江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题(含答案)
无锡市市北高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
无锡市市北高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三 项，则能使不等式1212111n na a a a a a +++≤+++成立的自然数的最大值为（ ） A ．9 B ．8 C.7D ．5 2． 记,那么A B C D3． 已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A ．12+B ．12- C. 34D．0 4．单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（）A ．该几何体体积为B ．该几何体体积可能为C ．该几何体表面积应为+D ．该几何体唯一5． 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ．x=1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=16． 执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（ ） A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．7． 正方体1111D ABC A B C D - 中，,E F 分别为1,AB B C 的中点，则EF 与平面ABCD 所成角的正 切值为（ ）A ．B C.12D ．28． 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2，则 ()=2016f （ ）A 、-12B 、-16C 、-20D 、0 9． 已知f （x ）=m •2x +x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（ ） A ．（0，4） B ．[0，4） C ．（0，5] D ．[0，5]10．（文科）要得到()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位 11．在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）1111] A ．(0,]6πB ．[,)6ππ C. (0,]3π D ．[,)3ππ 12．设曲线y=ax ﹣ln （x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x ，则a=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知函数y=f （x ），x ∈I ，若存在x 0∈I ，使得f （x 0）=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的不动点；若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）①﹣，1是函数g （x ）=2x 2﹣1有两个不动点；②若x 0为函数y=f （x ）的不动点，则x 0必为函数y=f （x ）的稳定点； ③若x 0为函数y=f （x ）的稳定点，则x 0必为函数y=f （x ）的不动点； ④函数g （x ）=2x 2﹣1共有三个稳定点；⑤若函数y=f （x ）在定义域I 上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．14．将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________.15．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为______________.【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力． 16．命题“∃x ∈R ，2x 2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题（本大共6小题，共70分。
2024学年江苏省无锡市市北高中高三第一次模拟考试数学试题B卷
2024学年江苏省无锡市市北高中高三第一次模拟考试数学试题B 卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆2222:19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ）A ．8B ．12C ．14D ．103．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，且点F 到该渐近线的距离为3，则双曲线C 的实轴的长为A ．1B ．2C ．4D ．8554．函数2|sin |2()61x x f x x =-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为A ．171.25cmB ．172.75cmC ．173.75cmD ．175cm 6．将函数2()322cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ）A ．3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭πC ．3,08⎛⎫- ⎪⎝⎭πD ．3,18⎛⎫- ⎪⎝⎭π 7．已知复数22z a i a i =--是正实数，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．1-D ．1± 8．已知抛物线2:4C x y =,过抛物线C 上两点,A B 分别作抛物线的两条切线,,PA PB P 为两切线的交点O 为坐标原点若.0PA PB =,则直线OA 与OB 的斜率之积为（ ）A ．14-B ．3-C ．18- D ．4-9．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．7210．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（ ） A 5 B ．53C 25 D ．3511．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ） 附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544 12．复数5i 12i +的虚部是 ( ) A ．i B ．i - C ．1 D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省无锡市市北高级中学高三数学10月月考试题 理
江苏省无锡市市北高级中学高三数学10月月考试题理时 间：120分钟 分 值： 160 分 日 期：2021.10一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。
1. 集合}22{},1{2++==≤=x x y y B x x A ，那么B A =___________2. 由命题〝02,2≤++∈∃m x x R x 〞是假命题，求得实数m 的取值范围是),(+∞a ，那么实数a 的值是_____3. 函数)32lg()(x x x f -=的定义域为____________4. 函数])2,1[(log 2)(2∈+=x x x f x 的值域为____________5. 〝6πα=〞是〝1sin 2α=〞的 条件．(填〝充沛不用要〞、〝必要不充沛〞、〝充要〞、〝既不充沛也不用要〞)6. 函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-0),1(0,)21()(1x x f x x f x ，那么)3log 1(2+f =____________7. 函数⎩⎨⎧>+≤+=0,0,)(22x bx ax x x x x f 为奇函数，那么b a +=___________8. 函数],[,2)(2b a x x x x f ∈-=的值域为]3,1[-，那么a b -的取值范围是__________9. 定义在R 上的偶函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，且1)2(=f ，假定1)(≤+a x f 对]1,1[-∈x 恒成立，那么实数 a 的取值范围是____________10. 直线y = k x 与曲线y = 2e x 相切，那么实数k =11. f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当0 ≤ x ≤ 1时，f (x ) = x 2，当x > 1时，f (x +1) =f (x ) + f (1).假定直线y = k x 与函数y = f (x ) 的图象恰有5个不同的公共点，那么实数k 的值为12. 假定函数f (x ) = x 3 ax 2 ( a > 0 )在区间(320，+∞)上是单调函数，那么使方程f (x ) = 1000有整数解的实数a 的个数是13. 设f (x ) 是定义在R 上的可导函数，且满足 f (x ) + xf’ (x ) > 0，那么不等式f(1+x )>1-x f (12-x )的解集为14. .设a > 0，函数f (x ) =xa x 2+，g (x ) = x ln x ，假定对恣意的x 1，x 2[1，e ]，都有f (x 1) ≥ g (x 2)成立，那么实数a 的取值范围为_______二、解答题：本大题共6题，15、16、17每题14分，18、19、20每题16分，共90分。
江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编17：简易逻辑
