《函数的概念》的教学设计.doc
《3.1函数的概念》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21基础模块上册

《函数的概念》教学设计方案(第一课时)一、教学目标1. 理解函数的概念,掌握函数的三要素。
2. 能够正确描述函数关系,理解自变量和因变量的关系。
3. 培养运用函数观点看待问题的意识。
二、教学重难点1. 教学重点:理解函数的概念,掌握描述函数关系的方法。
2. 教学难点:理解自变量和因变量的关系,掌握函数的三要素。
三、教学准备1. 准备教学用具:黑板、白板、笔、函数图表等。
2. 准备教学内容:设计案例,帮助学生理解函数概念。
3. 复习相关知识:在讲授新课前,简要复习方程、等式、变量等预备知识。
4. 确定教学方法:采用案例教学、小组讨论、课堂互动等方法,引导学生积极参与,加深理解。
四、教学过程:本节课的主要教学目标是帮助学生理解函数的概念,培养他们的数学思维能力和抽象思维能力。
在教学过程中,我们将通过以下几个环节来实施:1. 引入环节:首先,我们会通过一些具体的实例,让学生直观地了解函数的概念和性质。
这些实例可以包括商品价格与时间的关系、路程与时间的关系等等。
通过这些实例,学生可以初步感受到函数在现实生活中的应用,从而激发他们的学习兴趣。
2. 讲解环节:在引入环节之后,我们将进入讲解环节。
在这个环节中,我们会详细解释函数的定义,包括定义域、值域、对应法则等概念。
同时,我们还会引导学生理解函数的三要素,即定义域、值域和对应法则。
通过这些讲解,学生可以更加深入地理解函数的概念。
3. 探究环节:为了帮助学生更好地理解和掌握函数的概念,我们将组织学生进行探究活动。
这些活动可以包括小组讨论、案例分析等等。
通过这些活动,学生可以更加深入地思考函数的问题,从而培养他们的数学思维能力和抽象思维能力。
4. 反馈与评价:在教学过程中,我们会及时收集学生的反馈,了解他们对知识的掌握情况。
同时,我们还会通过课堂小测验、课后作业等方式,对学生的掌握情况进行评估。
根据学生的反馈和评估结果,我们会及时调整教学策略,确保教学效果的优化。
新课程《3.1 函数的概念及其表示》教学设计(2课时)

3.1.1 函数的概念1.通过丰富的买例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;2.用集合与对应的思想理解函数的概念;3.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义;4.会求函数的定义域。
1.教学重点:函数的概念,函数的三要素;2.教学难点:函数的概念及符号()y f x =的理解。
一、函数的概念:设A 、B 是 的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的 ,在集合B 中都有 的数y 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数(function ),记作:y=f(x) x ∈A .x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的 ;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{ f(x)| x ∈A }叫做函数的 . 二、区间三、函数的三要素: 、 、 。
四、判断函数相等的方法: 、 。
一、复习回顾,温故知新1. 初中学习的函数的定义是什么?定义 名称 符号 数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 [a,b] {|}x a x b << 开区间 (a,b) {|}x a x b ≤<半开半闭区间 [a,b){|}x a x b <≤ 半开半闭区间 (a,b] {|}x x a ≥ {|}x x a > {|}x x b < {|}x x b ≤2.回顾初中学过哪些函数?二、探索新知探究一函数的概念问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。
这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为 S=350t。
1.思考:根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350km/h后,运行1h就前进了350km,这个说法正确吗?问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天。
如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资?一个工人的工资w(单位:元)是他工作天数d的函数吗?2.思考:在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系,你认为它们是同一个函数吗?为什么?问题3 如图,是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。
2024年《函数的概念》说课稿(7篇)

