2009上海七校联考数学(文科)及答案

第1个 第2个 第3个上海市高三学习水平测试七校联考数学(文科)试卷09.21．若1>a ，则∞→n lim=-+nn aa 3121___________.2．若i x 211+=是实系数一元二次方程02=++q px x 的一个根，则=+q p __________ . 3．函数21)1(--=x y 的定义域为_____________________.4．函数2sin 34y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像的两条相邻对称轴之间的距离是 . 5. 已知集合{}062=-+=x x x P ，集合{}01=-=ax x Q ，且QP ，则实数a 所能取的一切值为____________________. 6.设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101321B , 则=AB 7．计算：2222291073108210911010C C C C -+-+- =__________.8．过两点)6,4(,)1,3(B A --的直线与直线04=-+y x 交于点P ，则点P 分AB 所成的比为__________.9．已知数列{}n a 的前n 项和122-+=n n S n ，则数列的通项=n a __________________.10．设三棱柱111C B A ABD -的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱1AA 、1CC 上的点，且1QC PA =，则四棱锥APQC B -的体积为__________. 11．函数)0()1ln(2≤+=x x y 的反函数为______________.12．用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成若干图形，现将一粒豆子随机撒在第10个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是____________.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.13．在△A B C 中，若01sin cos 2sin =CB A ，则△A BC 的形状为 [答] ( )（A ）等腰三角形. （B ）直角三角形.（C ）等腰直角三角形. （D ）等腰三角形或直角三角形.14．曲线11622=--kykx与曲线22525922=+yx 的焦距相等的充要条件是 [答] ( )（A ）016≠<k k 且. （B ）160≠>k k 且. （C ）160<<k . （D ）160><k k 或.15．下图中，不是正四面体的表面展开图的是 [答] ( )（A ）①⑥. （B ）②⑤. （C ）③④. （D ）④⑥.16．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是 [答] ( )（A ）11010 （B ）01100 （C ）10111 （D ）000111A A1B1C1DA B CDEFA DC B 30045︒三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.17. (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 如图，在棱长为1的正方体中，F E 、分别是棱11B A 、CD 的中点，（1）求证：BC AE ⊥；（2）求CE 与平面B B AA 11所成角的大小（用反三角函数表示）； [解：]18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分.如图，某海滨浴场的岸边可近似地看作直线AD ，救生员现在岸边的A 处，发现海中的B 处有人求救，救生员没有直接从A 处游向B 处，而是沿岸边A 跑到离B 最近的D 处，然后游向B 处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在游水中的行进速度为2米/秒，且45BAD ∠=︒，300BD =米． （1）分析救生员的选择是否正确；（2）在AD 上找一点C ，使救生员从A 经C 到B 的时间为t ． 根据下列提示任选其一．．．．或另选自变量．．．．．．写出t 表示成自变量的函数关系式：①设C BD θ∠=，将t 表示成θ的函数关系式；②设)(km x CD =，将t 表示成x 的函数关系式； [解：]19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的右焦点F )0,(c 到上顶点的距离为2，22=ca，点)0,(m C 是线段OF 上的一个动点.(1) 求椭圆的方程;(2) 若过点F 存在一条与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A 、B 两点,使得BA CB CA ⊥+)(，求实数m 的取值范围．[解：]20. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.已知二次函数()()R x a ax x x f ∈+-=2同时满足：①不等式()0≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立。

设数列{}n a 的前n 项和()n f S n =， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试构造一个数列{}n b ，（写出{}n b 的一个通项公式）满足：对任意的正整数n 都有n n a b <，且2lim=∞→nn n b a ，并说明理由；（3）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数。

