2015海淀一模理科数学含有答案
【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练12含答案
题组层级快练 (十二 )1．函数 y＝ log 2|x|的图像大体是()答案C剖析函数 y＝ log2 |x|为偶函数，作出x>0 时 y＝ log 2x 的图像，图像关于y 轴对称，应选C.2．(2015·京海淀一模北)以下函数f( x)图像中，满足1f(4)>f(3)> f(2)的只可能是()答案D剖析11)<f(0) ＝ 1，f(3)> f(0) ，由于 f( )>f(3)> f(2)，因此函数 f(x)有增有减，不选 A ，B.又 C 中，f(441即 f(4)< f(3)，因此不选 C，选 D.3．(2015 ·东师大附中月考山 )函数 y＝ 2x－ x2的图像大体是()答案A剖析易研究知x＝2和 4 是函数的两个零点，故消除 B ，C；再结合y＝ 2x与y＝x2的变化趋势，可知当x→ －∞时， 0<2 x<1，而 x2→＋∞ ，因此 2x－ x2→ －∞，故消除D，选 A.4．函数 y＝ ln(1 － x)的大体图像为()答案C剖析将函数 y＝ lnx 的图像关于y 轴对称，获取y＝ln( － x)的图像，再向右平移 1 个单位即得 y＝ln(1 － x)的图像．1的图像是 ()5．函数 f(x)＝1＋|x|答案C1x≥ 0 ，剖析本题经过函数图像观察了函数的性质．f(x)＝11＋ x当 x≥ 0 时，＝1＋ |x|1x<0 .1－ xx 增大，1减小，因此 f(x)在当 x≥ 0时为减函数；当x<0 时， x 增大，1增大，因此 f(x) 1＋ x1－ x在当 x<0 时为增函数．本题也可以依照f(－ x)＝1＝1＝ f(x)，得 f(x)为偶函数，图像1＋ |－x|1＋|x|关于 y 轴对称，选 C.6．已知 lga＋ lgb＝ 0，函数 f(x) ＝a x与函数 g(x)＝－ log b x 的图像可能是 ()答案B1剖析∵lga＋ lgb＝ 0，∴lgab＝ 0，ab＝ 1，∴b＝a.∴g( x)＝－ log b x＝ log a x，∴函数 f( x)与 g(x)互为反函数，图像关于直线y＝ x 对称，应选 B.7．(2013 ·建文福 )函数 f(x)＝ ln(x2＋ 1)的图像大体是 ()答案A剖析依题意，得f(－ x)＝ ln(x2＋ 1)＝ f( x)，因此函数f( x)为偶函数，即函数f(x)的图像关于 y 轴对称，故消除 C.由于函数f(x)过定点 (0,0)，消除 B， D ，应选 A.8．为了获取函数1 x1x的图像 () y＝ 3×()的图像，可以把函数 y＝( )33A ．向左平移 3 个单位长度B．向右平移 3 个单位长度C．向左平移 1 个单位长度D．向右平移 1 个单位长度答案D1 x 1 1 1 x 1 x 1 1 x剖析y＝ 3×(3)＝ (3)－·(3)＝( 3) －，故它的图像是把函数y＝ (3)的图像向右平移 1 个单位长度获取的．4x－ 19．函数 f(x)＝2x的图像关于 ()A ．原点对称B．直线 y＝ x 对称C．直线 y＝－ x 对称D． y 轴对称答案A4x－ 1剖析由题意可知，函数f( x)的定义域为R，且 f( x)＝x＝ 2x－ 2－x， f(－ x)＝ 2－x－ 2x＝2－ f( x)，因此函数f(x)为奇函数，应选 A.10．(2014 ·建福 )若函数 y＝ log a x(a＞ 0，且 a≠1) 的图像以下列图，则以下函数图像正确的是 ()答案B剖析由于函数 y＝log a x 过点 (3,1)，因此 1＝log a3，解得 a＝ 3，因此 y＝ 3－x不可以能过点(1,3)，消除 A ；y＝ (－ x)3＝－ x3不可以能过点 (1,1)，消除 C；y＝ log3，(－ x)不可以能过点 (－ 3，－1)消除 D.应选 B.11．已知以下列图①的图像对应的函数为y＝f(x)，则图②的图像对应的函数在以下给出的四式中，只可能是()A ． y＝ f(|x|) C． y＝ f(－ |x|)答案C B． y＝ |f(x)| D． y＝－ f(|x|)12．若函数1|1－x|＋ m 的图像与 x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是 ________．y＝ (2)答案－ 1≤m<0剖析1 |1 x| 1 |1x|第一作出y＝ (2) －的图像 (如右图所示 )，欲使 y＝ (2) －＋ m 的图像与 x 轴有交点，则－1≤ m<0.113．已知 x2>x3，则实数x 的取值范围是________．答案{ x|x<0 或 x>1}1剖析分别画出函数y＝ x2与 y＝ x3的图像，以下列图，由于两函数的图像都过点(1,1) ，1由图像可知不等式x2>x3的解集为 { x|x<0 或 x>1} ．14．设函数 f(x) ，g(x)的定义域分别为F，G，且 F G.若对任意的 x∈F，都有 g(x)＝ f(x)，则称 g(x)为 f(x)在 G 上的一个“延拓函数”．已知函数1 x，若 g(x)为 f(x)在R上f(x)＝ ( ) (x≤0)2的一个延拓函数，且 g(x)是偶函数，则函数g(x) 的剖析式为 ________．答案 g(x)＝ 2|x|剖析1 x (x ≤ 0)的图像关于 y 轴对称的这部分图像，即可获取偶函数g(x)画出函数 f(x)＝ ( )2的图像，由图可知：函数g(x) 的剖析式为 |x|g( x)＝ 2 .15．若是关于 x 的方程1 有且仅有一个正实数解，那么实数a 的取值范围为ax ＋ 2 ＝ 3x________．答案{ a|a ≤ 0 或 a ＝ 2}11剖析令 f( x)＝ ax － 3， g(x)＝－ x 2，在同一坐标系中分别作出 f(x)＝ ax － 3 与 g(x)＝－ x 2的图像，显然 a ≤ 0.又当 a ＝2 时， f(x)＝ g(x)有且只有一个正的实数解．16．关于 x 的方程 e x lnx ＝1 的实根个数是 ________． 答案1剖析题中问题可转变成求函数y ＝ lnx 与 y ＝ ( 1 x(图略 )可知交点e )的交点个数，作出图像个数是 1.17．已知 a>0，且 a ≠1， f(x)＝ x 2－ a x，当 x ∈ (－ 1,1)时，均有 f( x)<12，求实数a 的取值范围．答案[ 1， 1)∪ (1,2]2剖析由题知，当 x ∈(－ 1,1)时， f(x)＝ x2 x1 21 x－ a < 2，即 x － 2<a .在同一坐标系中分别作出二次函数 y ＝ x 2－12，指数函数y ＝a x 的图像，如图，当 x ∈(－ 1,1)时，要使指数函数的图像均在二次函数图像的上方，需1≤a ≤ 2 且 2a ≠ 1.故实数a 的取值范围是1≤ a<12或 1<a ≤ 2.x ay ＝g( x)的图像．18．已知函数 f(x)＝ 2 － x .将 y ＝ f(x)的图像向右平移两个单位，获取2(1)求函数 y ＝ g(x)的剖析式；(2)若函数 y ＝ h(x)与函数 y ＝g(x)的图像关于直线y ＝ 1 对称，求函数 y ＝ h(x)的剖析式．x －2a答案 (1) g(x)＝ 2－ x －22(2)h(x)＝ 2－ 2x －2a＋x－ 22剖析(1) 由题设， g(x)＝ f(x－ 2)＝ 2x－2－xa2.2 －(2)设 (x， y)在 y＝ h( x)的图像上， (x1， y1)在 y＝ g(x)的图像上，x1＝x，则y1＝ 2－ y，∴2－ y＝ g(x)， y＝ 2－g(x)．即 h(x)＝ 2－ 2x－2＋a .2x－21．(2014 ·课标全国Ⅰ理新)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线的距离表示成OA，终边为射线x 的函数 f(x)，则OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为y＝ f(x) 在[0 ，π]的图像大体为()M.将点M 到直线OP答案B剖析1由题意 |OM |＝ |cosx|， f(x) ＝|OM ||sinx|＝ |sinxcosx|＝ |sin2x|，由此可知 B 正确．22．设函数 f(x)＝ |x＋ 1|＋ |x－ a|的图像关于直线x＝ 1 对称，则实数 a 的值为 ()A ． 3B． 2C． 1D．－ 1答案A剖析∵函数 f(x)图像关于直线x＝1 对称，∴f(1＋ x)＝ f(1 －x) ，∴f(2)＝ f(0)．即 3＋ |2－a|＝1＋ |a|，用代入法知选 A.3．函数 y＝ 1－1的图像是() x－ 1答案B剖析方法一： y＝ 1－1的图像可以看作由11 个单位，再向上x－ 1y＝－x的图像向右平移平移 1 个单位而获取的．方法二：由于x≠ 1，故消除C， D.