2024年《函数的概念》说课稿(7篇)《函数的概念》说课稿1一、本课时在教材中的地位及作用教材采用北师大版(数学)必修1,函数作为初等数学的核心内容,贯穿于整个初等数学体系之中。
__节9个课时,函数这一章在高中数学中,起着承上启下的作用,它是对初中函数概念的承接与深化。
在初中,只停留在具体的几个简单类型的函数上,把函数看成变量之间的依赖关系,而高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,更是从“变量说”到“对应说”,这是对函数本质特征的进一步认识,也是学生认识上的一次飞跃。
这一章内容渗透了函数的思想,集合的思想以及数学建模的思想等内容,这些内容的学习,无疑对学生今后的学习起着深刻的影响。
本节课《函数的概念》是函数这一章的起始课。
概念是数学的基础,只有对概念做到深刻理解,才能正确灵活地加以应用。
本课从集合间的对应来描绘函数概念,起到了上承集合,下引函数的作用。
也为进一步学习函数这一章的其它内容提供了方法和依据二、教学目标理解函数的概念,会用函数的定义判断函数,会求一些最基本的函数的定义域、值域。
通过对实际问题分析、抽象与概括,培养学生抽象、概括、归纳知识以及逻辑思维、建模等方面的能力。
通过对函数概念形成的探究过程,培养学生发现问题,探索问题,不断超越的创新品质。
三、重难点分析确定根据上述对教材的分析及新课程标准的要求,确定函数的概念既是本节课的重点,也应该是__的难点。
四、教学基本思路及过程本节课《函数的概念》是函数这一章的起始课。
概念是数学的基础,只有对概念做到深刻理解,才能正确灵活地加以应用。
本课(借助小黑板)从集合间的对应来描绘函数概念,起到了上承集合,下引函数的作用,也为进一步学习函数这一章的其它内容提供了方法和依据。
⑴学情分析一方面学生在初中已经学习了变量观点下的函数定义,并具体研究了几类最简单的函数,对函数已经有了一定的感性认识;另一方面在本书第一章学生已经学习了集合的概念,这为学习函数的现代定义打下了基础。
函数的概念教学设计

《函数的概念》教学设计【教学目标】一、使学生明白得函数的概念,明确决定函数的概念域、值域和对应法那么三个要素;二、明白得函数符号的含义,能依照函数表达式求出概念域、值域;3、使学生能够正确利用“区间”、“无穷大”的记号;4、使学生明白静与动的辩证关系,激发学生学习数学的爱好和踊跃性。
【教学重点】函数的概念,函数的三要素。
【教学难点】函数概念及符号y=f(x)的明白得。
【教具预备】多媒体教学【教学设计】初中概念从运动转变的观点动身,把函数看成是变量之间的依托关系。
从历史上看,初中给出的概念来源于物理公式,最初的函数概念几乎等同于解析式.后来,人们慢慢意识到概念域与值域的重要性,而要说清楚变量和两个变量间转变的依托关系,往往先要弄清各个变量的物理意义,这就使研究受到了必然的限制。
若是只依照变量观点,那么有些函数就很难进行深切研究。
例如:对那个函数,若是用变量观点来讲明,会显得十分勉强,也说不出x的物理意义是什么。
但用集合、对应的观点来讲明,就十分自然。
因此有必要引入高中的函数概念。
这节课以教师教学为主,运用引导、对照的手法,启发学生进行针对性反复比较几个概念的异同,并通过师生的一起讨论来帮忙学生深刻明白得,使学生真正对函数概念有很准确的熟悉。
【教学进程】一、温习引入1.用集合、对应概念函数问题1同窗们在初中已经学习过“函数”,请你举几个函数的具体例子。
设计用意:通过具体例子,让学生回忆初中学习过的函数概念,把握内涵。
教师依照所举例子的具体情形,引导学生列举别离用解析式、图象、表格表示对应关系的函数。
若是学生所列举的例子都是用解析式表示的,教师那么问:“函数关系都是能够用解析式表示的吗?”引导学生开阔思路,再列举些用图象、表格表示对应关系的函数。
教师能够举例:例1下面哪些对应能够表示函数?例2 图1的兰色曲线记录的是2020年2月20日自上午9:30至下午3:00上海证券交易所的股票指数的情形。
股票指数是时刻的函数吗?图2 例3 国际上经常使用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高。
高中数学_函数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思

函数的概念(第二课时)——抽象函数定义域教学目标:1、进一步加深对函数概念的理解;2、能准确判断两个函数是否相等;3、进一步掌握简单函数定义域的求法;4、掌握抽象函数的定义域求法教学重点:对函数概念的理解,以及求简单函数的定义域。
教学难点:抽象函数定义域的求法。
教学过程:(一)复习旧知:1、函数的概念:①A、B为非空数集②A中元素的任意性③B中元素的唯一确定性2、函数的三要素:①定义域②对应关系③值域3、两个函数相等的条件:①定义域②对应关系4、简单函数定义域的求法:①若f(x)为整式,则定义域为全体实数②若f(x)为分式,则分母不等于零③若f(x)是偶次根式,则被开方式大于等于零④若f(x)=x0,则x≠0(二)巩固练习:多媒体出示练习题,学生利用刚复习过的知识思考问题并做解答,进一步巩固第一课时所学知识,老师纠正学生回答,并联系所学知识,进行点评。
||:},0|{,1,1x y x f x x B R A B A =→>==)(并说明理由。