令nna a c -=1（n 为正整数），求数列{}n c 的变号数。

[解：]21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 函数bax x x f +=)((a ，b 是非零实常数)，满足1)2(=f ，且方程x x f =)(有且仅有一个解．（1）求a 、b 的值；（2）是否存在实常数m ，使函数)()(x mxf x g =在区间(]0,1上是减函数，若存在，求出实数m 的范围，若不存在，请说明理由；（3）试讨论关于x 的方程x k x xf =)(只有一个实数解时实数k 的取值范围． [解：]1A A1B1C1DABCDEF联合考试参考答案一．填空题 1．32-2．3 3．),1(+∞ 4．3π5．0或21或31-6．⎪⎪⎭⎫⎝⎛---222222 7．0 8．349．（文）⎩⎨⎧∈≥+==*21212N n n n n a n （理）4018 10．V 3111．（文）1)(1--=-ye x f（理）27 12．6353二．选择题13．A 14．A 15．D 16．C三．解答题17．解：（1） 正方体中B B AA BC 11面⊥，B B AA AE 11面⊂，BC AE ⊥∴． （2）（文）连接EB ，CEB ∠为CE 与平面B B AA 11所成角，1=BC ，25=BE ，552tan =∠∴CEB ，即CE与平面B B AA 11所成角大小为552arctan；（2）（理）以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x ,y ,z 轴建立共建直角坐标系 则)1,21,1(),0,21,0(),0,0,1(E F A ，面ABF 的一个法向量为)1,0,0(1=n)0,21,1(),1,21,0(-==AF AE ，设面AEF 的一个法向量为),,(2z y x n =，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+021021y x z y 可取⎪⎩⎪⎨⎧-===121z y x 即)1,2,1(2-=n设二面角B AF E --的大小为θ，显然θ为锐角，则6661cos 2121==⋅⋅=n n n nθ， ∴二面角B AF E --的大小为66arccos ．ADCB30045︒18．解：（1）直接A 从处游向B处时间为1AB t v ==游水从A 经D 到B 处的时间为2200AD D B t v v =+=跑游水（秒），易知200>，即12t t >，所以，救生员选择“从A 经D 到B 处”是正确的．（2）设C BD θ∠=，则(0,)4θπ∈，300cos BC θ=，300300tan AC θ=-，从A 经C 到B 处的时间为(0,)4θπ∈设)(km x CD =，则)300,0(∈x x AC -=300，22300x BC +=从A 经C 到B 处的时间为 2300630022xx t ++-= )300,0(∈x ．19．解：(1)由题意可知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=22222222c b a c b ca ，得⎪⎩⎪⎨⎧===112cb a ，∴椭圆的方程为1222=+y x ；（2）由（1）得)0,1(F ，所以10≤≤m .由于存在满足题意的直线l ，设l 的方程为)1(-=x k y ，代入1222=+yx，得0224)12(2222=-+-+kx k x k，设),(),,(2211y x B y x A ，则1222,12422212221+-=+=+kk x x kk x x ，122)2(22121+-=-+=+∴kk x x k y y ，)122,2124(),(),(2222211+--+=-+-=+∴kk m kk y m x y m x CB CA ，,)(AB CB CA ⊥+ 而AB 的方向向量为),1(k ，m km k kk m kk =-⇔=⨯+-+--∴2222)21(01222124，∴当210<≤m 时,mm k 21-±=,即存在这样的直线l ．20解：（1）∵()0≤x f 的解集有且只有一个元素，∴40042==⇒=-=∆a a a a 或， 当0=a 时，函数()2x x f =在()+∞,0上递增，故不存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立。

当4=a 时，函数()442+-=x x x f 在()2,0上递减，故存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立。

综上，得4=a ，()442+-=x x x f ，∴442+-=n n S n ，∴ ⎩⎨⎧≥-==25211n n n a n（2）要使2lim=∞→nn n b a ，可构造数列k n b n -=，∵对任意的正整数n 都有n n a b <，∴当2≥n 时，52-<-n k n 恒成立，即k n ->5恒成立，即325>⇒<-k k ，又0≠n b ，∴*N ∉k ，∴23-=n b n ，等等。