苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第09课时 逆矩阵的概念
2019-2020学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组课件苏教版选修4_2
－38 －18.
已知矩阵 A＝ca db，利用行列式求矩阵 A 的逆矩阵的步骤 如下：
(1)首先计算 det(A)＝ca db＝ad－bc，当 det(A)≠0 时，逆 矩阵存在．
d (2)利用 A－1＝de－tcA
detA
－b detaA，求出逆矩阵 A－1. detA
θ θ
－sin cos
θθ＝cos2
θ－(－sin2
θ)＝1.
2．若
x2 －1
1y2＝xy
－yx，求 x＋y 的值．
解：x2＋y2＝－2xy⇒x＋y＝0.
利用行列式求可逆矩阵的逆矩阵
[例 2] 已知 A＝－11 22，B＝－11 11，判断 AB 是否可
(3)二阶行列式0a 10＝a，当 a＝0 时，矩阵不可逆，当 a≠0 时，
1 矩阵可逆，逆矩阵为a
0
.
0 1
4．若矩阵 A＝63 x92存在逆矩阵，求 x 的取值范围．
解：据题意 det(A)≠0，即36 9x2≠0. ∴3x2－54≠0. ∴x≠±3 2. 故 x 的取值范围是{x|x∈R 且 x≠±3 2}.
逆，若可逆求出逆矩阵． [思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解．
[精解详析]
AB＝－11
2 1 2 －1
11＝－ －13
31.
因 det(AB)＝－ －13 31＝－1＋9＝8≠0，故 AB 可逆，
1 ∴(AB)－1＝83
8
二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法
[例 3] 分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组
3x－2y＝1， －x＋4y＝3.
[思路点拨]
求出相应行列式的值，利用 x＝DDx，y＝DDy求
苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第01课时 矩阵的概念
第01课时 矩阵的概念一、要点讲解1．矩阵的概念：2．矩阵的相等：二、知识梳理1．在数学中，将形如13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦，23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦这样的__________________称做矩阵．_____________________________________叫做矩阵的行，______________________ ________________叫做矩阵的列．通常称具有i 行j 列的矩阵为i ×j 矩阵．2．__________________称为零矩阵；______________________称为行矩阵；____________ _______________称为列矩阵．3．平面上向量α = (x ，y )的坐标和平面上的点P (x ，y )看作行矩阵可记为________，看作列矩阵可记为_________．4．当两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的_______________________，并且____________________也分别相等时，才有A = B ．三、例题讲解例1． 用矩阵表示△ABC ，其中A (－1,0)，B (0，2)，C (2，0)．例2． 设31,422x y A B z ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，若A = B ，求x ，y ，z ．例3． 已知n 阶矩阵1122121247712j n j n i i i j in n n n j nn a a a a A a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数．(1)写出45a 的值； (2) 写出ij a 的计算公式．四、巩固练习1. 画出矩阵143111-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦所表示的三角形，并求该三角形的面积．2. 设1,32x m n x y A B y x y m n ++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，若A = B ，求x ，y ，m ，n ．3. 已知二元一次方程组的系数矩阵为4231⎡⎤⎢⎥⎣⎦-，方程组右边的常数项矩阵为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试写出该方程组．4. 设M 是一个3×3的矩阵，且规定其元素2,1,2,3,1,2,3ij a i j i j =+==，试求M ．5. “两个矩阵的行数和列数分别相等”是“两个矩阵相等”的___________________条件．。
高中数学 2.4.1《逆矩阵的概念》教学案 苏教版选修4-2
