2012新高考全案 第10章 圆锥曲线 第2讲
2012新高考全案-第10章-圆锥曲线-第4讲
第10章 第4讲一、选择题1．过点(0,2)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．无数条[解析] 易知y 轴与抛物线切于原点满足条件，直线y ＝2与抛物线对称轴平行也满足条件，另外画出图形，易知有一条直线与抛物线切于x 轴上方，故这样的直线有3条．[答案] C2．直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，那么直线l 的倾斜角是( )A ．30°或60°B ．30°或150°C ．45°或60°D ．45°或135°[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1得y 2－4my －4＝0，得|y 1－y 2|＝4m 2＋1∴|AB |＝1＋m 2·4·m 2＋1＝8∴m ＝±1，故选D. [答案] D3．抛物线y 2＝4x 过焦点的弦的中点的轨迹方程是( ) A ．y 2＝x －1 B ．y 2＝2(x －1) C ．y 2＝x －12D ．y 2＝2x －1[解析] 焦点F (1,0)，设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点P (x ，y )，则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，作差得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)①，将y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1代入①式得2y ·yx －1＝4，即y 2＝2(x －1)．[答案] B4．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[－12，12]B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4][解析] 由题意Q (－2,0)，设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，∴Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，∴－1≤k ≤1.[答案] C5．两条渐近线为x ＋2y ＝0，x －2y ＝0，则截x －y －3＝0所得弦长为833的双曲线方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C ．x 2－y 24＝1 D ．x 2－y 22＝1 [解析] 设双曲线为x 24－y 2＝λ∴x 2－4y 2＝4λ把y ＝x －3代入得3x 2－24x ＋36＋4λ＝0 ∴x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋4λ3由|AB |＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝833 解得λ＝1∴方程为x 24－y 2＝1.[答案] A6．(2009·深圳一模)设平面区域D 是由双曲线y 2－x 24＝1的两条渐近线和椭圆x 22＋y 2＝1的右准线所围成三角形的边界及内部．若点(x ，y )∈D ，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6[解析] 如下图所示，阴影部分是平面区域D ，求目标函数z ＝x ＋y 的最大值，即求直线y ＝－x ＋z 在y 轴上截距的最大值，当直线y ＝－x ＋z 过点A (2，＋4)时，z 取最大值6.[答案] D 二、填空题7．两条渐近线为x ＋2y ＝0，x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为________． [解析] 若焦点在x 轴，e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝1＋14＝52若焦点在y 轴e ＝ca ＝1＋b 2a2＝1＋4＝ 5.[答案]52或 5 8．(2007·合肥)设P 是抛物线y ＝x 2上的任意一点，当点P 和直线x ＋y ＋2＝0上的点的距离最小时，点P 到该抛物线的准线的距离是________．[解析] 设与直线x ＋y ＋2＝0平行且与抛物线y ＝x 2相切的直线方程为y ＝－x ＋b . ∴－x ＋b ＝x 2∴x 2＋x －b ＝0，Δ＝1＋4b ＝0 ∴b ＝－14，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x ＋y ＋14＝0得 P 点坐标为(－12，14)又抛物线的准线方程为y ＝－14∴P 到该抛物线准线间的距离为14－(－14)＝12.[答案] 129．椭圆x 245＋y 220＝1的焦点分别为F 1和F 2，过中心O 作直线与椭圆交于A 、B ，若△ABF 2的面积为20，则直线AB 的方程为________．[解析] 设AB 所在直线方程为x ＝ky由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky x 245＋y 220＝1得(4k 2＋9)y 2－180＝0 ∴y 1＋y 2＝0，y 1·y 2＝－1804k 2＋9∴S △ABF 2＝12|OF 2||y 1－y 2|＝52(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝3054k 2＋9故由3054k 2＋9＝20得k ＝±34∴AB 的方程为y ＝±43x .[答案] y ＝±43x10．已知F (14，0)，直线l ∶x ＝－14，点B 是l 上一动点，若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是____________．[解析] ∵|MB |＝|MF |∴M 的轨迹是以F 为焦点、l 为准线的抛物线 ∴M 的方程为y 2＝x . [答案] 抛物线y 2＝x 三、解答题11．(2010·福建，19)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． [解] (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2. 故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉⎣⎡⎭⎫－12，＋∞，1∈⎣⎡⎭⎫－12，＋∞， 所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.12．