的函数到集合集合、判断下列对应是否为x y y x f R B x x A =→=≥=2,:,},0|{2)( xy x f Z B Z A =→==:,,3)(0:},0{},11|{4=→=≤≤-=y x f B x x A )(函数图象的是、判断下列图象能表示2并说明理由。
是否表示同一函数,与、判断下列函数)()(3x g x f 1)(,)1()()1(0=-=x g x x f2)(,)()2(x x g x x f ==4-x ,22)3(2=+⋅-=y x x y362)(,)()4(x x g x x f ==(三)巩固练习并导入新课4、求下列函数的定义域95)2(14)1(203--=-+-=x x y x x x y5、已知f (x )的定义域是[2,+∞)(1) 求函数f (x+1)的定义域(2) 求函数f (2x -3)的定义域出示第5的习题后,领导学生分析与第4题的不同点,并给出抽象函数的概念,引出本节研究的新课题——抽象函数的定义域,即复合函数的定义域,板书课题。
《函数的概念》教学设计

《函数的概念》教学设计【课时目标】了解:通过丰富实例让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应;了解构成函数的三要素;理解:函数概念的本质;抽象的函数符号的意义; (为常数与的区别与联系;会求一些简单函数的定义域;经历:让学生经历函数概念的形成过程,函数的辨析过程,函数定义域的求解过程以及求函数值的过程;渗透归纳推理、发展学生的抽象思维能力;体验:通过经历以上过程,让学生体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,体验函数思想;通过师生互动、生生互动,让学生在民主、和谐的课堂氛围中,感受数学的抽象性和简洁美.【重点】函数概念的形成,正确理解函数的概念.【难点】发展学生的抽象思维能力,对函数概念本质的理解.【教法】问题导向式教学【学法】探究式学法【教学用具】黑板板书为主结合多媒体来辅助教学。
【教学过程】2020年6月23日,我国著名的北斗三号压轴卫星成功发射,我们时刻关注着北斗系统的第30颗卫星离地面的距离随时间是如何变化的,数学上可以用来描述这种运动变化中的数量关系.1.回忆旧知,引出困惑问题一:初中函数的定义是什么?是函数吗?学生活动:学生思考并回答.2.创设情境,形成概念实例一:一枚炮弹发射后,经过落到地面击中目标.炮弹的射高为,且炮弹距地面的高度(单位:)随时间(单位:)变化的规律是:.问题二:1.的范围是什么?的范围是什么?2.和有什么关系?这个关系有什么特点(师生共同完成)实例二:国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.时间(年)1991199219931994199519961997199819992002001恩格尔系数(%53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9)通过先对两个实例的学生自学,然后请学生谈感受,老师提问,学生回答,师生共同完成.问题三:实例一、实例二、实例三的对应关系在呈现方式上有什么不同?问题四:以上三个实例有什么相同的特征?学生活动:学生分组讨论交流,总结归纳出:共同特点:①都有两个非空数集;②两个数集之间都有一种确定的对应关系;③对于数集中的每一个,按照某种对应关系,在数集中都有唯一确定的值和它对应.问题五:满足以上共同特点的两个数集的对应关系,我们把它叫做什么呢?(学生回答老师补充)引导学生思考:在三个实例中,大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系,其中一个变量都是另一个变量的函数.你能否用集合与对应的语言来刻画函数,抽象概括出函数的概念呢?函数概念:设是非空的数集,如果按某种确定的对应关系,使对于集合中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为集合到集合的一个函数,记作 .其中,叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域;与的值相对应的的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.问题六:请同学们根据现在函数的定义说说前面三个实例是否表示两个集合的函数关系?问题七:是函数吗?问题八:用几何画板在平面直角坐标系中画出一段弧,并作平移和旋转,同时让学生判断这些平移和旋转中的弧是否表示函数图象.方法引导:如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系?依据定义中的哪几个要点?要注意函数概念中的哪些关键词?3.质疑解惑,剖析概念问题九:请同学们画出概念中的关键词,并用简洁的语言说明.通过交流得出以下几点:①都是非空的数集;②任意性与唯一性;③确定的对应关系,对应关系可以是解析式、图象、表格.问题十:函数由几部分组成?怎样理解符号 ?三要素:定义域、值域、对应法则,缺一不可.在法则下,所对应的函数值,并结合生活实例说明.4.讨论研究,深化理解【例1】已知函数,(1)求函数的定义域;(2)求的值;(3)当时,求的值.想一想:函数的定义域该怎么求?符号 (为常数)与有哪些区别与联系? (学生思考、计算,老师提问,师生共同完成)5.即时训练,巩固新知练习1.求函数的定义域:练习2.已知函数求的值.学生活动:两位学生板书后,师生共同评价完善.6.总结反思,提高认识(学生思考并回答,老师补充.)我们在初中函数定义的基础上,运用集合与对应的语言重新刻画了函数,比较两个函数的定义,同学们有什么新的认识.7.分层作业,自主探究作业:一、举出生活中函数的例子(两个以上),并用集合与对应的语言来描述函数;二、必做:P24 1、2、3;选做:P25 1题.5。
