人教A版数学高二选修1-2学案数系的扩充和复数的概念

3．1.1数系的扩充和复数的概念预习课本P50～51，思考并完成下列问题(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？[新知初探]1．复数的有关概念a＋b i|a，b∈R中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i 我们把集合C＝{}叫做虚数单位．全体复数所成的集合C叫做复数集．复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z＝a＋b i，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z 的实部与虚部．[点睛]复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z＝a＋b i只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等a＋b i|a，b∈R中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，我们规定：在复数集C＝{}a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.3．复数的分类对于复数a＋b i，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).[点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( )(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( ) A ．1，3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3 D ．0，(1＋3)i答案：C3．复数z ＝(m 2－1)＋(m －1)i(m ∈R)是纯虚数，则有( ) A ．m ＝±1 B ．m ＝－1 C ．m ＝1 D ．m ≠1答案：B复数的概念及分类[典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x满足⎩⎪⎨⎪⎧x2－x－6x＋3＝0，x2－2x－15≠0，x＋3≠0，即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋b i(a，b∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a ＝0，b≠0.④z＝0⇔a＝0，且b＝0.[活学活用]当m为何值时，复数z＝m2(1＋i)－m(3＋i)－6i，m∈R，是实数？是虚数？是纯虚数？解：∵z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，∴(1)当m满足m2－m－6＝0，即m＝－2或m＝3时，z为实数．(2)当m满足m2－m－6≠0，即m≠－2且m≠3时，z为虚数．(3)当m满足⎩⎪⎨⎪⎧m2－3m＝0，m2－m－6≠0，即m＝0时，z为纯虚数.复数相等[典例] m的值为________，方程的实根x为________．[解析]设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－12且⎝⎛⎭⎫－122－12＋3m＝0，所以m＝112.[答案]112 －12[一题多变]1．[变条件]若将本例中的方程改为：x 2＋mx ＋2x i ＝－1－m i 如何求解？解：设实根为x 0，代入方程，由复数相等定义，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋mx 0＝－1，2x 0＝－m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，m ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，m ＝2，因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1，当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1. 2．[变条件]若将本例中的方程改为：3x 2－m2x －1＝(10－x －2x 2)i ，如何求解？解：设方程实根为x 0，则原方程可变为3x 20－m 2x 0－1＝(10－x 0－2x 20)i ，由复数相等定义，得：⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－m 2x 0－1＝0，10－x 0－2x 20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，m ＝11或⎩⎨⎧x 0＝－52，m ＝－715，因此，当m ＝11时，原方程的实根为x ＝2； 当m ＝－715时，原方程的实根为x ＝－52.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．层级一 学业水平达标1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2iD.2＋2i解析：选A 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 2．4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.3．下列命题中：①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；④若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A ①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错； ②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A.4．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R)为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ＜0且a ＝－b C ．a ＞0且a ≠bD ．a ≤0解析：选D 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0. 5．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( ) A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z)D ．k π＋π4(k ∈Z)解析：选D 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z)，故选D.6．下列命题中：①若a ∈R ，则a i 为纯虚数；②若a ，b ∈R ，且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③两个虚数不能比较大小；④x ＋y i 的实部、虚部分别为x ，y .其中正确命题的序号是________．解析：①当a ＝0时，0i ＝0，故①不正确；②虚数不能比较大小，故②不正确；③正确；④x ＋y i 中未标注x ，y ∈R ，故若x ，y 为复数，则x ＋y i 的实部、虚部未必是x ，y .答案：③7．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1则实数m 的值为______．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞1，解得m ＝2.答案：28．已知z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________.解析：由复数相等的充要条件有⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝±2. 答案：2 ±29．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋log 2(3－m )i ，m ∈R ，如果z 是纯虚数，求m 的值．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＞0，3－m ＞0，log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(3－m )≠0，解得m ＝－1.10．求适合等式(2x －1)＋i ＝y ＋(y －3)i 的x ，y 的值．其中x ∈R ，y 是纯虚数． 解：设y ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，代入等式得(2x －1)＋i ＝b i ＋(b i －3)i ， 即(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，b ＝4.即x ＝－32，y ＝4i.层级二 应试能力达标1．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠2解析：选C 若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.2．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，∴m ＝－1.3．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R)有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i解析：选B 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1. ∴z ＝3－i ，故应选B.4．若复数z 1＝sin 2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R)，z 1＝z 2，则θ等于( ) A ．k π(k ∈Z) B ．2k π＋π3(k ∈Z)C ．2k π±π6(k ∈Z)D ．2k π＋π6(k ∈Z)解析：选D 由复数相等的定义可知，⎩⎨⎧sin 2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12.∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D. 5．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R.若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________．解析：∵z 1＞z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，∴a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}． 答案：{0}6．若a －2i ＝b i ＋1(a ，b ∈R)，则b ＋a i ＝________.解析：根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴b ＋a i ＝－2＋i. 答案：－2＋i7．定义运算＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝，求实数x ，y 的值．解：由定义运算＝ad －bc ，得＝3x ＋2y ＋y i ，故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ， 得x ＝－1，y ＝2.8．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}满足M ∩N ⊆M ，求实数a ，b 的值．解：依题意，得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，① 或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.② 由①，得a ＝－3，b ＝±2， 由②，得a ＝±3， b ＝－2.综上，a ＝－3，b ＝2，或a ＝－3，b ＝－2或a ＝3，b ＝－2.。