(2011·惠州二模)已知椭圆中心E 在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A (－2,0)、B (2,0)、C ⎝⎛⎭⎫1，32三点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点D 为椭圆E 上不同于A 、B 的任意一点，F (－1,0)，H (1,0)，当△DFH 内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；(3)(理)若直线l ∶y ＝k (x －1)(k ≠0)与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线x ＝4上．[解] (1)设椭圆方程为mx 2＋my 2＝1(m ＞0，n ＞0)，将 A (－2,0)、B (2,0)、C (1，32)代入椭圆E 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，m ＋94n ＝1解得m ＝14，n ＝13. ∴椭圆E 的方程x 24＋y 23＝1.(2)|FH |＝2，设△DFH 中FH 边上的高为h ， S △DFH ＝12×2×h ＝h设△DFH 的内切圆的半径为R ，因为△DFH 的周长为定值6. 所以12R ×6＝3R ＝S △DFH ，当D 在椭圆上顶点时，h 最大为3， 故S △DFH 的最大值为3， 于是R 也随之最大值为33， 此时内切圆圆心的坐标为(0，33)． (3)(理)将直线l ∶y ＝k (x －1)代入椭圆E 的方程x 24＋y 23＝1并整理．得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设直线l 与椭圆E 的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根系数的关系，得x 1＋x 2＝13＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－3)3＋4k 2直线AM 的方程为：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，它与直线x ＝4的交点坐标为p (4，6y 1x 1＋2)，同理可求得直线BN 与直线x ＝4的交点坐标为Q (4，2y 2x 2－2)． 下面证明P 、Q 两点重合，即证明P 、Q 两点的纵坐标相等： ∵y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， ∴6y 1x 1＋2－2y 2x 2－2 ＝6k (x 1－1)－(x 2－2)－2k (x 2－1)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2－2)＝2k [2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8](x 1＋2)(x 2－2)＝2k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8(k 2－3)3＋4k 2－40k 23＋4k 2＋8(x 1＋2)(x 2－2)＝0因此结论成立．综上可知．直线AM 与直线BN 的交点在直线x ＝4上．亲爱的同学请写上你的学习心得。
2012新高考全案-第10章-圆锥曲线-第2讲
第10章 第2讲1．(2011·广州一模)已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a ＞0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A. 2B.10 C ．4 D ．10[答案] C2．(2010·课标，5)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52[解析] 由焦点在x 轴上且双曲线渐近线方程知，b a ＝24，即a ＝2b ，c ＝a 2＋b 2＝5b ，所以e ＝52.故选D.[答案] D3．(2009·天津卷文)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x[解析] 由已知得到b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝2，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .[答案] C4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝2c ＝4得a ＝2，∴b ＝23，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.[答案] A5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，那么这个双曲线的离心率e 等于( )A ．2B ．3 C.53D.43[解析] 由已知2b ＝a ＋c ，则2c 2－a 2＝a ＋c ⇒3c 2－2ac －5a 2＝0⇒3e 2－2e －5＝0 ⇒(3e －5)(e ＋1)＝0⇒e ＝53，e ＝－1(舍去)．故选C. [答案] C6．过原点的直线l 与双曲线x 24－y 23＝1有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．(－32，32]B ．(－32，32) C ．(－32，0)∪(0，32) D ．(－∞，－32)∪(32，＋∞) [解析] ∵双曲线的渐近线的斜率k ＝±32.由数形结合，可得－32＜k l ＜32，故选B.[答案] B 二、填空题7．(2008·山东)已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4yC 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．[解析] 圆C 与坐标轴的交点为(2,0)，(4,0)． ∴c ＝4，a ＝2，∴b ＝2 3.故其标准方程为x 24－y 212＝1.[答案] x 24－y 212＝18．(2009·汕头一模)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为________．[答案] x 2－y 2＝29．