高中数学教案《函数的概念及其表示》

教学计划:《函数的概念及其表示》一、教学目标1.知识与技能:o学生能够理解并掌握函数的基本概念,包括自变量、因变量、函数定义域和值域。
o学生能够识别函数关系,并用不同的方式(如解析式、表格、图像)表示函数。
o学生能够区分函数与非函数关系,理解函数关系的唯一对应性。
2.过程与方法:o通过实例分析,引导学生从具体到抽象地理解函数概念。
o运用对比、归纳等方法,帮助学生掌握函数的不同表示方法。
o通过小组合作探究,培养学生的合作学习能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观:o激发学生对数学学习的兴趣,培养探究数学规律的精神。
o引导学生认识到函数在现实生活中的应用价值,增强数学应用的意识。
o通过解决问题,培养学生的耐心、细致和严谨的科学态度。
二、教学重点和难点●重点:函数的基本概念及其三种表示方法(解析式、表格、图像)。
●难点:理解函数关系的唯一对应性,区分函数与非函数关系;灵活运用不同方式表示函数。
三、教学过程1. 导入新课(5分钟)●生活实例引入:通过日常生活中的实例(如气温随时间变化、汽车速度与行驶时间的关系等),引导学生思考这些关系中是否存在一个变量随另一个变量变化而变化的规律。
●提出问题:这些关系中的两个变量之间是如何相互影响的?能否用数学语言来描述这种关系?●明确目标:引出函数的概念,并说明本节课将要学习的内容。
2. 概念讲解(15分钟)●函数定义:详细讲解函数的基本概念,包括自变量、因变量、函数关系以及定义域和值域的概念。
●实例分析:结合生活实例,分析哪些关系可以构成函数,哪些不能,强调函数关系的唯一对应性。
●表示方法:介绍函数的三种表示方法(解析式、表格、图像),并举例说明每种方法的应用场景。
3. 案例分析(10分钟)●典型例题:选取几道具有代表性的例题,通过分析题目中的变量关系,引导学生判断是否为函数关系,并尝试用不同方式表示该函数。
●师生互动:在例题讲解过程中,适时提问引导学生思考,鼓励学生尝试自己解答或提出疑问。
《函数的概念》教学设计

3.1函数的概念及其表示(第一课时)一、教学内容解析函数是现代数学中最基本的概念,是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具.在高中阶段,函数不仅贯穿数学课程的始终,而且是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础.在初中,函数定义采用“变量说”,高中阶段要建立函数的“对应关系说”,与初中的“变量说”相比,高中用集合语言与对应关系表述函数概念,明确了定义域、值域,引入抽象符号f(x).函数概念的核心是“对应关系”:两个非空数集A、B间有一种确定的对应关系f,即对于数集A中每一个x,数集B中都有唯一一个确定的y和它对应.基于以上分析,确定本节课的教学重点和难点.二、重、难点分析1.教学重点:用集合语言与对应关系建立函数概念,培养学生的数学抽象素养.2.教学难点:从不同的问题情境中提炼出函数要素,并由此抽象出函数的概念,理解函数的对应关系f.三、教学目标分析1.目标(1)在“变量说”的基础上,理解函数的“对应关系说”;(2)经历函数概念的抽象过程,培养学生的数学抽象素养;(3)从数学模型构成要素的角度认识具体函数,并通过函数的表示,进一步加深对函数概念的认识.2.目标达成(1)学生从具体实例出发,能在初中“变量说”的基础上,进一步抽象对应关系、定义域与值域等三个要素,构建函数的一般概念;(2)学生能在确定变量变化范围的基础上,通过解析式、图象、表格等形式表示对应关系,理解函数对应关系的本质,体会引入符号f表示对应关系的必要性;(3)学生能在不同实例的比较、分析基础上,归纳共性进而抽象出函数概念,体验用数学的眼光看待事物,发展数学抽象素养.四、学情分析由于初中函数的概念是“变量说”定义,学生对这种定义已经很熟悉,应用起来得心应手,受先入为主思想的影响对“对应关系说”定义引入的必要性认识不足,对函数的“对应关系说”定义接受起来多少有一种排斥心理;学生初中对函数的理解仅停留在一些具体函数的层面上,更确切的说是局限于对函数具体解析式的理解,初中数学学习学生重计算、重例题,对抽象的函数概念的理解有一定困难.不过,学生生活中已经积累了丰富的函数的实例素材,这为函数教学做好了准备.从学生的学习习惯上看,学生初入高中自主学习的目的性、主动性还不够,知识的接受基本在课堂,有的学生甚至还不会听课.所以高中数学教学还肩负着教会学生学习的任务.在课堂教学中采用课前预习、引导发现、学生合作交流的教学方法,通过课前预习,实现课堂教学效益的最大化.