平行四边形的性质2导读单
新北师大九年级数学上册第一章特殊的平行四边形知识点
第一章特殊的平行四边形一、平行四边形1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。
(对边）(2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分.（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等.3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（对边）(2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(对边)（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（对边)（4）定理3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（对角）(5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（对角线）4、两条平行线的距离两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。
注意: 平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah 二、菱形1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。
（边）（2)菱形的相邻的角互补,对角相等.(对角）(3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.（对角线）(4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3、菱形的判定（1）定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）定理1:四边都相等的四边形是菱形。
（边）(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(对角线)（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（对角线）4、菱形的面积： S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
平行四边形的性质课件
仍然成立.
（AE=CF除外，不再添加辅助线）．
请添加一个条件： ，
平行四边形的性质
平行
且相等
相等
∠A＝∠C,∠B＝∠D
O
B
A
C
D
平行四边形都有哪些性质？
小结：
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心
平行四边形的性质
对边
对边
对角
9
平行四边形的性质
∠D=∠B=40°
平行四边形的性质
A
B
C
D
O
性质：平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点．
数学实验室
平行四边形的性质
命题证明：平行四边形的对边相等
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形求证：AB=CD,BC=AD.
平行四边形的两组对角相等如何证明呢？
平行四边形的性质
平行四边形的性质及其几何语言：
平行四边形的性质
平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对角相等
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A =∠C, ∠B =∠D
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。
活学活用
完成课本122页，随堂练习
平行四边形的性质
2.平行四边形的对边相等；
3.平行四边形的对角相等；
∵四边形ABCD是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形
1.平行四边形的对边平行；
∵四边形ABCD是平行四边形
平行四边形的性质
例1 已知:如图，在□ABCD中， E，F是对角线 AC上的两点，且AE=CF． 求证：BE=DF．
变式练习：
线段AC、BD就是 ABCD的对角线.
平行四边形的性质(第2课时)同步课件
对角相等，邻角互补 对角线互相平分
作业布置
“习题6.2” 第2、3题
课程结束
课堂练习
2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD ＝16，CD＝6，则△ABO的周长是( B ) A．10 B．14 C．20 D．22
课堂练习
3.如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC 于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的 周长为( C) A．14 B．13 C．12 D．10
课堂练习
4.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD
于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③DE＝BF；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论的个数是( B )
A．4
B．3
C．2
D．1
课堂练习
5.如图，若▱ABCD的周长为36 cm，过点D分别作AB，BC边
求证：OA=OC，OB=OD.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD(平行四边形的对边相等). AB∥CD(平行四边形的定义).
A
O
B
∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.
∴△ABO≌△CDO.
∴OA=OC,OB=OD.
D C
探究新知
归纳总结
对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分． 数学表达式：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形，
课堂练习
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，OA=OC， ∵EF⊥AC， ∴AE=CE， ∵△BEC的周长是10， ∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10， ∴▱ABCD的周长=2(BC+AB)=20．
人教版八年级数学下册18.1.1平行四边形的性质2(共31张PPT)
我 区 文 化 市 场经营 行为,净 化文化 环境,我 们积极 协调公 安、
人教版八年级
数学下册
第十八章
复习
B
C
定义 表示方法
A
D
两组对边分别平行的四边形叫做 平 行 四 边形。其不相邻的两个顶点连成的线段叫 它的对角线。
AB=CD；AD=BC ∠BAD= ∠BCD; ∠ABC= ∠ADC
2019/8/6
2
小明家有一块平行四边形的菜地，妈妈
想在中间留一条小路，把它分成面积相等
的两块，请你帮小明的妈妈想想办法，可
以怎么分？试一试
A
D
2019/8/6
B
C
3
A
DA
DA
D
B
CB
CB
C
A
DA
DA
D
B
CB
2019/8/6
CB
分 别 与 各 经 营单位 法人签 订《守 法经营 责任书 》。
3、 开 展 文 化 、新闻 出版市 场专项 整治行 动。继 续加大 网吧、 歌舞娱 乐、印 刷(复 制 )等 市 场 的 综合执 法力度 ,进一 步整顿 和规范 校园周 边文化 市场环 境。 4、 加 强 执 法 队伍建 设,转 变工作 作风,打 造一支 政治 合 格 、 作 风 过硬、 业务精 通,纪律 严明的 文化市 场综合 执法队 伍。
一口井，为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水
井修一条路，可以把菜地分成面积相等的两部分.
