苏教版高二数学数系的扩充与复数的概念
《数系的扩充和复数的概念》教案及说明
《数系的扩充和复数的概念》教案及说明教学目标：1.了解数系的扩充，并能够理解自然数、整数、有理数、无理数、实数和复数之间的关系。
2.掌握复数的定义、运算规则和表示方法。
3.能够应用复数解决实际问题。
教学重点：1.数系的扩充和复数的定义。
2.复数的运算规则和表示方法。
教学难点：1.理解数系的扩充对于数学的意义。
2.掌握复数的运算规则和应用技巧。
教学内容：一、数系的扩充1.自然数：正整数，用于计数。
2.整数：包括正整数、负整数和0。
3.有理数：可表示为两个整数之比的数。
4.无理数：不可表示为两个整数之比的数。
5.实数：包括有理数和无理数。
6. 复数：形如a+bi的数，其中a和b为实数，i为虚数单位。
二、复数的定义和表示1. 复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2.复数的表示：复数可以用平面直角坐标系中的点表示，a为横坐标，b为纵坐标。
3.复数的运算：复数的加减乘除法规则同实数运算，注意i的平方为-1三、复数的应用1.解方程：复数可以解决一些实数无解的方程。
2.代数表达式：复数可以简化代数表达式，并且在求根过程中十分有用。
3.物理问题：在电路、波动等问题中，复数有着广泛的应用。
教学步骤：一、引入复数的概念2.解释为什么需要引入复数。
3.引导学生构建复数概念。
二、复数的定义和表示1.讲解复数的定义和表示方法。
2.给出几个例子，让学生练习表示复数。
3.带领学生画出复数在平面直角坐标系中的位置。
三、复数的运算1.讲解复数的加减乘除法规则。
2.演示如何计算复数的运算。
3.给出一些练习题，让学生巩固运算技巧。
四、复数的应用1.解方程：举例说明复数如何解决一些实数无解的方程。
2.代数表达式：展示复数简化代数表达式的过程。
3.物理问题：讲解复数在物理问题中的应用实例。
五、综合练习和实践1.设计一些综合性的练习题，包括复数的定义、表示和运算。
2.提供一些实际问题，让学生尝试用复数解决。
数系的扩充和复数的概念
R)
——复数的代数形式 i----虚数单位
b——虚部
虚数可以比较大小吗？
不可以。但是可以判断是否相等。
在复数集C={a+bi|a、b R}中任取两个数 a+bi,c+di(a 、b、 c、d R),我们规定：
a+bi=c+di相等
a=c且b=d
复数和实数间有什么关系？
对于复数z=a+bi, 若b=0,z为实数；若a=b=0,z=0； 若b不为0，z为虚数； 若a=0且b=0，z叫纯虚数。
（2）在整数集内解方程 3x-2=0 无解,因而添加分数，在 有理数集内方程的根为 x=2/3
（3）在有理数集内解方程x2-2=0 无解,因而添加无理数， 在实数集内方程的根为 x= 2
解方程 x2+1=0 上述方程在实数系中是无解的。
设想引入新数i,使i是方程 x2+1=0的根，即使i i=-1 。 把数添加到实数集中，得到一个新数集A，则方程 x2+1=0 在A中就有解i了。
为使i与实数间仍能进行加法、乘法的运算律，我们有了 a+bi (a、b R)这样的数的形式。
所以实数系经过扩充后得到的新数集为C={a+bi|a、b R}, 我们把形如a+bi (a、b R)的数叫做复数，其中i叫做虚数 单位，全体复数组成的集合C叫做复数集。
复数通常表示为z=a+bi(a、b a——实部
实数（b=0）
复数
虚数(b=0)
纯虚数（a=0,）
非纯虚数(a=0)
练习 1.判断下列复数的实部和虚部： 1 -2+ i , 2 +i , 2 ,- 3 i ,i ,0 3 2 2. 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些使纯 虚数。 2+ 7 ,0.618 ,
数系的扩充与复数的概念》教案
数系的扩充与复数的概念》教案教案：数系的扩充与复数的概念一、教学目标：1.理解数系的扩充是为了解决方程$x^2=a$(a<0)而引入复数的概念；2.掌握复数的定义与基本运算；3.了解复数在平面直角坐标系中的表示方式；4.掌握解一元二次方程及其应用。
二、教学重难点：1.复数的定义与基本运算；2.复数在平面直角坐标系中的表示；3.解一元二次方程及其应用。
三、教学过程：Step 1: 引入教师在黑板上写下方程$x^2=-1$，并询问学生这个方程有没有实数解。
引导学生思考并让他们发表自己的观点。
Step 2: 数系的扩充1.教师讲解当a<0时，方程$x^2=a$没有实数解的情况。
为了解决这个问题，数学家们引入了复数的概念，即数系从实数扩充为复数。
2.教师简要介绍复数的历史背景和意义，以增加学生对复数概念的兴趣。
Step 3: 复数的定义与表示1. 教师引导学生理解复数的定义：复数表示为 a + bi，其中 a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
2. 通过例子引导学生掌握复数的表示方式，如 2 + 3i、-5i、$\sqrt{2} + \sqrt{3}i$。
Step 4: 复数的基本运算1.教师简要介绍复数的基本运算法则：加法、减法、乘法和除法。
2.通过例子分别演示复数的加减乘除运算，并指导学生进行练习。
Step 5: 复数的图示表示1. 教师引导学生理解复数在平面直角坐标系中的表示方法。
将实部和虚部分别看作是复平面上的横坐标和纵坐标，复数 a + bi 对应复平面上的一个点。
2.通过例子和练习让学生熟悉复数在复平面上的图示表示。
Step 6: 一元二次方程的解及其应用1. 教师复习一下一元二次方程的一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$，其中 a、b 和 c 都是实数，且 $a \neq 0$。
2.教师讲解如何用复数解一元二次方程，通过例题引导学生理解。
四、课堂练习与讨论五、作业布置1.练习册上的相关习题；2.解一些一元二次方程。
《数系的扩充和复数的概念》教学设计
数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析1.内容从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.2.内容解析复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后一次扩充，通过复数的学习，可以使学生对数的概念有一个更加完整的认识．复数与平面向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础. 复数在力学、电学及其他学科中都有广泛的应用.在数学中，数系的扩充必须遵循有关的“规则”，即扩充后的数系中规定的加法运算、乘法运算，与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 从实数系向复数系扩充，同样要符合这样的规则．复数概念的引入，从实系数一元二次方程当判别式小于0时没有实数根出发，回顾从自然数系逐步扩充到实数系、特别是有理数系扩充到实数系的过程，发现数系扩充中体现出的“规则”；进而在“规则”的引导下，考虑为使方程有解，引入新数i，从而可以像实数一样进行加法、乘法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充到复数集．这一过程，通过数系扩充“规则”的归纳，提升学生的数学抽象素养；通过实数系向复数系的扩充，让学生体会类比的数学思想，提升学生的逻辑推理素养，并感受人类理性思维在数系扩充中的作用.复数的概念是整个复数内容的基础.复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的含义，以及虚数、纯虚数等概念的提出，都是在促进对复数实质的理解，即复数a+bi实质上是有序实数对(a,b). 通过对复数实质的揭示，为后续复数的几何意义、复数的四则运算以及复数的三角表示的学习作准备. 因此，复数的概念，对本章具有奠基性的作用.基于以上分析，确定本节课的教学重点：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.二、目标和目标解析1. 目标（1）了解引入复数的必要性；（2）了解数系扩充的一般“规则”，了解从实数系扩充到复数系的过程，感受数系扩充过程中人类理性思维的作用，提升数学抽象、逻辑推理素养；（3）理解复数的代数表示式，理解复数的有关概念，理解复数相等的含义.2. 