第2讲 圆锥曲线的方程与性质
2020高考数学(文科)二轮专题精讲《圆锥曲线的方程与性质》
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥
PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－
3 2
B．2－ 3
3－1 C. 2
D. 3－1
解析：选 D 不妨设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．
在Rt△F1PF2中，因为∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c， 所以|PF2|＝c，|PF1|＝ 3c. 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即 3c＋c＝2a， 所以椭圆的离心率e＝ac＝ 32＋1＝ 3－1.故选D.
2．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算” (1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方 程． (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定 时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1(m＞ 0，n＞0，且m≠n)，双曲线方程常设为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
(2)当 0＜m＜3 时，椭圆 C 的焦点在 x 轴上，如图(1)，A(－ 3，0)，B( 3，0)．
当点 M 运动到短轴的端点时，∠AMB 取最大值，此时∠AMB≥120°. 则|MO|≤1，即 0＜m≤1；
当 m＞3 时，椭圆 C 的焦点在 y 轴上，如图(2)，A(0， m)，B(0，－ m)．
A. 2
B．2
C.3 2 2
D．2 2
解析：选D ∵e＝ac＝
1＋ba2＝ 2，且a＞0，b＞0，
∴ba＝1，∴C的渐近线方程为y＝±x，
∴点(4,0)到C的渐近线的距离为 |42| ＝2 2.
2．(2019·大连模拟)已知椭圆C：
高考总复习二轮数学精品课件 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
3
a
在双曲线 C 上,若△AF1F2 的周长为 10,则△AF1F2 的面积为(
)
A. 15
B.2 15
C.15
D.30
(2)已知|z+ 5i|+|z- 5i|=6,则复数 z 在复平面内所对应的点 P(x,y)的轨迹方程
是椭圆的右焦点,若 AF⊥BF,则 a=
答案 3+ 3
.
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,
所以四边形AF1BF为平行四边形.
又 AF⊥BF,所以四边形 AF1BF
π
为矩形,所以∠F1AF= ,则
2
|OF1|=|OF|=|OA|=2 3.
为
.
(3)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x
Hale Waihona Puke 轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程
为
答案 (1)A
.
2
(2)
9
2
+ =1
4
3
(3)x=2
解析 (1)由题意得
e=
所以双曲线方程为
=
2
1 + 2
=
3
1 + 2=2,所以 a2=1.
2
即 x±2y=0,故 B 正确;
2 5
5
e1·
e2= 5 × 2 =1,所以 C1 与 C2 的离心率互为倒数,故 C
圆锥曲线的方程与性质
圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线是数学中研究的重要内容之一，它是由一个固定点（焦点）和到这个点的固定距离之比保持不变的点（动点）所生成的曲线。
根据固定点与动点之间的位置关系，圆锥曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
本文将介绍圆锥曲线的方程与性质。
一、椭圆椭圆是圆锥曲线中最基本的一种形式，它具有以下方程：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。
椭圆具有以下性质：1. 椭圆是一个对称图形，其对称轴是x轴和y轴。
2. 椭圆的中心位于原点(0,0)。
3. 椭圆的焦点位于x轴上，距离中心的距离为c，满足$c^2 = a^2 -b^2$。
4. 椭圆上任意一点到焦点和到直线半长轴的距离之和是一个常数，满足Kepler定律。