江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编17：简易逻辑一、填空题1 ．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）命题“若实数a 满足2a ≤,则24a <”的否命题是______命题(填“真”、“假”之一).【答案】真2 ．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）命题“x R ∃∈,10x +≥”的否定为______.【答案】,10x R x ∀∈+<3 ．（江苏省无锡市洛社高级中学2014届高三10月月考数学试题）给出下列四个命题:①命题1sin ,:≤∈∀x R x p ,则1sin ,:<∈∃⌝x R x p .②当1≥a 时,不等式a x x <-+-34的解集为非空.③当1>x 时,有2ln 1ln ≥+xx . ④设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分而不必要条件.其中真命题的个数是______________【答案】24 ．（江苏省灌云县陡沟中学2014届高三上学期第一次过关检测数学试题）命题“存在00,20x x R ∈≤”的否定是__________________;【答案】任意00,20x x R ∈>5 ．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）写出命题“2010x x ∃-＞≤，”的否定:______.【答案】2001x x ∀-＞＞，6 ．（江苏省无锡市洛社高级中学2014届高三10月月考数学试题）若[]1,2x ∃∈,使不等式240x mx -+>成立,则m 的取值范围是______________.【答案】(,5)-∞7 ．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三第二次调研数学试题）由命题“存在x ∈R,使x 2+2x +m ≤0”是假命题,求得m 的取值范围是(a ,+∞),则实数a 的值是_________.【答案】18 ．（江苏省泰兴市第三高级中学2014届高三上学期期中调研测试数学理试题）若命题“x R ∃∈,使210x ax ++<”的否定是假命题,则实数a 的取值范围是_____【答案】22a a ><-或9 ．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）命题“等腰三角形的两个底角相等”的否定是____________________________．【答案】存在等腰三角形的两个底角不相等10．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）若命题“R x ∈∀,02≥+-a ax x ”为真命题,则实数a 的取值范围是________.【答案】[0,4];11．（江苏省泰兴市第三高级中学2014届高三上学期期中调研测试数学理试题）给出下列几个命题:①||||a b = 是a b = 的必要不充分条件;②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点,则AB DC = 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a b a c ⋅=⋅ 则b c = ④a b = 的充要条件是//||||a b a b ⎧⎪⎨=⎪⎩ ;⑤若,i j 为互相垂直的单位向量,2a i j =- ,b i j λ=+ ,则,a b 的夹角为锐角的充要条件是1,2λ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭ 其中,正确命题的序号是______【答案】(1),(2)12．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）命题“若12<x ,则11<<-x ”的逆否命题是_________________________.【答案】命题“若12<x ,则11<<-x ”的逆否命题是 若1≥x 或1-≤x ,则12≥x13．（江苏省启东市2014届高三上学期第一次检测数学试题）命题“若a b >,则22ac bc >(∈b a ,R)”否命题的真假性为______(从真、假中选一个)【答案】真.分析 :否命题“若a ≤b ,则2ac ≤2bc ”14．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）命题:13p x -≤,命题:2q x ≥-,或4x ≤-, p 是q ___________________(“充分不必要条件”、“必要不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”).【答案】充分不必要条件;15．（江苏省丰县中学2014届高三10月阶段性测试数学（理）试题）给出下列命题:①命题“若x 2=1,则x =1”的否命题为“若x 2=1,则x ≠1”;②“x =-1”是“x 2-5x -6=0”的必要不充分条件;③命题“∃x ∈R,使得x 2+x -1<0”的否定是:“∀x ∈R,均有x 2+x -1>0”;④命题“若x =y ,则sin x =sin y ”的逆否命题为真命题.其中所有正确命题的序号是_____________.【答案】 ④16．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）命题“32,10x R x x ∀∈-+<”的否定是______________(用数学符号表示).【答案】32,10x R x x ∃∈-+≥;17．（江苏省阜宁中学2014届高三第一次调研考试数学（理）试题）“33log log M N >”是“M N >”成立的_____________条件.。
无锡市2014届高三上学期期末考试数学试题
无锡市2014届高三上学期期末考试数学试题2014.1一、填空题（70分）1、已知集合A＝{0，m}，B＝{1，2}，A∩B＝{1}，则A∪B＝＿＿＿＿2、若为实数，则a等于＿＿＿＿＿3、已知，若p且q为真，则x的取值范围是＿＿＿4、甲、乙两个学习小组各有10名同学，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图（如图），则他们在这次测验中成绩较好的是＿＿＿＿组。
5、已知一个算法（如图），则输出结果为＿＿＿＿6、已知正六棱柱的侧面积为72cm2，高为6 cm，那么它的体积为＿＿cm27、甲、乙两人玩数学游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数学，把乙猜的数字记为b，且，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为＿＿＿＿8、已知变量x，y满足条件，则的取值范围是＿＿＿＿9、已知函数的图象C1向左平移个单位得到图象C2，则C2在上单调减区间是＿＿＿10、已知向量，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足条件＿＿＿＿＿11、双曲线右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为＿＿＿＿12、已知数列的前n项和Sn，满足，则当时，n的最小值为＿＿＿＿13、设函数，若存在，使成立，则实数a的取值范围为＿＿＿＿14、若第一象限内的动点P（x，y）满足，则以P为圆心R为半径且面积最小的圆的方程为＿＿＿＿15、（本题满分14分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知平面BB1C1C⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC中点，且B1D⊥BC1。
（I）证明：A1C∥平面B1AD；（II）证明BC1⊥平面B1AD。
16、（本题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC＝3 10。
（I）若，求c的最小值；（II）设向量，求sin（B－A）的值。
17、（本题满分14分）如图，已知椭圆E的中心为O，长轴的两个端点为A，B，右焦点为F，且，椭圆E的右准线l的方程为（I）求椭圆E的标准方程；（II）若N为准线l上一点（在x轴上方），AN与椭圆交于点M，且18、（本题满分16分）如图所示，把一些长度均为4米（PA＋PB＝4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为x，AB边上的高PH为y，则，若k越大，则“舒适感”越好。
2024学年江苏省无锡市市北高级中学高三第四次联考数学试题