目标解析达成目标（1）的标志是：能够通过方程的解，感受引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用.达成目标（2）的标志是：学生能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数系扩充的一般“规则”，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用.达成目标（3）的标志是：学生能说明虚数i的由来，能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，会用Venn图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系；知道两个复数相等的含义，能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题.三、教学问题诊断分析学生在学习本节课内容之前，在义务教育阶段已经经历了从自然数到实数的扩充过程，对数系的扩充有了一定的认识，知道数系扩充后，新的数系能够解决在原有数系中无法解决的一些解方程问题（如引入无理数，把有理数系扩充到实数系后，可以解决方程的解这样的问题等），因此当遇到像这样的方程的解的问题时，通过引导启发，学生能够联想到对现有的实数系进行进一步扩充，从而使方程有解.学生在前面的学习中，也已多次利用过类比的方法来研究数学问题，这为本节课类比有理数系扩充到实数系的过程和方法，将实数系扩充到复数系提供了可能.学生在学习时可能出现的障碍为：（1）因为现实生活中没有任何事物支持虚数，学生可能会怀疑引入复数的必要性，在教学中,如果单纯地讲解或介绍复数的概念会显得枯燥无味,学生不易接受.（2）由于知识储备和认知能力的限制，学生对数系扩充的一般规则并不熟悉，对虚数单位的引入，以及虚数单位和实数进行形式化运算的理解会出现一定困难.（3）学生以前学习过的数都是单纯的一个数，而复数的代数形式是两项和的形式，学生比较陌生，因此理解上会存在一定困难.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：复数系扩充过程的数学基本思想，复数的代数表示.突破难点的策略：（1）适当介绍数的发展简史，增强学生学习的趣味性和生动性.（2）通过解方程问题引导，借助已有的数系扩充的经验，特别是从有理数系扩充到实数系的经验，从特殊到一般，帮助学生梳理出数系扩充过程中体现的“规则”，进而在“规则”的引导下进行从实数系到复数系的扩充，感受引入复数的必要性和合理性.（3）引导学生按照“规则”自主探究出复数集中可能存在的各种数，并归纳总结出复数的一般表示方法，经历复数形式化的过程.四、教学过程设计（一）创设情境，引出研究内容创设情境：我们知道，对于实系数一元二次方程时没有实数根. 因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决. 事实上，数学家在研究解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题，但他们一直在回避. 直到1545年，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，用求根公式、因式分解法两种方法同时求解一些特殊的一元三次方程时，得到了无法理解的结果，于是再也无法回避这个问题.例如，求解时，利用三次方程的求根公式可以得出三个根或；而通过因式分解，得，因此方程的三个根为这个在当时无法理解的等式，数学家们就去尝试研究诸如的问题.在解决这些问题的过程中，他们遇到的最大困扰就是，负实数到底能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？师生活动：以教师引导为主，主要介绍历史上，数学家们经过了反复的研究探索，将实数系进一步扩充，引入了一种新的数——复数，从而将实数系扩充到复数系，解决了负数开平方的问题，本章我们就来研究复数. 本节课我们先类比自然数集逐步扩充到实数集的过程和方法，研究如何把实数集扩充到复数集，学习复数的有关概念，后续我们还要继续研究复数的几何意义，复数的四则运算以及复数的三角表示等.设计意图：通过对复数发展历史的简要介绍，特别是三次方程根的问题的介绍，引发学生的认知冲突，激发学生对数系扩充过程的兴趣，并点出本节课的主要内容，进而简要介绍本章的学习内容，使学生对本章的知识脉络有大致认识.（二）归结为方程求解问题，梳理数系扩充的“规则”问题1从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程是否有解，也就是是否有解的问题．思考一下，能不能把这类问题再进一步简化，最终转化为最简单的方程是否有解的问题呢？追问我们知道，在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，是否能引入新数，适当扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？师生活动：教师进一步引导：下面，我们就类比从自然数集到实数集的扩充过程，尝试引入新数，适当扩充实数集，使这个方程在新数集中有解．引入什么数，如何扩充实数集？这就是我们今天所要研究的问题.设计意图：通过问题1，将历史上的负数能否开平方的问题转化为方程是否有解的问题，为后续从解方程的角度研究数系的扩充做好铺垫，同时也让学生认识到数学中的复杂问题都可以通过转化与化归的方法，转化为基本问题.通过追问，点出本节课的主要任务，以及研究的思路和方法．问题2 我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系. 回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说明吗？（1）在自然数集中求方程x+1=0的解；（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；（3）在有理数集中求方程的解；师生活动：教师提出问题，学生分组讨论，从两个角度思考问题，可让一半学生侧重讨论解决的实际问题，另一半学生侧重讨论解决的数学问题，教师参加到讨论之中，对学生讨论中的不足之处教师补充说明，讨论后，学生交流互动，师生共同归纳总结出结论.预设答案：（1）从社会实践来看，数系的扩充是为了满足生活和生产实践的需要.计数的需要产生了自然数，有了自然数系；自然数系中不能刻画具有相反意义的量，于是引入了负整数，将自然数系扩充到了整数系；整数系中不能解决测量中的一些等分等问题，于是引入了分数，将整数系扩充到了有理数系；有理数系中无法解决正方形对角线长的度量等问题，于是引入了无理数，这样便将有理数系扩充到了实数系.（2）从数学发展本身来看，数系的扩充也是数学本身发展的需要．方程x+1=0在自然数集N内无解，引入负整数后，它在整数集Z 内便有解x=-1；方程2x-1=0在整数集Z内无解，引入分数后，它在有理数集Q内便有解在有理数集Q内无解，引入无理数后，它在实数集R内便有解.教师板书：设计意图：通过数的发展历史，抓住知识的“生长点”和学生的“最近发展区”，使学生了解数的产生以及数系的不断扩充是基于两方面原因：社会生产实践的需要和数学自身发展的需要.问题3可以看出，数集的每一次扩充，都是在原来数集的基础上添加“新数”得到的，引入新数就要引入新运算，如果没有运算，数集中的数只是一个个孤立的符号. 加法和乘法运算是上述数系中最基本的运算（减法、除法运算分别可以转化成加法、乘法运算）．梳理从自然数系逐步扩充到实数系的过程，数系的每一次扩充，加法和乘法运算满足的＂性质＂有一致性吗？由此你能梳理数系扩充遵循的“规则”吗？师生活动：教师引导分析，从自然数集扩充到整数集时，原来在自然数集中规定的加法和乘法运算法则和运算律在整数集中仍然成立；进而学生小组讨论，探求从整数集到有理数集以及从有理数集到实数集的扩充中，加法和乘法满足的“性质”，教师要特别强调从有理数集扩充到实数集满足的“性质”.师生共同总结这些性质的一致性，得出数系扩充的＂规则＂：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.教师继续板书：设计意图：梳理数系扩充过程和方法的“一致性”，总结数系扩充的一般“规则”，为后续实数系的进一步扩充提供方法，进而突破本节课的难点.