二、双曲线双曲线是另一种常见的圆锥曲线，它具有以下方程：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a和b分别代表双曲线的长半轴和短半轴。
双曲线具有以下性质：1. 双曲线是一个对称图形，其对称轴是x轴和y轴。
2. 双曲线的中心位于原点(0,0)。
3. 双曲线的焦点位于x轴上，距离中心的距离为c，满足$c^2 = a^2 + b^2$。
4. 双曲线上任意一点到焦点和到直线半长轴的距离之差是一个常数。
三、抛物线抛物线是圆锥曲线中最特殊的一种形式，它具有以下方程：$$y^2 = 4ax$$其中，a代表抛物线的焦点到抛物线的距离。
抛物线具有以下性质：1. 抛物线是一个对称图形，其对称轴是y轴。
2. 抛物线的焦点位于焦点到抛物线的距离上方的点(a, 0)。
3. 抛物线的开口方向由系数a的正负决定，当a>0时开口向右，当a<0时开口向左。
4. 抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到直线准线的距离。
总结圆锥曲线是一类重要的数学曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们都具有特殊的方程和性质，通过研究这些方程和性质，可以更加深入地理解曲线的形态和特性。
圆锥曲线的性质与方程
圆锥曲线的性质与方程圆锥曲线是平面几何中重要的一类曲线，包括抛物线、椭圆和双曲线。
它们在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本文将介绍圆锥曲线的性质以及它们的方程。
一、抛物线的性质与方程抛物线是最简单的圆锥曲线，其性质和方程如下：1. 对称性：抛物线具有关于焦点对称的性质，即从焦点到抛物线上任意一点的距离与该点在水平直线上的投影之间的距离相等。
2. 焦点与准线：抛物线上的每个点到焦点的距离与该点到准线的距离相等。
焦点和准线都是抛物线的重要几何特征。
3. 方程形式：一般来说，抛物线的标准方程为y^2=4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离，x和y分别表示坐标轴上的点。
二、椭圆的性质与方程椭圆是圆锥曲线中的另一种形式，其性质和方程如下：1. 对称性：椭圆具有关于两个焦点和两条主轴的对称性。
每个点到两个焦点的距离之和是一个常数。
2. 长轴与短轴：两焦点之间的距离等于椭圆的长轴长度，长轴的中点称为椭圆的中心。
3. 方程形式：一般来说，椭圆的标准方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。
三、双曲线的性质与方程双曲线是另一种重要的圆锥曲线，其性质和方程如下：1. 对称性：双曲线有两个焦点，对于每个点到两个焦点的距离之差是一个常数。
2. 极限性质：双曲线的曲线趋向于两条互相平行的渐近线，与渐近线的距离越远，曲线越陡峭。
双曲线上的点的坐标差的绝对值等于常数。
3. 方程形式：一般来说，双曲线的标准方程为(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b分别是双曲线的焦点到准线距离的一半。
综上所述，圆锥曲线是平面几何中重要且有趣的一类曲线。
抛物线、椭圆和双曲线分别具有自己独特的性质和方程形式。
它们的研究和应用不仅在数学领域有着重要作用，还在物理、工程等领域得到广泛的应用。
对于理解和运用圆锥曲线，掌握其性质与方程是非常关键的。
2014高考数学二轮高强优化课件：圆锥曲线的定义、方程与性质
考点
椭 圆
双曲线 抛物线
圆锥曲线的综合问题
考情
1.对椭圆的考查以椭圆的标准方程及几何性质为主要考查对象， 有时也考查椭圆定义的应用，尤其要熟记椭圆中参数a，b，c之间 的内在联系及其几何意义． 2.对于双曲线的考查主要有两种形式：一是求双曲线方程；二 是通过方程研究双曲线的性质，如2013年新课标全国卷 Ⅰ T4, 2013年浙江T9. 3.高考对抛物线定义的考查主要体现在抛物线的标准方程、焦 点等问题上，考查方程主要有两个方面，一是用定义或待定系数 法求抛物线方程；二是利用抛物线方程研究几何性质，如2013年 新课标全国卷 Ⅱ T11. 4.圆锥曲线综合问题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，如 2013年天津T5.
x2 y2 (2)设 F1， F2 分别为双曲线 － ＝1 的左、 9 16 右焦点，过 F1 引圆 x2＋y2＝9 的切线 F1P 交双 曲线的右支于点 P，T 为切点，M 为线段 F1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO|－|MT|等于 A．4 C．2 B． 3 D．1 ( )
解析：由已知得抛物线的焦点 上点
p F2，0，设点
A(0,2)，抛物线
p y2 0 M(x0，y0)，则 AF ＝2，－2， AM ＝2p，y0－2.由已
知得， 即 AF · AM ＝0， 由|MF|＝5 得， p＝8.
