第8章常微分方程边值问题的数值解法

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边值问题的数值解法

估计式
M b a 2 y xk y k h ，k 1， 2，，n 1。 96
2
y 4 x 。因此，当 h 0 时，差分方程的解收敛到微分方其中 M max a x b
y f x，y，y， y x，y sk，
这里的 s k 为
（8.6.3）
y
在处的斜率。令 z y ，上述二阶方程可降为一阶方程组
y z， z f x，y，z ，
（8.6.4）
y a ，z a sk。
计算结果表明打靶法的效果是很好的，计算精度取决于所选取的初值问题数
值方法的阶和所选取的步长 h 的大小。不过，打靶法过分依赖于经验，选取试射值，有一定的局限性。
第八章常微分方程数值解法
8.6.2 差分方法
差分方法是解边值问题的一种基本方法，它利用差商代替导数，将微分方程离散化为线性或非线性方程组（即差分方程）来求解。先考虑线性边值问题（8.6.2）的差分法。将区间 a，b 分成 n 等分，子区间的
s2
，同理得到 yb，s2 ，再判断它是否满足精度要求
y b，s2 。如此重复，直到某个 s 满足 y b，sk ，此时得到 k
的 y xi 和 yi z xi 就是边值问题的解函数值和它的一阶导数值。上述方程好比打靶， s k 作为斜率为子弹的发射，y b 为靶心，故称为打靶法。
y xy 4 y 12 x 2 3x， 0 x 1， y 0 0，y 1 2，
其解的解析表达式为 y
x x 4 x 。来自解先将该线性边值问题转化为两个初值问题
xy1 4 y1 12 x 2 3 x， y1 1 0， y1 0 0，y1 xy2 4 y2 0， y2 1 1。 y2 0 0，y2

应用计算方法教程

应用计算方法教程第一章：引言计算方法是一门研究如何利用计算机进行数值计算和问题求解的学科。

它在科学计算、工程分析和实际应用中起着重要的作用。

本教程将介绍一些常用的应用计算方法，帮助读者理解和掌握这门学科的基本概念和方法。

第二章：数值计算基础2.1 浮点数表示法2.2 误差与有效数字2.3 数值舍入与截断2.4 计算机算术运算2.5 机器精度与舍入误差第三章：线性方程组的数值解法3.1 直接法：高斯消元法3.2 直接法：LU分解法3.3 迭代法：雅可比迭代法3.4 迭代法：高斯-赛德尔迭代法3.5 迭代法：超松弛迭代法第四章：非线性方程的数值解法4.1 二分法4.2 牛顿迭代法4.3 弦截法4.4 试位法4.5 不动点迭代法第五章：插值与拟合5.1 插值多项式与牛顿插值法5.2 分段线性插值与样条插值5.3 最小二乘拟合与多项式拟合5.4 曲线拟合与非线性最小二乘第六章：数值积分与数值微分6.1 数值积分基本概念6.2 复化求积公式6.3 数值积分的收敛性与误差估计6.4 高斯积分公式6.5 数值微分与差分近似第七章：常微分方程的数值解法7.1 常微分方程初值问题7.2 欧拉法与改进的欧拉法7.3 龙格-库塔法7.4 多步法与预估-校正法7.5 刚性问题与刚性算法第八章：常微分方程的边值问题8.1 二点边值问题与有限差分法8.2 三点边值问题与有限差分法8.3 多点边值问题与有限差分法8.4 边值问题的特殊情况与特殊方法第九章：数值优化方法9.1 优化问题的基本概念9.2 无约束优化问题的最优性条件9.3 一维搜索法9.4 梯度下降法与共轭梯度法9.5 二次规划问题与牛顿法第十章：随机模拟方法10.1 随机数生成10.2 蒙特卡洛方法10.3 马尔可夫链蒙特卡洛法10.4 收敛性与误差估计10.5 随机优化与模拟退火结语这本教程介绍了应用计算方法的基本概念和常用方法。

通过学习本教程，读者可以掌握数值计算的基本原理和技巧，能够应用计算机进行数值计算和问题求解。

常微分方程的数值解法

常微分方程的数值解法在自然科学的许多领域中，都会遇到常微分方程的求解问题。

然而，我们知道，只有少数十分简单的微分方程能够用初等方法求得它们的解，多数情形只能利用近似方法求解。

在常微分方程课中已经讲过的级数解法，逐步逼近法等就是近似解法。

这些方法可以给出解的近似表达式，通常称为近似解析方法。

还有一类近似方法称为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近似值。

利用计算机解微分方程主要使用数值方法。

我们考虑一阶常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(yx y y x f dx dy在区间[a, b]上的解，其中f (x, y )为x, y 的已知函数，y 0为给定的初始值，将上述问题的精确解记为y (x )。

数值方法的基本思想是：在解的存在区间上取n + 1个节点b x x x x a n =<<<<= 210这里差i i i x x h -=+1，i = 0,1, …, n 称为由x i 到x i +1的步长。

这些h i 可以不相等，但一般取成相等的，这时na b h -=。

在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分。

泰勒展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。

把这个相应问题的解y n 作为y (x n )的近似值。

这样求得的y n 就是上述初值问题在节点x n 上的数值解。

一般说来，不同的离散化导致不同的方法。

§1 欧拉法与改进欧拉法 1.欧拉法1．对常微分方程初始问题(9.2))((9.1) ),(00⎪⎩⎪⎨⎧==y x y y x f dx dy用数值方法求解时，我们总是认为(9.1)、(9.2)的解存在且唯一。

欧拉法是解初值问题的最简单的数值方法。

从（9.2）式由于y (x 0) = y 0已给定，因而可以算出),()('000y x f x y =设x 1 = h 充分小，则近似地有：),()(')()(00001y x f x y hx y x y =≈-(9.3)记 ,n ,,i x y y i i 10 )(== 从而我们可以取),(0001y x hf y y ==作为y (x 1)的近似值。