2024学年江苏省无锡市市北高级中学高三第四次联考数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．2．计算2543log sincos ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于( ) A ．32- B ．32 C ．23- D ．233．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2018D ．20174．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）A ．2B ．5C ．13D ．225．已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．{}2x x >-B ．{}22x x -<<C ．{}22x x -≤<D ．{}2x x < 6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ． B ． C ． D ．7．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．321B ．322C ．251D ．252 9．已知复数21i z i =+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C 2 D ．210．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（ ） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+ D ．815i -- 11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B 3C ．22D 312．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高三(上)期初数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高三（上）期初数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x∈N|2<x<6}，B={x|log2(x−1)<2}，则A∩B=()A. {x|3≤x<5}B. {x|2<x<5}C. {3,4}D. {3,4，5}2.在复平面内，复数1+i2−i(i为虚数单位)对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“m=1”是“直线mx+y=1与直线x−my=1互相垂直”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数y=ln|x|+cosx的大致图象是()A. B.C. D.5.F1，F2是椭圆x29+y27=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则三角形AF1F2的面积为()A. 7B. 74C. 72D. 7√526.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−52)其中K为最大确诊病例数.当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为()(ln19≈3)A. 60B. 65C. 66D. 697.设A n，B n分别为等比数列{a n}，{b n}的前n项和，若A nB n =12n+1，则a7b3=()A. 19B. 12763C. 43D. 13128.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，以A为球心，2√2为半径的球面与平面A1B1C1D1的交线长为()A. π2B. √2π2C. √2πD. π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.在(1+x2)(2+x)4的展开式中()A. x3的系数为40B. x3的系数为32C. 常数项为16D. 常数项为810.如图，已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象与x轴交于点A，B，若|OB|=7|OA|，图象的一个最高点D(43,23)，则下列说法正确的是()A. φ=−π4B. f(x)的最小正周期为4C. f(x)一个单调增区间为(−23,4 3 )D. f(x)图象的一个对称中心为(−53,0)11.已知2x=3，3y=4，则()A. x<32B. xy=2C. x>yD. x+y>2√212.我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有()A. 正方体的棱切球的半径为√2B. 正四面体的棱切球的表面积为π2C. 等长正六棱柱的棱切球的体积为4π3D. 等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为7π12三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为______．14.化简：1cos80∘−√3sin80°=______．+x−1存在λ(λ∈N∗)个零点，则所有这些零点的和15.若函数f(x)=a(x−1)3+bx−1等于．16.二进制是广泛采用的一种数制，我国古老的易经中就有二进制的思想.二进制数据是用0和1两个数码来表示的数.它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.例如二进制数1011表示十进制数1×23+0×22+1×21+ 1=11，现有五个二进制数101，1100，11001，10111，111111，其中十进制为偶数的是______ ；从中随机选取两个数，它们的和不大于35(十进制)的概率为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在①c(cosA+sinA)=b，②csinB+bcosC=√2b，③sinB+tanCcosB=√2sinA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，已知______，c=√2，cosB=3．5(1)求cos A的值；(2)求△ABC的面积．18.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=2a3，S4=2a4+4．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=a n+2，设数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n<2．2n S n19. 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y(单位：千克)与该地当日最低气温x(单位：°C)的数据，如下表：(1)求出y 与x 的回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6°C ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；(3)设该地1月份的日最低气温X ～N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x −，σ2近似为样本方差s 2，求P(3.8<X <13.4)．附：①回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b ̂=∑(ni=1x i y i )−nxy −∑x i 2n i=1−n(x −)2，a ̂=y −−b ̂x −． ②√10≈3.2，√3.2≈1.8.若X ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9544．20. 某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测： 方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止．(1)求这两种方案检测次数相同的概率；(2)如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点P1(√3,√62),P2(0,√2)，P3(1,√62),P4(1,−√62)中恰有三点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程：(2)已知直线y=kx+2与椭圆C有两个不同的交点A，B，D为x轴上一点，是否存在实数k，使得△ABD是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k值及点D的坐标；若不存在，请说明理由．22.已知函数f(x)=e2x−(a+2)e x+ax(a>0)，其中e≈2.71828是自然对数的底数．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)=f(x)+(a+2)e x−ax(1+x)在(0,+∞)上存在极大值M，证明：M<a4．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对数函数的定义域和单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A={3,4，5}，B={x|0<x−1<4}={x|1<x<5}，∴A∩B={3,4}．故选：C．2.【答案】A【解析】解：∵复数1+i2−i =(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=15+3i5，它在复平面内的对应点的坐标为(1,35)，故选：A．根据两个复数代数形式的除法法则化简复数1+i2−i 为15+3i5，它在复平面内的对应点的坐标为(1,35)，从而得出结论本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：若m=1，则直线x+y=1和直线x−y=1互相垂直，是充分条件；若直线mx+y=1与直线x−my=1互相垂直，则m取任意实数，不是必要条件；故选：A．根据充分必要条件的定义结合直线垂直的性质，从而得到答案．本题考查了充分必要条件，考查了直线垂直的性质，是一道基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，设f(x)=ln|x|+cosx ，其定义域为{x|x ≠0}， 则f(−x)=ln|x|+cosx =f(x)，y =ln|x|+cosx 为偶函数，排除BD ， 在区间(e,+∞)上，lnx >1，−1≤cosx ≤1，则f(x)>0，排除A ， 故选：C ．