（三）依据规则，扩充实数集，引入复数问题4方程在实数系中无解，类比从自然数系扩充到实数系的扩充过程，特别是从有理数系扩充到实数系的过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？师生活动：学生思考回答：可以添加新数，对实数集进行扩充，并且添加新数后的新的数集中的加法和乘法运算，与实数集中加法和乘法运算协调一致，并且运算律保持不变.追问：引入一个什么样的数呢？师生活动：教师通过信息技术制作的课件介绍虚数的引入历史，并给出虚数的概念. 我们可以引入一个数“i”，使，这样x=i就是方程的解. 因为历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的.所以，我们把这个数称为“虚数单位”.设计意图：教师介绍与虚数单位i有关的历史，激发学生的学习兴趣，强化对i的认识．问题5把新引进的数i添加到实数集中后，我们希望按照前面总结的数系扩充的“规则”，对实数系进行进一步扩充．那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？师生活动：教师引导，可以类比有理数系扩充到实数系的过程与方法，以及实数系新数的形式，如等具体的数.教师引导学生归纳：新数集中的数是由原来的实数和新引入的虚数i经过适当“组合”而成的，构成的方法就是将实数和i进行运算，组成新数，这里主要进行的是i和实数之间的加法、乘法运算，因为按照我们前面总结的规则：新数集中规定的加法和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且运算律仍然成立. 这样我们就可以把实数a与新引入的数i相加，得到a+i；把实数b与i相乘，得到bi；把实数a与实数b和i相乘的结果相加，得到a+bi. 因为我们是要得到新数集中所有数的基本表示形式（即a+bi的形式），所以这里都只进行最基本的形式上的运算即可，至于等形式，它们不是最基本的形式，在后续的复数运算中再去研究，它们也能化为a+bi的形式.追问1你能写出一个形式，把刚才大家所说的数都包含在内，并说明理由吗？师生活动：学生思考回答，所有新数集中的数都可以写成a+bi（a，b∈R）的形式，因为.追问2 你能写出新数集的集合吗？师生活动：学生口述，教师板书：C={a+bi|a，b∈R}.设计意图：通过问题5和追问1，2，引导学生类比自然数到实数不断扩充过程中所遵循的规则，根据“运算”和“运算律”，由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形式和复数集，让学生体会数系扩充过程中理性思维的作用，以及数学形式化、符号化的过程，突破本节课的难点，提升学生逻辑推理、抽象概括素养．问题6阅读教科书，回答以下问题：（1）复数a+bi（a，b∈R）的虚数单位、实部、虚部分别是指什么？（2）什么是虚数和纯虚数？试举出具体例子．师生活动：教师提出问题，学生独立阅读教科书，阅读之后回答问题．（1）学生口答：a是复数的实部，b是复数的虚部．教师强调应注意限制条件a，b∈R，另外复数a+bi的虚部是b而不是bi．（2）学生口答，当.设计意图：通过问题引导，指导学生阅读教科书，思考并回答问题，明确复数的基本概念，培养阅读教科书的习惯和阅读理解能力.问题7 我们知道复数集是由形如a+bi（a，b∈R）的数组成的，为了保证集合中元素的互异性（确定性），我们需要明确集合中两个元素相等的含义，请阅读教科书，说说两个复数a+bi和c+di(a，b,c,d∈R)相等的含义．师生活动：学生阅读教科书后作答．教师引导：一个复数由实部和虚部唯一确定，所以判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等.进而教师给出两个复数相等的定义并板书. 复数a+bi与c+di相等当且仅当a=c 且b=d.追问1 由复数相等的含义知，两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部都分别相等，也就是：复数由它的实部和虚部唯一确定．回忆一下，复数的这个特征与你以前遇到过什么数学对象类似？由此，你能进一步刻画复数的特征吗？师生活动：教师引导，学生思考、讨论，得出：复数的这个特征与平面上点的坐标，平面向量的坐标等类似，因此复数a+bi（a，b∈R），可以看成是一个有序实数对(a,b).追问2 复数是实数的充要条件是什么？a+bi的充要条件是什么？师生活动：学生思考回答，教师补充完善. 对于复数a+bi（a，b∈R），易得当且仅当b=0时，它是实数；a+bi=0即a+bi=0+0i，由复数相等的含义，推导可得：当且仅当a=0,b=0时，复数a+bi=0.教师总结：实际上，复数相等的含义，不仅是判断两个复数相等的依据，也是求某些复数值的依据，即利用复数相等的定义，可以得到关于实数的方程（组），通过解方程（组）得到a,b的值. 教师在此处也可以指出：一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数都是实数时才能比较大小.设计意图：从保证集合中元素的互异性（确定性）出发，引出在实数集中引入新对象后，要研究两个新数相等的含义，进而给出两个复数相等的含义，并由复数相等的定义出发，得到复数实质上是一个有序实数对，为研究复数的几何意义以及复数的三角表示奠定基础.问题8 我们已经将实数集扩充到复数集，那么复数集C和实数集R之间有什么关系？你能对复数a+bi（a，b∈R）进行分类，并用Venn图表示吗？师生活动：学生思考并写在练习本上，教师巡视指导，用多媒体等设备交流展示学生作品.教师指出实数集R是复数集C的真子集，也体现了数系扩充的规律之一：新数集包含原来的数集.设计意图：引导学生弄清楚复数集和实数集之间的关系以及复数的分类，深化学生对复数集是实数集的“扩充”以及对复数的理解．（四）精选例题，强化理解应用例1请你说出下列集合之间的关系：N，Z，Q，R，C．例2写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．例3当实数m取什么值时，复数是下列各数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.例4已知(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i，求实数x,y的值．师生活动：教师用PPT展示例题. 例1，例2学生思考、口答，教师点评.例3，例4，学生思考，独立完成后用多媒体交流展示，教师点评并规范解题步骤.设计意图：例1主要让学生巩固数集之间的关系，完善认知结构；例2，例3主要是帮助学生巩固复数的分类标准，加深对复数概念的理解；例4主要是强化复数相等的含义，让学生在解决问题的过程中内化复数有关概念，起到及时反馈、学以致用的功效．（五）反思总结，提炼学习收获问题10通过本节课的学习，你有哪些收获？试着从知识、方法、数学思想、经验等方面谈一谈.师生活动：学生思考回答，教师补充完善.预设答案：知识方面：了解了数系扩充的基本“规则”，复数的基本概念（复数、实部、虚部、虚数、纯虚数等）、两个复数相等的含义、复数的分类等；思想方法方面：实数系扩充到复数系运用了类比的研究方法，解决复数相等问题运用了转化的数学思想等；经验：研究新的数学问题可以类比已学过的问题.设计意图：通过对数系扩充规则、扩充过程以及复数相关概念等知识和方法的总结，使学生对本节课的学习有一个全面、系统的认识，一方面深化对复数知识的理解，另一方面总结研究方法，积累研究数学问题的经验.（六）布置作业教科书习题7.1第1，2，3题.五、目标检测设计1.a=0是复数（a，b∈R）为纯虚数的（）.（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分条件也非必要条件设计意图：考查学生对复数概念的理解.2.当实数m取什么值时，复数是下列数？（1）实数；（2）纯虚数；（3）0.设计意图：考查学生对复数基本概念和复数相等含义的理解.3.求适合下列方程的实数x与y的值：（1）(x+y-3)+(x-4)i=0；（2）(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i．设计意图：考查学生利用两个复数相等的含义解决简单数学问题的能力．。
高二数学数系的扩充与复数的概念1
思考7：复数集、实数集、虚数集、纯虚 数集之间的关系用韦恩图怎样表示？
复数 纯虚数 实数
虚数
思考8：两个实数可以比较大小，一个实
数与一个虚数或两个虚数可以比较大小
吗？
虚数不能比较大小.