y2 因而 0－8y0＋16＝0，
x2 y2 解析：设双曲线方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)①，点 A 的坐标为 a b (x0，y0)． 由题意得 a2＋b2＝3＝c2②，则|OA|＝c＝ 3，
2 2 x0＋y0＝3， 所以 2 2 x0＋4y0＝4，
圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的性质推导解析
圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的性质推导解析圆锥曲线是数学中常见的一类曲线形状，参数方程和直角坐标方程是描述和推导圆锥曲线性质的两种常用方法。
本文将分析圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的关系，并推导解析圆锥曲线的性质。
一、圆锥曲线的参数方程参数方程是用参数表示曲线上的点，参数通常用t表示，通过给定不同的参数值，可以得到曲线上的一系列坐标。
对于圆锥曲线，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中f(t)和g(t)是关于参数t的函数，通过给定不同的参数值t，可以得到曲线上的点坐标(x, y)。
以常见的椭圆为例，椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
二、圆锥曲线的直角坐标方程直角坐标方程是使用x和y的关系来描述曲线的方程。
对于圆锥曲线，其直角坐标方程通常可以写成：F(x, y) = 0其中F(x, y)是一个包含x和y的函数，通过令F(x, y)等于零，可以得到曲线上的点坐标。
以椭圆为例，椭圆的直角坐标方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
三、圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的关系圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程是等价的，通过互相转换可以得到相同的曲线信息。
圆锥曲线的参数方程(x = f(t), y = g(t))可以转化为直角坐标方程F(x, y) = 0的形式。
同样地，直角坐标方程F(x, y) = 0也可以转化为参数方程(x = f(t), y = g(t))的形式。
以椭圆为例，可以将椭圆的参数方程(x = a * cos(t), y = b * sin(t))转化为直角坐标方程：((a * cos(t))^2 / a^2) + ((b * sin(t))^2 / b^2) = 1化简后得到：cos^2(t) / a^2 + sin^2(t) / b^2 = 1这正是椭圆的直角坐标方程。
专题六 第2讲 圆锥曲线的方程与性质
易错提醒
求圆锥曲线的标准方程时的常见错误 双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参 数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线 中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意 焦点位置.
跟踪演练1 (1)已知双曲线的渐近线方程为 y＝± 22x，实轴长为 4，则该双曲 线的方程为
cos∠AF1B＝|AF1|22＋|AF|B1F|·|1B|2F－1||AB|2 ＝4m22＋·29mm·23－m9m2＝13，
在△AF1F2中， cos∠F1AB＝|AF1|22＋·|A|AFF1|2·||2A－F|2F| 1F2|2 ＝4m22＋·2mm2·－m 4c2＝cos∠AF1B＝13，
即 cos∠NMM′＝|M|MMN′| |＝ 55，
所以 cos∠OFA＝cos∠NMM′＝ 55， p
而 cos∠OFA＝||OAFF||＝
2＝ 2p2＋22
55，解得
p＝2.
