第2讲 圆锥曲线的方程与性质

第2讲 圆锥曲线的方程与性质

一、 单项选择题

1. (2020·重庆调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 2

3＝1有公共焦点，那么双曲线C 的方程为( )

A. x 28－y 2

10＝1 B. x 24－y 2

5＝1 C. x 25－y 2

4＝1

D. x 24－y 2

3＝1

2. (2020·惠州调研)已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 交于点M ，若2FM

→＝MN →，则|FN →|等于( ) A. 58 B. 12 C. 38

D. 1

3. (2020·三明一模)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )

A. x 24－y 2

12＝1 B. x 212－y 2

4＝1 C. x 23－y 2

9＝1

D. x 29－y 2

3＝1

4. (2020·淮北二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与

过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝4

5，则椭圆C 的离心率为( )

A. 35

B. 57

C. 45

D. 67

二、 多项选择题

5. 若F 为拋物线C ：y 2＝3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法中正确的是( )

A. 抛物线的焦点到准线的距离为3

B. A ，B 两点之间的距离为12

C. 原点O 到直线AB 的距离为38

D. △OAB 的面积为9

4

6. 已知圆M ：x 2

＋y 2

＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

3＝1(a >0)

的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过点F 的直线l 与圆M 相切，则( )

A. m ＝－1

B. m ＝13

C. c ＝－1

D. a ＝2

7. 已知椭圆C ：x 24＋y 2

＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，那么以下说法中正确的是( )

A. 若过点F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为8

B. 椭圆C 上存在一点P ，使得PF 1→·PF 2→

＝0 C. 椭圆C 的离心率为12

D. 若P 为椭圆x 24＋y 2

＝1上的一点，Q 为圆x 2＋y 2＝1上的一点，则点P ，Q 的最大距离为3

三、 填空题

8. 在平面直角坐标系xOy 中，若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3,1)，则该双曲线的离心率为________．

9. (2020·广州质检)若抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为3

3的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于另一点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是________．

10. 已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP

→＝2PB →，那么当

m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大为________．

四、 解答题

11. 如图，已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π

4的直线l 被抛物线E 截得的线段长为8.

(1) 求抛物线E 的方程；

(2) 已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－1

2相交于A ，B 两点，求F A ·FB 的取值范围．

(第11题)

12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于另一点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .

(1) 若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫

43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；

(2) 若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．

(第12题)