§2.4.1逆矩阵的概念教学目标：知识与技能：1.理解逆变换和逆矩阵的概念, 能用几何变换的观点判断一个矩阵是否存在逆矩阵.2.掌握求矩阵的逆矩阵的方法.3.掌握AB可逆的条件及(AB) -1的求法, 理解矩阵乘法满足消去解的条件 .过程与方法：情感、态度与价值观：教学重点：逆变换和逆矩阵的概念教学难点：求矩阵的逆矩阵教学过程：一、问题情境:已知二阶矩阵对应的变换把点(x , y)变换为 (x′, y′) , 是否存在一个变换能把点(x′, y′)变换为(x , y)呢?二、建构数学：1.逆变换和逆矩阵的概念注: ①如果A可逆, 那么逆矩阵唯一.②二阶矩阵可逆的条件2.逆矩阵的求法:①定义法②几何变换法3.AB可逆的条件及(AB) -1的求法4.矩阵乘法满足消去解的条件.三、教学运用：例1、用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵, 若存在, 求出其逆矩阵.(1)A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2)B=10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3)C=01⎡⎢⎣ 10-⎤⎥⎦ (4)D=1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦例2、求下列矩阵的逆矩阵.(1)A=5173⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) B=12-⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦例3、试从几何变换的角度求解AB 的逆矩阵.(1) A=10⎡⎢⎣ 01⎤⎥-⎦ , B=01⎡⎢⎣ 10-⎤⎥⎦ (2) A=10⎡⎢⎣ 02⎤⎥⎦ , B=11201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦例4、设可逆矩阵A=110⎡⎢⎣ 3b ⎤⎥⎦的逆矩阵A -1 =610⎡⎢-⎣3a -⎤⎥⎦, 求a , b .四、课堂小结：五、课堂练习：P 63 1. (1) (2) 2. (1)六、回顾反思：七、课外作业：1.用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵, 若存在, 把它求出来.(1) A=122⎡⎢⎣12⎥⎥⎥⎦ (2) B=1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (3) C=2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (4) D=1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.求下列矩阵的逆矩阵(1) A=23-⎡⎢⎣ 41⎤⎥⎦ (2) B=32-⎡⎢⎣ 11⎤⎥-⎦(3) C=4723⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.试从几何变换的角度求矩阵AB 的逆矩阵.(1) A=12⎢⎢⎢⎣122⎤-⎥⎦ , B=11⎡⎢-⎣ 01⎤⎥⎦ (2) A=10-⎡⎢⎣ 01⎤⎥-⎦, B=122⎡⎢⎣12⎥⎥⎥⎦4.已知矩阵A=4002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 求A -1 , B -1 , (AB)-15.已知二阶矩阵A , B , C 的逆矩阵分别为A -1 , B -1 , C -1 , 那么(ABC) -1 , (ACB) -1 , (BCA) -1 分别等于什么? 你能将你的结论作进一步的推广吗?。
高中数学选修42矩阵与变换知识点复习课课件苏教
坐标变换：通过矩阵运算实 现图形的平移、旋转、缩放 等变换
动画制作：通过矩阵运算实 现图形的动画效果，如变形、
运动等
矩阵在其他领域中的应用
物理：在力学、电磁学、量子力学等领域，矩阵被用来描述物理系统的状态和变化
计算机科学：在计算机图形学、人工智能、数据挖掘等领域，矩阵被用来处理和表示数据
高中数学选修4-2矩阵 与变换知识点复习课 课件
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CONTENTS
01 添加目录标题 02 矩阵与变换概述 03 矩阵的逆与行列式 04 矩阵的秩与特征值 05 矩阵的几何意义与线性变换的矩阵表示
06 矩阵的应用举例
单击添加章节标题
第一章
矩阵与变换概述
第二章
矩阵的定义与性质
矩阵的定义：由m行n列的数组 成的m*n个数阵
矩阵与线性变换的关系
矩阵是线性变换的一种表示方法 线性变换可以通过矩阵乘法来实现 矩阵的逆矩阵表示线性变换的逆操作 矩阵的秩表示线性变换的维数
矩阵的逆与行列式
第三章
矩阵的逆
逆矩阵的定义：满足AB=BA=I的矩阵B称为矩阵A的逆矩阵 逆矩阵的性质：逆矩阵的唯一性、逆矩阵的线性性、逆矩阵的乘法性质 逆矩阵的求法：利用初等行变换求逆矩阵、利用伴随矩阵求逆矩阵 逆矩阵的应用：求解线性方程组、求解矩阵方程、求解线性规划问题
行列式的定义与性质
行列式的定义： 矩阵中主对角线 元素的乘积
行列式的性质： 行列式等于其转 置行列式的值
行列式的计算方 法：利用行列式 的性质进行计算
行列式的应用： 求解线性方程组、 判断矩阵是否可 逆等
行列式的计算方法
初等变换法：通过行变换或列变换 将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形， 然后计算行列式
苏教版数学选修4-2课件：2.4 2.4.1 逆矩阵的概念
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4.逆矩阵的求法
一般地，对于二阶矩阵 A＝ac db，当 ad－bc≠0，矩阵 A 可逆，且它的逆 矩阵
A－1＝ad－－dcbc ad－bc
ad－－abbc. ad－bc
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[思考·探究] 1.2.2 节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？为什 么？
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
B－1＝10 21.
