例1、如图,在△
全等三角形+第7讲+角平分线的处理方法+专项训练++2024-2025学年人教版数学八年级上册
第7讲角平分线的处理方法板块一角平分线的性质条件:OC 平分∠AOB. PD⊥OA 于点D,PE⊥OB 于点E.结论:PD=PE.典例精讲题型一知两垂【例1】如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F,BD=CD.求证:BE=CF.题型二作一垂【例2】如图,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C=90°,E 为 BC 上一点,且 AE 平分∠BAD,D E 平分∠ADC.求证:BE=CE.题型三作两垂【例3】如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,BD 平分∠ABC,AD=CD.求证:AD⊥CD.实战演练如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠BDC=36°,∠ADB=72°.求证:AB=AC.类型判定旁心图隐角平分线图形条件PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.OP 平分∠AOB,AP 平分∠BAD,PD⊥OA,PE⊥OB,PF⊥AB.OP 平分∠AOB,∠OAP+∠BAP=180°.结论OC 平分∠AOB.PB平分∠ABE.①PA 平分∠BAD;②PB平分∠ABE.典例精讲题型一直接用判定【例1】如图,在△ABC 中,AC=BC,E 为△ABC 外一点,且∠CAE=∠CBE.求证:CE 平分△ABE 的外角.题型二旁心【例2】如图,在△ABC中,AP 平分∠BAC,BP 平分∠CBD.(1)求证:CP 平分∠BCE;(2)设∠BAC=α,则∠BPC= (用含α的式子表示).实战演练题型三隐角平分线如图,在四边形 AEDC 中,∠EAC+∠EAD=180°,且 CE 平分∠ACD.若∠EAD=α,求∠DEC 的度数.板块三角平分线与面积法类型1 内心向三边作垂类型2 面积比与边长比条件:I 是△ABC 三条角平分线的交点.方法:过点 I 分别向三边作垂线段.结论:①ID=IE=IF;②S△IBC+S△IAC+S△IAB=S△ABC;③ID=2S△ABC÷(AB+BC+AC).条件:AD 是△ABC的角平分线.方法:过点 D 分别作DE⊥AB,DF⊥AC.结论:①DE=DF;②S△ABD:S△ACD=AB:AC=BD:CD.典例精讲题型一面积法求线段长【例1】如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,I 为△ABC 各内角平分线的交点,过点I 作AC 的垂线,垂足为H.若BC=3,AB=4,AC=5,求IH 的长.题型二面积法证线段比【例2】如图,AD 是△ABC 的角平分线.求证:BDCD =ABAC.题型三构全等转化面积【例3】如图,△ABC的角平分线BD,CE 交于点P,∠A=60°,△ABC的面积为 16，四边形AEPD 的面积为5,求△BPC 的面积.实战演练1.如图,在△ABC 中,∠C=90°,O是∠CAB,∠ABC 平分线的交点,且E BC=8cm,AC=6cm6 cm,AB=10cm,求S△AOB.2.如图,在△ABC中,.S ABC=21,∠BAC的角平分线AD 交 BC 于点D,E 为AD 的中点.连接BE,的值.F 为BE 上一点,且 BF=2EF.若S△DEF=2,求ABAC3.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,∠BAC=90°,AD平分∠BAC.BAC.求 DC 的长.4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD 是△ABC的角平分线，若BD=8,求△BDC1的面积.类型梯形图互补图内心图图形典 例 精 讲题型一 直角梯形遇角平分线【例】如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠B=90°,E 为AB 上一点,ED 平分∠ADC,EC 平分∠BCD.(1)求证:DE⊥CE; (2)求证:AE=BE; (3)求证:AD+BC=CD;(4)若AB=12,CD=13,求 S△CDE.实 战 演 练题型二 对角互补遇角平分线1.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC+∠D=180°,AC 平分∠BAD,求证:CB=CD.D题型三 内心作垂构对称型全等2.如图,在△ABC 中,AB>AC,AK,BK,CK 分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,KD⊥BC 于点D.求证:AB-AC=BD-CD.。
苏科初中八年级上册数学《第一章 全等三角形》PPT课件 (1)
图3
1
2
如图：△ABC纸片沿DE折叠， 使点A落在四边形BCDE的内 B 部.∠A与∠1＋∠2之间存在怎
E
1
A
D
样的数量关系？请试着找出
2
来，并说明理由.Cຫໍສະໝຸດ 解: 2∠A＝ ∠1＋∠2
在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝1800①
在△ADE中，∠A＋∠ADE＋∠AED＝1800②
由①②，得∠B＋∠C＝∠ADE＋∠AED
为偶数，那么△ABC的周长为_1_6_或__1.8 (4)如果一个多边形的每个内角都相等,且每
个内角都比与它相邻的外角大60°，求
这个多边形的边数及每个内角的度数.