又函数在(－∞，1)及 (1，＋∞ )上均为增函数，消除 A ，因此选 B.4．已知函数f(x)的定义域为[a，b] ，函数y＝ f(x)的图像以以下列图所示，则函数f(|x|)的图像大致是 ()答案B5．(2015 ·州质检荆 )若函数 y＝ f(x) 的曲线以下列图，则方程y＝ f(2－ x)的曲线是 ()答案C剖析先关于 y 轴对称，获取(x－ 2)) ＝f(2－ x)的图像．因此答案为y＝f(－ x)的图像，再向右平移两个单位，即可获取y＝ f(－C.注意，左右平移是针对字母x 变化，上下平移是针对整个式子变化．6．(2014 山·东理 )已知函数 y＝ f(x)( x∈R )．对函数 y＝ g(x)(x∈I )，定义 g(x) 关于 f(x) 的“对称函数”为函数 y＝ h(x)( x∈I)， y＝h(x)满足：对任意 x∈ I ，两个点 (x， h(x))， ( x， g( x))关于点(x， f(x)) 对称．若 h(x)是 g(x) ＝4－ x2关于 f(x)＝ 3x＋ b 的“对称函数”，且h(x)＞ g(x)恒成立，则实数 b 的取值范围是 ________．答案(2 10，＋∞ )h x ＋ g x剖析函数 g(x)的定义域是 [－ 2,2]，依照已知得＝ f(x)，2因此 h(x)＝ 2f(x)－ g(x)＝ 6x＋ 2b－4－x2.h( x)＞ g(x)恒成立，即 6x＋ 2b－4－ x2＞ 4－ x2恒成立，即3x＋ b＞ 4－ x2恒成立，令y＝3x＋ b， y＝4－ x2，则只要直线y＝ 3x＋ b 在半圆22|b|＞ 2，解得 b＞ 2 10(舍去负值 ) ，故实数 b 的取值范围是 (2 10，x＋ y ＝ 4(y≥ 0)上方即可，由10＋∞)．。
2015年海淀中考数学一模试题及答案
海淀区九年级第二学期期中练习数 学 2015.5（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1. 2015年北京市实施能源清洁化战略，全市燃煤总量减少到15 000万吨左右，将15 000用科学记数法表示应为A.0. 15 x105B.1.5×104C.1.5×105D.15 x1032．右图是某几何体的三视图，该几何体是A ．三棱柱B ．三棱锥C ．长方体D ．正方体 3．如图，数轴上两点A ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数为 A. -1 B.1 C. -2 D.2 4．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为 A.21 B. 54 C. 94 D. 95 5.如图，直线a 与直线b 平行，将三角板的直角顶点放在直线a 上，若∠1= 400，则∠2等于 A ．400 B ．500 C ．600 D ．14006.如图，已知∠AOB.小明按如下步骤作图：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点D ，交OB 于点E. (2)分别以点D 、E 为圆心，大于21DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ． (3)画射线OC.根据上述作图步骤，下列结论正确的是A．射线OC 是∠AOB的平分线B．线段DE平分线段OC C ．点D 和点C 关于直线DE 对称 D ．OE=CE7．某次比赛中，15名选手的成绩如图所示，则这l5名选 手成绩的众数和中位数分别是A ．98，95B ．98,98C ．95，98D ．95 ，958．甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等侯红灯停止了一分钟，之后又骑行了1.2千米到达了乙家，若甲骑行的速度始终不变，从 出发开始计时，剩余的路程S （单位：千米）与时间t （单位：分钟） 的函数关系的图象如图所示，则图中a 等于 A. 1.2 B ．2 C ．2.4 D ．69．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ．若∠B=600，AC=3，则CD 的长为 A ．6 B ．2 3 C ．3 D ．310.小明在书上看到了一个实验：如右图，一个盛了水的圆柱形容器内，有 一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相 同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象，如左下图所示．小明选择的物体可能是二、填空题(本题共18分，每小题3分）11.分解因式：a 3-ab 2=12．写出一个函数y=kx(k ≠0)，使它的图象与反比例函数y=x1的图象有公共点，这个函数的解析式为_______.13．某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑、白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为 （结果精确到14.如图，点C 为线段AB 上一点，将线段CB 绕点C 旋转，得到线段CD ，若DA ⊥AB，AD =1，BD=17，则BC 的长为______。
2015北京高考数学理科试题与答案解析(北京第一份).pdf
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2015海淀二模数学(理)附答案
2015海淀二模数学(理)附答案海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理） 2015.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U Z =，集合{1,2}A =，{1,2,3,4}AB =，那么()U C A B=（ ）（A ）∅ （B ）{3}x x Z ∈≥ （C ）{3,4} （D ）{1,2} （2）设30.320.2,log0.3,2a b c ===，则（ ）（A ）b c a <<（B ）c b a <<（C ）a b c << （D ）b a c <<（3）在极坐标系中，过点π(2,)6-且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）cos 3ρθ= （B ）cos 3ρθ= （C ）sin 1ρθ=（D ）sin 1ρθ=- （4）已知命题p ，q ，那么“p q ∧为真命题”是“p q∨为真命题”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知函数()cos(2)f x xϕ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cosϕ=（）（A）22-（B）0（C）22（D）1（6）已知函数的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计的值约为（）（A）99100（B）310（C）910（D）1011()f x1()df x x⎰13xOy小值的程序框图.①处可填写_____；②处可填写 ．（12）若双曲线M 上存在四个点,,,A B C D ，使得四边形ABCD 是正方形，则双曲线M 的离心率的取值范围是 .（13）用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色.若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数．．，则不同的 涂色方案种数是 .（用数字作答）（14）设关于,x y 的不等式组340,(1)(36)0x y x y -≥⎧⎨-+-≤⎩表示的平面区域为D ，已知点(0,0),(1,0)O A ，点M 是D 上的动点. OA OM OM ⋅=λ，则λ的取值范围是 .三、解答题共6小题，共80分。
2015年海淀中考数学一模试题及答案
解： ( x 2y)2 (x y)( x y) 2 y2 x2 4xy 4 y2 ( x2 y2 ) 2 y2 ………………………………………………２ 分
4 xy 3y 2 ……………………………………………………………………３
6. 如图，已知∠ AOB.小明按如下步骤作图： (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交
OA 于点 D ，交 OB 于点 E.
1
(2) 分别以点 D 、 E 为圆心，大于 DE 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点 C．
2
(3) 画射线 OC.