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(3)矩阵 C 对应的是投影变换，它将平面内的点垂直投影到直线 y＝x 上，它 不是一一映射，在这个变换下，直线 y＝x 上的点有无穷多个原象，而平面上除 直线 y＝x 外其他点没有原象，它的逆变换不存在，因此矩阵 C 不存在逆矩阵.
(4)矩阵 D 对应的是绕原点逆时针方向旋转 90°的旋转变换，因此它存在逆 变换：绕原点顺时针旋转 90°的旋转变换，所对应的变换矩阵记为
高二数学选修4-2矩阵与变换课件 苏教版
2.在本章中点和向量不加区分.如:
x （0， 0）为起点， y 既可以表示点（x, y），也可以表示以O uuu r 以（ P x, y）为终点的向量OP。
2.1 二阶矩阵与平面向量
3.矩阵的概念——从表、网络图、坐标平面上的点（向 量）、生活实例等引出. 即在大量举例的基础上引出矩 阵的概念和表示方法.如: 某公司负责从两个矿区向三个城市送煤： 从甲矿区向城市A,B,C送煤的量分别是200万吨、240 万吨、160万吨； 从乙矿区向城市A,B,C送煤的量分别是400万吨、360 万吨、820万吨。 城市A 城市B 城市C 甲矿区 乙矿区
a11 a12 x0 a11 x0 a12 y0 a21 a22 y0 a21 x0 a22 y0
2.1 二阶矩阵与平面向量
7.强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义 理解.使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合 的映射,为后面学习几种常见的几何变换打下基础.
200 240 160 400 360 820
2.1 二阶矩阵与平面向量
4.矩阵通常用大写黑体字母表示.如;矩阵A, 行矩阵和列 矩阵通常用希腊字母α 、β 等表示. 5.两个矩阵的行数与列数分别相等,并且对应位置的 元素也分别相等时两矩阵相等. 6.二阶矩阵与列向量的乘法法则为:
难点
切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向 量。
主要数学思想
（1）数学化思想； （2）数学建模； （3）数形结合的思想；（4）算法思想。
主线
本专题的教学思路
通过几何变换对几何图形的作用，直观认识矩 阵的意义和作用。
教学要点
从具体实例入手，突出矩阵的几何意义，遵循
江苏理数 选修4-2 矩阵与变换 第二节 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
b ，α 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的任 d
意一个特征向量，则 Anα＝____ λnα (n∈N*)． (2)设 λ1，λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值， α，β 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1，λ2 的特征向量，对于平面上任意一个 非零向量 γ，设 γ＝t1α＋t2β(其中 t1，t2 为实数)，则 Anγ＝
所以 a＋λ＝－3－2＝－5. 答案：－5
考点一
求逆矩阵与逆变换
[典例引领] 已知矩阵
－1 A＝ 0 1 0 ， B ＝ 0 2
2 －1 ，求矩阵 A B. 6
解：设矩阵 A 的逆矩阵为
－1 则 0 0 a b 1 c d ＝0 2
矩阵 A 的属于 λ 的一个特征向量，则 a＋λ＝_____.