五、教学方法归纳法教学六、教学过程设计为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,计划将教学过程设计为六个阶段:(一)引入1.回顾初中学过的函数及其表示(1)一次函数y=ax+b(a ≠0)(2)二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)(3)反比例函数y=xk (k ≠0) 提问:这些函数的共性是什么?如何描述?2.初中函数的概念(变量说)一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x 和y ,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,则称y 是x 的函数.[师生活动] 教师提出问题,学生自主回答,教师归纳总结.[设计意图] 让学生再次归纳,复习巩固“变量说”.3.思考:正方形的周长l 与边长x 的对应关系是l=4x ,l 是x 的函数吗?若是,它与正比例函数y=4x 相同吗?你能用已有的函数知识判断y=x 与y=x x 2是否相同吗?[师生活动] 教师提出问题,让学生产生疑惑.[设计意图] 说明学习函数概念的“对应关系说”的必要性.(二)函数概念的构建问题1 阅读教材中的实例1,回答下列问题:(1)这段时间内,列车行进的路程S (单位:km )与运行时间t (单位:h )的关系如何表示?这是一个函数吗?为什么?(2)有人说:“根据对应关系S=350t ,这趟列车加速到350km/h 后运行1h 就前进了350km.”这个说法正确吗?为什么?(3)时间t 的变化范围是什么?(4)能根据现有条件回答0.6h 时对应的距离是多少吗?(5)你认为如何描述才能准确反映问题情境?[师生活动] 教师给出问题,学生先思考并将问题的要点写出,然后小组交流,收集并归纳问题的回答要点,教师点评.[设计意图] 问题(1)是为了让学生回顾初中所学函数的概念用“是否满足定义要求”来回答问题;问题(2)(3)(4)是要激发学生认知冲突,发现其中的不严谨;问题(5)是为了让学生关注到t 的变化范围,并尝试用精确的语言表述.问题2 阅读教材中的实例2,回答下列问题:(1)你认为该怎样确定一个工人的每周所得?(2)一个工人的工资w 是他工作天数d 的函数吗?(3)你以仿照问题1对S 与t 的对应关系的精确表示,给出这个问题中w 与d 的对应关系的精确表示吗?(4)问题1和问题2中的函数有相同的对应关系,你认为它们是同一个函数吗?为什么?[师生活动] 学生阅读题目后,自主回答.[设计意图] 问题(1)是引导学生使用不同的表示方法;问题(3)是让学生模仿问题1的方法给出描述,既让他们熟悉表述方法,又训练抽象概括能力;问题(4)是使学生进一步关注到对于函数而言,解析式与自变量的变化范围都是确定函数的要素.问题3 阅读教材中的实例3,回答下列问题:(1)I是t的函数吗?为什么?①给定t的值,怎么给?(在0~24小时内给定一个时该t)②通过图形能确定唯一的I与t0对应,怎么找?(在横轴上,过t作垂线交曲线于点(t0,I),I就是与t对应的值.)(2)从所给的图中能回答11月24日8:00的AQI值吗?为什么?(3)11月23日这一天AQI的值的变化范围是什么?(4)这是一个函数,有解析式吗?如果让你表示出这个函数,你会怎么做?(5)模仿问题1,你能用准确的集合语言和对应关系描述这个问题情境吗?[师生活动] 给学生适当的时间阅读思考,教师引导学生一起分析上述问题,并归纳出结果.[设计意图] 问题(1)是让学生认可图象表示一个函数;问题(2)再次强调自变量的取值集合;问题(3)让学生意识到函数值构成集合;问题(4)(5)通过教师讲解,给出对应,关系的描述方法,化解难点. 问题4阅读教材中的实例4,回答下列问题:(1)这个表格中,时间的变化范围是什么?能不能用[2006,2015]表示?恩格尔系数的变化范围是什么?(2)由这个表格,恩格尔系数是不是年份的函数?你能说清楚到底是怎么对应的吗?(3)由这个表格,能得到2005年的恩格尔系数吗?(4)这个函数有解析式吗?如果让你表示出这个函数,你会怎么做?(5)模仿问题1,你能用准确的集合语言和对应关系描述这个问题情境吗?[师生活动] 先让学生思考,然后师生一起归纳结果.[设计意图] 与问题3的情况类似,学生对用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断存在疑惑,通过问题引导学生思考,教师再作适当讲解,从而使学生接受.问题5上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征?由此你能概括出函数概念的本质特征吗?[师生活动] (1)给学生充分的思考时间,引导学生重新回顾用集合与对应语言刻画函数的过程,小组合作完成上述表格.(2)教师引导学生得出:①都包含两个非空实数集;②都有一个对应关系;③尽管对应关系的表示方法不同,但它们都有如下特征:对于数集A中的任意一个x,按照对应关系,在数集B中都有唯一确定的y和它对应.(3)归纳得出,除解析式、图象、表格外,还有其他表示对应关系的方法,为了表示方便,引入符号f统一表示对应关系,进而给出函数的一般性定义.教师解释函数记号y=f(x),x∈A.[设计意图] 让学生通过归纳四个实例中的函数的共同特征,体会数学抽象过程,概括出用集合对应语言刻画的一般性函数概念.