2015西城区高三一模数学理试题及答案word版

北京市西城区2015年高三一模试卷

数 学（理科） 2015.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若A B =?I ，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）1a ≤

（B ）1a ≥

（C ）0a ≥

（D ）0a ≤

3. 在极坐标系中，曲线2cos ρ=θ是（ ）

（A ）过极点的直线 （B ）半径为2的圆 （C ）关于极点对称的图形 （D ）关于极轴对称的图形

4．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3， 则输出的n 的值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

2．复数z 满足i 3i z ?=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限

（D ）第四象限

8. 已知抛物线214y x =

和21516

y x =-+所围成的封闭曲线如图所示，给定点(0,)A a ，若在此封闭曲线上

三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是（ ）

5．若函数()f x 的定义域为R ，则“x ?∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ） （A ）476

（B ）233

（C ）152

（D ）7

7. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ） （A ）2枝玫瑰的价格高 （B ）3枝康乃馨的价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定

（A ）(1,3) （B ）(2,4) （C ）3

(,3)2

（D ）5(,4)2

侧(左)视图

正(主)视图

俯视图

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____.

10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个焦点是抛物线2

8y x =的焦点，且双曲线

C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____.

11．在?ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若π3

A =

，cos 7B =，2b =，

则a =____.

12．若数列{}n a 满足12a =-，且对于任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=?，则3a =___；数

列{}n a 前10项的和10S =____．

13. 某种产品的加工需要A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中A 必须在D 的前面完成（不一定

相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种. （用数字作答）

14. 如图，四面体ABCD 的一条棱长为x ，其余棱长均为1， 记四面体ABCD 的体积为()F x ，则函数()F x 的单 调增区间是____；最大值为____.

B

A

D

C

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

设函数π

()4cos sin()3

f x x x =-+x ∈R . （Ⅰ）当π[0,]2

x ∈时，求函数()f x 的值域；

（Ⅱ）已知函数()y f x =的图象与直线1=y 有交点，求相邻两个交点间的最短距离.

16．（本小题满分13分）

2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）

已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．

（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在

陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；

（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；

（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．(只需写出结论)

票价(元)

17．（本小题满分14分）

如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，//EF AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =, AE AF =，点G 是EF 的中点.

（Ⅰ）证明：AG ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）若直线BF 与平面ACE

所成角的正弦值为

9

，求AG 的长；

（Ⅲ）判断线段AC 上是否存在一点M ，使MG //平面ABF ？若存在，求出AM MC

的值；

若不存在，说明理由．

18．（本小题满分13分）

设*

n ∈N ，函数ln ()n x f x x

=，函数e ()x

n g x x =，(0,)x ∈+∞.

（Ⅰ）当1n =时，写出函数()1y f x =-零点个数，并说明理由；

（Ⅱ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线1l y =：的两侧，求n 的所有可能取值.

19．（本小题满分14分）

设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:22

22>>=+b a b y

a x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，

且点P 和1F 关于点)4

3

,0(C 对称.

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出

l 的方程；若不存在，说明理由.

F

C

A

D

B

G E

20．（本小题满分13分）

已知点列111222:(,),(,),,(,)k k k T P x y P x y P x y L (*

k ∈N ，2k ≥)满足1(1,1)P ，且

111,i i i i x x y y --=+??

=?与11,

1i i i

i x x y y --=??=+?(2,3,,i k =L ) 中有且仅有一个成立． （Ⅰ）写出满足4k =且4(3,2)P 的所有点列；

（Ⅱ） 证明：对于任意给定的k （*

k ∈N ，2k ≥），不存在点列T ，使得11

2k k

k

i i i i x y ==+=∑∑；

（Ⅲ）当21k n =-且21(,)n P n n -（*

,2n n ∈N ≥）时，求11

k k

i i i i x y ==?∑∑的最大值．

北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学（理科） 2015.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B 2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9 10．2

2

13

y x -=

11 12．8- 682

13．24

14． (或写成) 18

注：第12，14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为3)cos 2

3

sin 21

(cos 4)(+-=x x x x f ……………… 1分

3cos 32cos sin 22+-=x x x

x x 2cos 32sin -= (3)

分

=π2sin(2)3

x -， (5)

分

因为 π02x ≤≤， 所以ππ2π2333

x --≤≤， (6)

分

所以 sin(π

2)13

x -≤，

即()2f x ≤， 其中当5π

12

x =

时，)(x f 取到最大值2；当0=x 时，)(x f 取到最小值3-， 所以函数()f x 的值域为]2,3[-. ……………… 9分

（Ⅱ）依题意，得π2sin(2)13x -=，π1

sin(2)32

x -=， ……………… 10分

所以ππ22π36x k -=+ 或 π5π22π36x k -=+， ……………… 12分

所以ππ4x k =

+

或 7ππ12x k =+()k ∈Z ， 所以函数()y f x =的图象与直线1=y 的两个相邻交点间的最短距离为

π

3

. …… 13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， (1)

分

由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）.