常微分方程的数值解

f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2
（其中 L 为 Lipschitz 常数）则初值问题（ 1 ）存在唯一的连续解。
求问题（1）的数值解，就是要寻找解函数在一系列离散节点x1 < x2 <……< xn < xn+1 上的近似值y1, y 2,…,yn 。为了计算方便，可取 xn=x0+nh，(n=0,1,2,…)， h称为步长。
(1)，(2)式称为初值问题，(3)式称为边值问题。在实际应用中还经常需要求解常微分方程组：
f1 ( x, y1 , y2 ) y1 ( x0 ) y10 y1 (4) f 2 ( x, y1 , y2 ) y2 ( x0 ) y20 y2
本章主要研究问题(1)的数值解法，对(2)~(4)只作简单介绍。
得 yn1 yn hf ( xn1 , yn1 )
上式称后退的Euler方法，又称隐式Euler方法。可用迭代法求解
二、梯形方法由
y( xn1 ) y( xn )
xn1 xn
f ( x, y( x))dx
利用梯形求积公式： x h x f ( x, y( x))dx 2 f ( xn , y( xn )) f ( xn1 , y( xn1 ))
常微分方程的数言简单的数值方法 Runge-Kutta方法一阶常微分方程组和高阶方程
引言
在高等数学中我们见过以下常微分方程：
y f ( x, y, y) a x b y f ( x, y ) a x b (2) (1) (1) y ( x ) y , y ( x ) y 0 0 0 0 y ( x0 ) y0 y f ( x, y, y) a x b (3) y(a) y0 , y(b) yn

第八章常微分方程的数值解法

y( xn1 )
15
Euler法的收敛性
称初值问题(8.1.1)的数值解法是收敛的，如:
h0 ( n )
lim yn y ( x)
其中： x xn x0 nh , x [ x0 , b]
16
例考察以下初值问题Euler法的收敛性
dy y dx y (0)＝y0 ( 0)
★
可得： h (k ) ( k 1) y y | f ( xn 1 , yn ) f ( x , y 1 n 1 n 1 ) | 2 hL ( k ) hL k 1 (1) ( k 1) (0) | yn 1 yn 1 | ( ) | yn 1 yn 1 | 2 2 hL k 1 ( k 1) 从而 : lim( ) 0 , 故有 lim yn 1 y n 1 。 k 2 k
★
由y0＝y( x0 ), 假定yn＝y( xn ), 往证：
y0 yn 1 y ( xn 1 ) xn 1； x0
14
证明
yn yn1 yn hf ( xn , yn ) yn h xn 1 1 yn (1 h ) y( xn )(1 h ) xn xn y0 y0 1 xn (1 h ) ( xn h) x0 xn x0 y0 xn 1 x0
8
局部截断误差
假设第n步在点xn的值计算没有误差,即yn y( xn ), 由单步法计算出yn1 , 则
Tn1 y( xn1 ) yn1 称为点xn1上的局部截断误差.
从初值y( x0 ) y0出发，由单步法显式或隐式逐步计算，得xn 1的值yn 1 , 则
n1 y( xn1 ) yn1

第8章代数方程和常微分方程求解

8.2 常微分方程求解

求解微分方程必须事先对自变量的某些值规定出函数或是导数的值。若在自变量为零的点上，给出初始条件，称为初值问题，最普遍的自变量是“时间”。例如，弹性系统的自由振动，若以时间为零来限定位移和速度，这是一个初值问题。若在自变量为非零的点上，给出边界条件，称为边值问题，最普遍的自变量是“位移”。例如，描述梁弯曲变形的微分方程，边界条件总是规定在梁的两端。
当 x 0 2 和 y 0 0 条件下的特解。在此问题中，两个微分方程的MATLAB表达式为： e1：Dx+2*x-Dy=10*cos(t) e2：Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t) 初值条件表达式为： C1：x(0)=2 C2：y(0)=0

8.1 代数方程求解

8.1.1 代数方程图解法
符号绘图函数fplot()和ezplot()也可以用于图解法求代数方程的根，它适用于求解维数较少的一维方程或二维方程组。对于一维方程图解，其解就是函数曲线与x轴交点所对应的变量数值。如果有多个交点，则表示该方程有多个解；如果没有交点，则表示该方程没有解。例如，在例5-3使用符号绘图函数绘制代数方程的图形（图5-3左图）中可见，函数在区间[-5,5]内与x轴有3个交点，因此该代数方程该区间内有3个实根。

M文件运行结果：采用矩阵左除或矩阵求逆求出线性方程组的解： xx (zx)= 1.0000 2.0000 3.0000 -1.0000 计算残量： r = 1.0e-014 * 0.0888 0.2220 -0.4441 0.1776 计算残量的模： R = 5.3475e-015