同学们，你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗？
八年级数学下册第18章平行四边形(第16课时)平行四边形的性质2课件(新版)新人教版
(1)求 AB 的长； (2)求△ABC 的面积．
1 解：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC＝ 2 1 AC＝5，OB＝OD＝ BD＝13， 2 ∵AC⊥AB，∴AB＝ OB －OA ＝ 13 －5 ＝12， 1 1 (2)∴S△ABC＝ AB·AC＝ ×12×10＝60. 2 2
(1)求证：△ABC≌△EAD； (2)若 AE 平分∠DAB，∠EAC＝30°，BE＝2 3，求∠AED 的 度数及平行四边形 ABCD 的面积．
(1)证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DAE＝∠AEB，∵AB＝AE， ∴∠AEB＝∠B.∴∠B＝∠DAE. ∴△ABC≌△EAD.
4.如图，已知▱ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，AC＝24 cm，
cm，BO＝19 cm，△BOC BD＝38 cm，AD＝28 cm，则 AO＝12 12_m 1_cm 59 cm． 的周长是 59_cm
5.已知：▱ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AC⊥AB，AC＝10， BD＝26.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， 又∵AC＝10，BD＝6. ∴OA＝5，OD＝3. 又∵AD⊥BD， ∴△ADO 是直角三角形．
∴AD＝ OA －OD ＝ 5 －3 ＝4. 在 Rt△ADB 中，∵AD＝4，BD＝6， ∴AB＝ AD ＋BD ＝ 4 ＋6 ＝2 13. ∴BC＝AD＝4，DC＝AB＝2 13.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
BC， ∴AD∥BC
且 AD＝BC． ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ ACB，∠ADB＝∠ DBC． ∴△AOD≌△COB(ASA)． ∴OA＝OC，OB＝OD.
平行四边形的概念和性质课件
平行四边形的性质
1 对角线
平行四边形的对角线互相平分，交点称为对 角线的中点。
2 边长相等
平行四边形的相邻边长相等。
3 对边平等且平行
平行四边形的对边相等且平行。
4 内角和为360°
平行四边形的内角和为360°。
平行四边形的应用
建筑设计
平行四边形的结构特性使其在 建筑设计中得到广泛应用，如 设计建筑外观、立面或屋顶。
特殊情况
若平行四边形是矩形或正方形，可使用其他相应的 面积公式。
平行四边形与其他几何形状的关系
矩形Байду номын сангаас
矩形是一种特殊的平行四边形，具有相等的内角和 直角。
菱形
菱形是一种特殊的平行四边形，具有相等的对角线 和内角。
平行四边形的判定方法
对边判定法
若一组对边相等且平行，则四边形是平行四边 形。
角判定法
若一组内角或外角相等，则四边形是平行四边 形。
平行四边形的概念和性质
平行四边形是具有两组对边平行的四边形。它们具有多种特征和性质，其理 解对于几何学的学习至关重要。
平行四边形的定义和特征
定义
平行四边形是具有两组对边 平行的四边形。
特征
平行四边形的对边相等且平 行，同一组内角相等，同一 组外角相等。
例子
例如，长方形和菱形都是平 行四边形的特例。
图案设计
平行四边形的简单几何形状常 用于图案设计，如地板瓷砖、 墙纸和纺织品。
数学研究
平行四边形是数学研究中的一 个重要概念，有助于推导和证 明其他几何形状的性质。
平行四边形的推论
1
推论1
相邻内角互补。
2
推论2
对角线平分平行四边形的内角。
北师大版八年级数学下册《平行四边形的性质》平行四边形PPT课件(第2课时)
课堂小结
平行四边形
对角线的 性质
对角线互相平分
探究新知
素养考点 2 综合应用平行四边形的性质
例2 如图,在▱ABCD中,分别以边BC,CD作等腰△BCF,△CDE,使
BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,连接AF,AE. (1)求证:△ABF≌△EDA. (2)延长AB与CF相交于G.若AF⊥AE, 求证:BF⊥BC.
探究新知
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,∠ABC=∠ADC, ∵BC=BF,CD=DE,∴BF=AD,AB=DE, ∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°,∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°, ∠EDC=∠CBF, ∴∠ADE=∠ABF, ∴△ABF≌△EDA.