在此过程中,要突破“如何在四个实例基础上让学生进行归纳、概括、抽象函数的概念,并以此培养学生的数学抽象素养”这一难点,突出“在学生初中已有函数的认识基础上,通过实例归纳概括出函数的基本特征(要素),用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点.(三)函数概念的理解1.函数的概念:一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个函数,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.2.理解:(1)集合A,B及对应关系f是一个整体,函数是两个集合的元素间的一种对应关系;(2)y=f(x)的意义:把对应关系f作用到x就得到一个y;(3)f可以是一个解析式,也可以是一个图象,还可以是一个表格.从图表中可以比较直观地看出x与y之间的对应关系.[师生活动]师生一起归纳出函数的概念,教师再逐一解读.[设计意图]理解函数的概念,培养学生的归纳整理能力.(四)函数概念的初步应用问题6如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数,那么你会怎样表述这些函数?随堂练习:教材63页练习1,练习3[师生活动] 在学生思考后,教师用一次函数与二次函数进行示范,学生用反比例函数进行练习,之后让学生独立完成上述表格,最后让学生完成教材63页练习1,练习3,教师进行点评.[设计意图] 用函数定义重新认识已学函数,加深对函数定义的理解,进一步体会定义域,对应关系与值域是函数的三个要素.问题7试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述.随堂练习:教材64页练习4[师生活动] 在学生思考后,教师以例1进行示范,学生完成教材64页练习4.[设计意图] 让学生在完成例1的过程中,进一步体会函数模型应用的广泛性,加深对函数概念的理解. (五)课堂小结教师引导学生回顾本节课的学习内容,并引导学生回答问题:(1)什么是函数?其三要素是什么?(2)对于对应关系f,你有哪些认识?(3)与初中学习过的函数概念相比,你对函数又有什么新的认识》(4)本节课我们是怎样得到函数概念的?结合本节课的学习,你对如何学习数学又有什么体会?[师生活动] 教师出示问题后,先由学生思考,再由全班交流,最后教师再进行总结,要强调如下几点:(1)函数的定义是判断一个对应关系是不是函数的标准;(2)要通过具体例子理解函数的对应关系f 的特征,特别是对于“A 中任意一个数”“B 中都有唯一 确定的数”等关键词含义要认真体会;(3)对应关系f 的表示形式可以是解析式、图象、表格等多种形式,但它们的实质相同.[设计意图] 引导学生从函数概念的内涵、要素的归纳过程,关键词的理解角度进行小结,进一步加深对函数概念的理解.(六)布置作业1.复习巩固设集合A={x|0≤x ≤6},B={y|0≤y ≤2},下列对应关系f:A →B 上从A 到B 的函数的是( )A. f:x →y=21xB.f:x →y=31x C.f:x →y=x D.f:x →y=x+1[设计意图]考查学生对函数概念的认识,巩固函数概念.2.综合运用(1)教材73页习题3.1第8题和第11题;(2)试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式22⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=ππx y 来描述. [设计意图]考查学生运用函数概念刻画实际问题的能力. 七、板书设计[设计意图] 强调函数的概念集合对应说中的关键词八、课后反思本节课是在初中的已有知识的基础上对函数从集合对应说这个角度做了一个诠释,引导学生结合实例归纳总结出函数的概念,并会用函数的集合对应说解释一次函数、二次函数和反比例函数.本节课的成功之处是对4个实例的分析,通过对这4个实例的一步步分析,引导学生进一步认识函数、了解函数、掌握函数;而败笔之处是对对应关系的解读不够清楚,学生仍然带有疑惑,对符号y=f(x)没有一个清晰的认识,这一点需要在今后的课堂中加以重视,多次讲解.。
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.《函数的概念》的教学设计浙江省义乌市第三中学陈向阳【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本( A 版)》的第一章 1.2.1 函数的概念。
函数是中学数学中最重要的基本概念之一,它贯穿在中学代数的始终,从初一字母表示数开始引进了变量,使数学从静止的数的计算变成量的变化,而且变量之间也是相互联系、相互依存、相互制约的,变量间的这种依存性就引出了函数。
在初中已初步探讨了函数概念、函数关系的表示法以及函数图象的绘制。
到了高一再次学习函数,是对函数概念的再认识,是利用集合与对应的思想来理解函数的定义,从而加深对函数概念的理解。
函数与数学中的其他知识紧密联系,与方程、不等式等知识都互相关联、互相转化。
函数的学习也是今后继续研究数学的基础。
在中学不仅学习函数的概念、性质、图象等知识,尤为重要的是函数的思想要更广泛地渗透到数学研究的全过程。