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则该双曲线的率心率e ＝________.[解析] 由题可知b a ＝12⇒ a ＝2b ，又c 2＝a 2＋b 2∴c 2＝54a 2∴e ＝c a ＝52.[答案]5210．(2009·深圳一模)设平面区域D 是由双曲线y 2－x 24＝1的两条渐近线和椭圆x 22＋y 2＝1的右准线所围成三角形的边界及内部．若点(x ，y )∈D ，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为________．[答案] 6 三、解答题11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. [解] (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ，(λ≠0) 把点(4，－10)代入得16－10＝λ即λ＝6 ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝2 3 ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)∴MF 1→＝(3＋23，m )，MF 2→＝(3－23，m ) ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2 ∵点M 在双曲线上， ∴9－m 2＝6即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.12．就m 的不同取值，讨论方程x 29－m 2＋y 2m 2－4＝1所表示的曲线类型．[解] ①当9－m 2＝m 2－4≠0，即m ＝±262时，方程所表示的曲线为圆． ②当9－m 2＞0且m 2－4>0且m ≠±262即－3＜m ＜－2或2＜m ＜3且m ≠±262时，方程所表示的曲线为椭圆．③当(9－m 2)(m 2－4)＜0即m ＞3或m ＜－3或－2＜m ＜2时方程所表示的曲线为双曲线． 13．(2010·广东，20)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点．(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；(2)(理)若过点H (0，h )(h ＞1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2，求h 的值． [解] (1)由题设知|x 1|＞2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有 直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，①直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)．② 解法一：联立①②解得交点坐标为x ＝2x 1，y ＝2y x 1，即x 1＝2x ，x 1＝2yx ，③则x ≠0，|x |＜ 2.而点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，∴x 122－y 12＝1. 将③代入上式，整理得所求轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1，x ≠0且x ≠±2.解法二：设点M (x ，y )是A 1P 与A 2Q 的交点， ①×②得y 2＝－y 12x 12－2(x 2－2)．③又点P (x 1，y 1)在双曲线上，因此x 122－y 12＝1，即y 12＝x 122③式整理得x 22＋y 2＝1. 因为点P ，Q 是双曲线上的不同两点，所以它们与点A 1，A 2均不重合． 故点A 1和A 2均不在轨迹E 上．过点(0,1)及A 2(2，0)的直线l 的方程为x ＋2y －2＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x 22－y 2＝1得x ＝2，y ＝0.所以直线l 与双曲线只有唯一交点A 2.故轨迹E 不经过点(0,1)．同理轨迹E 也不经过点(0，－1)． 综上分析，轨迹E 的方程为 x 22＋y 2＝1，x ≠0且x ≠±2. (2)(理)设过点H (0，h )的直线为y ＝kx ＋h (h ＞1)，联立x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0.令Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0得h 2－1－2k 2＝0， 解得k 1＝h 2－12，k 2＝－h 2－12. 由于l 1⊥l 2，则k 1k 2＝－h 2－12＝－1，故h ＝ 3.过点A 1，A 2分别引直线l 1，l 2通过y 轴上的点H (0，h )，且使l 1⊥l 2， 因此A 1H ⊥A 2H ，由h 2×⎝⎛⎭⎫－h 2＝－1，得h ＝ 2.此时，l 1，l 2的方程分别为y ＝x ＋2与y ＝－x ＋2，它们与轨迹E 分别仅有一个交点⎝⎛⎭⎫－23，223与⎝⎛⎭⎫23，223.所以，符合条件的h 的值为3或 2.亲爱的同学请写上你的学习心得。
2012年高考一轮复习方案圆锥曲线方程第二节___双曲线_课件(精)
变式迁移 2 x2 y2 就 m 的不同取值， 讨论方程 ＋ ＝ 1 所表示的曲线类型． 9－ m2 m2－ 4
①当 9－ m2＝ m2－ 4≠ 0， 26 即 m＝ ± 时，方程所表示的曲线为圆． 2 26 2 2 ②当 9－ m ＞ 0，且 m － 4＞ 0 且 m≠ ± ， 2 26 即－ 3＜ m＜－ 2 或 2＜ m＜ 3 且 m≠ ± 时，方程所表示的曲 2 线为椭圆． ③当 (9－ m2)(m2－ 4)＜ 0 即 m＞ 3 或 m＜－ 3 或－ 2＜ m＜ 2 时，方程所表示的曲线为双 曲线 . 解析
题型三 双曲线的定义 例 3 若一个动点 P(x，y)到两个定点 A(－1,0)、A1(1,0)的距离之 差的绝对值为定值 a(a≥0)，讨论点 P 的轨迹．
解析 ①当 a＝ 0 时， 轨迹是线段 AA1 的垂直平分线， 即 y 轴， 方程为 x＝ 0； ②当 0＜ a＜ 2 时，轨迹是以 A、 A1 为焦点的双曲线； ③当 a＝ 2 时，轨迹是两条射线 y＝ 0(x≥ 1)或 y＝ 0(x≤－ 1)； ④当 a＞ 2 时无轨迹． 点评 (1)本题容易出现的失误是对参变量 a 的取值范围划分 不准确，而造成讨论不全面． (2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求 轨迹是何种曲线 .