所以票价小于5元的有6040100+=（人）． ………………2分

故120人中票价小于5元的频率是

1005

1206

=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5

()=6

P A ． ………………4分

（Ⅱ）解：X 的所有可能取值为6，7，8，9，10. ……………… 5分

根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为

60120，40120

， 20120，即12，13，1

6

， (6)

分

以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为1

2

，

1

3

，

1

6

．

所以

111

(6)

224

P X==?=，

11111

(7)

23323

P X==?+?=，

1111115

(8)

26623318

P X==?+?+?=，

11111

(9)

36639

P X==?+?=，

111

(10)

6636

P X==?=， (8)

分

所以随机变量X的分布列为：

………………9分

所以

1151122

()678910

43189363

E X=?+?+?+?+?=. (10)

分

（Ⅲ）解：(20,22]

s∈．………………13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为AE AF

=，点G是EF的中点，

所以AG EF

⊥. (1)

分

又因为//

EF AD，

所以AG AD

⊥. (2)

分

因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF I平面ABCD AD

=，AG?平面ADEF，

所以AG⊥平面ABCD. (4)

分

（Ⅱ）解：因为AG ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以,,AG AD AB 两两垂直. 以A 为原 点，以AB ，AD ，AG 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……5分

则(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,4,0)C ， 设(0)AG t t =>，则(0,1,)E t ，(0,1,)F t -， 所以(4,1,)BF t =--u u u r ，(4,4,0)AC =u u u r ，(0,1,)AE t =u u u r

. 设平面ACE 的法向量为(,,)n x y z =r

， 由 0AC n ?=u u u r r ，0AE n ?=u u u r r

，得440,0,

x y y tz +=+=??

?

令 1z =, 得(,,1)n t t =-r

.

(7)

分

因为BF 与平面ACE 所成角的正弦值为

9

，

所以 cos ,9||||

BF n

BF n BF n ?<>==?u u u r r

u u u r r

u u u u r r ，

(8)

分

即

9

=

， 解得21t =或2172t =.

所以1AG = 或

2

. (9)

分

（Ⅲ）解：假设线段AC 上存在一点M ，使得MG //平面ABF ，

设

AM AC

λ=，则 AM AC λ=u u u u r u u u r

，

由 (4,4,0)AC =u u u r ，得(4,4,0)AM λλ=u u u r

， ……………10分

设 (0)AG t t =>，则(0,0,)AG t =u u u r

，

所以 (4,4,)MG AG AM t λλ=-=--u u u r u u u r u u u r

. ……………11分

设平面ABF 的法向量为111(,,)x y z m =u r

，

因为 (0,1,)AF t -=u u u r ，(4,0,0)AB =u u u r

，

由 0AF m ?=u u u r u r ，0AB m ?=u u u r u r ，得111

0,40,y tz x -+==???

令 11z =, 得(0,,1)t m =u r

， (12)

分

因为 MG //平面ABF ，

所以 0MG m =?u u u r u r

，即04t t λ+=-，

解得 14λ=. 所以 14AM AC =，此时13AM MC =，

所以当13

AM MC =时， MG //平面ABF . (14)

分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：结论：函数()1y f x =-不存在零点. ……………1分

当1n =时，ln ()x f x x =，求导得21ln ()x

f x x

-'=， ……………2分

令()0f x '=，解得e x =. ……………3分

当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：

所以函数()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，

则当e x =时，函数()f x 有最大值1

(e)e

f =. ……………4分

所以函数()1y f x =-的最大值为1

(e)110e

f -=

-<， 所以函数()1y f x =-不存在零点. ……………5分

（Ⅱ）解：由函数ln ()n x f x x =

求导，得 1

1ln ()n n x

f x x

+-'=， 令()0f x '=，解得1

e n

x =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：

……………7分

所以函数()f x 在1(0,e )n 上单调递增，在1(e ,)n

+∞上单调递减， 则当1e n

x =时，函数()f x 有最大值11

(e )e

n

f n =； ……………8分

由函数e ()x n g x x =，(0,)x ∈+∞求导，得 1

e ()

()x n x n g x x

+-'=， ……………9分

令 ()0g x '=，解得x n =. 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：

所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，

则当x n =时，函数()g x 有最小值e ()()n

g n n

=. (11)

分

因为*

n ?∈N ，函数()f x 有最大值11

(e )1e

n

f n =

<， 所以曲线ln n x

y x

=在直线1l y =：

的下方，而曲线e x n y x =在直线1l y =：的上方， 所以e

()1n n

>， ……………12分

解得e n <.