根据题意，先分析函数的奇偶性，排除BD ，再分析区间(e,+∞)上，f(x)的符号，排除A ，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性、函数值的分析，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意可得a =3，b =√7，c =√2，故F 1 F 2=2√2，AF 1+AF 2=6，AF 2=6−AF 1，∵AF 22=AF 12+F 1F 22−2AF 1⋅F 1F 2cos45°=AF 12−4AF 1+8，∴(6−AF 1)2=AF 12−4AF 1+8，AF 1=72，故三角形AF 1F 2的面积S =12×72×2√2×√22=72．求出F 1F 2的长度，由椭圆的定义可得AF 2=6−AF 1，由余弦定理求得AF 1=72，从而求得三角形AF 1F 2的面积．本题考查椭圆的定义、标准方程，简单性质，以及余弦定理的应用，求出AF 1的值，是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：由已知可得K1+e −0.23(t−52)=0.95K ，解得e −0.23(t−52)=119， 两边取对数有−0.23(t −52)=−ln19≈−3， 解得t ≈65， 故选：B ．由已知可得方程K1+e −0.23(t−52)=0.95K ，解出t 即可．本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，是基础题．7.【答案】C【解析】 【分析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题． 设A n ，B n 分别为公比为q 的等比数列{a n }，公比为t 的等比数列{b n }的前n 项和，q ≠1，t ≠1，分别令n =1,2,3得出a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3之间的关系，求出公比q ，t 即可求出a 7b 3的值． 【解答】解：设A n ，B n 分别为公比为q 的等比数列{a n }，公比为t 的等比数列{b n }的前n 项和，q ≠1，t ≠1，A nB n=12n +1，∴令n =1可得a1b 1=12+1=13，即b 1=3a 1;令n =2可得a 1+a 2b1+b 2=15，即b 2=5a 1+5a 2−b 1=2a 1+5a 2; 令n =3可得a 1+a 2+a 3b1+b 2+b 3=19，即b 3=9(a 1+a 2+a 3)−b 1−b 2=4a 1+4a 2+9a 3；由b 22=b 1b 3可得(2a 1+5a 2)2=3a 1(4a 1+4a 2+9a 3)，由a 22=a 1a 3化简得a 22−4a 1a 2+4a 12=(a 2−2a 1)2=0，即a 2=2a 1，所以q =a2a 1=2，所以b 1=3a 1,b 2=12a 1,b 3=48a 1，所以t =b2b 1=4，∴a 7b 3=a 1q 6b 1t 2=13⋅2642=43，故选C ．8.【答案】D【解析】解：由题意知AB 1=AD 1=√22+22=2√2，如图，在平面A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，使A 1P =2，则AP =√AA 12+A 1P 2=2√2，故以A 为球心，2√2为半径的球面与平面A 1B 1C 1D 1的交线是以A 1为圆心，以2为半径的圆弧B 1PD 1，故该交线长为π2×2=π．故选：D ．根据题意求出交线所在圆弧的圆心和半径，进而求解结论．本题为空间几何体交线问题，找到球面与正方体的表面相交所得到的曲线是解决问题的关键，属基础题．9.【答案】AC【解析】解：(2+x)4的通项公式T k+1=C 4k 24−k x k ，则x 3的项为1×C 43×2x 3+x 2⋅C 41×23x =40x 3，则x 3的系数为40，故A 正确，B 错误， 常数项为1×24=16，故C 正确，D 错误， 故选：AC ．求出二项式的通项公式，根据多项式乘积的性质进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，根据多项式乘积的性质是解决本题的关键，是基础题．10.【答案】BCD【解析】解：因为图象的一个最高点D(43,23)， 所以A =23，因为|OB|=7|OA|，所以|AB|=6|OA|， 所以x 0=|AB|2+|OA|=4|OA|=43，所以|OA|=13，|AB|=T2=2，所以T =4， 所以f(x)的最小正周期为4，故B 正确； 由周期公式T =2πω，可得ω=π2， 将点D(43,23)代入f(x)=23sin(π2x +φ)中，可得23sin(π2×43+φ)=23，即sin(2π3+φ)=1， 结合|φ|<π2，可得φ=−π6，故A 错误；因为T2=2，所以43−2=−23，则(−23,43)为f(x)的一个单调增区间，故C 正确； 将x =−53代入f(x)=23sin(π2x −π6)中，可得f(−53)=23sin(−5π6−π6)=0，所以f(x)的一个对称中心为(−53,0)，故D 正确； 故选：BCD ．由题意可求得A ，T ，由周期公式可得ω的值，再将点D 的坐标代入解析式中，即可求得φ，结合三角函数的性质即可求解．本题主要考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：∵2x =3，3y =4， ∴x =log 23，y =2log 32，因为9>8，∴32>23，故2log 23>log 223，即2log 23>3， ∴x >32，所以选项A 错误，∵xy =log 23⋅2log 32=2，所以选项B 正确， ∵log 232>log 243>log 343，∴1+log 232>1+log 343，即log 23>log 34，所以选项C 正确，由于B 正确，所以x +y >2√xy =2√2，所以选项D 正确． 故选：BCD ．先把已知的指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．12.【答案】BCD【解析】本题考查命题的真假判断与应用，考查多面体棱切球表面积与体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是较难题．由棱切球的定义，分别求出选项ABC 中棱切球的半径，再求表面积与体积判断；对于D ，求出等长正四棱锥的底面与四个侧面内切圆的面积判断． 【解答】解：正方体的棱切球的半径为正方体面对角线的一半，长度为√22，故A 错误；如图，四面体ABCD 为棱长为1的正四面体，取AD 中点E ，BC 中点F ，连接EF ，则EF 为其棱切球的直径， BE =CE =√32，则EF =√(√32)2−(12)2=√22，则其棱切球的半径为√24，棱切球的表面积为4π×(√24)2=π2，故B 正确； 如图，为等长正六棱柱，其棱切球的半径为棱锥的棱长1，则其棱切球的体积为4π3×13=4π3，故C 正确；由棱切球的定义可知，棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆， 则等长正四棱锥的底面内切圆的面积为π×(12)2=π4，每一个侧面正三角形的内切圆的半径r 满足32r =12×1×1×√32，则r =√36，四个侧面三角形的内切圆的面积为4×π×(√36)2=π3， 则等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为π4+π3=7π12，故选：BCD．13.【答案】8√23π【解析】解：将正四面体ABCD补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线．∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为2√2，∵球O与正四面体的各棱都相切，∴球O的直径为正方体的棱长2√2，则球O的体积V=43πR3=8√23π．故答案为：8√23π．将正四面体ABCD补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，根据球O与正四面体的各棱都相切，可得球O的直径为正方体的棱长，再由球的体积公式求解．本题考查球的体积的计算，考查空间想象能力与思维能力，训练了分割补形法，属于中档题．14.【答案】4【解析】解：由1cos80∘−√3sin80°=sin80°−√3cos80°sin80°cos80°=2sin(80°−60°)12sin160°=4sin20°sin(180∘−20∘)=4．故答案为4．通分，根据二倍角公式，利用两角和与差的公式求解即可．本题主要考察了二倍角公式，两角和与差的公式的应用，属于基本知识的考查．15.【答案】λ【解析】【分析】本题考查函数零点的判定，考查函数奇偶性的性质及应用，考查运算求解能力，是中档题．判断函数g(x)=ax3+bx +x为奇函数，而f(x)=a(x−1)3+bx−1+x−1是把函数g(x)向右平移1个单位得到的，再由对称性求解f(x)的所有零点的和．【解答】解：函数g(x)=ax3+bx+x的定义域为{x|x≠0}，且满足g(−x)=a(−x)3+b−x +(−x)=−(ax3+bx+x)=−g(x)，可得函数g(x)为奇函数，奇函数的图象关于原点中心对称，若函数有零点，则必有偶数个零点，而f(x)=a(x−1)3+bx−1+x−1是把函数g(x)向右平移1个单位得到的，又f(x)存在λ(λ∈N∗)个零点，则λ为偶数，且以这λ个零点为横坐标的点两两关于点(1,0)对称．∴所有这些零点的和等于λ2×2=λ．故答案为：λ．16.【答案】1100 25【解析】解：根据条件中对二进制的定义，分别对5个二进制数转换为十进制的数，101(2)=1×22+0×21+1=5，1100(2)=1×23+1×22+0×20+0=12，同理可得11001(2)=25，10111(2)=23，111111(2)=63，即十进制为偶数的是1100，从5个数中，随机选取两个，总共有C52=10，其中随机选取两个数，它们的和不大于35的共有4种情况，分别为：5和12，5和25，5和23，12和23，则所求的概率为P=410=25，故答案为：1100，25．