理论迁移
例1 实数m取什么值时，复数z＝m＋ 1＋(m－1)i分别是实数，虚数和纯虚数？
当m＝1时，z是实数； 当m≠1时，z是虚数； 当m＝－1时，z是纯虚数.
后晃起青春光洁的手掌一耍，轻飘地从里面跳出一道怪影，他抓住怪影俊傲地一抖，一套蓝冰冰、白惨惨的兵器∈追云赶天鞭←便显露出来，只见这个这玩意儿，一边蜕变， 一边发出“喇喇”的猛声。！猛然间蘑菇王子狂魔般地念起稀里糊涂的宇宙语，只见他好象美妙月牙一样的，镶嵌着无数奇宝的蓝白色瓜皮滑板中，突然弹出二团扭舞着∈神 音蘑菇咒←的焰火状的水管，随着蘑菇王子的颤动，焰火状的水管像古树一样在拇指秀丽地鼓捣出隐约光波……紧接着蘑菇王子又连续使出七千一百五十七家猛燕麦穗震，只 见他深邃快乐、充满智慧的黑亮眼睛中，萧洒地涌出四串晃舞着∈神音蘑菇咒←的光盘状的翅膀，随着蘑菇王子的晃动，光盘状的翅膀像樱桃一样，朝着女狂人Ｑ．玛娅婆婆 丰盈的胸部直跳过去！紧跟着蘑菇王子也晃耍着兵器像门柱般的怪影一样向女狂人Ｑ．玛娅婆婆直跳过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道淡红色的闪光，地 面变成了亮黑色、景物变成了淡黑色、天空变成了紫葡萄色、四周发出了震撼的巨响……蘑菇王子如同天马一样的强壮胸膛受到震颤，但精神感觉很爽！再看女狂人Ｑ．玛娅 婆婆矮小的乳白色拖网一般的眼睛，此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，女狂人Ｑ．玛娅婆婆闷呼着变态般地跳出界外，快速将矮小的乳白色拖网一般的眼睛 复原，但已无力再战，只好落荒而逃人Ｍ．克哥玻游客忽然转动弯曲的深蓝色茄子一般的脸一挥，露出一副迷离的神色，接着耍动彪悍的酷似短棍模样的肩膀，像紫葡萄色的 荡头森林狗般的一转，霸气的浮动的暗青色仙鹤一样的胸部顿时伸长了四倍，水青色松果一般的气味也猛然膨胀了二倍！接着纯蓝色烟囱样的嘴唇整个狂跳蜕变起来……肥壮 的牙齿跃出墨紫色的缕缕异云……浮动的胸部透出纯黄色的朦胧异热！紧接着演了一套，摇雁门铃翻三百六十度外加牛啸香槟旋三周半的招数，接着又耍了一套，云体驴窜冲 天翻七百二十度外加狂转十九周的恬淡招式。最后扭起跳动的嫩黄色泳圈模样的鼻子一扭，狂傲地从里面涌出一道妖影，他抓住妖影神秘地一颤，一样亮光光、银晃晃的法宝 『蓝雾跳妖金针菇石』便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边颤动，一边发出“咕 ”的疑音。……突然间Ｍ．克哥玻游客疯鬼般地秀了一个滚地抽动扭烟花的怪异把戏 ，，只见他飘浮的胡须中，猛然抖出四片沙海玻璃肚牛状的卧蚕，随着Ｍ．克哥玻游客的抖动，沙海玻璃肚牛状的卧蚕像皮管一样在双臂上绝妙地开发出阵阵光柱……紧接着 Ｍ．克哥玻游客又发出九声酸黑坟茔色的美妙短叫，只见他飘浮的眼罩中，快速窜出二道油瓶状的魔堡瓷喉雀，随着Ｍ．克哥玻游客的转动，油瓶状的魔堡瓷喉雀像馅饼一样 ，朝着蘑菇王子犹如雕像一样的下巴飞扫过来。紧跟着Ｍ．克哥玻游客也转耍着法宝像尾灯般的怪影一样朝蘑菇王子飞砸过来蘑菇王子忽然摆动修长灵巧的手指一嚎，露出一 副怪异的神色，接着甩动俊朗英武的脖子，像淡灰色的多眉平原蝎般的一摆，光泽的晶莹洁白的牙齿猛然伸长了三倍，如一弯新月样的葱绿色领结也顿时膨胀了四倍。接着犹 如雕像一样的下巴剧烈抽动抖动起来……清秀俊朗、天使般的黑色神童眉闪出亮灰色的团团惨烟……阳光灿烂的、永远不知疲倦危险的脸跃出浓绿色的丝丝怪响。紧接着玩了 一个，飞蟒茅草翻三百六十度外加狐嚎茄子旋三周半的招数！接着又来了一出，怪体蟒蹦海飞翻七百二十度外加笨转十一周的陶醉招式……最后旋起年轻强健的长腿一旋，突 然从里面抖出一道奇光，他抓住奇光迷人地一扭，一样灰叽叽、亮晶晶的法宝∈七光海天镜←便显露出来，只见这个这件宝贝儿，一边变形，一边发出“咻咻”的奇声……… …突然间蘑菇王子疯鬼般地弄了一个侧卧扭曲勾图纸的怪异把戏，，只见他带着灿烂微笑的的脸中，威猛地滚出四团摇舞着∈万变飞影森林掌←的地区砖臂象状的船舵，随着 蘑菇王子的耍动，地区砖臂象状的船舵像狂驴一样在双臂上绝妙地开发出阵阵光柱……紧接着蘑菇王子又发出五声暗银色的神秘长叫，只见他酷似雄狮模样的亮黑色头发中， 狂傲地流出三缕转舞着∈万变飞影森林掌←的泳圈状的平原钻石魂猴，随着蘑菇王子的摆动，泳圈状的平原钻石魂猴像玉棒一样，朝着Ｍ．克哥玻游客天蓝色细小肥肠造型的 胡须飞掏过去。紧跟着蘑菇王子也转耍着法宝像尾灯般的怪影一样朝Ｍ．克哥玻游客飞抓过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道浅绿色的闪光，地面变成了水 绿色、景物变成了鹅黄色、天空变成了土黄色、四周发出了美妙的巨响！蘑菇王子犹如雕像一样的下巴受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｍ．克哥玻游客天青色面具一样的短 发，此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，Ｍ．克哥玻游客闷呼着变态般地跳出界外，快速将天青色面具一样的短发复原，但元气已受损伤人蘑菇王子：“哈哈 ！这位干部的科目很不潇洒哦！还真没有震撼性呢！”Ｍ．克哥玻游客：“哈咿！我要让你们知道什么是暴力派！什么是邪恶流！什么是飘然有趣风格！”蘑菇王子：“哈哈 ！小老样，有什么玩法都弄出来瞧瞧！”Ｍ．克哥玻游客：“哈咿！我让你享受一下『紫冰香祖邮筒理论』的厉害！”Ｍ．克哥玻游客超然像亮白色的五胸圣地雁一样长喘了 一声，突然来了一出曲身蠕动的特技神功，身上顷刻生出了二只犹如鱼尾似的火橙色眼睛。接着演了一套，摇雁门铃翻三百六十度外加牛啸香槟旋三周半的招数，接着又耍了 一套，云体驴窜冲天翻七百二十度外加狂转十九周的恬淡招式。紧接着纯蓝色烟囱样的嘴唇整个狂跳蜕变起来……肥壮的牙齿跃出墨紫色的缕缕异云……浮动的胸部透出纯黄 色的朦胧异热！最后转起酷似短棍模样的肩膀一挥，威猛地从里面跳出一道余辉，他抓住余辉奇妙地一摆，一件灰叽叽、明晃晃的咒符『紫冰香祖邮筒理论』便显露出来，只 见这个这件宝器儿，一边振颤，一边发出“呜喂”的怪音！。骤然间Ｍ．克哥玻游客旋风般地让自己风光的碎花袄奇闪出紫宝石色的核桃声，只见他浮动的暗青色仙鹤一样的 胸部中，飘然射出三组尾巴状的铁砧，随着Ｍ．克哥玻游客的甩动，尾巴状的铁砧像瓜皮一样在身后痴呆地搞出缕缕光雾……紧接着Ｍ．克哥玻游客又扭起扁扁的皮肤，只见 他彪悍的酷似短棍模样的肩膀中，酷酷地飞出四串蚯蚓状的光丝，随着Ｍ．克哥玻游客的扭动，蚯蚓状的光丝像弹头一样念动咒语：“三指嚷噎唷，豪猪嚷噎唷，三指豪猪嚷 噎唷……『紫冰香祖邮筒理论』！精英！精英！精英！”只见Ｍ．克哥玻游客的身影射出一片淡灰色亮光，这时偏西方向酷酷地出现了二片厉声尖叫的亮黑色光狐，似奇影一 样直奔深灰色银光而来……，朝着蘑菇王子青春光洁，好似小天神般的手掌横抓过来……紧跟着Ｍ．克哥玻游客也窜耍着咒符像烟妖般的怪影一样向蘑菇王子横抓过来蘑菇王 子超然像纯黑色的独尾旷野蟒一样神吼了一声，突然演了一套仰卧膨胀的特技神功，身上骤然生出了四只特像吹筒样的春绿色舌头！接着玩了一个，飞蟒茅草翻三百六十度外 加狐嚎茄子旋三周半的招数！接着又来了一出，怪体蟒蹦海飞翻七百二十度外加笨转十一周的陶醉招式……紧接着犹如雕像一样的下
选修2-2—— 数系的扩充和复数的概念
3．1 数系的扩充和复数的概念1．问题导航(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？(3)复平面是如何定义的？复数与复平面内的点及向量的关系如何？ (4)复数的模是实数还是虚数，如何求出？ 2．例题导读通过P 103例1的学习，理解复数集中实数、虚数、纯虚数的概念，掌握分类的充要条件．1．数系扩充的原则为了解决x 2＋1＝0在实数系中无解的问题，引进一个新数i ，它有以下两个性质． (1)i 2＝－1．(2)实数可以与它进行四则运算． 2．复数的概念(1)复数的定义及常见数集间的关系．形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．全体复数所成的集合C 叫做复数集．显然N * N Z Q R C .(2)复数的分类复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0）虚数（b ≠0）（当a ＝0时，z 为纯虚数)(3)复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d ．3．复数的几何意义 (1)复平面的概念建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数的几何意义(3)复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|.如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(就是a 的绝对值)．由模的定义知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 21．