答案
x 2 y2 解析 (1)设椭圆 C1 的方程为 2＋ 2＝ 1(a1＞ b1＞ 0)， a 1 b1 2a1＝ 26， a1＝ 13， 由已知得： ∴ c1 5 e＝ ＝ ， c1＝ 5， a1 13 x 2 y2 又 ∵ 8＜ 10， ∴曲线 C2 是双曲线，设其方程为 2－ 2＝ 1(a2＞ 0， a 2 b2 b2＞ 0)， 2 2 2 则 a2＝ 4， c2＝ 5， ∴b2 ＝ 5 － 4 ＝ 3 ， 2 x 2 y2 ∴曲线 C2 的方程为 2－ 2＝ 1. 4 3 ∴焦距为 2c1＝ 10，
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线
2012高考真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2012高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y ab-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.3B2C.D.【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,by a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bc a x bc bcy --=-，令0=y ，得)1(22ba c x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a c b a -==，即2223c a =，所以26=e 。
故选B2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-yx ，即14422=-yx，所以2,42==a a，所以实轴长42=a ，选C.3.【2012高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则有P F F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
2012年高考试题分项版解析数学理科专题10 圆锥曲线教师版
2012年高考试题解析数学（理科）分项版10 圆锥曲线:一、选择题22yx0)b??1(a?E:?FF的左、右焦4)设是椭圆1.(2012年高考新课标全国卷理科2122baa3PFF30?x EP的离心率为的等腰三角形，则为直线上一点，是底角为点，?122）（??12)(D((B)C(A))?23?x CC与抛物8)等轴双曲线轴上，的中心在原点，焦点在2.(2012年高考新课标全国卷理科2C x?16y3AB?4BA,）线的准线交于；则的实轴长为（两点，222?)BD)((C)(A)(?22yx21??xy12?双曲线(2012年高考福建卷理科8)3.的焦点重合，线的右焦点与抛物2 b4）则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（542C．3 B A．．D．522yx4．(2012年高考浙江卷理科8)如图，F，F分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右1 2122ab焦点，B是虚轴的端点，直线FB与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平1分线与x轴交于点M．若|MF|＝|FF|，则C的离心率是212326．BA ．3． D C ．32的离心率为，双曲线：C(20125.年高考山东卷理科10)已知椭圆x2-y2＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为2x?4yBA,OF点的直线交抛物线于9)过抛物线的焦点两点，6.(2012年高考安徽卷理科3AF?AOB?）,则是原点，若的面积为（2322))C((A)D(B() 22:Zxxk.]来源22yx7. (2012年高考湖南卷理科5)已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的22ba渐近线上，则C的方程为22222222yxyxyyxx A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=120520802020805[w~#ww.zz&st^ep.【答案】A:Z#xx#k.]来源22yxc2c?10,c?5.=1的半焦距为，则-C 【解析】设双曲线：22ba bbx?1??y?2a?2b. 又C （，点P 2,1，即的渐近线为的渐近线上，C ）在aa22yx22255,b??a?2ba?c??=1.，的方程为又，-C520【考点定位】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.x O，并且经8)已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点8. (2012年高考四川卷理科M(2,y)|OM|?3M（过点。
2012《新高考全案》高考数学 10-3抛物线课件 人教版
• 2．抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
[答案] C
抛物线 y＝4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则 点 M 的纵坐标是( 17 A. 16 7 C. 8 ) 15 B. 16 D．0
[分析] 先把抛物线方程化为标准形式．根据焦半径公式
求解．
1 [解析] 抛物线 y＝4x 可化为 x ＝ y，其准线方程为 y 4
2 2
1 1 ＝－ .设点 M 的纵坐标为 y，由焦半径公式得 y＋ ＝1，y 16 16 15 ＝ . 16
得
y2－4ty－4m＝0，
[解]
(1)设 P(x，y)是曲线 C 上任意一点，那么点 P(x，
y)满足 x－12＋y2－x＝1(x＞0)，化简得 y2＝4x(x＞0)． (2)设过点 M(m,0)(m＞ 0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 设 l 的方程为
• [解析]
y2＝8x的焦点是F(2,0)，准线x＝－2，如图所示，
PA＝4，AB＝2，∴PB＝PF＝6.故选B.