根据条件中对二进制的定义，分别对5个二进制数转换为十进制的数，即可求解，先求出从5个数中，随机选取两个的总数，再求出满足条件的个数，即可求解．本颞主要考查二进制的转换，以及古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．17.【答案】解：若选①：c(cosA +sinA)=b ，由正弦定理得sinCcosA +sinCsinA =sinB ， ∵sinB =sin(A +C)，∴sinCcosA +sinCsinA =sinAcosC +cosAsinC ， ∴sinCsinA =sinAcosC ，∵sinA ≠0，∴sinC =cosC ， ∴tanC =1，∵C ∈(0,π)，∴C =π4， (1)∵cosB =35，B ∈(0,π)，∴sinB =45，∴cosA =−cos(B +C)=sinBsinC −cosBcosC =45×√22−35×√22=√210．(2)∵A ∈(0,π)，∴sinA =7√210， 由正弦定理得asinA =csinC ，∴a =c⋅sinA sinC=7√25， ∴S △ABC =12acsinB =12×7√25×√2×45=2825．若选②：csinB +bcosC =√2b ，由正弦定理得sinCsinB +sinBcosC =√2sinB ，∵sinB ≠0，∴sinC +cosC =√2，∴√2sin(C +π4)=√2， 即sin(C +π4)=1，∵C ∈(0,π)，∴C =π4， 下面步骤同①．若选③：sinB +tanCcosB =√2sinA ，则sinBcosC +sinCcosB =√2sinAcosC ， ∴sin(B +C)=√2sinAcosC ，∴sinA =√2sinAcosC ，∵sinA ≠0，∴cosC =√22，∵C ∈(0,π)，∴C =π4，下面步骤同①．【解析】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练运用正弦定理、三角形面积公式与两角和差公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． (1)选择条件①，②，③都求出C =π4，再cosA =−cos(B +C)可求出cos A ， (2)由正弦定理求出a ，再利用三角形的面积公式即可求解．18.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题设可得：{3a 1+3×22d =2(a 1+2d)4a 1+4×32d =2(a 1+3d)+4，解得：a 1=d =2， ∴a n =2+2(n −1)=2n ； (2)由(1)可得：S n =n(2+2n)2=n 2+n ，∴b n =an+22n Sn=2(n+2)2n (n 2+n)=2×[1n⋅2n−1−1(n+1)⋅2n ]， ∴T n =2[(11×20−12×21)+(12×21−13×22)+⋯+(1n ⋅2n−1−1(n +1)⋅2n )]=2[1−1(n+1)⋅2n ]<2．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题设列出d 与a 1的方程组，解得d 与a 1，即可求得其通项公式；(2)先由(1)求得S n 与b n ，再利用裂项相消法求得T n ，即可证明结论．本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法在数列求和及不等式证明中的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)x −=15×(2+5+8+9+11)=7，y −=15×(12+10+8+8+7)=9． ∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=4+25+64+81+121=295， ∑x i 5i=1y i =24+50+64+72+77=287， ∴b ̂=287−5×7×9295−5×72=−0.56， â=9−(−0.56)×7=12.92． ∴回归方程为：ŷ=−0.56x +12.92． (2)∵b̂=−0.56<0，∴y 与x 之间是负相关． 当x =6时，ŷ=−0.56×6+12.92=9.56． ∴该店当日的营业额约为9.56千元．(3)样本方差s 2=15×[25+4+1+4+16]=10， ∴最低气温X ～N(7,10)，∴P(3.8<X <10.2)=0.6826，P(0,6<X <13.4)=0.9544， ∴P(10.2<X <13.4)=12(0.9544−0.6826)=0.1359．∴P(3.8<X <13.4)=P(3.8<X <10.2)+P(10.2<X <13.4)=0.6826+0.1359=0.8185．【解析】(1)利用回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；(2)根据b^的符号判断，把x=6代入回归方程计算预测值；(3)求出样本的方差，根据正态分布知识得P(3.8<X<13.4)=P(3.8<X<10.2)+ P(10.2<X<13.4)．本题考查了回归直线方程和正态曲线及其性质，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意，可设甲方案检测的次数是X，则X∈{1,2，3，4，5}，设乙方案检测的次数是Y，则Y∈{2,3}，方案甲与方案乙相互独立，P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=16,P(X=5)=13，P(Y=2)=C52C63C31+C53 C63C31=13，P(Y=3)=1−P(Y=2)=23，用事件D表示方案甲所需检测的次数等于方案乙所需检测的次数，则P(D)=P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)=16×13+16×23=16，所以这两种方案检测次数相同的概率为16；(2)由(1)可知，P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=16,P(X=5)=13，所以E(X)=1×16+2×16+3×16+4×16+5×13=103，又P(Y=2)=13,P(Y=3)=23，所以E(Y)=2×13+3×23=83，所以E(Y)<E(X)，所以方案乙检测总费用较少．【解析】本题考查了分布列与数学期望的求解，解题的关键是掌握它们的求解方法以及求解公式，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．(1)设甲方案检测的次数是X，则X∈{1,2，3，4，5}，乙方案检测的次数是Y，则Y∈{2,3}，分别求出对应的概率，然后由P(D)=P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)求解即可得到答案．(2)利用期望的计算公式分别求出E(X)和E(Y)，比较即可得到答案．21.【答案】解：(1)由对称知：P 3，P 4都在椭圆C 上，对于椭圆在第一象限的图像上的点(x,y)，易知y 是x 的减函数，故P 1，P 3只有一个点符合，显然P 1不在椭圆上， ∴P 2，P 3，P 4三点在椭圆上，∴b =√2， 将P 3代入椭圆方程可得1a 2+642=1，解得a =2，∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(2)设D(t,0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)假设存在k 符合题意，由{y =kx +2x 24+y 22=1，得(2k 2+1)x 2+8kx +4=0，△=64k 2−16(2k 2+1)>0，∴k >√22或k <−√22， 设AB 中点G(x 3,y 3)，则x 1+x 2=−8k2k 2+1，x 1x 2=42k 2+1， ∴x 3=x 1+x 22=−4k2k 2+1，y 3=y 1+y 22=k(x 1+x 2)2+2=22k 2+1，∴G(−4k2k 2+1,22k 2+1)，由△ABD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，有DG ⊥AB ，DA ⊥DB ，∴{k DG ⋅k AB =−1DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2k2k 2+1+t =0(2k 2+1)t 2+8kt −4(k 2−2)=0，解得{k =1t =−23或{k =−1t =23， ∴当k =1时，D 点坐标为(−23,0)；当k =−1时，D 点坐标为(23,0)．【解析】(1)由椭圆的对称性即可判断P 1不在椭圆上，因此可由P 2，P 3，P 4三点在椭圆上确定椭圆的方程；(2)可先假设存在实数k ，根据△ABD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，建立关系，利用韦达定理进行求解即可．