根据上述作图步骤，下列结论正确的是 A ．射线 OC是∠ AOB的平分线 B ．线段 DE平分线段 OC C ．点 D和点 C 关于直线 DE对称 D ． OE=CE 7．某次比赛中， 15 名选手的成绩如图所示，则这 l5 名选 手成绩的众数和中 位数分别是
200
300
400
500
600
摸到白球的次数 m
58
118
189
237
302
359
m
摸到白球的频率
n
0.58
0.59
0.63
0.593 0.604
从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为
（结果精确到 0.1 ）
14. 如图，点 C 为线段 AB上一点，将线段 CB绕点 C 旋转，得到线段 CD，若 DA
E
F
A
B
C
D
18. 解不等式组：
3x 4＞5x 2 x 1x 4
33
2016年北京海淀区高考数学一模理试题PDF解析版
sin AC sin 2 2 （Ⅱ） 由（Ⅰ） BC 3sin 3sin 3 6 2 AC BC. 3 在 VABC 中, 应用余弦定理, 有
AC 2 BC 2 AB2 2 AC BC cos ACB
将 AC
2 2 BC , AB 19, ACB 带入上式，得到 3 6 2 3 4 2 2 BC 2 BC 2 19 2 BC 2 cos 9 3 3 19 BC 2 19 9 BC 3
y2 1. 为 3 ，所以 c 2 ，从而 a 1, b 3 ，双曲线为 x 3
2 2
2
13、如图，在三角形三条边上的 6 个不同的圆内分别填入数字 1，2，3 中的一个. （1）当每条边上的三个数字之和为 4 时，不同的填法有 （2）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有 【答案】 4 ， 种; 种.
北京市海淀区 2015-2016 学年度第二学期高三综合练习（一） 数学试卷（理科）
2016.4
第 I 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项） 1、函数 f ( x) A. [0, ) 【答案】A 【解析】本题考查函数的定义域，只需 2 1 0 ，即 x 0.
2
1 1 2 1 1
其他顶点随之确定，故有 6 种填法. 14、已知函数 f ( x) ，对于实数 t 若存在 a 0, b 0 ，满足 x [t a, t b] ，使得 f ( x) f (t ) 2 ，则记
a b 的最大值为 H (t ).
（1）当 f ( x) 2 x 时， H (0)
北京市海淀区2016届高三一模数学(理)试题【含答案】
北京海淀区高三年级2015-2016学年度第二学期期中练习数学试卷（理科）2016.4一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．函数()21x f x =-的定义域为（ ）A ．[)0+∞，B ．[)1+∞，C ．(]0-∞，D ．(]1-∞， 2．某程序的框图如图所示，若输入的z i =（其中i 为虚数单位）， 则输出的S 值为（ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i3．若x y 、满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为（ ）A ．52 B ．3 C ．72D ．4 4．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ） A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列” 是“n n n N S na *∀∈=，”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．在极坐标系中，圆1:2cos C =ρθ与圆2:2sin C =ρθ相交于A B 、两点，则AB =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．27．已知函数()()()sin 0cos 0x a x f x x b x +≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩，，是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）A ．44a b ==-，ππB ．236a b ==，ππC ．36a b ==，ππD ．5263a b ==，ππ8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ） A ．甲只能承担第四项工作 B ．乙不能承担第二项工作 C ．丙可以不承担第三项工作 D ．丁可以承担第三项工作二、填空题：共6小题，每小题5分，共30 分．9．已知向量()()1,,9a t b t ==， ，若//a b ，则t =_______． 10．在等比数列{}n a 中，22a =，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数12312log 22-， ， 中，最小的数是_______．12．已知双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字123， ， 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在00a b >>，，满足：[]x t a t b ∀∈-+，，使得()()2f x f t -≤，则记a b +的最大值为()H t ．（ⅰ）当()2f x x =时，()0=H _______．（ⅱ）当()2f x x =且[]1,2t ∈时，函数()H t 的值域为_______．三、解答题：共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且13AD DB =．记ACD ∠=α，BCD ∠=β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα= ； （Ⅱ）若1962AB ===，，ππαβ，求BC 的长．16．（本小题满分13分）2004年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据，试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1株，记这2株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M N 、分别为线段PB PC 、上的点，MN PB ⊥．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P B 、重合时，M N D A 、、、四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当2PA AB ==，二面角C AN D --的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数()1ln 1f x x x =+-，()1ln x g x x-= （Ⅰ）求函数()f x 的最小值； （Ⅱ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅲ）求证：直线y x =不是曲线()y g x =的切线．19．（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，椭圆C 与y 轴交于A B 、两点，且2AB =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧，直线PA PB 、与直线4x =分别交于N N 、两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于E F 、两点，求点P 横坐标的取值范围及EF 的最大值．20．（本小题满分13分）给定正整数()3n n ≥，集合{}1,2,,n U n =⋅⋅⋅．若存在集合A B C 、、，同时满足下列条件： ①n U AB C =，且A B B C C A ===∅；②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C 中（集合C 中还可以包含其它数）；③集合A B C 、、中各元素之和分别记为A B C S S S 、、，有A B C S S S ==； 则称集合n U 为可分集合．（Ⅰ）已知8U 为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A B C 、、； （Ⅱ）证明：若n 是3的倍数，则n U 不是可分集合； （Ⅲ）若n U 为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值．海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案DABC数学（理科） 2016.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2015-海淀-一模
海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习数 学 2015．5一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．2015年北京市实施能源清洁化战略，全市燃煤总量减少到15 000万吨左右，将15 000用科学记数法表示应为A ． 50.1510⨯ B ．41.510⨯ C ．51.510⨯ D ．31510⨯ 2．右图是某几何体的三视图，该几何体是A. 三棱柱B. 三棱锥C. 长方体D.正方体 3．如图，数轴上两点A ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数为2A 0BA ．-1B ．1C ．-2D ．24．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为A ．12 B ．45 C ．49 D ．595．如图，直线a 与直线b 平行，将三角板的直角顶点放在直线a 上，若∠1=40°，则∠2等于A ． 40°B ．50°C ．60°D ．140°6．如图，已知∠AOB ．小明按如下步骤作图：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于点E ． （2）分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ． （3）画射线OC ．根据上述作图步骤，下列结论正确的是A ．射线OC 是AOB ∠的平分线 B ．线段DE 平分线段OC C ．点O 和点C 关于直线DE 对称D ．OE =CE 7．某次比赛中，15名选手的成绩如图所示，则 这15名选手成绩的众数和中位数分别是ba 21BA CEODA ．98，95B ．98，98C ．95，98D ．95，958. 甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等候红灯停止了一分钟，之后又骑行了1.2千米到达了乙家．若甲骑行的速度始终不变，从出发开始计时，剩余的路程S （单位：千米）与时间t （单位：分钟）的函数关系的图象如图所示，则图中a 等于 A ．1.2 B ．2 C ．2.4 D ．69．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E .若60B ∠=︒，AC =3，则CD 的长为A ． 6B ．23C ．3D ．310．小明在书上看到了一个实验：如右图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象.如左下图所示.