（1）∠1和∠2分别是哪个三角形的外角？ （2）若∠A=2∠ACD=76 ，0 ∠2=143 ，0
求∠1和∠DBE的度数。
（3）比较∠2与∠A的大小。
1. 已知△ABC中，∠A= 12∠B= 13∠C。 求∠A、∠B、∠C的度数。
2.如图，P是△ABC内一点，试比较∠BPC与
∠BAC的大小。
方法1
又在四边形BCDE中
∠B＋∠C＋∠1
＋∠2 ＋∠ADE＋∠AED＝3600，
所以 ∠1＋∠2 ＋2（1800－∠A）＝3600，
即 2∠A＝ ∠1＋∠2
(2)有长为3、5、7、10的四根木条,从中
选三根能摆出( B)个三角形
A 、1 B、2 C、3 D、4 (3)在△ABC中，AB=7 BC=3，并且AC
∠1=∠2 。求∠BPC的度数。
3
例2 如图:已知 ∠CAD=∠CDA,∠1=∠B, 试说明AD平分∠BAE.
A
3··2 1
BDE
C
例3 如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分
第一章 三角形的证明 复习(有答案)导学案
第一章三角形的证明复习课导学案班级：__________姓名：_____________一．本章重要知识回顾：1．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形是图形．（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“”），它们所在的直线都是等腰三角形的，等腰三角形有条对称轴．（3）等腰三角形的两个底角，简称；（4）等腰三角形的相等；相等；相等；（5）等腰三角形底边的中点到两腰的距离（6）等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于。
2.等腰三角形的判定：（1）的三角形叫做等腰三角形（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也，简称．3.等边三角形的性质：（1）等边三角形三边都相等，三个内角都是，等边三角形是图形，等边三角形有条对称轴．（2）等边三角形内任意一点到三边距离之和等于。
4.等边三角形的判定：（1）三边都的三角形是等边三角形；（2）三角都的三角形是等边三角形；（3）有一个角等于的三角形是等边三角形.5.直角三角形的性质：（1）直角三角形的两锐角；（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于；（4）如果直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角 .6.直角三角形的判定：（1）有一个是直角的三角形是直角三角形；（2）如果一个三角形的两条边的平分和等于第三条的平方，这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
7.直角三角形全等的判定方法：ASA,AAS,SSS,SAS,HL8.线段的垂直平分线和角平分线的性质和判定：（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个的距离相等。
（2）到一条线段两个距离的点，在这条线段的垂直平分线上。
(3)三角形三条边的垂直平分线相交于点，并且这点到的距离相等。
（4）角平分线上的点到的距离相等。
（5)在一个角的内部，到角距离相等的点，在这个角的上。
（6）三角形三个角的平分线相交于点，并且这点到的距离相等。
运用三角函数的定义解题
5 C． 12
12 D． 5
12
）
，
点评：由于三角函数值实质上就是直角三角形两边的比值，所以有时 需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数 的代数式来表示出直角三角形各边长，然后结合相关条件解决问 题。
三、运用转化手段求三角函数值 例3、如图，CD是Rt△ABC斜边上的高， AC=4，BC=3，则cos∠BCD的值是（ ） 3 3 4 4 A． B． 4 C． D． 5 3 5 解：在Rt△ABC中，由AC=4，BC=3可求出 AB=5，又CD是Rt△ABC斜边上的高，可得 △ABC∽△CBD，∴∠BCD=∠A， ∴cos∠BCD=cosA= 4 ，故本题应选D．
A
C
D
B
5
点评：三角函数值的大小与角的大小有关，与边的长短无关，故当一 个锐角的三角函数值不能直接求解时，往往采用转化手段，通过求其 等角的三角函数值来达到目的。
四、通过构造直角三角形求三角函数值 例4、如图，在△ABC中，AB=4 2 ，AC=6， ∠B=45°，试求出∠C的正弦值。 解：过点A作AD⊥BC于D，∵∠B=45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，根据勾股定理可得：
AD 4 2 BD=AD=4．在Rt△ADC中，sinC＝ AC 6 3
A
B
D
Cห้องสมุดไป่ตู้
点评：一般情况下，Rt△是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题 目中所提供的并非Rt△时，需通过添加辅助线构造Rt△，然后运用三 角函数解答问题．
三角函数解决楼房采光
应用解直角三角形知识解决某些简单的实际问 题，重点是把实际问题转化为数学问题，难点 是运用解直角三角形的知识，结合实际问题示 意图，正确选择边角关系解答．
直角三角形(第1课时)-2022-2023学年八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
勾股定理的证明—总统证明法
美国第二十任总统伽菲尔德,在 1876年利用了梯形面积公式证明勾股定
理.
c
b a
s1
1 2
(a
b)(a
b)
1 2
(a2
2ab
b2 )
a
1 2
a2
1 2
b2
ab，
b
s2
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
ab
1 2
c2
伽菲尔德的证法在数学史上 被传为佳话,后来，人们为了 纪念他对勾股定理直观.简捷 .易懂.明了的证明，就把这 一证法称为“总统”证法 ．
在△ABC中，因为 ∠A +∠B+∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是 △ABC是直角三角形.