常微分方程的求解

18—1 常微分方程数值解法2§1 引言§2 Euler 方法§3 Runge －Kutta 方法§4 单步法的收敛性与稳定性§5 线性多步法§6 方程组与高阶方程的情况§7 边值问题的数值解法3§1 引言微分方程：关于一个未知函数的方程，方程中含有未知函数的（偏）导数，以及自变量等，其中关于未知函数导数的最高次数称为微分方程的阶数.例如：0)()(')()(''=++−x c y x b y x a x y4实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解.微分方程的应用情况5对于一个常微分方程：'(,) ,[,]dy y f x y x a b dx==∈为了使解存在，一般要对函数f 施加限制条件，例如要求f 对y 满足Lipschitz 条件：1212(,)(,)f x y f x y L y y −≤−6同时，一个有解的微分方程通常会有无穷多个解例如cos() sin(),dyx y x a a R dx=⇒=+∀∈为了使解唯一，需要加入一个限定条件. 通常会在端点出给出，如下面的初值问题：(,),[,]()dyf x y x a b dx y a y ⎧=∈⎪⎨⎪=⎩7常微分方程的解是一个函数，但是，只有极少数特殊的方程才能求解出来，绝大多数是不可解的.并且计算机没有办法对函数进行运算. 一般考虑其近似解法，一种是近似解析法，如逼近法、级数解法等，另一种是本章介绍的数值解法.8§2 Euler 方法92－1 Euler 公式对常微分方程初值问题：⎩⎨⎧==00')(),(y x y y x f y 数值求解的关键在于消除其中的导数项——称为离散化. 利用差商近似逼近微分是离散化的一个基本途径.10现在假设求解节点为),,1,0(m i ih a x i "=+=，其中ma b h −=为步长，这些节点相应的函数值为)(,),(1m x y x y ". 在点n x 处，已知))(,()('n n n x y x f x y =用n x 的向前差商nn n n x x x y x y −−++11)()(近似代替)('n x y ，如§1，则得到所谓的Euler 公式1(,)n n n n y y hf x y +=+——单步、显式格式11Euler 公式的局部截断误差：假设)(n n x y y =情况下，11)(++−n n y x y 称为局部截断误差.'''2311''23()()()()()2()(,()(()))2n n n n n n n n n y x y x y y x hy x h O h y x h y x f x y x h O h ++−=+++−−=+故有)(2)(''211n n n x y h y x y ≈−++. 122－2 后退的Euler 公式同样对常微分方程初值问题，在1+n x 点，已知))(,()(111'+++=n n n x y x f x y ，如果用向后差商hx y x y n n )()(1−+代替)(1'+n x y ，则得到后退的Euler 公式：111(,)n n n n y y hf x y +++=+——单步、隐式格式13相对于以上可以直接计算1+n y 的Euler 公式（显式），上式是隐式公式. 一般来讲，显式容易计算，而隐式具有更好的稳定性.求解上述公式，通常使用迭代法：对于给定的初值)0(1+n y，计算(1)()111(,)(0,1,)k k n n n n y y f x y k ++++=+="，如果)(1lim k n k y +∞→收敛，则其极限必满足上述后退Euler 公式.14局部截断误差：假设)(n n x y y =，则),()(111++++=n n n n y x hf x y y .由于)]()[,())(,(),(1111111+++++++−+=n n n y n n n n x y y x f x y x f y x f η且''''2111(,())()()()()n n n n n f x y x y x y x hy x O h +++==++15则有'2''31111(,)[()]()()()()n y n n n n n n y hf x y y x y x hy x h y x O h η++++=−++++将此式减去式2'''31()()()()()2n n n n h y x y x hy x y x O h +=+++ 可得，2''311111()(,)[()]()()2n n y n n n n h y x y hf x y x y y x O h η+++++−=−−+16考虑到21111(,)()1(,)y n y n hf x O h hf x ηη++=++−，则有22''3''11()()()()22n n n n h h y x y y x O h y x ++−=−+≈−172－3 梯形公式由于上述两个公式的局部截断误差绝对值相等，符号相反，故求其算术平均得到梯形公式：111[(,)(,)]2n n n n n n hy y f x y f x y +++=++——单步、隐式格式18梯形法同样是隐式公式，可用下列迭代公式求解：(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2n n n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y +++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩局部截断误差：类似于后退Euler ，可计算出)(12)('''311n n n x y h y x y −≈−++192－4 改进的Euler 公式上述用迭代法求解梯形公式虽然提高了精度，但计算量也很大. 实际上常采用的方法是，用Euler 公式求得初始值（预测），然后迭代法仅施行一次（校正）——改进的Euler 公式：1111(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y f x y hy y f x y f x y ++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩20估计上式中第二式当1+n y 为准确值时的局部截断误差：''11113(3)()()(()[()()])2()12n n n n n n n hy x y y x y x y x y x hy x ++++−=−++≈−212－5 Euler 两步公式如果用中心差商hx y x y n n 2)()(11−+−代替)('n x y ，则得Euler 两步公式112(,)n n n n y y hf x y +−=+——两步、显式格式22假设1−n y 及n y 均为准确值，利用Taylor 展式容易计算Euler 两步公式的局部截断误差为：11113(3)()()(()2(,()))()3n n n n n n n y x y y x y x hf x y x h y x +++−−=−+≈23此式与梯形公式相结合，得到如下的预测－校正公式：111112(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y hf x y hy y f x y f x y −++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩假设第一式中的1−n y 及n y ，以及第二式中的n y 及1+n y 均是准确值，则有，2441)()(1111−≈−−++++n n n n y x y y x y 从而可得以下的事后估计式，111111114()()51()()5n n n n n n n n y x y y y y x y y y ++++++++⎧−≈−−⎪⎪⎨⎪−≈−⎪⎩25可以期望，以上式估计的误差作为计算结果的补偿，可以提高计算精度.以n p 及n c 分别表示第n 步的预测值和校正值，则有以下的“预测－改进－校正－改进”方案（其中在1+n p 与1+n c 尚未计算出来的前提下，以n n c p −代替11++−n n c p ：26预测：'112n n n hy y p +=−+预测的改进：)(5411n n n n c p p m −−=++计算：),(11'1+++=n n n m x f m校正：)(2'1'1++++=n n n n m y hy c校正的改进：)(511111++++−+=n n n n c p c y计算：),(11'1+++=n n n y x f y27例用Euler 方法求解初值问题2'[0,0.6](0)1y y xy x y ⎧=−−∈⎨=⎩取0.2h =，要求保留六位小数. 解：Euler 迭代格式为2210.2()0.80.2k k k k k k k k y y y x y y x y +=+−−=−因此2821000(0.2)0.80.20.8y y y x y ≈=−= 22111(0.4)0.80.20.6144y y y x y ≈=−=23222(0.6)0.80.20.461321y y y x y ≈=−=29例用改进的Euler 方法求解初值问题2'sin 0[0,0.6](0)1y y y x x y ⎧++=∈⎨=⎩取0.2h =，求(0.2),(0.4)y y 的近似值，要求保留六位小数.解：改进的Euler 格式为212211110.2(sin )0.2(sin sin )2k k k k k k k k k k k k k y y y y x y y y y x y y x +++++⎧=+−−⎪⎨=+−−−−⎪⎩30即，222110.820.08sin 0.1(0.80.2sin )sin k k k k k k k k y y y x y y x x ++=−−−则有1(0.2)0.807285y y ≈=，2(0.4)0.636650y y ≈=31§3 Runge －Kutta 方法Def.1如果一种方法的局部截断误差为)(1+p h O ，则称该方法具有p 阶精度. 323－2 Runge —Kutta 方法的基本思想上述的Taylor 级数法虽然可得到较高精度的近似公式，但计算导数比较麻烦. 