小明选择的物体可能是二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：32a ab -=____________．12．写出一个函数y kx =（0k ≠），使它的图象与反比例函数1y x=的图象有公共点，这个函数的解析式为___________．13．某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别.在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复.下表是由试验得到的一组统计数据：从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为 ．（结果精确到0.1）摸球的次数n 100 200 300400 500 600 摸到白球的次数m58118189237302359摸到白球的频率nm0.58 0.59 0.63 0.593 0.604 0.598 A B C D63S /千米t /分钟OE DCBOA14．如图，点C 为线段AB 上一点，将线段CB 绕点C 旋转，得到线段CD ，若DA AB ⊥，1AD =，17BD =，则BC 的长为__________．15． 在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD 中，AD ∥BC ，请添加一个条件，使得四边形ABCD 是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD =BC ”，小红说“添加AB =DC ” ．你同意 的观点， 理由是 ．16．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角.已知△ABC 是等径三角形，则等径角的度数为 . 三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：222cos6012(3.14π)--+-+-o． 18．解不等式组：345214.33x x x x +>-⎧⎪⎨-⎪⎩，≥19．已知43x y =，求代数式22(2)()()2x y x y x y y ---+-的值．20．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，AB=FC ，∠A =∠F ，∠EBC =∠FCB ．求证： BE=CD ．21.已知关于x 的方程220 (0)kx x k k--=≠. （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k 的值．22．列方程或方程组解应用题:为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小李建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”．他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，总质量为160克.已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求CBDAFDCB A E例子中的A4厚型纸每页的质量.（墨的质量忽略不计） 四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F =45°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）若AB =14，DE =8，求sin ∠AEB 的值．24．根据某研究中心公布的近几年中国互联网络发展状况统计报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下： 根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出扇形统计图中m 的值；（2）从2011年到2014年，中国网民人数每年增长的人数近似相等，估算2015年中国网民的人数约为 亿；（3）据某市统计数据显示，2014年末全市常住人口为476.6万人，其中网民数约为210万人．若2014年该市的网民学历结构与2014年的中国网民学历结构基本相同，请你估算2014年末该市网民学历是大专的约有 万人．FBCAED25．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 与边AB 相切于点E ，交BC 于点F ，CE 为⊙O 的直径.（1） 求证：OD ⊥CE ；（2） 若DF =1， DC =3，求AE 的长．26．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知CD ⊥BE ，CD =3，BE =5，求BC +DE 的值．小明发现，过点E 作EF ∥DC ，交BC 延长线于点F ，构造△BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．ADE B CADEB FC G EC ABDF图1 图2 图3请回答：BC +DE 的值为_______．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知□ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，AC =BF =DF ，求∠AGF 的度数．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称．xy O –5–4–3–2–112345–3–2–11234567AEB DC FO（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．28．在菱形ABCD 中，120ADC ∠=︒，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，50DEC ∠=︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50︒并延长得到射线BF ，交ED 的延长线于点G ． （1）依题意补全图形；EDC BAEDCBA备用图（2）求证：EG BC =；（3）用等式表示线段AE ，EG ，BG 之间的数量关系：_____________________________．29．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：若,1,1≥b a b b a ⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点()2,3的限变点的坐标是()2,3，点()2,5-的限变点的坐标是()2,5--．（1）①点()3,1的限变点的坐标是___________；②在点()2,1A --，()1,2B -中有一个点是函数2y x=图象上某一个点的限变点， 这个点是_______________；（2）若点P 在函数3(2,2)y x x k k =-+->-≤≤的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是52≤≤b '-，求k 的取值范围；（3）若点P 在关于x 的二次函数222y x tx t t =-++的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是≥b m '或b n '<，其中m n >．令s m n =-，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围．海淀区九年级第二学期期中练习2015．5一、 选择题（本题共30分，每小题3分）题号1 2 3 4 56 7 8 9 10 答案B ACD B A C B D Bxy–6–5–4–3–2–1123456–6–5–4–3–2–1123456O二、填空题（本题共18分，每小题3分）题号1112131415 16答案 a (a ＋b )(a －b )()0y kx k =>如，y x =0.6178小明（1分）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2分） 30°或150°（只答对一个2分，全对3分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. (本小题满分5分) 解：原式=11223142-⨯++ ………………………………………………………4分 1234=+． ………………………………………………………………5分 18. (本小题满分5分) 解： 345214.33x x x x +>-⎧⎪⎨-⎪⎩，≥ ② ①由不等式①得 3x <． ……………………………………………………2分由不等式②得 2≥x -． ……………………………………………………4分 ∴不等式组的解集为23≤x -<． ……………………………………………………5分19. (本小题满分5分)解： 22(2)()()2x y x y x y y ---+-2222244()2x xy y x y y =-+---………………………………………………2分243xy y =-+ ……………………………………………………………………3分()43y x y =--．…………………………………………………………………4分∵43x y =，∴原式= 0． ………………………………………………………………………5分 20. (本小题满分5分) 证明：∠EBC =∠FCB ，A B E F C D ∴∠=∠． …………………………………………………………1分在△ABE 与△FCD 中， ,,,A F AB FC ABE FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∆ABE ≌∆FCD ．………………………………………………………………4分 ∴BE=CD ． ………………………………………………………………………5分 21. (本小题满分5分)FDCB A E（1）证明：0k≠，∴220kx xk--=是关于x的一元二次方程．22(1)4()kk∆=---……………………………………………………1分90=>．∴方程总有两个不相等的实数根．………………………………………2分（2）解：由求根公式，得192xk±=．∴1221,x xk k==-．…………………………………………………………4分方程的两个实数根都是整数，且k是整数，∴1k=-或1k=．…………………………………………………………5分22. (本小题满分5分)解：设例子中的A4厚型纸每页的质量为x克．………………………………………1分由题意，得40016020.8x x=⨯-．………………………………………………2分解得4x=．………………………………………………………3分经检验，4x=为原方程的解，且符合题意．………………………………4分答：例子中的A4厚型纸每页的质量为4克．…………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）23. (本小题满分5分)（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC．∴∠DAF=∠F．∠F=45°，∴∠DAE=45°．………………………………………1分AF是∠BAD的平分线，45EAB DAE∴∠=∠=．90DAB∴∠=．又四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．…………………………2分（2）解：过点B作BH AE⊥于点H，如图．四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．AB=14，DE=8，∴CE=6．HAEDFB CAED在Rt △ADE 中，∠DAE=45°， ∴∠DEA =∠DAE=45°． ∴ AD=DE =8． ∴ BC =8．