解析：因为
1 Aα＝λα，所以 a 2 2 2 ＝ λ －3 －3， －4
2－6＝2λ， 即 2a＋12＝－3λ，
a＝－3， 解得 λ＝－2，
－
－3 6 －2 1 － 3 － 3 且 A－1＝ ＝ . 5 2 －5 2 － 3 3 －3 －3 －2 答案： 5 3 1 2 － 3
2． 已知矩阵
1 A＝ a
2 2 的一个特征值为 λ ， 向量 α ＝ －3是 －4
0 ，因为 1×0－0×0＝0，找不到二阶 0
1 A ＝ 0
0 矩阵 B，使得 BA＝AB＝E 成立，故 不可逆． 0 2．如果向量 α 是属于 λ 的特征向量，将它乘非零实数 t 后所得 的新向量 tα 与向量 α 共线，故 tα 也是属于 λ 的特征向量， 因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征 值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的 所有特征向量了．
选修4-2 矩阵与变换 第二节 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量
第二节 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量1．矩阵的逆矩阵(1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．(2)设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E ，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵．(3)(性质1)设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的，A 的逆矩阵记为A －1.(4)(性质2)设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A－1.(5)二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 可逆，当且仅当det A ＝ad －bc ≠0时，A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d det A －b det A －c det A a det A . 2．二阶行列式与方程组的解对于关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若将方程组中行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y，则当D ≠0时，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝D x D.y ＝DyD .3．矩阵特征值、特征向量的相关概念 (1)定义：设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，如果存在实数λ以及非零向量ξ，使得A ξ＝λξ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2)一般地，设ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k ，kξ也是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量．(3)一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线． (4)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，称f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A 的特征多项式，方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0为矩阵A 的特征方程．4．特征向量的应用(1)设A 是一个二阶矩阵，α是矩阵A 的属于特征值λ的任意一个特征向量，则A n α＝λn α(n ∈N *)．(2)性质1 设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2(其中t 1，t 2为实数)，则对任意的正整数n ，有A n α＝t 1λn 1ξ1＋t 2λn2ξ2.1．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0的逆矩阵是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－12．若矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 35 k 可逆，则k 的值不可能是________．答案：1523．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－a 21 a ＋1不可逆，则实数a 的值为________．解析：由题意|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 1－a 21 a ＋1 ＝2×(a ＋1)－1×(1－a 2)＝a 2＋2a ＋1＝0，∴a ＝－1.答案：－14．对任意实数x ，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3＋m 2－m 2总存在特征向量，则m 的取值范围是________．解析：由条件得f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－x －3－m m －2 λ－2 ＝(λ－x )(λ－2)－(m －2)(－3－m )＝λ2－(x ＋2)λ＋2x ＋(m ＋3)(m －2)＝0有实数根，所有Δ1＝(x ＋2)2－4(2x ＋m 2＋m －6)≥0对任意实数x 恒成立， 所以Δ2＝16＋4(4m 2＋4m －28)≤0， 解得m 的取值范围是－3≤m ≤2. 答案：－3≤m ≤2.5．已知矩阵M 的特征值λ1＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并有特征值λ2＝2及对应的一个特征向量e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.则矩阵M ＝________.解析：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－4，故⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝2，c －2d ＝－4，联立以上两个方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244例1 求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 221的逆矩阵．【解析】 法一：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 22 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 故⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3，从而矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 2 －3. 法二：∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 22 1，∴det A ＝－1.∴A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1 －2－1－2－1 3－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 22 －3.【点评】 方法一是待定系数法；方法二是公式法．1．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)、Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)、Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1：如不可逆，请说明理由．【解析】 (1)假设所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，依题意，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4及⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2所以所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 2(2)∵det A ＝2×2－(－1)×1＝5， ∴A 可逆A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25 －15－1(－1)525＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫251－51525.步骤-求⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1a 2 b 2的逆矩阵-求方程组的解例2 (1)求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0.【解析】 (1)法一：设矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2.∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2.法二：∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2， ∴|A |＝4－3＝1，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 －31－11 21＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－12.(2)二元一次方程组的系数矩阵为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2，由(1)知A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－1 2. 因此方程⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝1，x ＋2y ＝3有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7 5.