探究新知
(2)延长FB交AD于H. ∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°. ∵△ABF≌△EDA,∴∠EAD=∠AFB. ∵∠EAD+∠FAH=90°,∴∠FAH+∠AFB=90°, ∴∠AHF=90°,即FB⊥AD. ∵AD∥BC,∴FB⊥BC.
探究新知 方法总结
平行四边形性质的应用
巩固练习
变式训练
A.28
B.24
C.21
D.14
课堂检测
基础巩固题
4.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为点
2 21
E,AB= 3,AC=2,BD=4,则AE=___7___.
课堂检测
基础巩固题
5.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,且 AF=CE.求证:BE=DF.
解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠D=∠B=52°, 由折叠的性质得:∠D′=∠D=52°, ∠EAD′=∠DAE=20°, ∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°, ∠AED′=180°-∠EAD′-∠D′=108°, ∴∠FED′=108°-72°=36°.
平行四边形及其性质详解
平行四边形的定 义：两组对角分 别相等的四边形
判定方法：通过 测量对角线长度， 判断两组对角是 否相等
应用：在几何证 明、图形识别等 领域有广泛应用
注意事项：测量 误差可能导致判 断不准确，需要 多次测量确认
平行四边形的面积
04
和周长计算
面积计算公式
平行四边形的面积可以通过底和高 的乘积来计算 底和高的长度可以通过测量得到
矩形的性质
对边平行且相等
对角线互相平分且相等
内角均为直角
面积等于长乘宽
等腰梯形的性质
性质一：等腰梯形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质 性质二：等腰梯形具有两个对角线相等的性质 性质三：等腰梯形的面积可以通过对角线乘积的一半来计算 性质四：等腰梯形的周长可以通过对角线之和来计算
平行四边形的实际
面积计算公式为：面积 = 底 x 高
平行四边形的周长可以通过四条边 的长度之和来计算
周长计算公式为：周长 = 4 x 边长
周长计算公式
平行四边形的周长等于相邻两边之和的2倍 平行四边形的周长等于对角线之和的一半 平行四边形的周长等于任意一边的2倍加上任意一边的2倍 平行四边形的周长等于任意一边的2倍加上对角线之和的一半
平行四边形的 判定方法：一 组对边平行且
相等
平行四边形的 性质：两组对 边分别平行且
相等
平行四边形的 判定方法：一 组对边平行且 相等，另一组 对边也平行且
相等
两组对边分别平行
平行四边形的定 义：两组对边分 别平行的四边形
平行四边形的判 定方法：两组对 边分别平行的四 边形是平行四边 形
平行四边形的性 质：两组对边分 别平行的四边形 具有平行四边形 的性质
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学习小组组名：
学生姓名： 完成时间： 月 日
4.1《平行四边形的性质2》问题导读评价单
学习目标及方法：自学本课知识15--20分钟
1、探索并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质。
2、理解平行线间的距离处处相等的结论，并了解其简单应用。
学习过程：
一、自主探究：
1.完成课本做一做，理解平行四边形的对角线一些性质。
2.如果连结平行四边形顶点AC 、BD ,交点为O ，如图，那么AC 、BD 之间又有什么关系？
4.完成课本101页想一想，理解平行线之间的距离相等。
5.完成课本随堂练习。
5.完成课本习题4.1知识技能。
二、合作探究：
1. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，ΔAOB 的周长为15，
AB ＝6，那么对角线AC 和BD 的和是多少？
2.如图4，四边形ABCD 是平行四边形，BD ⊥AD ，求BC ，CD 及OB 的长.
我的问题：
学习小组组名： 学生姓名： 完成时间： 月 日
三、训练巩固：
1、一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是
6，则它的另一条对角线x 的取值范围为____________．
2. 中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则
边AB
＝____________，BC ＝____________．
3. 平行四边形的边长等于5和7，这个平行四边形锐角的平分线把长边分成两条线段长各是
____________．
4. 平行四边形两邻边分别是4和6
，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是
____________．
5. 如图，中，对角线AC 长为10 cm ，∠CAB ＝30°，AB
长为6 cm ，则的面积是____________．
6. 平行四边形邻边长是4 cm 和8cm ，一边上的高是5 cm ，则另一
边上的高是____________．
四．能力提升：
1.如图3，已知ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线交AB 、CD 的反向延长线于E 、F ，求证：OE =OF .
2 。
如图，已知的周长为60 cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长长8cm ，求这个四边形各边长．
3.如图，如果△AOB 与△AOD 的周长之差为8，而AB ∶AD ＝3∶2，那么
的周长为多
少？。