本题主要考查了椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系等相关知识，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意，函数f(x)=)=e 2x −(a +2)e x +ax(a >0)，则f′(x)=2e 2x −(a +2)e x +a =(2e x −a)(e x −1)， 当a =2时，f′(x)=2(e x −1)2≥0，f(x)单调递增，当a >2时，令f′(x)>0，解得：x >ln a2或x <0，令f′(x)<0，解得：0<x <ln a2， 故f(x)在(−∞,0)递增，在(0,ln a2)递减，在(ln a2,+∞)递增，当0<a <2时，令f′(x)>0，解得：x >0或x <ln a 2，令f′(x)<0，解得：ln a2<x <0， 故f(x)在(−∞,ln a2)递增，在(ln a2,0)递减，在(0,+∞)递增，综上：当a >2时，f(x)在(−∞,0)递增，在(0,ln a2)递减，在(ln a2,+∞)递增， 当a =2时，f(x)在R 上单调递增，0<a <2时，f(x)在(−∞,ln a2)递增，在(ln a2,0)递减，在(0,+∞)递增； (2)证明：由函数g(x)=e 2x −ax 2，则g′(x)=2(e 2x −ax)，令m(x)=e 2x −ax ，可得m′(x)=2e 2x −a ，令m′(x)=0，解得：x =12ln a2， 当0<a ≤2时，m′(x)>0，m(x)在(0,+∞)递增，此时m(x)>m(0)=0， 故g′(x)>0，函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，此时不存在极大值，当a >2时，令m′(x)>0，解得：x >12ln a2，令m′(x)<0，解得：x <12ln a 2， 故g′(x)在(0,12ln a2)上单调递减，在(12ln a 2,+∞)上单调递增，∵g(x)在(0,+∞)上存在极大值，故g′(12ln a2)=a −aln a2<0，解得：a >2e ， ∵g′(0)=2>0，g′(12)=2e −a <0，g′(lna)=2a(a −lna)>0，12<12ln a2<lna ， 易证a −lna >0，存在x 1∈(0,12)，g′(x 1)=2e 2x 1−2ax 1=0，存在x 2∈(12ln a2,lna)，使得g′(x 2)=0，故g(x)在(0,x 1)上单调递增，在(x 1,x 2)上单调递减，故当x =x 1时，函数g(x)取得极大值M ，即M =e 2x 1−ax 12，0<x 1<12， 由2e 2x 1−2ax 1=0，e 2x 1=ax 1，故M =e 2x 1−ax 12=−a(x 1−12)2+a4<a4．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的极大值M ，证明结论成立即可．。
2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编10：平面向量
2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编10：平面向量一、填空题 1 ．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知非零向量，a b 满足(2)(2)-⊥-⊥，，a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为______.【答案】π32 ．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）如图,在△ABC 中,D,E 分别为边BC,AC的中点. F 为边AB 上. 的,且,则x+y 的值为____【答案】523 ．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知O 是ABC ∆的外心,10,6==AC AB ,若ACy AB x AO ⋅+⋅=且5102=+y x ,则=∠BAC cos _____________.【答案】314 ．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）在ABC ∆中,若22()||5CA CB AB AB +⋅= ,则tan tan AB= ________. 【答案】735 ．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）已知在ABC∆中,3==BC AB ,4=AC ,设O 是ABC ∆的内心,若AC n AB m AO +=,则=n m :__★__.【答案】3:4 提示一:利用夹角相等,则有ACAC AO AB AB AO ⋅=⋅||.提示二:利用角平分线定理,根据相似比求得AC AB AO 103104+=6 ．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知非零向量a ,b 满足|a |=|a +b |=1,a 与b 夹角为120°,则向量b 的模为________.【答案】17 ．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB = , 若12BD AC ⋅=- , 则AB CE ⋅=_____.【答案】43-8 ．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）在ABC ∆中,M 为AB 的的三等分点,:1:3,AM AB N =为AC 的中点,BN 与CM 交于点E ,,AB m AC n ==,则AE =_____________________.【答案】1255m n +9 ．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）在平面直角坐标系中,O是坐标原点,()2,0A ,()0,1B ,则点集{},1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的平面区域的面积是________.【答案】410．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）设向量a 、b 满足:|a |3=,|b |1=,a·b 23=,则向量a 与b 的夹角为__★__. 【答案】6π 11．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）向量b n a m b a --==若),3,2(),2,1(与b a 2+共线(其中,,0m m n R n n∈≠且）则等于_.【答案】21-12．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）已知a 、b 、c都是单位向量,且a b c += ,则a c ⋅的值为_________.【答案】1213．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）在ABC ∆中,6BC =,BC 边上的高为2,则AB AC ⋅的最小值为________.【答案】5-14．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）已知ABC ∆是边长为4的正三角形,D 、P 是ABC ∆内部两点,且满足11(),48AD AB AC AP AD BC =+=+,则APD ∆的面积为__________.【答案】3415．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）P 是ABC ∆所在平面内一点,若PB PA CB +=λ,其中R ∈λ,则P 点一定在(A)ABC ∆内部 (B)AC 边所在直线上 (C)AB 边所在直线上 (D)BC 边所在直线上【答案】B16．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知)2s i n ,2(),sin ,1(2x b x a ==,其中()0,x π∈,若a b a b ⋅=⋅,则tan x =_____. 【答案】1;17．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）在平面直角坐标系x O y 中,已知=(3,﹣1),=(0,2).若•=0,=λ,则实数λ的值为__________.【答案】218．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）如图,,,A B C 是直线上三点,P 是直线外一点,1==BC AB ,︒=∠90APB ,︒=∠30BPC ,则PA PC ⋅=________.【答案】74-19．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）已知向量a 的模为2,向量e 为单位向量,)(e a e -⊥,则向量a 与e 的夹角大小为_______.【答案】3π; 20．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）已知向量a 与b 的夹角为60º,300lABCP且|a |=1,|b |=2,那么2()+a b 的值为________.【答案】721．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知O 为△ABC 的外心,,120,2,20=∠==BAC aAC a AB 若AC AB AO βα+=,则βα+的最小值为____【答案】222．（江苏省泰州市姜堰区张甸中学2014届高三数学期中模拟试卷）已知平面向量(1,2)a = ,(1,3)b =-,则a 与b 夹角的余弦值为___________【答案】22; 23．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知b a ,是非零向量且满足a b a ⊥-)(2,b a b ⊥-)(2,则a 与b 的夹角是________.【答案】3π24．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）已知正方形ABCD 的边长为1，若点E 是AB 边上的动点，则DC DE ⋅的最大值为 ▲ .【答案】125．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）若向量→a 、→b 满足|→a |=1,|→b|=2,且→a 与→b 的夹角为π3,则|→a +2→b |=_______【答案】2126．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）已知向量a =(2,1),a ·b =10,|a +b |52=,则|b |=__________【答案】527．