函数是中学数学的主体内容,起着承上启下的作用。
函数又是初等数学和高等数学衔接的枢纽,特别在应用意识日益加深的今天,函数的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系。
因此对函数概念的再认识,既有着不可替代的重要位置,又有着重要的现实意义。
本节的内容较多,分二课时。
本课时的内容为:函数的概念、函数的三要素、简单函数的定义域及值域的求法、区间表示等。
(第二课时内容为:函数概念的复习、较复杂函数的定义域及值域的求法、分段函数、函数图象等)【学情分析】学生在学习本节内容之前,已经在初中学习过函数的概念,并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系。
然而,函数概念本身的表述较为抽象,学生对于动态与静态的认识尚为薄弱,对函数概念的本质缺乏一定的认识,对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度。
初中是用运动变化的观点对函数进行定义,虽然这种定义较为直观,但并未完全揭示出函数概念的本质。
例如,对于函数1, 当 x是有理数时f ( x)如果用运动变化的观点去看它,就不好解释,显得牵强。
但0, 当x是无理数时如果用集合与对应的观点来解释,就十分自然。
因此,用集合与对应的思想来理解函数,对函数概念的再认识,就很有必要。
由于数学符号的抽象性,学生因此会望而却步,从而影响了学生学习数学的积极性。
高一学生虽然在初中已接触了函数的概念,但在重新学习它时还是存在一定的障碍,其中一个原因就是对新引进的函数符号“y=f(x) ”不甚其解。
教师应在教学中有意识地挖掘函数符号的审美因素,以美启真。
在本节课的教学过程中,教师应该给学生提供实践动手的机会,为学生创设熟悉的问题情境,引导学生观察、计算、思考,从而理解问题的本质,归纳总结出结论。
【学法指导】本节内容的学习要注意运动变化观和集合对应观两个观念下函数定义的对比研究;注意借助熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数加深对函数这一抽象概念的理解;要重视符号f(x) 的学习,借助具体函数来理解符号y=f(x) 的含义,由具体到抽象,克服由抽象的数学符号带来的理解困难,从而提高理解和运用数学符号的能力。
【教学目标】知识目标——通过丰富的实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;用集合与对应的思想理解函数的概念;理解函数的三要素及函数符号的深刻含义;会求一些简单函数的定义域及值域。
能力目标——培养学生观察、类比、推理的能力;培养学生分析、判断、抽象、归纳概括的逻辑思维能力;培养学生联系、对应、转化的辩证思想;强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。
情感目标——渗透数学思想和文化,激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情;强化学生参与意识,培养学生严谨的学习态度,获得积极的情感体验;体会在探究过程中由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点;感受数学的简洁美、对称美、数与形的和谐统一美;树立“数学源于实践,又服务于实践”的数学应用意识。
【教学重点】函数的概念及 y=f(x) 的理解与深化。
【教学难点】函数的概念及函数符号f(x) 的理解。
【教学关键】在集合与对应的基础上理解函数的概念。
【教学方法】以建构主义理论为指导,辅以多媒体手段,采用着重于学生探索研究的启发式教学为主,变式教学为辅,及引导、探究、讲解、演练相结合。
在教学过程中,多一点情境和归纳,多一点探索和发现,多一点思考和回顾。
通过不同形式的自主学习、探究活动,丰富和改善教与学的方式,体验数学发现和创造的历程,发展创新意识和实践能力。
在课堂结构上,设计“创设情境——引入课题;引导探求——形成知识;变式训练——巩固知识;讨论研究——深化知识;总结反思——提高认识;任务后延——自主探究” 这样几个主要环节,环环相扣,层层深入,以期达到教学目标。
设计思想设计设计意图师生活动环节以实际问题为背景,以学教师提出问题 1:一、生熟悉的情境入手激活学生我们在初中学习过函数的概念,它是如何定义的呢?创设的原有知识,形成学生的“再在初中已经学过哪些函数?(在学生回答的基础上出问题创造”欲望,让学生在熟悉的示投影)情境环境中发现新知识,使新知识我们已经学习了一些具体的函数,那么为什么还要学,引出和原知识形成联系,同时也体习函数呢?先请同学们思考下面的两个问题:课题现了数学的应用价值。
通过问问题 2:由上述定义你能判断“y=1 ”是否表示一个函。
题 2 这两个用已有概念不太x 2表示同一个函数吗?数?函数 y=x 与函数y容易回答的问题,引发学生的x学生思考、讨论后,教师点拨:仅用上述函数概念很认知冲突,有着承上启下的作难回答这些问题,我们需要从新的角度来认识函数概用。
既是对初中已学的函数概念。
这就是今天我们要学习的课题:函数的概念(板念的进一步深入,又是为下一书)步用集合语言来刻画函数的本质做好伏笔。