这里介绍不用计算导数的方法.))(,()()()('1h x y h x f h x y hx y x y n n n n n θθθ++=+=−+——平均斜率.33如果粗略地以),(n n y x f 作为平均斜率，则得Euler 公式；如果以221K K +作为平均斜率，其中),(1n n y x f K =，),(112hK y x f K n n +=+，则得改进的Euler 公式.343－3 二阶的Runge －Kutta 方法对点n x 和)10(≤<+=+p ph x x n p n ，用这两点斜率的线性组合近似代替平均斜率，则得计算公式：11122121()(,)(,)n n n n n p n y y h K K K f x y K f x y phK λλ++⎧=++⎪=⎨⎪=+⎩35现确定系数p ,,21λλ，使得公式具有二阶精度. 因为，取n y 为()n y x ，则'1(,)(,())'()n n n n n nK f x y f x y x y x y === 再把2K 在),(n n y x 处展开，有36'21(,)(,)n p n n n n K f x y phK f x ph y phy +=+=++代入可得，'2''31122()()n n n n y y hy ph y O h λλλ+=++++'2(,)(,)(,)()n n x n n y n n n f x y f x y ph f x y phy O h =+⋅+⋅+'2(')(,)()n x y n n y ph f f y x y O h =+⋅+⋅+'''2()n n y ph y O h =+⋅+37相比较二阶Taylor 展开''2'12n n n n y h hy y y ++=+，有，⎪⎩⎪⎨⎧==+211221p λλλ满足此条件的公式称为二阶Runge －Kutta 公式.38可以验证改进的Euler 公式属于二阶Runge －Kutta 公式. 下列变形的Euler 公式也是二阶Runge －Kutta 公式：12121(,)(,)22n n n n n n y y hK K f x y h h K f x y K +⎧⎪=+⎪=⎨⎪⎪=++⎩393－4 三阶Runge －Kutta 公式同二阶Runge －Kutta 公式，考虑三点,,(01)n n p n q x x x p q ++≤≤≤试图用它们的斜率321,,K K K 的线性组合近似代替平均斜率，即有如下形式的公式：1112233121312()(,)(,)(,())n n n n n n n n y y h K K K K f x y K f x ph y phK K f x qh y qh rK sK λλλ+=+++⎧⎪=⎪⎨=++⎪⎪=+++⎩40把32,K K 在),(n n y x 处展开，通过与)(1+n x y 在n x 的直接Taylor 展式比较，可确定系数s r q p ,,,,,,321λλλ，满足下式，从而使得上述公式具有三阶精度，41特别地，2,1,1,21,32,61231=−======s r q p λλλ是其一特例.123232223311213161p q p q pqs r s λλλλλλλλ++=⎧⎪⎪+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎪+=⎪⎩423－5 四阶Runge －Kutta 公式相同的方法，可以导出下列经典的四阶Runge －Kutta 公式：112341213243(22)6(,)(,)22(,)22(,)n n n n n n n n n n h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩43例用经典四阶Runge —Kutta 方法求解初值问题'83[0,0.4](0)1y y x y =−⎧∈⎨=⎩，取0.2h =，求(0.4)y 的近似值，要求保留六位小数.解：四阶Runge —Kutta 格式为44112341211123122241330.2(22)6(,)830.2(,)83(0.1) 5.6 2.120.2(,)83(0.1) 6.32 2.372(,0.2)83(0.2) 4.208 1.578k k k k k k k k k k k kk k k k ky y K K K K K f x y y K f x y K y K yK f x y K y K y K f x y K y K y ++++⎧=++++⎪⎪==−⎪⎪⎪=+=−+=−⎨⎪⎪=+=−+=−⎪⎪⎪=+=−+=−⎩则10.5494 1.2016k k y y +=+，45故12(0.2) 2.3004,(0.4) 2.4654y y y y ≈=≈=.注：由准确解382()33xy x e −=−可得(0.2) 2.300792,(0.4) 2.465871y y ==46§5 线性多步法基本思想：在计算1+i y 之前，已计算出一系列的近似值i y y ,,1"，如果充分利用这些已知信息，可以期望会获得更高精度的)(1+i x y 的近似值1+i y .基本方法：基于数值积分与基于Taylor 展开的构造方法.475－1 基于数值积分的构造方法对方程),('y x f y =两边从i x 到1+i x 积分，则得∫++=+1),()()(1i ix x i i dxy x f x y x y 设)(x P r 是f (x , y )的插值多项式，由此可得以下的一般形式的计算公式：∫++=+1)(1i ix x r i i dxx P y y 48例取线性插值))(,())(,()(11111+++++−−+−−=i i i i ii i i i i r x y x f x x x x x y x f x x x x x P ，则得到梯形法：)],(),([2111+++++=i i i i i i y x f y x f hy y495－2 Adams 显式公式在区间],[1+i i x x 上利用r ＋1个数据点),(,),,(),,(11r i r i i i i i f x f x f x −−−−"构造插值多项式)(x P r ，由牛顿后插公式（注意到：j i j i j f f −Δ=∇）j i jrj j i r f j t th x P −=Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=+∑0)1()(其中!)1()1(j j s s s j s +−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛". 50可得10rj i i rj i jj y y h f αΔ+−==+∑——Adams 显式公式其中1(1)j j t dt j α−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∫，它可写成：∑=−++=rj ji rj i i f h y y 01β515－3 Adams 隐式公式在区间],[1+i i x x 上利用r ＋1个数据点),(,),,(),,(1111+−+−++r i r i i i i i f x f x f x "构造插值多项式)(x P r ，由牛顿后插公式101)1()(+−=+Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=+∑j i jrj ji r f j t th x P 可得*11rj i i rj i j j y y h f α+−+==+Δ∑——Adams 隐式公式52其中01(1)jj t dt j −−⎛⎞α=−⎜⎟⎝⎠∫，它又可写成： *11ri i rj i j j y y h f β+−+==+∑535－4 Adams 预测－校正公式以r ＝3时的Adams 显式与隐式公式为例. 此时，显式公式为)9375955(243211−−−+−+−+=i i i i i i f f f f hy y 利用Taylor 展式，容易计算局部截断误差为)(720251)5(5i x y h . 54)5199(242111−−+++−++=i i i i i i f f f f hy y 同样利用Taylor 展开可得，其局部截断误差为5(5)19()720i h y x −. 隐式公式为55⎪⎩⎪⎨⎧+−++=−+−+=−−+++−−−+)519),(9(24)9375955(24211113211i i i i i i i i i i i i i f f f y x f hy y f f f f h y y 注利用2－5节的相同作法同样可以构造更精确的计算过程.可构造利用显式预测，隐式校正的计算公式：56§6 方程组与高阶方程的情形6－1 一阶方程组常微分方程初值问题为⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 此时T m y y y ),,(1"=，Tm f f f ),,(1"=. 此时上述的一切方法均可使用，只是注意y 与f 此时为向量.576－2 化高阶方程为一阶方程组解下列的m 阶方程()(1)'(1)(1)000000(,,',,)(),'(),,()m m m m y f x y y y y x y y x y yx y −−−⎧=⎨===⎩""令)1(21,,',−===m m y y y y y y "，则有58'12'23'1'12(,,,,)m m m m y y y y y yy f x y y y −⎧=⎪=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎩#"初始条件为：)1(00'002001)(,,)(,)(−===m m y x y y x y y x y "。