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－7，y ＝5. 【点评】 二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1a 2x ＋b 2y ＝c 2(a 1，b 1不同时为零，a 2，b 2不同时为零)的系数矩阵为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1a 2 b 2，只有当|A |≠0时，方程组有唯一解A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 1c 2，若|A |＝0，则方程组有无数解或无解．2．用矩阵方法求解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，4x －5y ＝2.解析：原方程组可以写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 －5⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤82，记M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 －5，其行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 14 －5＝2×(－5)－1×4＝－14≠0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤514 11427－17. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤82＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2例3 给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－14，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(1)求A 的特征值λ1，λ2及对应特征向量α1，α2；(2)求A 4B .【解析】 (1)设A 的一个特征值为λ，由题意知：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λ－1 －21 λ－4＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21； 当λ2＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11(2)由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝α1＋α2.故A 4B ＝A 4(α1＋α2)＝(24α1)＋(34α2)＝16α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3216＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11397. 【点评】 求矩阵的特征值及对应的特征向量是矩阵与变换的重点和难点，解决此类问题首先要利用行列式求出特征徝，然后求出相应的特征向量．请注意每一个特征值对应无数个特征向量，选择坐标为整数的解就能使后面计算简单、方便．3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．解析：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4.A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12.一、填空题 1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3a6可逆，则实数a 的取值范围是________．解析：矩阵A 可逆当且仅当det(A )≠0， 即6－3a ≠0，∴a ≠2，∴a 的取值范围为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 答案：(－∞，2)∪(2，＋∞)2．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 3232 －12，则矩阵M 的特征向量可以是________．解析：矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－12 －32－32 λ＋12＝λ2－1.由于f (λ)＝0得矩阵M 的特征值为 λ1＝1，λ2＝－1.经计算可得，矩阵M 属于特征值λ＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，而属于特征值λ＝－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－33．设可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 34 5的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c a －1，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：由AA －1＝E得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab ＋3a ac －34b ＋5a 4c －5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝3，4b ＋5a ＝0，4c －5＝1，ab ＋3a ＝1解方程组得a ＝2，b ＝－52，c ＝32.答案：2 －52 324．已知二元一次方程组⎩⎨⎧22x －22y ＝－1，22x ＋22y ＝1，从线性变换的角度求解时应把向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1绕原点作顺时针旋转________的旋转变换．解析：因为方程组⎩⎨⎧22x －22y ＝－1，22x ＋22y ＝1，的矩阵形式是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，它是把向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 绕原点作逆时针旋转π4变换得到⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11，所以解方程组就是把向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1绕原点作顺时针旋转π4的旋转变换．答案：π45．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－3232 12，则A －1＝________.解析：A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－101 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－32－1－323212， ∵|A |＝1－32×12－－1－32×32＝1≠0.∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1＋32－32 1－32. 答案：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1＋32－32 1－326．现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为：a →1，b →2，…，z →26，双方约定的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 402，发送方传递的密码为67,30,31,8，此组密码所发信息为________．解析：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 40 2，所以det A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 40 2＝2≠0，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 12，而密码矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤67 3130 8，故明码矩阵X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤67 3130 8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 1515 4，对应信息为“good ”．答案：good7．矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1252 3的特征值与特征向量分别为________． 解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 －2－52 λ－3＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)(－52)＝λ2－2λ－8＝0，得矩阵M 的特征值为λ1＝4，λ2＝－2.设属于特征值λ1＝4的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则它满足方程(λ1＋1)x ＋(－2)y ＝0，即5x －2y ＝0.故可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤25为属于特征值λ1＝4的一个特征向量． 设属于特征值λ2＝－2的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，同理可得x ＋2y ＝0.故可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1为属于特征值λ2＝－2的一个特征向量．综上所述，矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1252 3有两个特征值λ1＝4，λ2＝－2，属于λ1＝4的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25；属于λ2＝－2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1. 答案：λ1＝4，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25和λ2＝－2，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1 8．