matlab求微分方程数值解
重要：MATLAB常微分方程(组)数值解法
Matlab常微分方程求解问题分类
边值问题：
初值问题：
• 定解附加条件在自变量 的一端
• 一般形式为： y' f (x, y)
y(a)
y0
• 初值问题的数值解法一 般采用步进法，如 Runge-Kutta法
➢ 在自变量两端均给定附加 条件
y' f (x, y)
➢ 一般形式：y(a)y1, y(b)y2
1.根据常微分方程要求的求解精度与速度要求
求解初值问题：
y
'
y
2x y
y ( 0 ) 1
(0x1)
比较ode45和ode23的求解精度和速度
ode45和ode23的比较-1
function xODE clear all clc
format long
y0 = 1; [x1,y1] = ode45(@f,[0,1],y0); [x2,y2] = ode23(@f,[0,1],y0); plot(x1,y1,'k-',x2,y2,'b--') xlabel('x') ylabel('y')
rD = k(3)*C(2)-k(5)*C(4);
rE = k(4)*C(3)+k(5)*C(4);
% Mass balances dCdt = [rA; rB; rC; rD; rE];
三个串联的CSTR等温反应器（例4-3）
function IsothermCSTRs clear all clc CA0 = 1.8; % kmol/m^3 CA10 = 0.4; % kmol/m^3 CA20 = 0.2; % kmol/m^3 CA30 = 0.1; % kmol/m^3 k = 0.5; % 1/min tau = 2; stoptime = 2.9; % min [t,y] = ode45(@Equations,[0 stoptime],[CA10 CA20 CA30],[],k,CA0,tau); disp(' Results:') disp(' t CA1 CA2 CA3') disp([t,y]) plot(t,y(:,1),'k--',t,y(:,2),'b:',t,y(:,3),'r-') legend('CA_1','CA_2','CA_3') xlabel('Time (min)') ylabel('Concentration') % -----------------------------------------------------------------function dydt = Equations(t,y,k,CA0,tau) CA1 = y(1); CA2 = y(2); CA3 = y(3); dCA1dt = (CA0-CA1)/tau - k*CA1; dCA2dt = (CA1-CA2)/tau - k*CA2; dCA3dt = (CA2-CA3)/tau - k*CA3; dydt = [dCA1dt; dCA2dt; dCA3dt];
使用Matlab进行微分方程求解的方法
使用Matlab进行微分方程求解的方法引言微分方程是数学中非常重要的一部分，广泛应用于物理、经济、工程等领域。
对于大部分微分方程的解析解往往难以求得，而数值解法则成为了一种常用的解决手段。
Matlab作为一种强大的科学计算软件，也提供了丰富的工具和函数用于求解微分方程，本文将介绍一些常见的使用Matlab进行微分方程求解的方法。
一、数值求解方法1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的一种数值求解微分方程的方法，它将微分方程的微分项用差分的方式进行近似。
具体的公式为：y(n+1) = y(n) + hf(x(n), y(n))其中，y(n)表示近似解在第n个点的值，h为步长，f(x, y)为微分方程的右端项。
在Matlab中使用欧拉方法进行求解可以使用ode113函数，通过设定不同的步长，可以得到不同精度的数值解。
2. 中点法中点法是较为精确的一种数值求解微分方程的方法，它的计算公式为：k1 = hf(x(n), y(n))k2 = hf(x(n) + h/2, y(n) + k1/2)y(n+1) = y(n) + k2中点法通过计算两个斜率的平均值来得到下一个点的值，相较于欧拉方法，中点法能提供更精确的数值解。
3. 4阶龙格库塔法龙格库塔法是一类高阶数值求解微分方程的方法，其中4阶龙格库塔法是最常用的一种。
它的计算公式为：k1 = hf(x(n), y(n))k2 = hf(x(n) + h/2, y(n) + k1/2)k3 = hf(x(n) + h/2, y(n) + k2/2)k4 = hf(x(n) + h, y(n) + k3)y(n+1) = y(n) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/64阶龙格库塔法通过计算多个斜率的加权平均值来得到下一个点的值，相较于欧拉方法和中点法，它的精度更高。
二、Matlab函数和工具除了可以使用以上的数值方法进行微分方程求解之外，Matlab还提供了一些相关的函数和工具，方便用户进行微分方程的建模和求解。
微分方程的数值解法matlab(四阶龙格—库塔法)
解析解： x x x1 3 2(((ttt))) 0 .0 8 1 1 2 P k 8 0siw n t) (2 .6 3 0 3 3 P k 0siw n t) (0 .2 12 2 2 P k 0siw n t)(
第一个质量的位移响应时程
Y (t)A(Y t)P(t)
(2)
Y (t)A(Y t)P(t)
3. Matlab 程序(主程序：ZCX)