在Rt △BCE 中，由勾股定理得2210BE BC CE =+=． ……………………………………………3分 在Rt △AHB 中，∠HAB=45°，∴sin 4572BH AB =⋅= ． …………………………………………4分在Rt △BHE 中，∠BHE=90°，∴sin ∠AEB=7210BH BE =． ……………………………………………5分 24. (本小题满分5分)（1）36． ……………………………………………………………………………1分（2）6.700.01±． ……………………………………………………………………3分 （3）21． ……………………………………………………………………………5分 25. (本小题满分5分) （1）证明：⊙O 与边AB 相切于点E ，且 CE 为⊙O 的直径．∴CE ⊥AB．AB=AC ，AD ⊥BC ，BD DC ∴=． ………………………………1分又 OE=OC ，∴OD ∥EB ．∴ OD ⊥CE ．………………………………2分（2）解：连接EF ．CE 为⊙O 的直径，且点F 在 ⊙O 上， ∴ ∠EFC =90°． CE ⊥AB ， ∴∠BEC =90°． ∴+BEF FEC FEC ECF ∠=∠+∠∠=90°． ∴BEF ECF ∠=∠．∴tan tan BEF ECF ∠=∠． ∴BF EF EFFC=．又DF =1， BD=DC =3， ∴ BF =2， FC =4．∴22EF =． ………………………………………………… 3分∵∠EFC =90°， ∴∠BFE =90°．AEBDCF O由勾股定理，得2223BE BF EF =+=． ……………………4分 EF ∥AD ， ∴21BE BF EA FD ==． ∴3AE =． ……………………………………………………5分26. (本小题满分5分)解：BC ＋DE 的值为34． ……………………………………………………2分 解决问题： 连接AE ，CE ，如图．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB // DC ．∵四边形ABEF 是矩形，∴AB // FE ，BF ＝AE ． ∴DC // FE ．∴四边形DCEF 是平行四边形． ………………………………………………3分 ∴ CE // DF ． ∵AC ＝BF ＝DF ， ∴AC ＝AE ＝CE ．∴△ACE 是等边三角形． …………………………………………………………4分 ∴∠ACE ＝60°． ∵CE ∥DF ，∴∠AGF ＝∠ACE ＝60°． …………………………………………………………5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. (本小题满分7分)解：（1）∵抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为（0，2）． …………………………………………1分 ∵2211(232)212y x x x -+==+-， ∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点B 的坐标为（1，32）． …………2分又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上． 设直线BC 的解析式为y kx b =+．∵直线BC 经过点B （1，32）和点C (2，2)，∴322 2.，k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得121.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为112y x =+．…………………………3分xy O –5–4–3–2–112345–3–2–11234567F E DABC GE C A BD F（2） ∵抛物线2212y x x =-+中，当4x =时，6y =，∴点D 的坐标为(4，6)． ………………4分∵直线112y x =+中，当0x =时，1y =， 当4x =时，3y =，∴如图，点E 的坐标为(0，1)，点F 的坐标为(4，3)．设点A 平移后的对应点为点'A ，点D 平移后的对应点为点'D ． 当图象G 向下平移至点'A 与点E 重合时， 点'D 在直线BC 上方， 此时t =1；…………………………………………………………5分当图象G 向下平移至点'D 与点F 重合时，点'A 在直线BC 下方，此时t =3．……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是13t <≤．……………………………7分 28. (本小题满分7分)（1）补全图形，如图1所示．…………………………………………………………1分GFEDCBA图1 图2（2）方法一：证明：连接BE ，如图2． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ． 120ADC ∠=︒， 60DCB ∴∠=︒．AC 是菱形ABCD 的对角线，GFEDCBA∴1302DCA DCB ∠=∠=︒． ……………………………………………………………2分180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒．由菱形的对称性可知， 50BEC DEC ∠=∠=︒，100EBC EDC ∠=∠=︒．……………………………………………………………………3分 100GEB DEC BEC ∴∠=∠+∠=︒． GEB CBE ∴∠=∠． 50FBC ∠=︒，50EBG EBC FBC ∴∠=∠-∠=︒．…………………………………………………………4分 EBG BEC ∴∠=∠． 在△GEB 与△CBE 中，,,,GEB CBE BE EB EBG BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEB ≌△CBE ．EG BC ∴=． ………………………………………………………………………………5分 方法二：证明：连接BE ，设BG 与EC 交于点H ，如图3． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ．120ADC ∠=︒，60DCB ∴∠=︒．AC 是菱形ABCD 的对角线，∴1302DCA DCB ∠=∠=︒． ………………………2分180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒．由菱形的对称性可知，50BEC DEC ∠=∠=︒，100EBC EDC ∠=∠=︒．……………………………………………3分50FBC ∠=︒， 图350EBG EBC FBC BEC ∴∠=∠-∠=︒=∠． ………………………………………………4分 BH EH ∴=．在△GEH 与△CBH 中，,,,GEH CBH EH BH EHG BHC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEH ≌△CBH ．EG BC ∴=． ………………………………………………………………………………5分 （3）3AE BG EG +=． …………………………………………………………………7分 29．(本小题满分8分)解：（1）① (3,1)； ……………………………………………………………………1分② 点B ． ………………………………………………………………………2分HG F ED CBA（2）依题意，3(2)y x x =-+-≥图象上的点P 的限变点必在函数3,13,21x x y x x -+⎧=⎨--<⎩≥≤的图象上．2≤b '∴，即当1x =时，b '取最大值2．当2b '=-时，23x -=-+．5x ∴=． ………………………………………3分 当5b '=-时，53x -=-或53x -=-+．2x ∴=-或8x =． ………………………………4分 52≤≤b '-，由图象可知，k 的取值范围是58≤≤k ．……………………………………………5分（3）2222()y x tx t t x t t =-++=-+，∴顶点坐标为(,)t t ．………………………………………………………………6分若1t <，b '的取值范围是≥b m '或≤b n '，与题意不符． 若1≥t ，当1≥x 时，y 的最小值为t ，即m t =；当1x <时，y 的值小于2[(1)]t t --+，即2[(1)]n t t =--+．22(1)1s m n t t t t ∴=-=+-+=+．∴s 关于t 的函数解析式为 211)s t t =+≥ ( ． ……………………………7分当t=1时，s 取最小值2．∴s 的取值范围是s ≥2． ………………………………………………………8分xy–4–3–2–1123456789–7–6–5–4–3–2–11234O。
2015年北京海淀区中考一模数学试题及答案
海淀区九年级第二学期期中练习数学试卷答案及评分参考2015．5一、 选择题（本题共30分，每小题3分）题号1 2 3 4 56 7 8 9 10 答案 B A C D B A C B D B二、填空题（本题共18分，每小题3分）题号111213 1415 16答案 a (a ＋b )(a －b )()0y kx k =>如，y x =0.6178小明（1分）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2分）30°或150°（只答对一个2分，全对3分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. (本小题满分5分) 解：原式=11223142-⨯++ ………………………………………………………4分 1234=+． ………………………………………………………………5分18. (本小题满分5分)解： 345214.33x x x x +>-⎧⎪⎨-⎪⎩，≥ ② ①由不等式①得 3x <． ……………………………………………………2分由不等式②得 2≥x -． ……………………………………………………4分 ∴不等式组的解集为23≤x -<． ……………………………………………………5分19. (本小题满分5分)解： 22(2)()()2x y x y x y y ---+-2222244()2x xy y x y y =-+---………………………………………………2分243xy y =-+ ……………………………………………………………………3分 ()43y x y =--．…………………………………………………………………4分 ∵43x y =，∴原式= 0． ………………………………………………………………………5分20. (本小题满分5分) 证明：∠EBC =∠FCB ，A B E F C D ∴∠=∠． …………………………………………………………1分在△ABE 与△FCD 中，,,,A F AB FC ABE FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴∆ABE ≌∆FCD ．………………………………………………………………4分 ∴BE=CD ． ………………………………………………………………………5分21. (本小题满分5分) （1）证明：0k ≠，∴220 kx x k--=是关于x 的一元二次方程． 22(1)4()k k∆=--- ……………………………………………………1分90=>．∴方程总有两个不相等的实数根． ………………………………………2分（2）解：由求根公式，得192x k ±=． ∴1221,x x k k==-． …………………………………………………………4分方程的两个实数根都是整数，且k 是整数，∴ 1k =-或1k =．…………………………………………………………5分22. (本小题满分5分)解： 设例子中的A4厚型纸每页的质量为x 克．