(2)( 多 选 )(2022·新 高 考 全 国 Ⅱ) 已 知 O 为 坐 标 原 点 ， 过 抛 物 线 C ： y2 ＝
对于 B，由选项 A 的分析，知直线 AB 的方程为 y＝2 6x－p2， 代入 y2＝2px，得 12x2－13px＋3p2＝0，解得 x＝34p 或 x＝13p， 所以 xB＝13p，所以 yB＝－ 36p，所以|OB|＝ x2B＋y2B＝ 37p≠|OF|，故 B 不正确；
对于C，由抛物线的定义及选项A，B的分析， 得|AB|＝xA＋xB＋p＝1123p＋p＝2152p>2p，即|AB|>4|OF|，故 C 正确； 对于 D，易知|OA|＝ 433p，|AM|＝54p，
在抛物线 C 上，射线 FM 与 y 轴交于点 A(0,2)，与抛物线 C 的准线交于
2020新课标高考数学二轮课件：第二部分专题五 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
)
A．x82－1y02 ＝1
B．x42－y52＝1
C．x52－y42＝1
D．x42－y32＝1
解析：选 B.法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x42－y52＝k(k>0)，即4xk2－5yk2
＝1，因为双曲线与椭圆1x22＋y32＝1 有公共焦点，所以 4k＋5k＝12－3，解得 k＝1，故
(2)不妨设 P 为双曲线 C 右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a. 又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1F2|＝2c，则|PF2|＝2a 最小，所以 ∠PF1F2＝30°. 在△PF1F2 中，由余弦定理，可得 cos 30°＝|PF1|22＋|P|FF11|F|F2|12F－2||PF2|2＝162a×2＋44ac×2－2c4a2＝ 23， 整理得 c2＋3a2＝2 3ac，解得 c＝ 3a，所以 b＝ c2－a2＝ 2a. 所以双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 2x.故选 A. 【答案】 (1)C (2)A
[对点训练]
1．(2019·福州模拟)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，点 B 是虚轴的
一个端点，线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 A，若B→A＝2A→F，且|B→F|＝4，则双曲线
C 的方程为( )
A．x62－y52＝1
B．x82－1y22 ＝1
C．x82－y42＝1
p＝( )
A．2
B．3
C．4
D．8
解析：选 D.由题意，知抛物线的焦点坐标为p2，0，椭圆的焦点坐标为(± 2p，0)，所 以p2＝ 2p，解得 p＝8，故选 D.
3．(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线 C：xa22－by22＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2讲 圆锥曲线的方程与性质
一、 单项选择题
1. (2020·重庆调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 2
3＝1有公共焦点，那么双曲线C 的方程为( )
A. x 28－y 2
10＝1 B. x 24－y 2
5＝1 C. x 25－y 2
4＝1
D. x 24－y 2
3＝1
2. (2020·惠州调研)已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 交于点M ，若2FM
→＝MN →，则|FN →|等于( ) A. 58 B. 12 C. 38
D. 1
3. (2020·三明一模)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )
A. x 24－y 2
12＝1 B. x 212－y 2
4＝1 C. x 23－y 2
9＝1
D. x 29－y 2
3＝1
4. (2020·淮北二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与
过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝4
5，则椭圆C 的离心率为( )
A. 35
B. 57
C. 45
D. 67
二、 多项选择题
5. 若F 为拋物线C ：y 2＝3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法中正确的是( )
A. 抛物线的焦点到准线的距离为3
B. A ，B 两点之间的距离为12
C. 原点O 到直线AB 的距离为38
D. △OAB 的面积为9
4
6. 已知圆M ：x 2
＋y 2
＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
3＝1(a >0)
的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过点F 的直线l 与圆M 相切，则( )
A. m ＝－1
B. m ＝13
C. c ＝－1
D. a ＝2
7. 已知椭圆C ：x 24＋y 2
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，那么以下说法中正确的是( )
A. 若过点F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为8
B. 椭圆C 上存在一点P ，使得PF 1→·PF 2→
＝0 C. 椭圆C 的离心率为12
D. 若P 为椭圆x 24＋y 2
＝1上的一点，Q 为圆x 2＋y 2＝1上的一点，则点P ，Q 的最大距离为3
三、 填空题
8. 在平面直角坐标系xOy 中，若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3,1)，则该双曲线的离心率为________．
9. (2020·广州质检)若抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为3
3的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于另一点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是________．
10. 已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP
→＝2PB →，那么当
m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大为________．
四、 解答题
11. 如图，已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π
4的直线l 被抛物线E 截得的线段长为8.
(1) 求抛物线E 的方程；
(2) 已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－1
2相交于A ，B 两点，求F A ·FB 的取值范围．
(第11题)
12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于另一点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .
(1) 若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；
(2) 若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．
(第12题)。