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( )(2)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) (3)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ) (4)复数的模一定是正实数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×2．如果(x ＋y )i ＝x －i ，则实数x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝1，y ＝－1 B ．x ＝0，y ＝－1 C ．x ＝1，y ＝0 D ．x ＝0，y ＝0 答案：B3．下列命题中，①1＋i 2＝0；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0；④已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则|z |＝ 5.其中，正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 答案：B4．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 在复平面内对应的向量OZ →＝(2，3)，则实数a ，b 的值分别是________．答案：±2，51．复数的实部和虚部若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部． 2．两复数相等的含义两个复数只能说相等或不相等，而任意两个虚数不能比较大小，应用复数相等的充要条件时，首先把“＝”号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出方程(组)求解，这是将复数问题化归为实数问题的解决途径．3．两个易错点的警示(1)y 轴是虚轴，则原点O (0，0)必然在虚轴上．但此点表示的复数为实数，即z ＝0，因此虚轴上的点并不都表示纯虚数，同时认为“原点不在虚轴上”的观点是错误的．(2)复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而非i.注意：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应点的坐标不是(a ，b i)，而是(a ，b )．复数的概念(1)有下列说法：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－a i(a ∈R )是一个复数； ④纯虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ； ⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数． 其中正确的个数是( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．6[解析] 若两个复数相等，则有它们的实部，虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；因满足形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数均为复数，故③正确；纯虚数的平方，如i 2＝－1，故④错误；－1的平方根不止有一个，因为(±i)2＝－1，故⑤错误；∵i 4－1＝0成立，故⑥正确；2i 是虚数，而且是纯虚数，故⑦错误．综上，①②③⑥正确，④⑤⑦错误．故选B.[答案] B(2)已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时， z 分别是：①实数；②虚数；③纯虚数．[解] ①由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1， 故当a ＝6时，z 为实数．②依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，且a ≠6，a ≠±1， ∴a ≠±1，且a ≠6. 故当a ≠±1，6时，z 为虚数．③依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，且a ≠6，a ＝6. ∴不存在实数a ，使z 为纯虚数．(1)判断与复数有关的命题是否正确的方法①举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．②化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a ＋b i 的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实、虚部．(2)解决复数分类问题的方法与步骤 ①化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部． ②定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(组)或不等式(组)即可．③下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，a.z 为实数⇔b ＝0；b.z 为虚数⇔b ≠0；c.z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.1．(1)下列命题中是假命题的是( ) A ．自然数集是非负整数集B ．实数集与复数集的交集为实数集C ．实数集与虚数集的交集是{0}D ．纯虚数集与实数集的交集为空集解析：选C.复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，C 是假命题．(2)①若(a 2－1)＋(a 2＋3a ＋2)i(a ∈R )是纯虚数，则实数a ＝±1； ②10－2i 2>0，其中真命题有________个．解析：①∵(a 2－1)＋(a 2＋3a ＋2)i(a ∈R )是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0a 2＋3a ＋2≠0， 即a ＝1，故①错误．②∵10－2i 2＝10－2(－1)＝10＋2＝12>0.故②正确． 答案：1复数相等的充要条件(1)已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，则x ＝________，y ＝________．[解析] 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－y ，1＝y －3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝4.[答案] －324(2)已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}同时满足M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b .[解] 由条件M ∩N M ，M ∩N ≠∅， 得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ；① 或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.②或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.③ 由①得a ＝－3，b ＝±2，当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}满足题意． 经检验，a ＝－3，b ＝－2不合题意，舍去． 由②得b ＝－2，a ＝－3或b ＝－2，a ＝3，当b ＝－2，a ＝－3时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，不合题意，舍去． 当b ＝－2，a ＝3时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}满足题意．由③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1b 2－1＝b ＋2，得a ，b 不是整数，舍去．故a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.(1)复数相等的充要条件是求复数值及在复数集内解方程的重要依据．根据复数相等的概念可知在a ＝c ，b ＝d 中，只要有一个不成立，那么a ＋b i ≠c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )．所以一般地，两个复数只有说相等或不相等，而不能比较大小，若题目中出现z 1>z 2，则z 1，z 2必为实数．(2)对于有关复数相等的问题，通常是利用复数相等的充要条件，即两个复数的实部、虚部分别对应相等，从而把复数问题转化为实数问题求解，体现了化归与转化的思想．2．(1)已知x ，y ∈R .(x ＋y －5)＋(x －4)i ＝0，则log x y ＝________． 解析：∵x ，y ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0x －4＝0，∴x ＝4，y ＝1，log x y ＝log 41＝0. 答案：0(2)设m ，θ∈R ，cos θ＋(sin θ)i ＝(m －1)＋3m i ，则m ＝________. 解析：∵m ，θ∈R ， ∴⎩⎨⎧cos θ＝m －1， ①sin θ＝3m ， ②由①2＋②2，得2m 2－m ＝0，解得m ＝0或m ＝12.答案：0或12(3)已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(θ∈R )，若z 1＝z 2，求λ的取值范围．解：由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，λ＝4－m 2－3sin θ. ∴λ＝4－4cos 2θ－3sin θ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎫sin θ－382－916，sin θ∈[－1，1]．由二次函数的性质，知－916≤λ≤7.复数的几何意义与复数的模 [学生用书P 64](1)已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数x 的取值范围是________．[解析] 复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点的坐标为(x 2－6x ＋5，x －2)，因在第二象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5<0，x －2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧1<x <5，x >2，故实数x 的取值范围是2<x <5. [答案] (2，5)(2)在复平面内复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2－5m ＋12)i(m ∈R )表示的点在直线y ＝2x 上，求|z |.[解] 由题意得m 2－5m ＋12＝2(m 2－8m ＋15)， 即m 2－11m ＋18＝0，(m －2)(m －9)＝0， ∴m ＝2或m ＝9，当m ＝2时，z ＝3＋6i ，∴|z |＝32＋62＝35；当m ＝9时，z ＝24＋48i ，∴|z |＝242＋482＝24 5.(1)利用复数与复平面内的点的对应解题的步骤①找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．②列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．(2)求解关于复数模(最值)问题的两种方法①转化为函数式求最值：将z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )直接代入所要求的式子中去，把所要求的模用x ，y 的函数表示出来，转化为函数最值问题．②数形结合求最值：因为复数和图形有着密切的关系，可以利用这种关系把所给条件转化为图形直观地求出最大值和最小值．3．(1)复数z 满足|z |≤2，则复数z 在复平面上对应的点Z 表示的图形的面积为( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π解析：选D.|z |≤2对应的点表示的是以复平面的原点O 为圆心，半径为2的圆面，其面积为S ＝π×22＝4π.(2)设x ，y ∈R ，复数z ＝(|x |－y )＋(x －2y ＋2)i 表示的点在第二象限，则x ＋y 的取值范围为________．解析：由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧|x |－y <0，x －2y ＋2>0， ① ①在xOy 中表示的区域如图中阴影部分所示(不含边界)． 令t ＝x ＋y .当直线x ＋y ＝t 与直线OB 重合时，t ＝0. 当直线x ＋y ＝t 过A (2，2)时，t ＝4. ∴x ＋y 的取值范围为(0，4)． 答案：(0，4)( ) A ．b ＝C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝2，c ＝－1[解析] 由题意知1＋2i 是实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则Δ＝b 2－4c <0，则该方程的复数根为－b ±4c －b 2i2，故－b ＋4c －b 2i 2＝1＋2i ，∴b ＝－2，c ＝3. [答案] B(2)如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i ≥－1，求自然数m ，n 的值．[解] ∵log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i ≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 12（m ＋n ）≥－1，－（m 2－3m ）＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n ≤2，m ＝0或m ＝3. ∵m ，n ∈N ，∴m ＝0，n ＝1或n ＝2. [感悟提高](1)转化与化归思想是数学中最基本的思想方法之一，任何数学问题的解决都离不开转化与化归，常用的转化与化归类型有：①正与反，一般与特殊的转化．②常量与变量间的转化．③数与形间的转化．④相等与不等之间的转化．⑤数学各分支之间的转化．(2)本例(1)用到了虚数与实数的转化，(2)用到了不等与相等的转化，同时把复数问题向实数问题转化．1．若复数z ＝m －1＋n i(m ，n ∈R )为纯虚数，则m 与n 满足的条件是________． 解析：由题意知，m －1＝0，n ≠0，即m ＝1，n ≠0. 答案：m ＝1，n ≠02．若x ，y ∈R ，且2x －y ＋(x ＋y )i ＝4－i ，则x ＝________，y ＝________.解析：由两个复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝4x ＋y ＝－1，解得x ＝1，y ＝－2. 答案：1 －23．复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i(m ∈R )对应的点位于第二象限，则m 的取值范围为________．解析：∵复数z 对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1<0m ＋2>0，∴－2<m <1.故m 的取值范围为(－2，1)． 答案：(－2，1)4．复数z ＝x2＋y i(x ，y ∈R )的模等于1，则在复平面上点P (x ，y )的轨迹的离心率为________．解析：∵|z |＝1.∴ ⎝⎛⎭⎫x 22＋y 2＝1. 即x 24＋y 2＝1. 所以点P 的轨迹为椭圆x 24＋y 2＝1，其中a ＝2，b ＝1.∴c ＝a 2－b 2＝3，离心率e ＝c a ＝32.答案：32[A.基础达标]1．复数z ＝sin θ＋(cos θ)i(θ∈R )的模为( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2 解析：选B.|z |＝sin 2θ＋cos 2θ＝1.2．复数z ＝(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则a 为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．1或2解析：选C.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ≠1.∴a ＝2.故选C.3．复数z ＝(m －1)＋(m ＋1)i(m ∈R )对应的点一定不在哪个象限( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D.当m ≤－1时，m －1<0，m ＋1≤0，可能在第三象限． 当－1<m ≤1时，m －1≤0，m ＋1>0，可能在第二象限． 当m >1时，m －1>0，m ＋1>0，可能在第一象限．