………………………………………1分由题意，得40016020.8x x =⨯-． ………………………………………………2分 解得 4x =． ………………………………………………………3分 经检验， 4x =为原方程的解，且符合题意． ………………………………4分 答：例子中的A4厚型纸每页的质量为4克． …………………………………5分F DCBAE四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. (本小题满分5分) （1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴AD //BC ． ∴∠DAF=∠F ． ∠F =45°，∴∠DAE=45°．………………………………………1分 AF 是∠BAD 的平分线， 45EAB DAE ∴∠=∠=． 90DAB ∴∠=．又四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形． …………………………2分（2）解：过点B 作BH AE ⊥于点H ，如图．四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∠DCB =∠D =90°．AB =14，DE =8， ∴ CE=6．在Rt △ADE 中，∠DAE=45°， ∴∠DEA =∠DAE=45°． ∴ AD=DE =8． ∴ BC =8．在Rt △BCE 中，由勾股定理得2210BE BC CE =+=． ……………………………………………3分 在Rt △AHB 中，∠HAB=45°，∴sin4572BH AB =⋅= ． …………………………………………4分 在Rt △BHE 中，∠BHE=90°，∴sin ∠AEB=7210BH BE =． ……………………………………………5分 24. (本小题满分5分)（1）36． ……………………………………………………………………………1分（2） 6.700.01±． ……………………………………………………………………3分 （3）21． ……………………………………………………………………………5分25. (本小题满分5分) （1）证明：⊙O 与边AB 相切于点E ，且 CE 为⊙O 的直径．∴CE ⊥AB ．AB=AC ，AD ⊥BC ，BD DC ∴=． ………………………………1分又 OE=OC ，HFBCAEDFBCAED∴OD ∥EB ．∴ OD ⊥CE ．………………………………2分（2）解：连接EF ．CE 为⊙O 的直径，且点F 在 ⊙O 上， ∴ ∠EFC =90°． CE ⊥AB ， ∴∠BEC =90°． ∴+BEF FEC FEC ECF ∠=∠+∠∠=90°． ∴BEF ECF ∠=∠．∴tan tan BEF ECF ∠=∠． ∴BF EF EFFC=．又DF =1， BD=DC =3， ∴ BF =2， FC =4．∴22EF =． ………………………………………………… 3分 ∵∠EFC =90°， ∴∠BFE =90°． 由勾股定理，得2223BE BF EF =+=． ……………………4分 EF ∥AD ， ∴21BE BF EA FD ==． ∴3AE =． ……………………………………………………5分26. (本小题满分5分)解：BC ＋DE 的值为34． ……………………………………………………2分解决问题： 连接AE ，CE ，如图．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB // DC ．∵四边形ABEF 是矩形， ∴AB // FE ，BF ＝AE ． ∴DC // FE ．∴四边形DCEF 是平行四边形． ………………………………………………3分 ∴ CE // DF ． ∵AC ＝BF ＝DF ， ∴AC ＝AE ＝CE ．∴△ACE 是等边三角形． …………………………………………………………4分 ∴∠ACE ＝60°． ∵CE ∥DF ，∴∠AGF ＝∠ACE ＝60°． …………………………………………………………5分AEBD CFO GE C A B D F五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. (本小题满分7分)解：（1）∵抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为（0，2）． …………………………………………1分 ∵2211(232)212y x x x -+==+-， ∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点B 的坐标为（1，32）． …………2分又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上．设直线BC 的解析式为y kx b =+．∵直线BC 经过点B （1，32）和点C (2，2)，∴322 2.，k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得121.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为112y x =+．…………………………3分（2） ∵抛物线2212y x x =-+中，当4x =时，6y =，∴点D 的坐标为(4，6)． ………………4分∵直线112y x =+中，当0x =时，1y =， 当4x =时，3y =，∴如图，点E 的坐标为(0，1)，点F 的坐标为(4，3)．设点A 平移后的对应点为点'A ，点D 平移后的对应点为点'D ．当图象G 向下平移至点'A 与点E 重合时， 点'D 在直线BC 上方， 此时t =1；…………………………………………………………5分当图象G 向下平移至点'D 与点F 重合时，点'A 在直线BC 下方，此时t =3．……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是13t <≤．……………………………7分28. (本小题满分7分)（1）补全图形，如图1所示．…………………………………………………………1分xy O –5–4–3–2–112345–7–6–5–4–3–2–11234567FE D A B CGFEDCBA图1图2（2）方法一：证明：连接BE ，如图2． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ． 120ADC ∠=︒， 60DCB ∴∠=︒．AC 是菱形ABCD 的对角线，∴1302DCA DCB ∠=∠=︒． ……………………………………………………………2分180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒．由菱形的对称性可知， 50BEC DEC ∠=∠=︒，100EBC EDC ∠=∠=︒．……………………………………………………………………3分 100GEB DEC BEC ∴∠=∠+∠=︒． GEB CBE ∴∠=∠． 50FBC ∠=︒，50EBG EBC FBC ∴∠=∠-∠=︒．…………………………………………………………4分 EBG BEC ∴∠=∠． 在△GEB 与△CBE 中，,,,GEB CBE BE EB EBG BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEB ≌△CBE ．EG BC ∴=． ………………………………………………………………………………5分 方法二：证明：连接BE ，设BG 与EC 交于点H ，如图3． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ． 120ADC ∠=︒， 60DCB ∴∠=︒．AC 是菱形ABCD 的对角线，∴1302DCA DCB ∠=∠=︒． ………………………2分GFEDCBAHGF EDCBA180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒．由菱形的对称性可知，50BEC DEC ∠=∠=︒，100EBC EDC ∠=∠=︒．……………………………………………3分50FBC ∠=︒， 图350EBG EBC FBC BEC ∴∠=∠-∠=︒=∠． ………………………………………………4分 BH EH ∴=．在△GEH 与△CBH 中，,,,GEH CBH EH BH EHG BHC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEH ≌△CBH ．EG BC ∴=． ………………………………………………………………………………5分 （3）3AE BG EG +=． …………………………………………………………………7分29．(本小题满分8分) 解：（1）①(3,1)； ……………………………………………………………………1分② 点B ． ………………………………………………………………………2分（2）依题意，3(2)y x x =-+-≥图象上的点P 的限变点必在函数3,13,21x x y x x -+⎧=⎨--<⎩≥≤的图象上．2≤b '∴，即当1x =时，b '取最大值2．当2b '=-时，23x -=-+．5x ∴=． ………………………………………3分 当5b '=-时，53x -=-或53x -=-+．2x ∴=-或8x =． ………………………………4分 52≤≤b '-，由图象可知，k 的取值范围是58≤≤k ．……………………………………………5分（3）2222()y x tx t t x t t =-++=-+，∴顶点坐标为(,)t t ．………………………………………………………………6分 若1t <，b '的取值范围是≥b m '或≤b n '，与题意不符． 若1≥t ，当1≥x 时，y 的最小值为t ，即m t =； 当1x <时，y 的值小于2[(1)]t t --+，即2[(1)]n t t =--+．22(1)1s m n t t t t ∴=-=+-+=+．∴s 关于t 的函数解析式为 211)s t t =+≥ (． ……………………………7分 当t=1时，s 取最小值2．∴s 的取值范围是s ≥2． ………………………………………………………8分xy–4–3–2–1123456789–7–6–5–4–3–2–11234O相关信息链接:北达教育|百度百科|百度贴吧北达教育北达教育总部位于北京大学校内,分校遍及北京各城区40多所,多年来被家长认可的教育机构,法制晚报曾报道：是什么让北达教育成为京城良好口碑课外辅导品牌?为此北达教育被法制晚报评为：公众最信赖知名教育品牌！曾多次被新浪网，中国网评为课外绿色发展机构！北达教育为中央电视台推荐品牌。
数学_2015年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)(含答案)