• [答案] B
•
已知抛物线的 焦点在y轴上，抛物线上一点M(a
，－4)到焦点F的距离为5，求抛物线的标准方程．
• [分析] 设出抛物线的标准方程，代入条件求出p为关键
．
[解]
设抛物线方程为 x2＝2py(p≠0)
x＝ty＋m， x＝ty＋m，由 2 y ＝4x.
2012年高考圆锥曲线
2012年高考真题数学圆锥曲线一、选择题1.【2012高考浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.BD. 2.【2012高考新课标8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B C/4 ()D 83.【2012高考新课标4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 C 34 ()D 454.【2012高考山东理10】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心学率为.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y += 6.【2012高考湖南5】已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =17.【2012高考福建8】已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A.B. C.3 D.58.【2012高考安徽9】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为（ ）()A 2()B C2()D 9.【2012高考全国卷3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 10.【2012高考全国卷理8】已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45二、填空题13.【2012高考四川15】椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线
2012高考真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2012高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y ab-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.3B2D.【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bca xbc b c y --=-，令0=y ，得)1(22ba c x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a c b a -==，即2223c a =，所以26=e 。
故选B2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y162=的准线交于,A B两点，A B =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-yx，所以2,42==a a，所以实轴长42=a ，选C.3.【2012高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则有PF F F 212=,，因为2130=∠F PF ，所以260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=ac ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
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第10章 第2讲
1．(2011·广州一模)已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a ＞0)与双曲线x 24－y 2
3＝1有相同的焦点，则a 的
值为( )
A. 2
B.10 C ．4 D ．10
[答案] C
2．(2010·课标，5)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. 6
B. 5
C.6
2
D.52 [解析] 由焦点在x 轴上且双曲线渐近线方程知，b a ＝2
4，即a ＝2b ，c ＝a 2＋b 2＝5b ，
所以e ＝
5
2
.故选D. [答案] D
3．(2009·天津卷文)设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲
线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±2
2
x
D ．y ＝±12
x
[解析] 由已知得到b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝2，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2
2
x .
[答案] C
4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 2
12＝1 B.x 212－y 2
4＝1 C.x 210－y 2
6
＝1 D.x 26－y 2
10
＝1
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧
e ＝c a ＝2
c ＝4得a ＝2，∴b ＝23，
∴双曲线方程为x 24－y 2
12＝1.
[答案] A
5．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，那么这
个双曲线的离心率e 等于( )
A ．2
B ．3 C.5
3
D.4
3
[解析] 由已知2b ＝a ＋c ，则2c 2－a 2 ＝a ＋c ⇒3c 2－2ac －5a 2＝0⇒3e 2－2e －5＝0 ⇒(3e －5)(e ＋1)＝0⇒e ＝5
3，e ＝－1(舍去)．
故选C. [答案] C
6．过原点的直线l 与双曲线x 24－y 2
3＝1有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围是( )
A ．(－32，32]
B ．(－
32，3
2
) C ．(－
32，0)∪(0，32
) D ．(－∞，－
32)∪(3
2
，＋∞) [解析] ∵双曲线的渐近线的斜率k ＝±32.由数形结合，可得－32＜k l ＜3
2，故选B.
[答案] B 二、填空题
7．(2008·山东)已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．
[解析] 圆C 与坐标轴的交点为(2,0)，(4,0)． ∴c ＝4，a ＝2，
∴b ＝2 3.故其标准方程为x 24－y 2
12＝1.
