12a 2＋122a 3＋…＋12n －1a n ＝n ，① 所以有a 1＝1，当n ≥2，n ∈N *时，有a 1＋12a 2＋122a 3＋…＋12n －2a n －1＝n －1，②由①－②得，12n －1a n ＝1⇒a n ＝2n －1，显然当n ＝1时，也适合，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)，令2a n －n ＝b n ，所以b n ＝2n －n ，因此有 S n ＝(2－1)＋(22－2)＋(23－3)＋…＋(2n －n )＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n )＝2(1－2n )1－2－(1＋n )n 2 ＝2n ＋1－2－n 2－n 22＝2n ＋1－n 22－n 2－2. 13．设f (n )＝2＋23＋25＋27＋…＋22n ＋7()n ∈N *，则f (n )等于() A.23()4n －1B.23()4n ＋1－1C.23()4n ＋3－1D.23()4n ＋4－1答案D解析易知1,3,5,7，…是首项为1，公差为2的等差数列， 设该数列为{}a m ，则a m ＝2m －1，设a n ＝2n ＋7， 令2m －1＝2n ＋7，∴m ＝n ＋4，∴f (n )是以2为首项，22＝4为公比的等比数列的前n ＋4项的和，∴f (n )＝2()1－4n ＋41－4＝23()4n ＋4－1. 14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1,2S n ＝a n ＋1－1，则S n ＝________. 答案3n －12解析当n ＝1时，则有2S 1＝a 2－1， ∴a 2＝2S 1＋1＝2a 1＋1＝3；当n ≥2时，由2S n ＝a n ＋1－1得出2S n －1＝a n －1， 上述两式相减得2a n ＝a n ＋1－a n ， ∴a n ＋1＝3a n ，得a n ＋1a n ＝3且a 2a 1＝3， ∴数列{a n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.15．已知数列{}a n ：12，122，222，322，123，223，323，423，523，623，723，124，224…的前n 项和为S n ，则S 120＝________.答案60解析将此数列分组，第一组：121，共21－1项；第二组：122＋222＋322＝32＝22－12，共22－1项的和；第三组：123＋223＋323＋423＋523＋623＋723＝2823＝72＝23－12，共23－1项的和；…第n 组：12n ＋22n ＋32n ＋42n ＋52n ＋62n ＋…＋2n －12n ＝()2n －1×2n 2n ×2＝2n －12，共2n －1项的和； 由()21－1＋()22－1＋()23－1＋…＋()2n －1＝2×()2n －1－n ＝120，解得n ＝6，因此前120项之和正好等于前6组之和，21－12＋22－12＋…＋26－12＝21＋22＋…＋26－62＝2×()26－1－62＝60. 16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧6n －5，n 为奇数，4n ，n 为偶数， 求数列{a n }的前n 项和S n .解①当n 为大于或等于3的奇数时，S n ＝[1＋13＋…＋(6n －5)]＋(42＋44＋…＋4n －1) ＝1＋6n －52·n ＋12＋42(1－4n －1)1－42＝(n ＋1)(6n －4)4＋4n ＋1－1615 ＝(n ＋1)(3n －2)2＋4n ＋1－1615. 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1，上式同样成立．②当n 为偶数时，S n ＝[1＋13＋…＋(6n －11)]＋(42＋44＋…＋4n －2＋4n )＝n (3n －5)2＋4n ＋2－1615. 综上，S n ＝⎩⎨⎧ (n ＋1)(3n －2)2＋4n ＋1－1615，n 为奇数，n (3n －5)2＋4n ＋2－1615，n 为偶数.。
高一数学七章复习资料
高一数学七章复习资料高一数学七章复习资料数学作为一门学科，对于学生来说是一门既有挑战性又有趣味性的学科。
在高一的学习中，数学的七章内容是学生们必须要掌握的重要知识点。
为了帮助同学们更好地复习这些知识，下面将为大家提供一些高一数学七章的复习资料。
一、函数与导数1. 函数的概念与性质：函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
2. 导数的概念与计算：导数是函数在某一点的变化率，也可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
常见的计算导数的方法有极限定义、基本求导法则和复合函数求导法则等。
3. 函数的应用：函数在实际问题中有广泛的应用，如最优化问题、曲线的切线与法线、函数的图像与性质等。
二、三角函数与解三角形1. 三角函数的定义与性质：三角函数是描述角度与边长之间关系的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们具有周期性、奇偶性和单调性等特点。
2. 解三角形的基本原理：通过已知三角形的一些条件，如边长、角度等，可以利用三角函数的性质来求解未知的边长和角度。
3. 三角函数的应用：三角函数在几何、物理等领域有着广泛的应用，如航海、测量、力学等。
三、数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质：数列是按照一定规律排列的一组数，可以是等差数列、等比数列等。
数列的性质包括通项公式、前n项和等等。
2. 数学归纳法的原理与应用：数学归纳法是一种证明方法，通过证明当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，从而推导出对于任意正整数n都成立。