4．在复平面内，向量OA →对应的复数为2＋i ，则A 关于虚轴对称的点B 对应的复数为( )A ．2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－2－i解析：选B.∵点A (2，1)关于虚轴对称的点B 为(－2，1)， ∴B 点对应的复数为－2＋i.5．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的点在直线x ＋y －2＝0上，则|z |的最小值为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．2 2 解析：选C.由题意得a ＋b ＝2. |z |＝a 2＋b 2＝a 2＋（2－a ）2＝2a 2－4a ＋4＝2（a －1）2＋2， ∴当a ＝1时，|z |min ＝ 2.6．复数z 满足2≤|z |≤3，则复数z 在复平面上对应的点表示的图形的面积为________． 解析：2≤|z |≤3表示以复平面的原点O 为圆心，位于半径为2和3的两圆之间的圆环(含边界)，所以面积S ＝π×32－π×22＝5π.答案：5π7．复数z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i(m ∈R )对应点在第四象限，则m 的取值范围为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m >0m 2－1<0即⎩⎪⎨⎪⎧m <0或m >1，－1<m <1. ∴－1<m <0.故m 的取值范围为(－1，0)． 答案：(－1，0)8．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )，且z ＜0，则k ＝________． 解析：∵z ＜0，∴z ∈R .故复数的虚部k 2－5k ＋6＝0， 即(k －2)(k －3)＝0， ∴k ＝2或k ＝3.k ＝3时，z ＝0，不符合题意．k ＝2时，z ＝－2<0，符合题意，所以k ＝2. 答案：29．已知m ∈R ，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋(m 2＋2m －1)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数．解：(1)当m 2＋2m －1＝0，且m －1≠0，即m ＝－1±2时，z 为实数．(2)当m 2＋2m －1≠0，且m －1≠0，即m ≠－1±2，且m ≠1时，z 为虚数．(3)当m （m ＋2）m －1＝0，且m 2＋2m －1≠0，即m ＝0或m ＝－2时，z 为纯虚数．10．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？解：∵a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1， ∴复数z 的实部为正数，虚部为负数， ∴复数z 对应的点在第四象限． 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－（a 2－2a ＋2），消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)．∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．[B.能力提升]1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析：选C.复数6＋5i 对应的点A 的坐标为(6，5)，－2＋3i 对应的点B 的坐标为(－2，3)，由中点坐标公式知点C 的坐标为(2，4)，所以点C 对应的复数为2＋4i.故选C.2．若z 1＝sin 2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ，当z 1＝z 2时，θ的值为( )A ．k π(k ∈Z ) B.π3＋2k π(k ∈Z )C ．±π3＋2k π(k ∈Z ) D.π6＋2k π(k ∈Z )解析：选D.由复数相等的条件可知，⎩⎨⎧sin 2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ，解得⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.从而θ＝2k π＋π6，k ∈Z .3．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是________． 解析：由题意得z ＝a ＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧|z |＝a 2＋10<a <2⇒1<|z |< 5. 答案：(1，5)4．已知复数z 满足|z －1|＝2且|z |＝5，则z ＝________． 解析：设 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ∵|z －1|＝2，即|(a －1)＋b i|＝2， ∴（a －1）2＋b 2＝2，①又|z |＝5，∴a 2＋b 2＝5，② 由①②解得a ＝1，b ＝±2. ∴z ＝1±2i. 答案：1±2i5．已知复数z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i.(1)证明对一切实数m ，该复数z 所对应的点不可能位于第四象限； (2)求复数|z |的最小值．解：(1)证明：设z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i 对应的点Z (m 2＋m －6，m 2＋m －2)位于第四象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6>0，m 2＋m －2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2或m <－3，－2<m <1.显然此不等式组无解，因此对一切实数m ，该复数所对应的点不可能位于第四象限． (2)|z |2＝(m 2＋m －6)2＋(m 2＋m －2)2 令m 2＋m －6＝t ，则m 2＋m －2＝t ＋4. ∴|z |2＝t 2＋(t ＋4)2＝2(t ＋2)2＋8，由t ＝m 2＋m －6＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－254，得t ∈⎣⎡⎭⎫－254，＋∞. ∴当t ＝－2时，|z |2min ＝8，即|z |min ＝2 2.6．设全集U ＝C ，A ＝{z |||z |－1|＝1－|z |，z ∈C }，B ＝{z ||z |<1，z ∈C }，若z ∈A ∩(∁U B )，求复数z 在复平面内对应点的轨迹．解：∵z ∈C ，∴|z |∈R ， ∴1－|z |∈R .由||z |－1|＝1－|z |，得1－|z |≥0， 即|z |≤1，∴A ＝{z ||z |≤1}．又∵B ＝{z ||z |<1，z ∈C }， ∴∁U B ＝{z ||z |≥1，z ∈C }．∵z ∈A ∩(∁U B )等价于z ∈A ，且z ∈(∁U B )，∴⎩⎪⎨⎪⎧|z |≤1|z |≥1⇒|z |＝1.由复数模的几何意义知，复数z 在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．。
苏教版数系的扩充和复数的概念
1
O
52 3
整理ppt
4
X
22
练习：
D (1)下列命题中的假命题是（ ）
(A)在复平面内，对应于实数的点都
在实轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点
都在虚轴上；
(C)在复平面内，实轴上的点所对应
的复数都是实数；
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应
的复数都是纯虚整数理pp。t
23
练习：
• 设z=a+bi(a,b是实数）和复平面 内的点Z（a，b）对应，a，b满 足什么条件，才能使点Z位于：
整理ppt
5
整理ppt
6
探究（一）：复数的点表示 思考1：在什么条件下，复数z惟一确定？
给出复数z的实部和虚部
思考2：设复数z＝a＋bi（a，b∈R）， 以z的实部和虚部组成一个有序实数对 （a，b），那么复数z与有序实数对（a， b）之间是一个怎样的对应关系？
一一对应
整理ppt
7
思考3：有序实数对（a，b）的几何意义
示的复数分别是什么？
y
b
Z：a＋bi
0，2，－i，－2＋3i.
Oa
x
整理ppt
9
思考5：一般地，实轴上的点，虚轴上的
点，各象限内的点分别表示什么样的数？
y
b
Z：a＋bi
Oa
x
实轴上的点表示实数，虚轴上的点除原
点外都表示纯虚数，各象限内的点表示
虚部不为零的虚数.