[答案] x 24－y 2
12
＝1
8．(2009·汕头一模)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为________．
[答案] x 2－y 2＝2
9．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±1
2x ，则该双曲线的率心率e ＝________.
[解析] 由题可知b a ＝1
2⇒ a ＝2b ，又c 2＝a 2＋b 2
∴c 2＝54a 2
∴e ＝c a ＝52.
[答案]
52
10．(2009·深圳一模)设平面区域D 是由双曲线y 2
－x 24＝1的两条渐近线和椭圆x 22＋y 2
＝1
的右准线所围成三角形的边界及内部．若点(x ，y )∈D ，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为________．
[答案] 6 三、解答题
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；
(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→
＝0. [解] (1)∵e ＝2，
∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ，(λ≠0) 把点(4，－10)代入得16－10＝λ即λ＝6 ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.
(2)由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝2 3 ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)
∴MF 1→＝(3＋23，m )，MF 2→
＝(3－23，m ) ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2 ∵点M 在双曲线上， ∴9－m 2＝6即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.
12．就m 的不同取值，讨论方程x 29－m 2＋y 2m 2－4＝1所表示的曲线类型．
[解] ①当9－m 2＝m 2－4≠0，即m ＝±
26
2
时，方程所表示的曲线为圆．
②当9－m 2＞0且m 2－4>0且m ≠±262即－3＜m ＜－2或2＜m ＜3且m ≠±26
2
时，方程所表示的曲线为椭圆．
③当(9－m 2)(m 2－4)＜0即m ＞3或m ＜－3或－2＜m ＜2时方程所表示的曲线为双曲线． 13．(2010·广东，20)已知双曲线x 22－y 2
＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P (x 1，y 1)，
Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点．
(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；
(2)(理)若过点H (0，h )(h ＞1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2，求h 的值．
[解] (1)由题设知|x 1|＞2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有 直线A 1P 的方程为y ＝y 1
x 1＋2(x ＋2)，①
直线A 2Q 的方程为y ＝
－y 1
x 1－2
(x －2)．② 解法一：联立①②解得交点坐标为x ＝2x 1，y ＝2y x 1，即x 1＝2x ，x 1＝2y
x ，③
则x ≠0，|x |＜ 2.
而点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2
＝1上，
∴x 12
2
－y 12＝1. 将③代入上式，整理得所求轨迹E 的方程为x 22＋y 2
＝1，x ≠0且x ≠±2.
解法二：设点M (x ，y )是A 1P 与A 2Q 的交点， ①×②得y 2
＝－y 12x 12－2
(x 2
－2)．③
又点P (x 1，y 1)在双曲线上，因此
x 122－y 12＝1，即y 12＝x 1
2
2－1.代入③式整理得x 22
＋y 2＝1. 因为点P ，Q 是双曲线上的不同两点， 所以它们与点A 1，A 2均不重合． 故点A 1和A 2均不在轨迹E 上．
过点(0,1)及A 2(2，0)的直线l 的方程为x ＋2y －2＝0.
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －2＝0，x 22
－y 2＝1得x ＝2，y ＝0.
所以直线l 与双曲线只有唯一交点A 2.
故轨迹E 不经过点(0,1)．同理轨迹E 也不经过点(0，－1)． 综上分析，轨迹E 的方程为 x 22
＋y 2
＝1，x ≠0且x ≠±2. (2)(理)设过点H (0，h )的直线为y ＝kx ＋h (h ＞1)，联立x 22＋y 2
＝1得
(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0.
令Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0得h 2－1－2k 2＝0， 解得k 1＝
h 2－1
2
，k 2＝－h 2－1
2
. 由于l 1⊥l 2，则k 1k 2＝－h 2－1
2
＝－1，故h ＝ 3.
过点A 1，A 2分别引直线l 1，l 2通过y 轴上的点H (0，h )，且使l 1⊥l 2， 因此A 1H ⊥A 2H ，由
h 2×⎝
⎛⎭⎫－h 2＝－1，得h ＝ 2.
此时，l 1，l 2的方程分别为y ＝x ＋2与y ＝－x ＋2，它们与轨迹E 分别仅有一个交点
⎝⎛⎫－23
，223与⎝⎛⎭⎫23，223.
所以，符合条件的h 的值为3或 2.
亲爱的同学请写上你的学习心得。