现代科学工程计算基础课后答案

现代科学工程计算基础课后答案《现代科学与工程计算基础》较为详细地介绍了科学与工程计算中常用的数值计算方法、基本概念及有关的理论和应用。

全书共分八章，主要内容有误差分析，函数的插值与逼近，数值积分与数值微分，线性代数方程组的直接解法与迭代解法，非线性方程及非线性方程组的数值解法，矩阵特征值和特征向量的数值解法，以及常微分方程初、边值问题的数值解法等。

使用对象为高等院校工科类研究生及理工科类非“信息与计算科学”专业本科生，也可供从事科学与工程计算的科技工作者参考。

《现代科学与工程计算基础》讲授由浅人深，通俗易懂，具备高等数学、线性代数知识者均可学习。

基本信息出版社: 四川大学出版社; 第1版 (2003年9月1日)平装: 378页语种：简体中文开本: 32ISBN: 7561426879条形码: 9787561426876商品尺寸: 20 x 13.8 x 1.6 cm商品重量: 399 g品牌: 四川大学出版社ASIN: B004XLDT8C《研究生系列教材:现代科学与工程计算基础》是我们在长期从事数值分析教学和研究工作的基础上，根据多年的教学经验和实际计算经验编写而成。

其目的是使大学生和研究生了解数值计算的重要性及其基本内容，熟悉基本算法并能在计算机上实现，掌握如何构造、评估、选取、甚至改进算法的数学理论依据，培养和提高读者独立解决数值计算问题的能力。

目录第一章绪论§1 研究对象§2 误差的来源及其基本概念2.1 误差的来源2.2 误差的基本概念2.3 和、差、积、商的误差§3 数值计算中几点注意事项习题第二章函数的插值与逼近§1 引言1.1 多项式插值1.2 最佳逼近1.3 曲线拟合§2 Lagrange插值2.1 线性插值与抛物插值2.2 n次Lagrange插值多项式2.3 插值余项§3 迭代插值§4 Newton插值4.1 Newton均差插值公式4.2 Newton差分插值公式§5 Hermite插值§6 分段多项式插值6.1 分段线性插值6.2 分段三次Hermite插值§7 样条插值7.1 三次样条插值函数的定义7.2 插值函数的构造7.3 三次样条插值的算法7.4 三次样条插值的收敛性§8 最小二乘曲线拟合8.1 问题的引入及最小二乘原理8.2 一般情形的最小二乘曲线拟合8.3 用关于点集的正交函数系作最小二乘拟合8.4 多变量的最小二乘拟合§9 连续函数的量佳平方逼近9.1 利用多项式作平方逼近9.2 利用正交函数组作平方逼近§10 富利叶变换及快速富利叶变换10.1 最佳平方三角逼近与离散富利叶变换10.2 快速富利叶变换习题第三章数值积分与数值微分§1 数值积分的基本概念1.1 数值求积的基本思想1.2 代数精度的概念1.3 插值型求积公式§2 等距节点求积公式2.1 Newton—CoteS公式2.2 复化求积法及其收敛性2.3 求积步长的自适应选取§3 Romberg 求积法3.1 Romberg求积公式3.2 Richardson外推加速技术§4 Gauss型求积公式4.1 Gauss型求积公式的一般理论4.2几种常见的Gauss型求积公式§5 奇异积分和振荡函数积分的计算5.1 奇异积分的计算5.2 振荡函数积分的计算§6 多重积分的计算6.1 基本思想6.2 复化求积公式6.3 Gauss型求积公式§7 数值微分7.1 Taylor级数展开法7.2 插值型求导公式习题第四章解线性代数方程组的直接法§1 Gauss消去法§2 主元素消去法2.1 全主元素消去法2.2 列主元素消去法§3 矩阵三角分解法3.1 Doolittle分解法（或LU分解）3.2 列主元素三角分解法3.3 平方根法3.4 三对角方程组的追赶法§4 向量范数、矩阵范数及条件数4.1 向量和矩阵的范数4.2 矩阵条件数及方程组性态习题第五章解线性代数方程组的迭代法§1 Jacobi迭代法§2 Gauss-Seidel迭代法§3 超松弛迭代法§4 共轭梯度法习题第六章非线性方程求根§1 逐步搜索法及二分法1.1 逐步搜索法1.2 二分法§2 迭代法2.1 迭代法的算法2.2 迭代法的基本理论2.3 局部收敛性及收敛阶§3 迭代收敛的加速3.1 松弛法3.2 Aitken方法§4 New-ton迭代法4.1 Newton迭代法及收敛性4.2 Newton迭代法的修正4.3 重根的处理§5 弦割法与抛物线法5.1 弦割法5.2 抛物线法§6 代数方程求根6.1 多项式方程求根的Newton法6.2 劈因子法§7 解非线性方程组的Newton迭代法习题……第七章矩阵特征值和特征向量的计算第八章常微方分程数值解法附录参考文献欢迎下载，资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!。