t0;Y0;h;N;P0,w; %输入初始值、步长、迭代次数、初始激励力；
for i = 1 : N
t1 = t0 + h
P=[P0*sin(w*t0);0.0;0.0]
%输入t0时刻的外部激励力
Van der Pol方程
% 子程序 （程序名： dYdt.m ） function Ydot = dYdt (t, Y) Ydot=[Y(2);-Y(2)*(Y(1)^2-1)-Y(1)];
或写为
function Ydot = dYdt (t, Y) Ydot=zeros(size(Y)); Ydot(1)=Y(2); Ydot(2)=-Y(2)*(Y(1).^2-1)-Y(1)];
Solver解算指令的使用格式
说明：
t0：初始时刻；tN：终点时刻 Y0：初值； tol：计算精度
[t, Y]=solver (‘ODE函数文件名’, t0, tN, Y0, tol);
ode45
输出宗量形式
y1 (t0 )
Y
y1
(t1
)
y
1
(t
2
)
y2 (t0 )
y
2
(
t1
)
y
2
(
t
matlab 二阶常微分方程数值求解函数
matlab 二阶常微分方程数值求解函数【最新版】目录1.Matlab 二阶常微分方程数值求解函数概述2.二阶常微分方程的一般形式3.Matlab 中用于数值求解二阶常微分方程的函数4.数值求解的步骤5.结论正文Matlab 二阶常微分方程数值求解函数概述二阶常微分方程是指具有以下形式的微分方程：a * y"" + b * y" + c * y = f(x)。
其中，a、b、c 为常数，y 是函数，x 是自变量，f(x) 是已知函数。
求解这类微分方程对于许多实际问题具有重要意义，如物理、生物学、经济学等领域。
Matlab 作为一种广泛应用于科学计算的语言，提供了丰富的函数库用于数值求解二阶常微分方程。
二阶常微分方程的一般形式在 Matlab 中，二阶常微分方程的一般形式可以表示为：y"" + p(x) * y" + q(x) * y = r(x)其中，p(x)、q(x) 和 r(x) 是已知函数，y 是待求解的函数。
Matlab 中用于数值求解二阶常微分方程的函数Matlab 提供了多个函数用于数值求解二阶常微分方程，如 ode45、ode23、ode113 等。
这些函数的用法及参数如下：- ode45：该函数是四阶龙格库塔法（RK45）的实现，适用于大多数情况。
其用法为：解 = ode45(函数句柄，[a, b], [c, d], e, [f, g])其中，函数句柄是一个函数句柄，它接受自变量 x 和时间 t 作为参数，并返回因变量 y。
a 和 b 分别是函数 y 的第一个和第二个导数。
c 和 d 分别是函数 y 的第三个和第四个导数。
e 是初始条件。
f 和g 是边界条件。
- ode23：该函数是二阶龙格库塔法（RK23）的实现，适用于某些特殊情况。
其用法与 ode45 类似。
- ode113：该函数是十一阶龙格库塔法（RK113）的实现，适用于要求高精度解的情况。
微分方程数值解-matlab
解 输入命令 ：
[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')； x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z)
结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t
9
但能求解析解的常微分方程是有限的， 但能求解析解的常微分方程是有限的，大多数的常 解析解的常微分方程是有限的 微分方程是给不出解析解的. 微分方程是给不出解析解的. 例
′ = x2 + y2 y
这个一阶微分方程就不能用初等函数及其积
分来表达它的解。 分来表达它的解。 例
y ′ = y y (0 ) = 1
MATLAB ODE初值问题的数值解 ODE初值问题的数值解 PDE问题的数值解 PDE问题的数值解
1
问题提出 倒葫芦形状容器壁上的刻度问题. 倒葫芦形状容器壁上的刻度问题.对于圆柱形状容 器壁上的容积刻度, 器壁上的容积刻度,可以利用圆柱体体积公式
D = π 2
2
V
H
其中直径D为常数. 其中直径D为常数. 对于几何形状不是规则的容器, 对于几何形状不是规则的容器,比如倒葫芦形状容 器壁上如何标出刻度呢? 器壁上如何标出刻度呢?下表是经过测量得到部分 容器高度与直径的关系. 容器高度与直径的关系.
matlab_常微分方程数值解法
dt 2
简朴问题可以求得解析解，多数实际问题靠数值求解 。
第4页
一阶常微分方程(ODE )初值问题 ： ODE ：Ordinary Differential Equation
dy
f
(x,
y)
dx
x0 x xn
y(x0 ) y0
数值解法就是求y(x)在某些分立旳节点 xn 上旳近似值 yn，用以近似y(xn)
x0
y0
x1 f y(x), x dx
x0
x2 f y(x), x dx
x1
y(x1) f y(x1), x1 h
第17页
同样，在[x0,xn+1] ，积分采用矩形近似，得：
y(xn1) y0
f xn1
x0
y(x), x dx
y(xn ) f y(xn ), xn h
yn y(xn )
第5页
2、欧拉近似办法
2.1 简朴欧拉(L.Euler, 1707-1783)办法。
dy
dx
f
(y, x)
y(x0 ) y0
欧拉数值算法就是由初值通过递推求解，递推求解
就是从初值开始，后一种函数值由前一种函数值得到。核 心是构造递推公式。
y0 y1 y2 yn
第6页
i 1,2,...