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，则满足方程AX ＝B 的二阶矩阵X ＝________. 解析：∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－4 3， ∴|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －1－4 3＝2×3－(－1)×(－4)＝2≠0. ∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 122 1.∵AX ＝B ，∴X ＝A －1B ， ∴X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 122 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －15 －1.答案：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －15 －1 二、解答题9．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－2 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，求满足AXB ＝C 的矩阵X .解析：AXB ＝C ，所以(A －1A )XB ·B －1＝A －1CB －1而A －1AXB·B －1＝EXBB －1＝X (BB －1)＝X ，所以X ＝A －1CB －1因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －22 1， B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2， 所以X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －22 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －31 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1. 10．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤624 4.(1)求矩阵A 的特征值及对应的特征向量；(2)计算矩阵A n .解析：(1)矩阵A 的特征方程为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16＝0. 得矩阵A 的特征值为λ1＝8，λ2＝2.当λ1＝8时，A 属于λ1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，A 属于λ2的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2. (2)设A n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d A n α1＝8n α1，A n α2＝2n α2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8n 8n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2n－2·2n ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8nc ＋d ＝8n a －2b ＝2n c －2d ＝－2·2n 解得a ＝2×8n ＋2n 3，b ＝8n －2n 3， c ＝2×8n －2n ＋13，d ＝8n ＋2n ＋13. 故A n ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2×8n ＋2n 3 8n －2n 32×8n －2n ＋13 8n ＋2n ＋13. 11．给定矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.(1)求证：M 和N 互为逆矩阵；(2)求证：向量α同时是M 和N 的特征向量；(3)指出矩阵M 和N 的一个公共特征值．解析：(1)证明：因MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，且NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤211 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以M 和N 互为逆矩阵．(2)证明：因为Mα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 所以α是N 的特征向量．因为Nα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 所以α是N 的特征向量． (3)由(2)知，M 对应于特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1的特征值为1，N 对应于特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1的特征值也为1，故1是矩阵M 和N 的一个公共特征值．12．(2011年福建)设矩阵M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a00 b (其中a >0，b >0)①若a ＝2，b ＝3，求M 的逆矩阵M －1；②若曲线C ：x 2＋y 2＝1，在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值． 解析：①设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. ∴2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1.即x ＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13. ∴M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1200 13. ②设C 上任一点P (x ，y )，在M 作用下得点P ′(x ′，y ′)则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′by ＝y ′又点P ′(x ′，y ′)在C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1. 即a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程． 又C 的方程为x 2＋y 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.。
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第09课时 逆矩阵的概念
一、要点讲解
1．二阶逆矩阵的概念：
2．逆矩阵的求法：
二、知识梳理
1．对于二阶矩阵，若有______________________，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．
2．在六种变换中，__________变换一定不存在逆矩阵．
3．一般地，对于二阶可逆矩阵(0)a b A ad bc d c =-≠⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，它的逆矩阵为1A -=________________． 4．若二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1=____________．
5．已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB = AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则___________．
三、例题讲解
例1． 对于下列给出的变换矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换(先T A 后
T B )的结果与恒等变换的结果相同？
(1)以x 为反射轴的反射变换；
(2)绕原点逆时针旋转60º作旋转变换；
(3)横坐标不变，沿y 轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换；
(4)沿y 轴方向，向x 轴作投影变换；
(5)纵坐标y 不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且满足（x ，y ）→（x + 2y ，y ）．
例2． 用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请求出逆矩阵；若不存在，
请说明理由．
(1)0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦=A ； (2)11210⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=B ；
(3)0110⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=C
； (4)1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦
=D ； 例3． 求矩阵3221⎡⎤⎢
⎥⎣⎦=A 的逆矩阵．
四、巩固练习
1. 已知矩阵122301,,231210⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦===B C A ，求满足AXB = C 的矩阵X ．
2. 已知矩阵1020,10102⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦==M N ，求矩阵M N 的逆矩阵．（用两种方法求解）
3.
已知矩阵1202,0112⎡⎢⎡⎤⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦==A B ，求圆x 2 + y 2 = 1在 (AB )－1变换作用下的曲线方程．
4. 已知10431241⎡⎤⎡⎤-⎢
⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=B ,求矩阵B ．
5. 已知矩阵1237⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦=A ．(1)求逆矩阵A -1；(2)若矩阵X 满足31⎡⎤⎢⎥⎣⎦=AX ，试求矩阵X ．。