所以n 的取值集合为{1,2}. ……………13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)4

3,0(C 对称，得1(1,0)F -， ……………… 1分

所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分

由椭圆定义，得 122||||4a PF PF =+=.

所以 2a =，b = ……………… 4分

故椭圆E 的方程为13

42

2=+y x . ……………… 5分

（II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……………… 6分

理由如下：

由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，

设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3

(1)2

y k x -=-. …………… 7分

由 22

1,43

(1),x y y k x ?+

=???=-?

消去y ， 得2

2

2

2

(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分

由题意，可知0?> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，

则2

221438k

k x x +=+，2122412

34k x x k -=+， ……………… 9分

由22

1,433(1),2

x y y k x ?+=????-=-??消去y , 得2

2

2

2

(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0?>，可知12

k ≠-

，设),(33y x Q ，又)23

,1(P ，

则223431281k k k x +-=+，2

23433

1241k

k k x +--=?. ……………… 10分

若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以2

1

2231+=

+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分

故22

12123()4(1)x x x x x +-=-. (12)

分

所以 22222

222

84124123(

)4(1)343434k k k k k k k ----?=-+++. 解得 3

4

k =

. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：符合条件的点列为1234(1,1),(1,2),(2,2),(3,2)T P P P P ：；

或1234(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)T P P P P ：；或1234(1,1),(2,1),(3,1),(3,2)T P P P P ：．……… 3分 （Ⅱ）证明：由已知，得111i i i i x y x y --+=++，

所以数列{}i i x y +是公差为1的等差数列．

由112x y +=，得1i i x y i +=+（1,2,,i k =L ）． ……………… 3分

故11k

k

i i i i x y ==+∑∑1

()k

i i i x y ==+∑23(1)k =++++L 1

(3)2k k =+． (5)

分

若存在点列T ，使得1

1

2k

k

k

i i i i x y ==+=∑∑，

则

1

(3)22

k k k +=，即1(3)2k k k ++=． 因为整数k 和3k +总是一个为奇数，一个为偶数，且2k ≥， 而整数12k +中不含有大于1的奇因子，

所以对于任意正整数k (2)k ≥，任意点列均不能满足1

1

2k

k

k i i i i x y ==+=∑∑． (8)

分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，1(1,2,,21)i i y i x i n =+-=-L ，

所以122112211

1

()(232)k

k

i i n n i i x y x x x x x n x --==?=+++-+-++-∑∑L L

12211221()[(232)()]n n x x x n x x x --=++++++-+++L L L ，

令1221n t x x x -=+++L ，

则1

1

[(1)(21)]k

k

i i i i x y t n n t ==?=+--∑∑. (10)

分

考察关于t 的二次函数()[(1)(21)]f t t n n t =+--． （1）当n 为奇数时，可得1

(1)(21)2n n +-是正整数，

可构造数列{}i x ：1

11

1,2,,(1),,(1),(1)1,,222

n n n n n ++++L L

L 1

44424443项

， 对应数列{}i y ：1,1,,1,2,,,,n n n L L L 14243

项

．（由此构造的点列符合已知条件） 而且此时，1221(1)111

12(1)(1)(1)222n n x x x n n n n --+++=++++++++++L L L 1

44444424444443个

1

12(1)(1)

2n n n =+++++-L

1

(1)(21)2n n =+-，

所以当1

(1)(21)2t n n =+-时，

1

1

k k

i i

i i x y

==?∑∑有最大值221

(1)(21)4

n n +-． (12)

分

（2）当n 为偶数时，1(1)(21)2n n +-不是正整数，而11

(1)(21)22

n n +--是离其最近的正整

数，

可构造数列{}i x ：(2

2

1,2,,,,,(1),,(1),2,,22222

n

n n n n n n

n +++L L L L 14243144424443+1)项项，

对应数列{}i y ：2

2

1,1,,1,2,,1,1,2,,,,22222n

n n n n n n

n ++++L L L L 14243144424443

（+1)项项，（由此构造的点列符合已知条件）

而且此时，1221(1)2

2

12(1)(1)2222n n

n

n n n n x x x n --+++=++++

+++++++L L L L 1

4243144424443个个 12(1)(1)

2222n n n n

n =++++?++?-L

11(1)(21)2

2n n =+--，

所以当11

(1)(21)22t n n =+--时，

1

1

k k

i

i

i i x y ==?∑∑有最大值2

2

1

1

(1)(21)

44

n n +--

．

(13)

分