1.2.1函数的概念(教学设计)(优秀经典公开课比赛教案)

1．2．1函数的概念（教学设计）

教学目的：

1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 教学重点：理解函数的概念 教学难点：函数的概念 教学过程：

一、复习回顾，新课引入：

初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？

设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.

初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。

问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？

问题2：x y =与x

x y 2

=是同一函数吗？

观察对应：

300450600

90212

22

3941

1-12-23-3

3-32-21-1

149

123

123456

(1)

(2)(3)(4)

开平方

求正弦

求平方

乘以2

A A A

A B B

B B 1

二、师生互动，新课讲解： （一）函数的有关概念

设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作

)(x f y =， x ∈A

其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合

{}A x x f ∈|)(（?B ）叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B 的子集。

函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:

这里 A, B 为非空的数集.

（2）A ：定义域；{}A x x f ∈|)(：值域，其中{}A x x f ∈|)( ? B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B （3）函数符号：)(x f y = ?y 是 x 的函数，简记 )(x f

例1：(tb0107701)判断下列各式，哪个能确定y 是x 的函数？为什么？

（1）x 2+y=1 （2）x+y 2

=1 答：（1）是；（2）不是。

（二）已学函数的定义域和值域

请填写下表：

函数

一次函数

二次函数

反比函数

a>0

a<0

对应关系 定义域

值域

??????-≥a b ac y y 44|2 ?

?????-≤a b ac y y 44|2

（三）函数的值：关于函数值 )(a f

题：)(x f =2

x +3x+1 则 f(2)=2

2+3×2+1=11

注意：1?在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样。 2?)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”。 3?)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数。 （四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

例题讲解

例2： 求下列函数的定义域：

① 21)(-=

x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x

x x f -++=21

1)(. 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定。如果只给出解析式)(x f y =，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x 的集合。

解：①∵x-2=0，即x=2时，分式

2

1

-x 无意义，

而2≠x 时，分式

21

-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32

时，根式23+x 无意义，

而023≥+x ，即3

2

-≥x 时，根式23+x 才有意义，

∴这个函数的定义域是{x |3

2

-≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x

-21

同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ??

?≠-≥+0

201x x ? ???≠-≥21

x x

∴这个函数的定义域是： {x |1-≥x 且2≠x }

变式训练2：（课本P19练习NO ：1）

强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.

例3： 已知函数)(x f =32

x -5x+2，求f (3), f(-2), f(a+1).

解：f(3)=3×2

3-5×3+2=14；

f(-2)=3×(-2)2

-5×(-2)+2=8+52；

f(a+1)=3(a+1) 2-5(a+1)+2=3a 2

+a.

变式训练3：（课本P19练习NO ：2）

例4：下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？

⑴()

2

x y =

；⑵33x y =；⑶2

x y =（4）y=2

x x

解：⑴()2

x y =

＝x （0≥x ）,0≥y ，定义域不同且值域不同，不是；

⑵33x y =＝x （R x ∈）,R y ∈，定义域值域都相同，是同一个函数；

⑶2

x y =＝|x |=?

??-x x ,00

<≥x x ,0≥y ；值域不同，不是同一个函数。

(4)定义域不同，所以不是同一个函数。

变式训练4：

①3

)

5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y （定义域不同）

②111-+=

x x y )1)(1(2-+=x x y （定义域不同）

③2

1)52()(-=x x f 52)(2-=x x f （定义域、值域都不同）

例5： 求下列函数的值域：

（1）x y 3=；（2）x

y 8=

；（3）54+-=x y ；（4）762

+-=x x y ． 分析：在直角坐标系中画出函数的图象，发现（1）、（3）两个一次函数的函数值可以取到一切实数；（2）这个反比例函数的函数值不能等于0；（4）这个二次函数有最小值．

解：（1）值域为实数集R ； （2）值域为{}

R y y y ∈≠,0； （3）值域为实数集R ；

（4）函数762

+-=x x y 的最小值是-2，所以值域为{}

2-≥y y ． （五）区间的概念

研究函数时常会用到区间的概念．

设b a ,是两个实数，而且b a <．我们规定：

（1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a ； （2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a ；

（3）满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为),[b a ，],(b a ． 这里的实数b a ,都叫做相应区间的端点．

实数集R 可用区间表示为),(+∞-∞，我们把满足a x ≥，a x >，b x ≤，b x <的实数x 的集合分别表示为),[+∞a ，

),(+∞a ，],(b -∞，),(b -∞．

“∞” 读作“无穷大”，“-∞” 读作“负无穷大”，“+∞” 读作“正无穷大”． 区间可在数轴上表示（课本第17页）．

上面例4的函数值域用区间表示分别为：（1）),(+∞-∞，（2）),0()0,(+∞-∞ ，（1）),(+∞-∞，（4）),2[+∞-． 三、课堂小结，巩固反思：

函数是一种特殊的对应f ：A →B ，其中集合A ，B 必须是非空的数集；)(x f y =表示y 是x 的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；)(a f 表示)(x f 在x=a 时的函数值，是常量；而)(x f 是x 的函数，通常是变量。 四、布置作业： A 组：

1、（课本P24习题1.2 A 组NO ：1）

2、（课本P24习题1.2 A 组NO ：2）

3、（课本P24习题1.2 A 组NO ：3）

4、（课本P24习题1.2 A 组NO ：4）

5、（课本P24习题1.2 A 组NO ：5）

6、（课本P24习题1.2 A 组NO ：6） B 组：

1、（课本P24习题1.2 B 组NO ：1）

2、(tb0305316)已知二次函数y= -x 2

+4x+5

（1） 当x ∈R 时，求函数的值域。 （2） 当x ∈[0,3]时，求函数的值域。 （3） 当x ∈[-1,1]时，求函数的值域。 （答：(1) (-]9,-∞；(2)[5，9]；(3)[0，8]） C 组：

1、(tb0108313)设函数f(x)=x 2

+x+2

1

的定义域是[n,n+1] (n ∈N +)，那么在f(x)的值域中共有___________个整数。（答：2n+2）