2015年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，毎小题5分，共40分．在毎小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合A ={x|x 2=2}，B ={1, √2, 2}，则A ∩B =( ) A {√2} B {2} C {−√2, 1, √2, 2} D {−2, 1, √2, 2}2. 抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为（ ） A 12 B 1 C 2 D 43. 已知函数f(x)是奇函数，且当x >0时，f(x)=e x ，则f(−1)=( ) A 1e B −1e C e D −e4. 某单位计划在3月1日至7日举办经验交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为（ ） A 12B 13C 14D 165. 执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）A 2B 3C 4D 56. “sinα>0”是“角α是第一象限的角”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件7. 若x ，y 满足{x +y ≥0x ≥1x −y ≥0则下列不等式恒成立的是（ ）A y ≥1B x ≥2C x +2y +2≥0D 2x −y +1≥08. 某三棱锥的正视图如图所示，则下列图①②③④，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（ ）A ①②③B ①②④C ②③④D ①②③④二、填空题共6小题，毎小题5分，共30分．9. 已知单位向量a →与向量b →=(1, −1)的夹角为π4，则|a →−b →|=________．10. 若复数z =a+i i，且z ∈R ，则实数a =________．11. 已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 3=−6，S 1=S 3，则公差d =________； S n 的最大值为________．12. 对于⊙A:x 2+y 2−2x =0，以点(12, 12)为中点的弦所在的直线方程是________． 13. 设f(x)={x,x <ax 2,x ≥a 对任意实数b ，关于x 的方程f(x)−b ＝0总有实数根，则a 的取值范围是________．14. 设全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，用U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{2, 4}； 表示的是笫2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．①若M ={2, 3.6}，则∁U M 表示的6位字符串为________；②若A ={1, 3}，集合A ∪B 表示的字符串为101001，则满足条件的集合B 的个数是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n+1=2a n (n ∈N ∗)且a 2是S 2与1的等差中项． （1）求{a n }的通项公式：（2）若数列{1a n }的前n 项和为T n ，且对∀n ∈N ∗，T n <λ恒成立．求实数λ的最小值．16. 某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分別随机抽取100个．整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图： (40, 50] 0.15(Ⅰ)写出频率分布直方图1中的a 的值；并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；(Ⅱ)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s 12，s 22，试比较s 12与s 22的大小；（只需写出结论）(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该该组区间的中点值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售量总量．17. 已知在△ABC中，sin2A=sinBsinC．(1)若∠A=π3，求∠B的大小；(2)若bc=1，求△ABC的面积的最大值．18. 如图1，在梯形狀ABCD中AD // BC．AD⊥DC．BC=2AD，四边形ABEF是矩形，将矩形从ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1丄平面ABCD，M为AF1的中点，如图2．（1）求证：BE1⊥DC；（2）求证：DM // 平面BCE1；（3）判断直线CD与ME1的位置关系，并说明理由．19. 已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0, −l)，且离心率e=√32．（1）求椭圆M的方程；（2）若椭圆M上存在点B，C关于直线y=kx−1对称，求k的所有取值构成的集合S，并证明对于∀k∈S，BC的中点恒定在一条定直线上．20. 已知函数f(x)=alnx+1x(a≠0)（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若存在两条直线y=ax+b1，y=ax+b2(b1≠b2)都是曲线y=f(x)的切线．求实数a的取值范围；（3）若|x|f(x)≤0}⊆(0, 1)，求实数a的取值范围．2015年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）答案1. A2. C3. D4. B5. C6. B7. D8. D9. √510. 011. −12,2412. x−y=013. [0, 1]14. 100110,415. 解：（1）∵ a n+1=2a n(n∈N∗)，∴ S2=a1+a2=a1+2a1=3a1，则4a1=3a1+1，a1=1．∴ {a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴ a n=1×2n−1=2n−1；（2）由（1）可得：1a n =(12)n−1，∴ 1a1=1，1a n+1=12⋅1a n，∴ 数列{1a n }是以1为首项，以12为公比的等比数列．∴ 数列{1a n }的前n项和为T n=1−12n1−12=2(1−12n)．∵ 12n >0，∴ T n=2(1−12n)<2．∴ 对任意n∈N∗，T n<λ恒成立，则λ≥2．∴ 实数λ的最小值为2．16. (I)a＝0.015（2）S12<S22，(Ⅲ)乙种酸奶平均日销售量为：x¯=5×0.20+15×0.10+25×0.35+35×0.15+45×0.25＝26.5（箱）乙种酸奶未来一个月的销售量为：26.5×30＝795（箱）17. 解：(1)∵ sin2A=sinBsinC，由正弦定理可得a2=bc，由余弦定理可得：cosA=b 2+c2−a22bc，∴ 12=b2+c2−bc2bc，整理为(b−c)2=0，∴ b=c，∴ △ABC是等边三角形，∴ ∠B=π3．(2)∵ bc =1，a 2=bc ， 由余弦定理可得： cosA =b 2+c 2−a 22bc=b 2+c 2−12≥2bc−12=12，当且仅当b =c 时，等号成立， ∵ 0<A < π， ∴ 0<A ≤π3，∴ S △ABC =12bcsinA =12sinA ≤12sin π3=√34． ∴ △ABC 的面积的最大值为√34．18. 证明：（1）∵ 四边形ABE 1F 1为矩形，∴ BE 1⊥AB ，∵ 平面ABCD ⊥平面ABE 1F 1，且平面ABCD ∩平面ABE 1F 1=AB ，BE 1⊂平面ABE 1F 1， ∴ BE 1⊥平面ABCD ． ∵ DC ⊂平面ABCD ， ∴ BE 1⊥DC ．（2）∵ 四边形ABE 1F 1为矩形， ∴ AM // BE 1，∵ AD // BC ，AD ∩AM =A ，BC ∩BE 1=B ， ∴ 平面ADM // 平面BCE 1．（3）直线CD 与ME 1相交，理由如下：取BC 的中点P ，CE 1的中点Q ，连结AP ，PQ ，QM ， ∴ PQ // BE 1，且PQ =12BE 1，在矩形ABE 1F 1中，M 为AF 1的中点， ∴ AM // BE 1，且AM =12BE 1，∴ PQ // AM ，且PQ =AM ． ∴ 四边形APQM 为平行四边形． ∴ MQ // AP ，MQ =AP ．∵ 四边形ABCD 为梯形，P 为BC 的中点，BC =2AD ， ∴ AD // PC ，AD =PC ．∴ 四边形ADCP 为平行四边形， ∴ CD // AP ，且CD =AP ． ∴ CD // MQ ，且CD =MQ ． ∴ CDMQ 为平行四边形． ∴ DM // CQ ，即DM // CE 1．∵ DM ≠CE 1，∴ 四边形DME 1C 是以DM ，CE 1为底边的梯形． ∴ 直线CD 与ME 1相交． 19. 解：（1）由已知e =√32，即c 2=34a 2，b 2=a 2−c 2=14a 2，x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点 A(0, −l)，∴ a =2，b =1，∴ a 2=4，∴ b 2=1，∴ 椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1．（2）椭圆M 上存在点B ，C 关于直线y =kx −1对称，设B(x 1, y 1)，C(x 2, y 2)，y 1≠y 2 BC 的中点(x 0, y 0)，直线y =kx −1且k ≠0，恒过(0, −1)，|AB|=|AC|，则x 12+(y 1+1)2=x 22+(y 2+1)2， 点B ，C 在椭圆上，∴ x 12=4−4y 12，x 22=4−4y 22，∴ 4−4y 12+(y 1+1)2=4−4y 22+(y 2+1)2，化简可得：3y 12−3y 22=2(y 1−y 2)．∴ y 0=y 1+y 22=13．又因为BC 的中点在y =kx −1上，所以y 0=kx 0−1，x 0=43k 由{x 24+y 2=1y =13，可得x =±4√23， ∴ 0<43k<4√23，或−4√23<43k<0，即k <−√22或k >√22， ∴ k 的所有取值构成的集合S ={k|k <−√22或k >√22}． 所以对于∀k ∈S ，BC 的中点恒定在一条定直线y =13上． 20. 解：（1）f′(x)=ax −1x 2=ax−1x 2(x >0)，当a <0时，f′(x)<0，则函数f(x)的单调递减区间是(0, +∞)， 当a >0时，令f′(x)=0，得x =1a ，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：∴ f(x)在(0, 1a )单调递减，在(1a , +∞)单调递增；（2）若存在两条直线y =ax +b 1，y =ax +b 2(b 1≠b 2)都是曲线y =f(x)的切线， ∴ f′(x)=a 至少有两个不等的正实根， 令ax−1x 2=a 得ax 2−ax +1=0，记其两个实根分别为x 1，x 2，则{△=a 2−4a >0x 1⋅x 2=1a >0，解得：a >4，当a >4时，曲线y =f(x)在点（x 1, f(x 1)），（x 2, f(x 2)）处的切线分别为： y =ax +f(x 1)−ax 1，y =ax +f(x 2)−ax 2， 令F(x)=f(x)−ax(x >0)，由F′(x)=f′(x)−a =0得x =x 1，x =x 2（不防设x 1<x 2）， 且当x 1<x <x 2时，F′(x)>0，即F(x)在[x 1, x 2]上是单调函数， ∴ F(x 1)≠F(x 2)；∴ y=ax+f(x1)−ax1，y=ax+f(x2)−ax2是曲线y=f(x)的两条不同的切线，∴ 实数a的范围是(4, +∞)；（3）当a<0时，函数f(x)是(0, +∞)内的减函数，∵ f(e−1a)=aln(e−1a)+1e−1a=−1+1e−1a=e1a−1<0，而e−1a∉(0, 1)，不符合题意，当a>0时，由（1）知：f(x)的最小值是f(1a)=−alna+a=a(1−lna)，①若f(1a)>0，即0<a<e时，{x|f(x)≤0}=⌀⊆(0, 1)，∴ 0<a<e符合题意，②若f(1a )=0，即a=e时，{x|f(x)≤0}={1e}⊆(0, 1)，∴ a=e符合题意，③若f(1a )<0，即a>e时，有0<1a<1，∵ f(1)=1>0，函数f(x)在(1a, +∞)内是增函数，∴ 当x≥1时，f(x)>0，又∵ 函数f(x)的定义域是(0, +∞)，∴ {x|f(x)≤0}⊆(0, 1)，∴ a>e符合题意，综上，实数a的范围是{a|a>0}．。