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）设向量(1,),(3,4)a x b ==- ,若//a b,则实数x 的值为________.【答案】43-28．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知向量(1,3)=a ,(2,1)=-b ,(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线,则实数k =________. 【答案】1-29．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）若等腰梯形ABCD中,//AB CD ,3AB =,2BC =,45ABC ∠=,则AC BD ⋅的值为____________【答案】330．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）设x ∈R,向量(,1),(3,2)x ==-a b 且⊥a b ,则x = ______. 【答案】2331．（江苏省无锡市洛社高级中学2014届高三10月月考数学试题）设平面向量(1,2)a =,与向量(1,2)a =共线的单位向量坐标为_______.【答案】525(,)55或255(,)55-- 32．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）已知向量(12,2)a x =-,()2,1b - =,若→→b a //,则实数x =______.【答案】25 二、解答题33．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）设(,1)a x = ,(2,1)b =- ,(,1)c x m m =--(,x m ∈∈R R ). (Ⅰ)若a 与b的夹角为钝角,求x 的取值范围; (Ⅱ)解关于x 的不等式a c a c +<- .【答案】(1)由题知:210a b x ⋅=-< ,解得12x <;又当2x =-时,a 与b 的夹角为π,所以当a 与b 的夹角为钝角时, x 的取值范围为1(,2)(2,)2-∞-⋃-(2)由a c a c +<-知,0a c ⋅< ,即(1)[(1)]0x x m ---<;当2m <时,解集为{11}x m x -<<; 当2m =时,解集为空集;当2m >时,解集为{11}x x m <<-34．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）设向量(2,sin ),(1,cos ),a b θθθ==为锐角.(1)若136a b ⋅= ,求sin cos θθ+的值;(2)若//a b ,求sin(2)3πθ+的值.【答案】解:(1)因为a ·b =2 + sin θcos θ =136 , 所以sin θcos θ = 16, 所以(sin θ +cos θ)2= 1+2sin θcos θ = 34 .又因为θ为锐角,所以sin θ + cos θ =233(2)因为a ∥b ,所以tan θ = 2,所以sin2θ = 2sin θcos θ = 2sin θcos θsin 2θ+cos 2θ = 2tan θtan 2θ+1 = 45 , cos2θ = cos 2θ-sin 2θ = cos 2θ-sin 2θsin 2θ+cos 2θ = 1-tan 2θtan 2θ+1 = — 35所以sin(2θ+ π3 ) = 12 sin2θ + 32 cos2θ = 12 ×45+32 ×(-35) = 4-331035．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知在等边三角形ABC中,点P 为线段AB 上一点,且(01)AP AB =≤≤λλ.(1)若等边三角形边长为6,且13=λ,求CP ; (2)若CP AB PA PB ⋅≥⋅,求实数λ的取值范围.【答案】(1)当13=λ时,13AP AB = , 2222221()262622282CP CA AP CA CA AP AP =+=+⋅+=-⨯⨯⨯+= .∴||27CP =(2)设等边三角形的边长为a ,则221()()2CP AB CA AP AB CA AB AB a a ⋅=+⋅=+λ⋅=-+λ ,222()()PA PB PA AB AP AB AB AB a a ⋅=⋅-=λ⋅-λ=-λ+λ即2222212a a a a -+λ≥-λ+λ,∴21202λ-λ+≤,∴222222-+≤λ≤. 又00≤λ≤,∴2212-≤λ≤. 36．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）已知向量,m n的夹角为45︒,则||1,||2m n == ,又2,3a m n b m n =+=-+ .(1)求a 与b 的夹角;(2)设,2c ta b d m n =-=-,若//c d ,求实数t 的值.【答案】37．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）设(cos ,(1)sin ),(cos ,sin ),(0,0)2a b παλαββλαβ=-=><<< 是平面上的两个向量,若向量a b + 与a b -互相垂直.(Ⅰ)求实数λ的值;(Ⅱ)若45a b ⋅= ,且4tan 3β=,求tan α的值.【答案】(Ⅰ)由题设可得()()0,a b a b +⋅-=即220,a b -= 代入,a b 坐标可得22222cos +(1)sin cos sin 0αλαββ---=.222(1)sin sin 0,λαα∴--=0,0,22παλλ<<>∴= .(Ⅱ)由(1)知,4cos cos sin sin cos(),5a b αβαβαβ⋅=+=-=02παβ<<<∴ 02παβ-<-<33sin(),tan()54αβαβ∴-=--=-.34tan()tan 743tan tan[()]=341tan()tan 241()43αββααββαββ-+-+∴=-+==--⋅--⨯. 7tan 24α∴= 38．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）已知平面向量a =(1,2sin θ),b =(5cos θ,3).(1)若a ∥b ,求sin2θ的值; (2)若a ⊥b ,求tan(θ+π4)的值.【答案】 (1)因为a ∥b ,所以1×3-2sin θ×5cos θ=0,即5sin2θ-3=0,所以sin2θ=35(2)因为a ⊥b ,所以1×5cos θ+2sin θ×3=0 所以tan θ=-56所以tan(θ+π4)=tan θ＋tanπ41－tan θtanπ4=11139．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知,,a b c是同一平面内的三个向量,其中(1,2)a =(1)若||25c =,且//c a ,求:c 的坐标(2)若5||2b = ,且2a b + 与2a b - 垂直,求a 与b 的夹角【答案】解:设(,)c x y = 由//||25c a c =及得2212022,4420y x x x y y x y ⋅-⋅===-⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或 所以,(2,4)(2,4)c c ==-- 或 (2)∵2a b + 与2a b - 垂直,∴(2)(2)0a b a b +⋅-=即222320a a b b +⋅-= ;∴52a b ⋅=-∴cos 1||||a ba b θ⋅==- ,∵[0,]θπ∈∴θπ=40．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）设平面向量)23,21(),1,3(=-=b a ,若存在实数)0(≠m m 和角θ,其中)2,2(ππθ-∈,使向量θθtan ,)3(tan 2⋅+-=-+=b a m d b a c ,且d c ⊥.(Ⅰ)求)(θf m =的关系式; (Ⅱ)若]3,6[ππθ-∈,求)(θf 的最小值,并求出此时的θ值. 【答案】解: (Ⅰ)∵dc ⊥,且1,2,0===⋅b a b a ,∴0)tan 3(tan 232=-+-=⋅b a m d c θθ∴)2,2(),tan 3(tan 41)(3ππθθθθ-∈-==f m (Ⅱ)设θtan =t ,又∵]3,6[ππθ-∈,∴]3,33[-∈t ,则)3(41)(3t t t g m -== )1(43)(''2-==t t g m 令0)('=t g 得1-=t (舍去) 1=t ∴)1,33(-∈t 时0)('<t g ,)3,1(∈t 时0)('>t g ,∴1=t 时,即4πθ=时, )1(g 为极小值也是最小值,)(t g 最小值为21- 41．（江苏省如皋中学2014届高三上学期期中模拟数学试卷）如图,在△OAB 中,已知P 为线段AB 上的一点,.OP x OA y OB =⋅+⋅(1)若BP PA =,求x ,y 的值;(2)若3BP PA = ,||4OA = ,||2OB =,且OA 与OB 的夹角为60°时,求OP AB ⋅ 的值.【答案】(1)∵BP PA =,∴BO OP PO OA +=+ ,即2OP OB OA =+ ,∴1122OP OA OB =+ ,即12x =,12y =(2)∵3BP PA = ,∴33BO OP PO OA +=+,即43OP OB OA =+∴3144OP OA OB =+∴34x =,14y =31()()44OP AB OA OB OB OA ⋅=+⋅-131442OB OB OA OA OA OB =⋅-⋅+⋅221311244294422=⨯-⨯+⨯⨯⨯=-。