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形
(二)直角三角形-边的性质 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
在Rt△BCD中，由勾股定理得
四、课堂练习
8. 如图，在△ABC中，已知AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线
AD=12c=CD，BC=10cm，∴ BD=5cm. ∴ 在△ABD中,
AD2+BD2=122+52＝144+25=169,
AB2=132=169 ∴AD2+BD2=AB2. ∴△ABD是直角三角形 在Rt△ADC中 ∴AC2=DC2+AD2=122+52＝144+25=169, ∴AC2=AB2 ∴AB=AC
四、课堂练习
3．△ABC的三边分别为a，b，c，则无法判断△ABC为直角三角形的
八年级数学 第1章 直角三角形 1.1 直角三角形的性质与判定(ⅰ)(第1课时)
∠A=90°-∠B，
④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有
_____①__②__③__(填序号).
世纪金榜导学号
第十七页，共三十四页。
知识点二 直角三角形斜边上中线(zhōngxiàn)的性质 (P3探究拓展)
第十八页，共三十四页。
【典例2】 如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直 角三角形，△BCD中，∠DBC=90°， ∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，求∠AFB 度数(dù shu). 世纪金榜导学号
)
C
A.75° B.65° C.55° D.45°
第七页，共三十四页。
2.具备下列条件(tiáojiàn)的△ABC中，不是直角三角形的是 ( D) A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
第八页，共三十四页。
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=∠B=3∠C
第九页，共三十四页。
3.(2019·睢宁县期中(qī zhōnɡ))已知一个直角三角形的斜边长 为12，则其斜边上的中线长为_____6_.
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知识点一直角三角形两锐角(ruìjiǎo)的关系及应用 (P2议一议拓展)
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【典例1】如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，CD是高. (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)∠1和∠A有什么(shén me)关系？∠2和∠A呢？还有哪些
锐角相等？
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【火眼金睛】 如图，△ABC为等腰直角三角形，AD为斜边BC上的高，E，F分 别(fēnbié)为AB和AC的中点，试判断DE和DF的关系.
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第二十七页，共三十四页。
三角形章末复习
【思路点拨】要证明AD平分∠BAE只需证明∠BAD=∠DAE即可， 根据三角形的外角等于不相邻内角的和，则∠ADC=∠B+∠BAD， 又∠DAC=∠EAC+∠DAE，则根据题目的已知条件: ∠B=∠EAC， ∠ADC=∠DAC，可以求得∠BAD=∠DAE.
思维导图 例题示范 章末检测
例3 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，且这个多边形的边数
相等，则这个多边形是_____边形. 每一个内角是（）
【思路点拨】抓住多边形的内角和与多边形的外角和的关系 列方程，然后解方程可求出多边形的边数.
思维导图 例题示范 章末检测
ห้องสมุดไป่ตู้
思维导图 例题示范 章末检测
例1 如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,△ADC的周长比△ABD
的周长多3cm, AB与AC的和为13cm,求AC的长.
解：∵AD是BC边上的中线， ∴D为BC的中点， ∴CD=BD. ∵C△ADC-C△ABD=3 ∴AC-AB=3 又∵AB+AC=13， ∴AC=8cm. 即AC的长度是8cm.
【思路点拨】根据中线的定义知CD=BD. 结合三角形周长公式 知AC-AB=5cm，又AC+AB=11cm， 易求AC的长度.
思维导图 例题示范 章末检测
例2 如图,在△ABC中，D、E分别是BC上两点，∠B=∠EAC，
∠ADC=∠DAC. 试证明: AD平分∠BAE.
证明： ∵∠ADC=∠B+∠BAD，
八年级数学下册第1章直角三角形1.3直角三角形全等的判定习题课件新版湘教版
【证明】连接BE，∵DE为BC的垂线，∴∠BDE=90°.
∴∠BDE=∠A.
在Rt△BDE和Rt△BAE中，
BE BE,
B
D
BA，
∴Rt△BDE≌Rt△BAE(HL)，∴AE=ED.
题组二:选定合适方法判定直角三角形全等
1.如图,E是正方形ABCD的边DC上一点,过点A
作FA⊥AE交CB的延长线于点F.若AB=4,则四
5.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC 上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF. (2)若∠CAE=30°,∠BAC=45°,求∠ACF的度数.
【解析】(1)∵∠ABC=90°，
∴△ABE和△CBF均为直角三角形，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
谢谢观赏
You made my day!
对角线,过点D作DE∥AC交BC的延长线于E,
则图中与△ABC全等的三角形共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选D.与△ABC全等的三角形为△ADC,△BAD,△DCB,
△DCE共4个.
4.如图,已知AB⊥BD,AB∥ED,AB=ED,要说明△ABC≌△EDC,若以
“SAS”为依据,还要添加的条件为
知识点 2 选定合适方法判定直角三角形全等 【例2】(2013·荆门中考)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的 中点,点E在AD上. (1)求证:BE=CE. (2)如图2,若BE 的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其 他条件不变. 求证:△AEF≌△BCF.
∴∠EAF+∠C=90°，