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第8章常微分方程边值问题的数值解法引言第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。

只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为则边值问题(8.1.1)有唯一解。

推论若线性边值问题()()()()()(),,(),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤⎧⎨==⎩ (8.1.2) 满足(1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。

求边值问题的近似解，有三类基本方法：(1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解；(2) 有限元法(finite element method)；(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。

差分法8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法设二阶线性常微分方程的边值问题为(8.2.1)(8.2.2)()()()(),,(),(),y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<<⎧⎨==⎩其中(),()q x f x 在[,]a b 上连续，且()0q x ≥.用差分法解微分方程边值问题的过程是：(i) 把求解区间[,]a b 分成若干个等距或不等距的小区间，称之为单元；(ii) 构造逼近微分方程边值问题的差分格式. 构造差分格式的方法有差分法, 积分插值法及变分插值法；本节采用差分法构造差分格式；(iii) 讨论差分解存在的唯一性、收敛性及稳定性；最后求解差分方程. 现在来建立相应于二阶线性常微分方程的边值问题(8.2.1), 的差分方程. ( i ) 把区间[,]I a b =N 等分，即得到区间[,]I a b =的一个网格剖分：011N N a x x x x b -=<<<<=,其中分点(0,1,,)i x a ih i N =+=，并称之为网格节点(grid nodes)；步长b a Nh -=. ( ii ) 将二阶常微分方程(8.2.2)在节点i x 处离散化：在内部节点(1,2,,1)i x i N =-处用数值微分公式2(4)1112()2()()()(),12i i i i i i i i y x y x y x h y x y x x h ξξ+---+''=-<< (8.2.3) 代替方程(8.2.2)中()i y x ''，得112()2()()()()()()i i i i i i i y x y x y x q x y x f x R x h +--+-=+,(8.2.4) 其中2(4)()()12i i h R x y ξ=. 当h 充分小时，略去式(8.2.4)中的()i R x ，便得到方程的近似方程1122i i i i i i y y y q y f h +--+-=,(8.2.5)其中(),()i i i i q q x f f x ==, 11,,i i i y y y +-分别是11(),(),()i i i y x y x y x +-的近似值, 称式(8.2.5)为差分方程(difference equation)，而()i R x 称为差分方程逼近方程的截断误差(truncation error). 边界条件写成0,.N y y αβ==(8.2.6)于是方程(8.2.5), 合在一起就是关于1N +个未知量01,,,N y y y ，以及1N +个方程式的线性方程组：2211212211222111(2),(2),1,2,,1,(2).i i i i i N N N N q h y y h f y q h y y h f i N y q h y h f αβ-+----⎧-++=-⎪-++==-⎨⎪-+=-⎩(8.2.7)这个方程组就称为逼近边值问题(8.2.1), 的差分方程组(system of difference equations)或差分格式(difference scheme)，写成矩阵形式2211122222223332222222111(2)11(2)11(2)11(2)11(2)N N N N N N y q h h f y q h h f y q h h f y q h h f y q h h f αβ------⎡⎤⎡⎤-+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. (8.2.8)用第2章介绍的解三对角方程组的追赶法求解差分方程组(8.2.7)或其解01,,,N y y y 称为边值问题的差分解(difference solution). 由于是用二阶中心差商代替方程中的二阶微商得到的，所以也称式为中心差分格式(centered-difference scheme).( iii ) 讨论差分方程组(8.2.7)或的解是否收敛到边值问题的解，估计误差. 对于差分方程组(8.2.7)，我们自然关心它是否有唯一解；此外，当网格无限加密，或当0h →时，差分解i y 是否收敛到微分方程的解()i y x . 为此介绍下列极值原理：定理8.2.1 (极值原理) 设01,,,N y y y 是给定的一组不全相等的数，设1122(),0,1,2,,i i i i i i i y y y l y q y q i N h +--+=-≥=.(8.2.9)(1) 若()0,1,2,,i l y i N ≥=, 则{}0Ni i y =中非负的最大值只能是0y 或N y ； (2) 若()0,1,2,,i l y i N ≤=, 则{}0Ni i y =中非正的最小值只能是0y 或N y .证只证(1) ()0i l y ≥的情形，而(2) ()0i l y ≤的情形可类似证明. 用反证法. 记{}0max i i NM y ≤≤=，假设0M ≥, 且在121,,,N y y y -中达到. 因为i y 不全相等，所以总可以找到某个00(11)i i N ≤≤-，使0i y M =，而01i y -和01i y +中至少有一个是小于M 的. 此时0000000011222()2.i i i i i i i i y y y l y q y h M M M q M q M h +--+=--+<-=-因为00,0i q M ≥≥，所以0()0i l y <, 这与假设矛盾，故M 只能是0y 或N y . 证毕！推论差分方程组(8.2.7)或的解存在且唯一. 证明只要证明齐次方程组11202()0,0,1,2,,1,0,0i i i i i i i N y y y l y q y q i N h y y +--+⎧=-=≥=-⎪⎨⎪==⎩ (8.2.10)只有零解就可以了. 由定理8.7.1知，上述齐次方程组的解01,,,N y y y 的非负的最大值和非正的最小值只能是0y 或N y . 而00,0N y y ==，于是0,1,2,,.i y i N == 证毕！利用定理8.2.1还可以证明差分解的收敛性及误差估计. 这里只给出结果：定理8.2.2 设i y 是差分方程组的解，而()i y x 是边值问题的解()y x 在i x 上的值，其中0,1,,i N =. 