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无锡市市北高中2014届高三期初考试数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}1,2,4B =，则()U C A B ⋃= ． 答案：{}3,52．函数y sin cos x x ππ=的最小正周期是 ． 答案：13．2(2)(1)12i i i ++=- ．答案：－24．在等差数列{}n a 中，若392712a a a ++=，则13a = ． 答案：45．若正实数x ，y 满足26xy x y =++ ，则xy 的最小值是 ． 答案：186． 若方程24x x +=的解所在区间为[m , m +1](m ∈Z ), 则m = . 答案：17． 设x ∀∈R ，函数2lg(43)y mx mx m =-++有意义, 实数m 取值范围 . 答案：[0,1)8．已知a 、b 、c 都是单位向量，且a b c +=，则a c ⋅的值为 ． 答案：129．已知函数()sin 2cos 2f x x m x =+的图象关于直线8x π=，则f(x)的单调递增区间为 ． 答案：3[,]()88k k k Z ππππ-+∈ 10．椭圆中有如下结论：椭圆22221x y a b+=上斜率为1的弦的中点在直线0b y a x 22=+上，类比上述结论得到正确的结论为：双曲线22221x y a b-=上斜率为1的弦的中点在直线 上．答案：22x y0a b -= 11．设1, 18()186 18x x f x x x -⎧≠⎪=-⎨⎪-=⎩则(1)(2)(35)f f f +++的值为 ．答案：2812．函数x x x f ln )(=在区间)0](1,1[>+t t 上的最小值为_________．答案：013．已知ABC ∆是边长为4的正三角形，D 、P 是ABC ∆内部两点，且满足11(),48AD AB AC AP AD BC =+=+，则APD ∆的面积为 ．14.已知函数2()|6|f x x =-，若0a b <<,且()()f a f b =，则2a b 的最小值是 . 答案： -16二、解答题：（本大题共6小题，共90分将解答过程写在答卷纸上相应的位置） 15．(本题满分14分)如图，正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点. （Ⅰ）求证: AD ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）求证:1AC 平面1AB D .证:（Ⅰ）因为ABC ∆是正三角形,而D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥……………3分又BC 是两个相互垂直的平面ABC 与面11BCC B 的交线,且AD ABC ⊂面,所以11AD BCC B ⊥面……………………………… 7分（Ⅱ）连接1A B ,设11AB A B E =,则E 为1A B 的中点,连接DE ,由D 是BC 的中点,得DEAC ………11分又1DE AB D ⊂面,且11AC AB D ⊄面,所以1AC 平面1AB D ………14分第15题ABCDA 1B 1C 116．（本题满分14分）已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==． （1）若6παβ-=，求a b ⋅的值；（2）若4,58a b πα⋅==，求tan()αβ+的值． 解：（1）∵)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a ∴236cos )cos(==-=⋅πβα …………………………………………5分 （2）∵54=⋅∴433cos(),sin(),tan()554αβαβαβ-=-=±-=± …………………………………………7分)(4)(2βαπβααβα--=--=+ ……………………………………9分∴)](4tan[)tan(βαπβα--=+)tan(1)tan(1βαβα-+--=431431+-=或431431-+71=或7 ………………………………14分17．(本题满分14分)如图，在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 长为3，且cos B =1cos 4ADC ∠=-．（Ⅰ）求sin BAD ∠的值； （Ⅱ）求AC 边的长．解:（Ⅰ）因为cos B =sin B =…………2分又1cos 4ADC ∠=-,所以sin ADC ∠=…………… 4分 所以sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠1()4=--=………………………7分 ADB C第16题（Ⅱ）在ABD ∆中,由正弦定理,得sin sin AD BD B BAD =∠,即=,解得2BD =……………10分故2DC =,从而在ADC ∆中,由余弦定理,得2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠ =22132232()164+-⨯⨯⨯-=,所以4AC =……………………14分18．（本题满分16分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在AB 的延长线上，N 在AD 的延长线上，且对角线MN 过C 点。
已知AB=3米，AD=2米。
（1）设x AN =（单位：米），要使花坛AMPN 的面积大于32平方米，求x 的取值范围； （2）若)4,3[∈x （单位：米），则当AM ，AN 的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积。
解：由于,AMDCAN DN =则AM ＝32x x - 故S AMPN ＝AN •AM ＝232x x - …………4分（1）由S AMPN > 32 得 232x x - > 32 ，因为x >2，所以2332640x x -+>，即（3x －8）（x －8）> 0从而8283x x <<> 或即AN 长的取值范围是8(2)(8)3∞，，+…………8分（2）令y ＝232x x -，则y′＝2226(2)334)(2)(2)x x x x x x x ---=--（ ………… 10分因为当[3,4)x ∈时，y ′< 0，所以函数y ＝232x x -在[3,4)上为单调递减函数，从而当x ＝3时y ＝232x x -取得最大值，即花坛AMPN 的面积最大27平方米，此时AN ＝3米，AM=9米 (15)19．（本题满分16分） 设二次函数2()f x ax bx c =++在区间[]2,2-上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合{}|()A x f x x ==．（1）若{1,2}A =，且(0)2f =，求M 和m 的值；（2）若{1}A =，且1a ≥，记()g a M m =+，求()g a 的最小值． 解：（1）由(0)22f c ==可知，……………………………1分又{}2A 1212(1)0.ax b x c =+-+=，，故，是方程的两实根1-b 1+2=a ,c 2=a⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩…………………3分 1,2a b ==-解得…………4分 []22()22(1)1,2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-min 1()(1)1,1x f x f m ====当时，即……………………………5分 max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时，即……………………………6分（2）2(1)0ax b x c +-+=由题意知，方程有两相等实根x=2, x =1∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-=+a c a b 11111， 即⎩⎨⎧=-=a c a b 21 ……………………………8分∴f （x ）=ax 2+（1–2a ）x + a , x ∈[–2,2] 其对称轴方程为x ==-a a 214-1a21 又a ≥1，故1–⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,2121a ……………………………9分 ∴M=f （–2）=9a – 2 …………………………10分m =aa a f 411)212(-=- ……………………………11分 g （a ）=M+m =9a –a41–1 ……………………………14分[)min 63()1,1().4g a a g a +∞∴==又在区间上为单调递增的，当时，=431 ………16分20．（本题满分16分）已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由。
解：①∵1)1)(1(21-++=n n a n S []1111112121111(2)(1)1(2)(1)(1)(1)22(1)1(1)(2)1(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n n n n nS n a a S S n a n a na n a n a n a n a na n a n a +++++++++++∴=++-∴=-=++-++=+-∴+=+-∴+-=+-+整理得， 12122(1)(1)()2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+∴数列{}n a 为等差数列。
②1)1(311-+==+n n a n na a ，21212152a a a a ∴=-=∴-=即公差为21(1)3(1)221n a a n d n n ∴=+-=+-⋅=+③)32)(12(111++=+n n a a n n11122123n n ⎛⎫=-⎪++⎝⎭11111111111()()23557212323236n n T n N T n n n *∴=-+-++-=-∈<+++又当时， 要使得M T n ≤对一切正整数n 恒成立，只要M ≥61， 所以存在实数M 使得M T n ≤对一切正整数n 都成立，M 的最小值为61。