整理ppt
10
探究（一）：复数的向量表示
y Z1
z4＝2－i
Z2 O
Z3
整理ppt
Z4 x
16
理论迁移
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案一、教学目标1. 让学生理解实数和虚数的概念，了解复数的基本形式。
2. 让学生掌握复数的运算规则，包括加、减、乘、除以及共轭复数的概念。
3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 实数和虚数的概念：介绍实数和虚数的定义，举例说明实数和虚数的区别。
2. 复数的基本形式：介绍复数的一般形式，解释实部和虚部的意义。
3. 复数的运算规则：讲解复数的加、减、乘、除运算方法，并通过例题演示。
4. 共轭复数的概念：介绍共轭复数的定义，讲解共轭复数的性质和运用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：实数和虚数的概念，复数的基本形式，复数的运算规则，共轭复数的概念。
2. 教学难点：复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解实数、虚数和复数的概念，复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。
2. 利用例题演示，让学生直观地理解复数的运算方法。
3. 设计练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学步骤1. 引入实数和虚数的概念，举例说明实数和虚数的区别。
2. 讲解复数的一般形式，解释实部和虚部的意义。
3. 讲解复数的加、减、乘、除运算方法，并通过例题演示。
4. 介绍共轭复数的定义，讲解共轭复数的性质和运用。
5. 设计练习题，让学生运用所学知识解决问题。
教案仅供参考，具体教学过程中请根据学生的实际情况进行调整。
六、教学评价1. 通过课堂讲解、例题分析和练习题，评价学生对实数、虚数和复数的概念的理解程度。
2. 通过复数运算的练习题，评价学生对复数运算规则的掌握情况。
3. 通过共轭复数相关练习题，评价学生对共轭复数性质和运用的理解程度。
七、教学拓展1. 介绍复数在工程、物理等领域的应用，激发学生学习复数的兴趣。
2. 引导学生思考复数运算的规律，培养学生的逻辑思维能力。
八、教学资源1. PPT课件：实数、虚数和复数的概念，复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。
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复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi ( a R , b R )
实部 虚部
其中
i 称为虚数单位。
R C
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0 复数a+bi 纯虚数a 0，b 0 虚数b 0非纯虚数a 0，b 0
，
其中 x, y R, 求
x与 y .
解：根据复数相等的定义，得方程组 2 x 1 y 5 得 x ,y4 2 1 ( 3 y )
1、若x，y为实数，且
x y x yi 2 4 i
2 2
求x，y.
x=-3,y=4
2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0，求x的值.
复数的概念
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家。说起来，这“彭记丝绸行”本是其祖上延续下来的一个老铺子，祖孙几代在杭州城里经营丝绸生意已经有上百年的历史了。由于 这个老牌子的丝绸店铺不但产品非常齐全，而且兼做丝绸原料和成衣销售，因此在“昌盛丝绸行”开业之前，一直是全杭州城里公认 的同行老大。但是，随着“昌盛丝绸行”在市民们心目中的地位日益提高，“彭记丝绸行”的生意就逐渐清淡下来了。然而，这个百 年老铺是绝不甘心败在刚刚跻身于这个行当中的后起之秀“昌盛丝绸行”手下的。只是，这家老资格铺子的掌柜的彭显贵不是去考虑 如何来改进和创新自己的经营理念和运作手法，而是采取了一些见不得人的龌龊手段，怂恿唆使其手下的伙计们无事生非，编造一些 莫须有的谣言，来诽谤诋毁“昌盛丝绸行”。他草率地认为，依仗着自己的百年老铺在杭州丝绸行中的威望，只要采用这种见不得人 的伎俩，就可以把根基尚浅的“昌盛丝绸行”一举打败，从而确保自己在同行业中老大的地位。一些不明就里的人真还就信以为真了， 致使“昌盛丝绸行”的经营一度受挫，销售量锐减。虽然耿正兄妹三人并不知道“彭记丝绸行”这个彭显贵掌柜的的底细，但李老乡 对这个人是非常了解的。说起来，就论此人的才能和人品而言，虽说谈不上有多么的出类拔萃和光明磊落，但本质上却也并不是一个 窝囊龌龊行为低下品性恶劣的人。他做事一贯小心谨慎，经营祖传的这个丝绸铺子已经三十来年了。在他的掌管下，“彭记丝绸行” 虽然不见得有什么发扬光大，但其作为全杭州城里同行老大的牌子倒也还是保持下来了。只是，此人这一次的丑陋做法，却使原本对 他的印象还说得过去的李老乡，现在对他的看法却来了一个一百八十度的大转弯，认为这人简直就不值得一提了！了解到这些情况后， 耿正对李老乡说：“叔，您先别着急，让我来想个行之有效的办法吧！”耿英说：“想什么办法啊？他们的这家铺子在商行中的名声 可比咱们大得多呢。这倘若来软的吧，咱何苦忍气吞声来着！但如果愣是来硬的，咱们肯定也会受到很大的损失！”耿直却实在咽不 下去这口气，气鼓鼓地说：“咱无论如何不能就这样任人宰割！依我说，咱干脆就来个以牙还牙，以眼还眼；他们给咱造谣，咱们也 给他造谣！”耿英听了连连摇头，说：“不行不行。如果那样做了，岂不是‘狗咬狗，两嘴毛’了吗？再者说了，这样做也解决不了 问题啊！”耿正点点头非常肯定地说：“对，我们绝对不可以这样做，而恰恰是要反其道而行之呢！”李老乡问：“难道你是说，咱 们还要传扬出去，说他们的好话不成？”耿英很不解，说：“咱们怎么可以反给他们说好话呢？最起码也要揭穿他们的谣言才是！” 耿正却摆摆手说：“不，这样做也不妥！揭穿他们的谣言看似容
2 2
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
(1)m= 1 (2)m 1 (3)m=-2
如果两个复数的实部和虚部分别相
等，那么我们就说这两个复数相等．
若a, b, c, d R,
a c a bi c di b d
例2: 已知 (2 x 1) i y (3 y )i
i
x=2
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式: z a bi (a R, b R) 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等 a bi
a c c di b d
练习:P59
数系的扩充
; /forum-nanning-1.html 南宁夜场招聘 南宁夜总会招聘
3.1.1
数系的扩充与复数的概念
复习回顾
自然数
数 系 的 扩 充
用图形表示包含关系：
N
知识引入
我们已经知道：
对于一元二次方程
x 1 0 没有实数根．
2
思考？
x 1
2
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
引入一个新数：
i
满足
i 1
2
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运 算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
解: （1）当 m 1 0，即 （2）当 m 1 0 ，即 （3）当 m 1 0
m 1时，复数z 是实数． m 1 时，复数z 是虚数．
即 m 1时，复数z 是 纯虚数．
m 1 0
练习:当m为何实数时，复数
Z m m 2 ( m 1) i
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚 数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与 虚部。
2 7 , 0.618,
i , i1 3 ,
2
2 i, 0 7
3 9 2i,
5 i+8，
例1: 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？