则有224()(),96i i i M h y x y b a ε=-≤-(8.2.11)其中(4)4max ()a x bM yx ≤≤=.显然当0h →时，()0i i i y x y ε=-→. 这表明当0h →时，差分方程组(8.2.7)或的解收敛到原边值问题的解.例8.2.1 取步长0.1h =，用差分法解边值问题43,01,(0)(1)0,y y x x y y ''-=≤≤⎧⎨==⎩并将结果与精确解()()2222()3434xx y x ee e e x --=---进行比较.解因为110N h ==，()4,()3q x f x x ==, 由式(8.2.7)得差分格式221222112289(240.1)30.10.1,(240.1)30.1,2,3,,8,(240.1)30.10.9,i i i i y y y y y x i y y -+⎧-+⨯+=⨯⨯⎪-+⨯+=⨯=⎨⎪-+⨯=⨯⨯⎩0100y y ==, 00.1,1,2,,9i x ih i i =+==, 其结果列于表8.2.1.从表8.2.1可以看出, 差分方法的计算结果的精度还是比较高的. 若要得到更精确的数值解，可用缩小步长h 的方法来实现.8.2.2 一般二阶线性常微分方程边值问题的差分法对一般的二阶微分方程边值问题1212()()()()()(),,()(),()(),y x p x y x q x y x f x a x b y a y a y b y b αααβββ'''++=<<⎧⎪'+=⎨⎪'+=⎩ (8.2.12) 假定其解存在唯一.为求解的近似值，类似于前面的做法，( i ) 把区间[,]I a b =N 等分，即得到区间[,]I a b =的一个网格剖分：011N N a x x x x b -=<<<<=,其中分点(0,1,,)i x a ih i N =+=，步长b a Nh -=. ( ii ) 对式(8.2.12)中的二阶导数仍用数值微分公式2(4)1112()2()()()(),12i i i i i i i iy x y x y x h y x y x x h ξξ+---+''=-<<代替，而对一阶导数，为了保证略去的逼近误差为2()O h ，则用3点数值微分公式；另外为了保证内插，在2个端点所用的3点数值微分公式与内网格点所用的公式不同，即21112012000022212()()()(),,1,2,,1,263()4()()()(),,23()4()3()()(),.23i i i i i i i N N N N N N N N y x y x h y x y x x i N h y x y x y x h y x y x x h y x y x y x h y x y x x h ξξξξξξ+-----⎧-''''=-<<=-⎪⎪-+-⎪''''=+<<⎨⎪⎪-+''''=+<<⎪⎩(8.2.13) 略去误差，并用()i y x 的近似值i y 代替()i y x ，(),(),()i i i i i i p p x q q x f f x ===，便得到差分方程组1111221*********(2)(),1,2,,1,2(34),2(43),2i i i i i i i i i N N N N p y y y y y q y f i N h hy y y y h y y y y h αααβββ-++---⎧-++-+==-⎪⎪⎪+-+-=⎨⎪⎪+-+=⎪⎩(8.2.14)其中(),(),(),1,2,,1i i i i i i q q x p p x f f x i N ====-, i y 是()i y x 的近似值. 整理得12021222211222121(23)42,(2)2(2)(2)2,1,2,,1,4(32)2.i i i i i i i N N N h y y y h hp y h q y hp y h f i N y y h y h αααααβββββ-+---+-=⎧⎪---++==-⎨⎪-++=⎩ (8.2.15)解差分方程组(8.2.15)，便得边值问题的差分解01,,,N y y y .特别地, 若12121,0,1,0ααββ====，则式(8.2.12)中的边界条件是第一类边值条件：(),();y a y b αβ==此时方程组为221112112211221211112(2)(2)2(2),(2)2(2)(2)2,2,3,,2,(2)2(2)2(2).i i i i i i i N N N N N N h q y hp y h f hp hp y h q y hp y h f i N hp y h q y h f hp αβ-+------⎧--++=--⎪---++==-⎨⎪---=-+⎩(8.2.16)方程组(8.2.16)是三对角方程组，用第2章介绍的解三对角方程组的追赶法求解差分方程组，便得边值问题的差分解01,,,N y y y .( iii ) 讨论差分方程组(8.2.16)的解是否收敛到微分方程的解，估计误差. 这里就不再详细介绍.例8.2.2 取步长/16h π=，用差分法求下列边值问题的近似解，并将结果与精确解进行比较.精确解是1()(sin 3cos )10y x x x =-+. 解因为(20)8N h π=-=，()1,()2,()cos p x q x f x x =-=-=, 由式(8.2.17)得差分格式()()()()()()()()()()()()()2122211222122216(2)216(1)216cos 16216(1)(0.3),216(1)2216(2)216(1)216cos 16,2,3,,6,216(1)2216(2)216cos 7i i i N N y yy y y i i y y πππππππππππππ-+--⎡⎤--⨯-++⨯-⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--⨯-⨯-⎡⎤⎣⎦⎡⎤-⨯---⨯-++⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦==⎡⎤-⨯---⨯-⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()16216(1)(0.1),ππ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪-+⨯-⨯-⎡⎤⎣⎦⎩080.3,0.1y y =-=-, 00.1,1,2,,9i x ih i i =+==, 其结果列于表8.2.2.有限元法有限元法(finite element method)是求解微分方程定解问题的有效方法之一，它特别适用在几何、物理上比较复杂的问题. 有限元法首先成功地应用于结构力学和固体力学，以后又应用于流体力学、物理学和其他工程科学. 为简明起见，本节以线性两点边值问题为例介绍有限元法.考虑线性两点边值问题()(8.3.1)(8.3.2)()()()()(),,(),(),Ly p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ⎧''⎪=-+=≤≤⎨==⎪⎩其中1()0,()0,C [,]p x q x p a b >≥∈, ,C[,]q f a b ∈.