3. 数列的应用：数列在数学中有着广泛的应用，如求和、递推关系、数列的极限等。
四、概率与统计1. 概率的基本概念与计算：概率是描述事件发生可能性的数值，可以通过实验和理论计算来求解。
常见的计算方法有古典概型、几何概型和统计概型等。
2. 统计的基本概念与方法：统计是根据样本数据推断总体特征的学科，包括描述统计和推断统计两个方面。
高一数学总复习知识点是什么
高一数学总复习知识点是什么高一数学总复习知识点1两个平面的位置关系：(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点(2)两个平面的位置关系：两个平面平行——没有公共点;两个平面相交——有一条公共直线。
a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。
b、相交二面角(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°，180°](3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)高一数学总复习知识点2函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.求作图象的函数表达式与f(x)的关系由f(x)的图象需经过的变换y=f(x)±b(b>0)沿y轴向平移b个单位y=f(x±a)(a>0)沿x轴向平移a个单位y=-f(x)作关于x轴的对称图形y=f(|x|)右不动、左右关于y轴对称y=|f(x)|上不动、下沿x轴翻折y=f-1(x)作关于直线y=x的对称图形y=f(ax)(a>0)横坐标缩短到原来的，纵坐标不变y=af(x)纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变y=f(-x)作关于y轴对称的图形例定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.①求证：f(0)=1;②求证：y=f(x)是偶函数;③若存在常数c，使求证对任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;试问函数f(x)是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期;如果不是，请说明理由.思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题一般采用赋值法.解答：①令x=y=0，则有2f(0)=2f2(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)=1.②令x=0，则有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，这说明f(x)为偶函数.③分别用(c>0)替换x、y，有f(x+c)+f(x)=所以，所以f(x+c)=-f(x).两边应用中的结论，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，所以f(x)是周期函数，2c就是它的一个周期.高一数学总复习知识点3(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
高一数学必修一上册第二章复习要整理归纳
高一数学必修一上册第二章复习要整理归纳高一数学必修一上册第二章复习要整理归纳函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)。
(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①定义域一致;②表达式相同 (两点必须同时具备)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
预学高一数学知识点总结
预学高一数学知识点总结高中数学是数学学科中的重要阶段，对于学习者来说，提前预习并掌握一些高一数学知识点将为他们的学习打下坚实的基础。
在这篇文章中，我将总结一些预学高一数学知识点，并提供相关示例和解释。
一、代数与函数1.1 一元二次方程一元二次方程是高一代数学习的重点内容。
它的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b和c是实数且a≠0。
解一元二次方程可以通过因式分解、配方法、求根公式等方法来完成。
示例：解方程2x²-5x+3=0。
解：使用因式分解法，可以得到(2x-1)(x-3)=0，因此方程的解为x=1/2和x=3。
1.2 函数与方程函数是数学中的重要概念，它描述了变量之间的关系。
高一数学学习中，涉及到函数的定义、图像、性质等内容。
常见的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
示例：给定函数f(x)=2x+1，求其图像在坐标系中的表示。
解：我们可以通过选取不同的x值计算对应的f(x)值，然后将这些点在坐标系中画出来连接成一条直线，即可表示函数f(x)=2x+1的图像。
二、几何与三角学2.1 平面几何高一几何学习中，平面几何是一个重要的部分。
内容包括平面图形的性质、判定、证明等。
常见的平面图形有直线、三角形、四边形、圆等。
示例：证明等腰三角形的底边角相等。
解：首先，通过等腰三角形的定义得知，两边相等。
然后，可以通过等角的性质来证明底边角也相等。
三角学是高一数学学习中的重点内容。
涉及到三角函数、三角恒等式、解三角形等内容。
掌握三角学的基本概念和公式对于解决与角度相关的问题非常重要。
示例：已知直角三角形的一条直角边长为3cm，斜边长为5cm，求另一条直角边的长度。
解：根据勾股定理可知，直角边的长度为√(5²-3²)=√16=4cm。
三、概率与统计3.1 概率概率是数学中探讨随机事件发生可能性的学科。
在高一数学中，学习者需要了解基本的概率定义、计算方法以及概率模型等。