推荐高中数学2-4逆变换与逆矩阵2-4-1逆矩阵的概念教学案苏教版选修4_2

2．4.1 逆矩阵的概念

1．逆矩阵的定义

对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记为A －1

. 2．逆矩阵的性质

(1)若二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1

＝B －1A －1

. (2)已知A 、B 、C 为二阶矩阵且AB ＝AC ，若A 存在逆矩阵，则B ＝C . 3．逆矩阵的求法

(1)公式法：对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤ab cd ，若ad －bc ≠0，则A 必可逆，且A －1

＝

⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b

ad －bc －c ad －bc a ad －bc .

(2)待定系数法． (3)逆变换法．

[对应学生用书P30]

[例1] 求矩阵A ＝⎣⎡

⎦⎤

3 22 1的逆矩阵．

[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解．

[精解详析] 法一：待定系数法：设A －1

＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，

则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 22

1⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1 00

1.

即⎣⎡⎦⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎡⎦

⎤1 00 1， 故⎩

⎪⎨

⎪⎧

3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，⎩

⎪⎨

⎪⎧

3y ＋2w ＝0，

2y ＋w ＝1，

解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3，

从而A 的逆矩阵为A －1

＝⎣⎡

⎦⎤－122－3.

法二：公式法：ad －bc ＝3×1－2×2＝－1≠0，

∴A －1

＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－122－3.

用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1

，再由AA －1

＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1

.

1．(江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤－1002，B ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1206，求矩阵A －1

B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢

⎡⎦⎥⎤－1

0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

1

00

1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1

00

1

故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12

，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤

－1 0 0 12， 所以A －1

B ＝⎣

⎢⎢

⎡⎦

⎥⎥⎤

－1

0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤

1 20 6＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－1 －2 0 3. 2．已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤

21

－3－1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．

解：由M ＝⎣⎡⎦⎤21 －3

－1，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0，

故M

－1

＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32.

从而由⎣⎡⎦⎤21

－3－1⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤

13 5得

⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32⎣⎡⎦⎤13 5＝⎣⎡⎦⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎡⎦

⎤ 2－3， 故⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．

[例2] 用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵．

(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤01－10.

[思路点拨] A 为伸压变换矩阵，B 为旋转变换矩阵，只需找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．

[精解详析]

(1)矩阵A 为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换，因此它存在逆变换T A －1：将平面内点的纵坐标保持不变，

横坐标沿x 轴方向压缩为原来的12

，所对应的变换矩阵为A －1

＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤

12 00 1.

(2)矩阵B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°.

它存在逆变换T B －1：将平面内的点绕原点逆时针旋转90°，所对应的变换矩阵为B －1

＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

0 －11 0

.

从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来”，即对应的变换是一一映射．

关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．

3．已知矩阵A ＝

⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤－12

32－32 －12，求A －1

.

解：矩阵A 对应的变换是旋转变换R 240°，它的逆变换是R －240°

∴A －1

＝⎣

⎢

⎡⎦

⎥⎤－ －－－

－

＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤－12 －32 32 －12.

4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤

12 0 0 5，求A －1. 解：因矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，

所以A －1

＝⎣

⎢⎢

⎡⎦

⎥⎥

⎤2 00 15.

[例3] 若矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

2

00

5，B ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1 30

1，求矩阵AB 的逆矩阵．

[思路点拨] 根据公式(AB )－1

＝B －1A －1

，先求出B －1

、A －1

，再利用矩阵乘法求解． [精解详析] 因为矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，

所以A

－1

＝

⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤1

20015. 而矩阵B 对应的变换为切变变换，

其逆矩阵B －1

＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1 －30 1，

∴(AB )－1

＝B －1A －1

＝⎣⎢⎡⎦⎥

⎤

1－301⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001

5＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤12－

350 15

. (1)要避免犯如下错误(AB )－1

＝A －1B －

1

. (2)此题也可以先求出AB 再求其逆．