此微分方程描述了长度为b a -的可变交叉截面(表示为()q x )的横梁在应力()p x 和()f x 下的偏差()y x .8.3.1 等价性定理记{}221C [,]()C [,],(),()a b y y y x a b y a y b αβ==∈==, 引进积分()22()()[()]()()2()()d baI y p x y x q x y x f x y x x '=+-⎰. (8.3.3)任取21()C [,]y y x a b =∈，就有一个积分值()I y 与之对应，因此()I y 是一个泛函(functional)，即函数的函数. 因为这里是,y y '的二次函数，因此称()I y 为二次泛函.对泛函(8.3.3)有如下变分问题(variation problem)：求函数21C [,]y a b ∈，使得对任意21C [,]y a b ∈, 均有()()I y I y ≥, (8.3.4)即()I y 在y 处达到极小, 并称y 为变分问题(8.3.4)的解.可以证明：定理8.3.1(等价性定理) y 是边值问题的解的充分必要条件是y 使泛函()I y 在21C [,]a b 上达到极小，即y 是变分问题在21C [,]a b 上的解.证 (充分性) 设21C [,]y a b ∈是变分问题()I y 的解；即y 使泛函()I y 在21C [,]a b 上达到极小，证明y 必是边值问题(8.3.1), 的解.设()x η是2C [,]a b 任意一个满足()()0a b ηη==的函数，则函数21()()()C [,]y x y x x a b αη=+∈，其中α为参数. 因为y 使得()I y 达到极小，所以()()I y I y αη+≥，即积分()22()()[()()]()[()()]2()[()()]baI y p x y x x q x y x x f x y x x dxαηαηαηαη''+=+++-+⎰作为α的函数，在0α=处取极小值()I y ，故d()0d I y ααηα=+=. (8.3.5) 计算上式，得()()()()()0220(8.d()d d ()[()()]()[()()]2()[()()]d d 2()[()()]()2()[()()]()2()()d 2()()()()()()()()d .b ab ab aI y p x y x x q x y x x f x y x x xp x y x x x q x y x x x f x x x p x y x x q x y x x f x x x ααααηααηαηαηααηηαηηηηηη===+''=+++-+'''=+++-''=+-⎰⎰⎰3.6)利用分部积分法计算积分[][]()()()d ()()d ()()()()()()()d ()()()d ,bbaab ba abap x y x x x p x y x x p x y x x x p x y x x x p x y x x ηηηηη'''='''=-''=-⎰⎰⎰⎰代入式(8.3.6)，得()0(8.3.7)d()2()()()()()()d 0.d b a I y p x y x q x y x f x x x ααηηα'=⎡⎤⎣⎦'+=-+-=⎰因为()x η是任意函数，所以必有()()()()()()0p x y x q x y x f x ''-+-≡. (8.3.8)否则，若在[,]a b 上某点0x 处有()00000()()()()()0p x y x q x y x f x ''-+-≠，不妨设()00000()()()()()0p x y x q x y x f x ''-+->，则由函数的连续性知，在包含0x 的某一区间00[,]a b 上有()()()()()()0p x y x q x y x f x ''-+->.作002200000,[,]\[,],()()(),.x a b a b x x a x b a x b η∈⎧⎪=⎨--≤≤⎪⎩显然2()C [,]x a b η∈，且()()0a b ηη==，但()()()()()()()d ba p x y x q x y x f x x x η⎡⎤''-+-⎢⎥⎣⎦⎰()00()()()()()()d 0b a p x y x q x y x f x x x η⎡⎤''=-+->⎢⎥⎣⎦⎰，这与式(8.3.7)矛盾. 于是式成立，即变分问题的解y 满足微分方程且(),()y a y b αβ==故它是边值问题的解.(必要性) 设()y y x =是边值问题(8.3.1), 的解，证明y 是变分问题的解；即：y 使泛函()I y 在21C [,]a b 上达到极小.因为()y y x =满足方程(8.3.1)，所以()()()()()()0p x y x q x y x f x ''-+≡.设任意21()C [,]y y x a b =∈，则函数()()()x y x y x η=-满足条件()()0a b ηη==，且2()C [,]x a b η∈. 于是()()[]()222222()()()()()[()()]()[()()]2()[()()]d ()[()]()[()]2()()d 2()()()()()()()()d ()[()]()[()]d baba baaI y I y I y I y p x y x x q x y x x f x y x x x p x y x q x y x f x y x xp x y x x q x y x x f x x x p x x q x x xηηηηηηηηη-=+-''=+++-+'-+-''=+-++⎰⎰⎰()()()22222()()()()()()d ()[()]()[()]d ()[()]()[()]d .bbba a bap x y x q x y x f x x x p x x q x x xp x x q x x x ηηηηη⎡⎤'''=--+++⎢⎥⎣⎦'=+⎰⎰⎰⎰因为()0,()0p x q x >≥，所以当()0x η≠时，()22()[()]()[()]d 0bap x x q x x x ηη'+>⎰, 即()()0I y I y ->.只有当()0x η≡时，()()0I y I y -=. 这说明y 使泛函()I y 在21C [,]a b 上达到极小. 证毕！定理8.3.2 边值问题存在唯一解.证明用反证法. 若12(),()y x y x 都是边值问题(8.3.1), 的解，且不相等，则由定理知，它们都使泛函()I y 在21C [,]a b 上达到极小，因而12()()I y I y > 且 21()()I y I y >，矛盾！因此边值问题(8.3.1), 的解是唯一的.由边值问题解的唯一性，不难推出边值问题(8.3.1), 解的存在性(留给读者自行推导).8.3.2 有限元法等价性定理说明，边值问题(8.3.1), 的解可化为变分问题的求解问题. 有限元法就是求变分问题近似解的一种有效方法. 下面给出其解题过程：第1步对求解区间进行网格剖分01,i n a x x x x b =<<<<<=区间1[,]i i i I x x -=称为单元，长度1(1,2,,)i i i h x x i n -=-=称为步长，1max i i nh h ≤≤=. 若(1,2,,)i h h i n ==，则称上述网格剖分为均匀剖分.给定剖分后，泛函(8.3.3)可以写成()22()()[()]()()2()()d baI y p x y x q x y x f x y x x '=+-⎰()12211()[()]()()2()()d ii nnx i x i i p x y x q x y x f x y x xS -=='=+-∑∑⎰记. (8.3.9)第2步构造试探函数空间。