第36页
没有一种算法可以有效地解决所有旳 ODE 问题，因此 MATLAB 提供了多种ODE函数。
函数 ODE类
特点
阐明
型
ode45
非刚性 单步法；4，5 阶 R-K 措施；合计 大部分场合旳首选措施
截断误差为 (△x)3
ode23
非刚性 单步法；2，3 阶 R-K 措施；合计 使用于精度较低旳情形
matlab数值求解常微分方程快速方法
MATLAB是一种用于科学计算和工程应用的高级编程语言和交互式环境。
它在数学建模、模拟和分析等方面有着广泛的应用。
在MATLAB 中，常微分方程的数值求解是一个常见的应用场景。
在实际工程问题中，通常需要对常微分方程进行数值求解来模拟系统的动态行为。
本文将介绍MATLAB中对常微分方程进行数值求解的快速方法。
1. 基本概念在MATLAB中，可以使用ode45函数来对常微分方程进行数值求解。
ode45是一种常用的Runge-Kutta法，它可以自适应地选取步长，并且具有较高的数值精度。
使用ode45函数可以方便地对各种类型的常微分方程进行求解，包括一阶、高阶、常系数和变系数的微分方程。
2. 函数调用要使用ode45函数进行常微分方程的数值求解，需要按照以下格式进行函数调用：[t, y] = ode45(odefun, tspan, y0)其中，odefun表示用于描述微分方程的函数，tspan表示求解的时间跨度，y0表示初值条件，t和y分别表示求解得到的时间序列和对应的解向量。
3. 示例演示为了更好地理解如何使用ode45函数进行常微分方程的数值求解，下面我们以一个具体的例子来进行演示。
考虑如下的一阶常微分方程：dy/dt = -2*y其中，y(0) = 1。
我们可以编写一个描述微分方程的函数odefun：function dydt = odefun(t, y)dydt = -2*y;按照上述的函数调用格式，使用ode45函数进行求解：tspan = [0 10];y0 = 1;[t, y] = ode45(odefun, tspan, y0);绘制出解曲线：plot(t, y);4. 高级用法除了基本的函数调用方式外，MATLAB中还提供了更多高级的方法来对常微分方程进行数值求解。
可以通过设定选项参数来控制数值求解的精度和稳定性，并且还可以对刚性微分方程进行求解。
5. 性能优化在实际工程应用中，常常需要对大规模的常微分方程进行数值求解。
用MATLAB求解微分方程
1. 微分方程的解析解
求微分方程（组）的解析解命令:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
结 果：u = tan(t-c)
解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
STEP2
STEP1
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
导弹追踪问题
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？ 解法一（解析法）
由(1),(2)消去t整理得模型:
解法二(数值解)
结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t
2、取t0=0，tf=12，输入命令： [T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')
3、结果如图
图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.
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matlab求微分方程数值解
利用matlab求微分方程数值解是一种常用的数学计算方法。
在实际工程和科学研究中，许多问题都可以用微分方程来描述，但是解析解往往难以求得，因此需要用数值方法求解微分方程。
求解微分方程的数值方法有很多种，其中比较常用的是欧拉法和龙格-库塔法。
欧拉法是一种基本的数值方法，它采用离散化的方法将微分方程转化为差分方程，然后通过迭代来求出数值解。
欧拉法的具体步骤是：首先将自变量和因变量离散化，然后利用微分方程的定义式将微分方程转化为差分方程，最后通过迭代求出数值解。
欧拉法的优点是简单易懂，但是精度较低，容易产生误差。
龙格-库塔法是一种高阶数值方法，它将微分方程转化为一系列的差分方程，并采用递推的方法求解数值解。
龙格-库塔法的优点是精度高，收敛速度快，适用于求解复杂的微分方程。
但是龙格-库塔法的计算量较大，需要进行多次计算，计算时间较长。
在使用matlab求解微分方程时，可以直接调用matlab中的ode 函数来求解微分方程。
ode函数是matlab中内置的求解微分方程的函数，它支持多种数值方法，包括欧拉法和龙格-库塔法等。
使用ode函数可以简化求解微分方程的过程，提高计算效率。
在使用ode函数求解微分方程时，需要先定义微分方程的函数表达式，然后将函数表达式作为参数传入ode函数中。
ode函数会自动
选择合适的数值方法来求解微分方程，并返回数值解。
通过调整ode函数的参数，可以进一步提高求解微分方程的精度和计算效率。
除了ode函数外，matlab中还有很多其他的数值计算函数，如dsolve函数、pdepe函数等，它们可以用来求解不同类型的微分方程。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的数值方法和函数来求解微分方程。
利用matlab求解微分方程数值解是一种常用的数学计算方法，可以通过调用matlab中的内置函数来实现。
在选择数值方法和函数时需要考虑精度和计算效率等因素，以便更好地解决实际问题。