二、以实际问题为载体,以信师:(实例 1)演示动画,用《几何画板》动态地显示息技术的作图功能为辅助。
在炮弹高度 h 关于炮弹发射时间t 的函数。
启发学生观借助三个实例的教学中,重点在于察、思考、讨论,尝试用集合与对应的语言描述变量信息引导学生体会函数概念中的之间的依赖关系:在 t 的变化范围内,任给一个t,按技术对应关系。
通过实例 1,体会照给定的解析式,都有唯一的一个高度h 与之相对应。
,讨论用解析式刻画变量之间的对生:用计算器计算,然后用集合与对应的语言描述变归纳应关系,关注t 和 h 的范围;量之间的依赖关系。
通过实例 2 体会用图象刻画师:(实例 2)引导学生看图,并启发:在t 的变化范变量之间的对应关系,关注t 围内,任给一个 t,按照给定的图象,都有唯一的一个和 S 的范围;通过实例 3 体臭氧空洞面积 S 与之相对应。
会用表格刻画变量之间的对生:动手测量,然后用集合与对应的语言描述变量之应关系。
间的依赖关系。
为了更好地使学生尝试师生:(实例 3)共同读表,然后用集合与对应的语言用集合与对应的语言进行描描述变量之间的依赖关系。
述,可以利用信息技术设置教问题3:分析、归纳以上三个实例,它们有什么共同学情境。
通过学生的观察、思特点?考、讨论来归纳结论,体现了生:分组讨论三个实例的共同特点,然后归纳出函数学生自主探究的学习方式。
让定义,并在全班交流。
他们通过实践来进一步体验师生:由学生概括,教师补充,引导学生归纳出三个到在集合对应观下的函数内实例中变量之间的关系均可描述为:涵,也为学生应用信息技术解对于数集 A 中的每一个x,按照某种对应关系 f ,在数决数学问题提供了一种新的集 B 中都有唯一确定的y 与它对应,记作f:A →B途径和方法。
三、从特殊到一般,引出函数概念。
从特殊到一般,揭示数学通常的发现过程,给学生“数学创造” 的体验。
这种引出概念的方式自然而又易于学生接受和形成概念。
注重双语,规范数学概念的理解。
在涉及的每一个数学概念其后注明英语,有利于教师实施双语教学,也有利于教师和学生阅读外文数学材料,这也是体现新课标实验教材的创新之处。
函数y=f(x) 是学生学习的难点,这是一个抽象的数学符号。
教学时首先要强调符号“y=f(x) ”为“ y 是 x 的函数”这句话的数学表示,它仅仅是数学符号,而不是表示“ y 等于f 与 x 的乘积”。
在有些问题中,对应关系 f 可用一个解析式表示,但在不少问题中,对应关系 f 不便用或不可能用解析式表示,而用其他方式(如图象、列表)来表示。
所以教师应向学生明确指出,y=f(x) 不一定就是解析式,函数的表示方式除了解析式外,还有其它表示方法,如实例 2 的图象法,实例 3 的列表法。
问题 4:函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢?如果能,怎样给函数重新下一个定义呢?(在学生回答的基础上教师归纳总结)设 A 、 B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数x,在数集 B中都有唯一确定的f(x) 和它对应,那么就称f:A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function ) . 记作y=f(x) . x∈ A .自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域( domain);与 x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(range).在函数概念得出后,教师强调指出“ y=f(x) ”仅仅是数学符号。
为了更好地理解函数符号y=f(x) 的含义,教师提出下一个问题:问题 5: y=f(x) 一定就是函数的解析式吗?师生:函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法。
补充练习:下列图象中不能作为函数y f (x) 的图象的是()y y y y2 2 2 2o xo x o x ox2 2 2 2(A)(B)(C)(D)启发并引导学生思考、讨论、交流,教师归纳总结出函数的要点:1.函数是一种特殊的对应——非空数集到非空数集的对应;2.函数的核心是对应法则,通常用记号 f 表示函数的对应法则,在不同的函数中, f 的具体含义不一样。
函数记号 y=f(x) 表明,对于定义域 A 的任意一个 x 在“对.四、借助熟悉函数平台,加深对函数概念的理解。
五、再创情境,引导探究设置问题 6 这个情境,目的是用函数的定义去解释学过的一次函数、反比例函数、二次函数,使得对函数的描述性定义上升到集合与对应语言刻画的定义。
同时利用信息技术工具画出函数的图象,是让学生进一步体会“数”与“形”结合在理解函数中的作用,更好地帮助理解上述函数的三个要素,从而加强学生对函数概念的理解,进一步挖掘函数概念中集合与函数的联系。
明确定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素,这是一个整体,以此更好地培养学生深层次思考问题的习惯。
问题 8 利用学生思维的空白处设置问题,能引起学生探究的欲望,从而自然引出以形求数的思想。
接着,通过“引导”,给学生解决后续问题的方法,即观察图象的方法。