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海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）答案及评分参考标准 2015.4一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B （5）A （6）D （7）C （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9）2 （10）4 （11）16,16 （12）π12或5π12（13）24 （14）(,0)(1,)-∞+∞ 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为 1cos 2()4()2x f x π-+=………………2分 1sin 22x+=.所以 2ππ2T ==. ………………4分 令π2π()2x k k =+∈Z ，得：ππ()24k x k =+∈Z . ………………6分 所以 ()f x 的最小正周期为π，对称轴的方程为ππ()24k x k =+∈Z . （Ⅱ）sin 2()13()32x f x π-+π-= 12π1sin(2)232x =--+. ………………9分令π2ππ2π22π()232k x k k -≤-≤+∈Z ， 得：π7πππ()1212k x k k +≤≤+∈Z . 所以 π()3f x -的单调递减区间为π7π[π,π]()1212k k k ++∈Z . ………………13分 （16）（共13分）解：（Ⅰ）0.015a =； ………………2分2212s s >. ………………4分 （Ⅱ）设事件A ：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B ：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C ：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱. 则()0.200.100.3P A =+=，()0.100.200.3P B =+=. ………………6分所以 ()()()()()0.42P C P A P B P A P B =+=. ………………8分（Ⅲ）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3. ………………9分033(0)0.30.70.343P X C ==⨯⨯=，1123(1)0.30.70.441P X C ==⨯⨯=， 2213(2)0.30.70.189P X C ==⨯⨯=，3303(3)0.30.70.027P X C ==⨯⨯=.所以X 的分布列为………………11分 所以 X 的数学期望00.34310.44120.18930.0270.9EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.………………13分另解：由题意可知(303)X ~B ,..所以 X 的数学期望30.30.9EX =⨯=. ………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）证明：因为 四边形11ABE F 为正方形， 所以 AB BE ⊥1.因为 平面⊥ABCD 平面11F ABE ，平面 ABCD 平面AB F ABE =11，1BE ⊂平面11ABE F ，所以 ⊥1BE 平面ABCD . ………………2分 因为 ⊂DC 平面ABCD ，所以 DCBE ⊥1. ………………4分（Ⅱ）解：如图，以点B 为坐标原点，分别以1,BC BE 所在的直线为,x z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.设1AD =，则z11(0,0,0),(2,0,0),(0,(1,1,)2B C E M . 所以BM =，1(CE =-，1(1,1,E M =. ………………6分 设平面1CE M 的一个法向量为(,,)n x y z =.由110,0,n CE n E M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,0.2x x y z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩ 令1x =，得0z y ==，所以 (1,0,2)n =. ………………8分 设BM 与平面1CE M 所成角为θ，则1sin cos ,5BM n BM nBM nθ⋅+=<>===所以 BM 与平面1CE M ………………10分（Ⅲ）解：直线DM 与直线1CE 平行. 理由如下：………………11分 由题意得，(2,1,0),(1,0,2D DM =-1(CE =-. 所以 12CE DM =.所以 1//CE DM . ………………13分 因为 DM ，1CE 不重合，所以 //DM 1CE . ………………14分 另解：直线DM 与直线1CE 平行. 理由如下：取BC 的中点P ，1CE 的中点Q ，连接AP ，PQ ，QM . 所以 1//PQ BE 且112PQ BE =.因为 M 为1AF 的中点，四边形11ABE F 是正方形， 所以 1//AM BE 且112AM BE =. 所以 //PQ AM 且PQ AM =. 所以 APQM 为平行四边形. 所以 //MQ AP 且MQ AP =.因为 四边形ABCD 为梯形，2BC AD =， 所以 //AD PC 且AD PC =. 所以 四边形APCD 为平行四边形. 所以 //CD AP 且CD AP =. 所以 //CD MQ 且CD MQ =. 所以 CDMQ 是平行四边形.所以 //DM CQ ，即//DM 1CE . ………………14分 （18）（共13分） 解：（Ⅰ）2211'()(0)a ax f x x x x x-=-=>. ………………2分 （ⅰ）当0a <时，'()0f x <，则函数()f x 的单调递减区间是(0,)+∞.………………3分 （ⅱ）当0a >时，令'()0f x =，得1x a=.当x 变化时，'()f x ,()f x 的变化情况如下表所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是(,)a+∞. ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当0a <时，函数()f x 在区间(0,)+∞内是减函数，所以，函数()f x 至多存在一个零点，不符合题意. ………………6分PQ ABCDE 1F 1M当0a >时，因为 ()f x 在1(0,)a 内是减函数，在1(,)a+∞内是增函数，所以 要使{()0}[,]x f x b c ≤=，必须1()0f a<，即1ln 0a a a +<.所以 e a >. ………………7分当e a >时，222211()ln()2ln (2ln )f a a a a a a a a a a=+=-+=⋅-.令()2ln (e)g x x x x =-≥，则22'()1(e)x g x x x x-=-=≥. 当e x >时，'()0g x >，所以，()g x 在[e,)+∞上是增函数. 所以 当e a >时，()2ln (e)e 20g a a a g =->=->.所以 21()0f a >. ………………9分 因为 2111a a <<，1()0f a<，(1)10f =>，所以 ()f x 在211(,)a a 内存在一个零点，不妨记为b ，在1(,1)a内存在一个零点，不妨记为c . ………………11分因为 ()f x 在1(0,)a 内是减函数，在1(,)a+∞内是增函数， 所以 {()0}[,]x f x b c ≤=.综上所述，a 的取值范围是(e,+)∞. ………………12分 因为 211(,)b a a ∈，1(,1)c a∈， 所以 [,](0,1)b c ⊆. ………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得：2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩………………3分 解得：223,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以 椭圆M 的方程为2213x y +=. ………………4分 （Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下： ………………5分 假设存在满足题意的菱形ABCD .设直线BD 的方程为y x m =+，11(,)B x y ，22(,)D x y ，线段BD 的中点00(,)Q x y ，点(,2)A t . ………………6分由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得224230y my m -+-=. ………………8分 由()()2221630m m ∆=--> ，解得22m -<<. ………………9分因为 122my y +=， 所以 12024y y my +==. ………………11分 因为 四边形ABCD 为菱形， 所以 Q 是AC 的中点.所以 C 点的纵坐标022212C my y =-=-<-. ………………12分 因为 点C 在椭圆M 上，所以 1C y ≥-.这与1C y <-矛盾. ………………13分 所以 不存在满足题意的菱形ABCD . （20）（共14分）解：（Ⅰ）由①，得26a <<.由②，当2i =，3j =，4k =时. 2a ,6a ,12中至少有一个是数列1，2，a ，6中的项，但66a >，126>，故26a =，解得3a =.经检验，当3a =时，符合题意. ………………3分（Ⅱ）假设2,3,5是数列n A 中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列n A 中的项，则有限数列n A 的最后一项5n a >，且4n ≥.由①，1231n n n n a a a a --->>>>. ………………4分对于数21,,n n n a a a --，由②可知：21n n n a a a --=；对于数31,,n n n a a a --，由②可知：31n n n a a a --=. ………………6分所以 23n n a a --=，这与①矛盾.所以 2,3,5不可能是数列n A 中的项. ………………7分（Ⅲ）n 的最大值为9，证明如下： ………………8分（1）令9111:4,2,1,,,0,,1,2242A -----，则9A 符合①、②. ………………11分（2）设12:,,,(3)n n A a a a n ⋅⋅⋅≥符合①、②，则：（ⅰ）n A 中至多有三项，其绝对值大于1.假设n A 中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设i a ，j a ，k a ，l a 是n A 中绝对值最大的四项，其中1||||||||i j k l a a a a <≤≤≤.则对i a ，k a ，l a 有||||i l l a a a >，||||k l l a a a >，故i l a a ，k l a a 均不是数列n A 中的项，即i k a a 是数列n A 中的项. 同理：j k a a 也是数列n A 中的项.但||||i k k a a a >，||||j k k a a a >. 所以 i k j k l a a a a a ==. 所以 i j a a =，这与①矛盾.（ⅱ）n A 中至多有三项，其绝对值大于0且小于1.假设n A 中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾. （ⅲ）n A 中至多有两项绝对值等于1. （ⅳ）n A 中至多有一项等于0.综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知n A 中至多有9项.………………14分由（1），（2）可得，n 的最大值为9.。