圆锥曲线经典性质总结及证明
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论1.圆锥曲线的定义：（1）定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。
若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
抛物线定义中，定点和定直线是焦点和准线，要注意定点不在定直线上，否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直线.（2）抛物线定义给出了抛物线上的点到焦点距离与此点到准线距离间的关系，要善于运用定义对它们进行相互转化。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。
方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。
方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。
（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
解圆锥曲线问题常用方法及性质总结
解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.椭圆与双曲线的对偶性质总结椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
圆锥曲线中常用结论和性质
焦点弦长公式：过焦点弦长121222p p PQ x x x x p =+++=++ 抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2οοy py 或2(2,2)P pt pt 或P οοοοpx y y x 2),(2=其中已知抛物线，过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，直线的倾斜角为，求证：。
直线与抛物线的位置关系把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方程组。
（1）方程组有一组解直线与抛物线相交或相切（一个公共点）；（2）方程组有二组解直线与抛物线相交（2个公共点）（3）方程组无解直线与抛物线相离。
直线与抛物线相交形成的弦的有关问题。
设线段AB 为抛物线的弦，A 、B 的坐标为、，直线AB 的斜率为k ，弦AB 的中点为M ，则（1）（2）直线l 过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点，且与抛物线相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点。
求证：，2214p x x =A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA OB(O 为坐标原点)求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB 经过一个定点(3)作OM AB 于M ，求点M 的轨迹方程 双曲线设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足ο9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积。
焦点三角形12PF F △的面积：122cot 2PF F S b θ=⋅△（12F PF θ∠=，b 为虚半轴长）1.与22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程22ax －22y b λ=（0λ≠）． 2.与22221x y a b-=有相同焦点的双曲线方程22x a k -－221y b k =+（2k a <且2k b ≠-） 把直线的方程和双曲线的方程联立起来得到一个方程组。
（4）方程组有一组解直线与双曲线相交或相切（一个公共点）；（5）方程组有二组解直线与抛物线相交（2个公共点，一支或两支）（6）方程组无解直线与抛物线相离。
圆锥曲线二级结论大全及证明过程
圆锥曲线二级结论大全及证明过程
一般圆锥曲线（也称为双曲线）的定义为：在空间中，任一点到光源的距离（可以取
为两个焦点）的和等于它到曲线的距离。
因此，讨论一般圆锥曲线的两个焦点的性质则成
为讨论圆锥曲线二级结论的基础。
1. 一般圆锥曲线的两个焦点处都有曲线切线：
证明：设$F_1,F_2$分别为曲线$C$的两个焦点。
令$P$为曲线$C$上一点，$a$为$P$到$F_1F_2$的距离，则$P$到$F_1$的距离记为$b$，$P$到$F_2$的距离记为$c$。
又由距离公式，记$P$到曲线$C$的距离为$d$，有$b + c = a + d$
将直线$F_1F_2$上点$Q$作曲线上$P$的切线，由距离公式可得：$PQ = d$
由于$F_1,F_2$都是$C$的焦点，有$F_1P + F_2P = a$，令$PQ = b$
可得$F_1Q + F_2Q = a - b$
证明：设圆锥曲线$C$的两个焦点为$F_1,F_2$，当$F_1$和$F_2$越靠近时，曲线
$C$的形状越扁平。
当$F_1$和$F_2$在靠近时，$a$接近于0，则$F_1P + F_2P接近于0$，即$F_1P 接近
于- F_2P$，由弦距定义可知，$F_1P$ 和$F_2P$ 分别成正负对称，由此可知当$F_1$ 和$F_2$ 相越靠近时，直线$F_1F_2$ 和曲线$C$ 的斜率越加小，曲线$C$ 的形状越扁平。
综上所述，证明一般圆锥曲线的两焦点越近，曲线形状越扁平。
高中圆锥曲线性质总结全面经典
高中圆锥曲线性质总结全面经典
一、椭圆的性质
* 椭圆是固定点到平面上所有点的距离之和等于常数的轨迹。
* 椭圆具有两个焦点和长轴、短轴。
焦距定理：椭圆上任意一
点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度。
* 椭圆的离心率小于1，且离心率越小，椭圆越圆。
二、双曲线的性质
* 双曲线是固定点到平面上所有点的距离之差等于常数的轨迹。
* 双曲线具有两个焦点和两个虚焦点。
焦距定理：双曲线上任
意一点到两个焦点的距离之差等于常数的绝对值。
* 双曲线的离心率大于1，且离心率越大，双曲线越扁。
三、抛物线的性质
* 抛物线是固定点到平面上所有点的距离等于常数的轨迹。
* 抛物线具有一个焦点和一个直线称为准线。
焦点到准线的距
离等于焦点到抛物线上任意一点的距离。
* 抛物线的离心率等于1，且离心率为1的抛物线为特殊情况。
四、圆形的性质
* 圆是平面上所有距离中心点相等的点的集合。
* 圆的半径是由圆心到圆上任意一点的距离。
* 圆上的弧度是由半径对应的圆心角所确定，弧度等于圆心角
的度数除以360度再乘以2π。
以上是高中圆锥曲线的性质总结。
希望对你有帮助！。
高中数学中的圆锥曲线知识点总结
高中数学中的圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中重要的几何概念之一，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在本文中，我们将对这些圆锥曲线的基本概念、性质和相关公式进行总结。
一、椭圆1. 概念：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
2. 基本性质：- 长轴和短轴：椭圆的两个焦点F1和F2之间的距离为2c，椭圆的长轴为2a，短轴为2b，有关系式c^2 = a^2 - b^2。
- 离心率：离心率e定义为离焦距离2c与长轴2a之比，即e = c/a。
椭圆的离心率小于1。
- 焦点与定点关系：椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
- 弦与切线性质：椭圆上任意一条弦与该点处的切线垂直。
3. 相关公式：- 椭圆标准方程：(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 或 (y^2)/(a^2) +(x^2)/(b^2) = 1（其中a > b）。
- 焦点坐标公式：F1(-c,0)，F2(c,0)。
- 离心率公式：e = c/a。
- 曲率半径：任意一点P在椭圆上的曲率半径为a^2/b。
二、双曲线1. 概念：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点的轨迹。
2. 基本性质：- 长轴和短轴：双曲线的两个焦点F1和F2之间的距离为2c，双曲线的长轴为2a，短轴为2b，有关系式c^2 = a^2 + b^2。
- 离心率：离心率e定义为离焦距离2c与长轴2a之比，即e = c/a。
双曲线的离心率大于1。
- 焦点与定点关系：双曲线上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之差等于常数2a，即|PF1 - PF2| = 2a。
- 弦与切线性质：双曲线上任意一条弦与该点处的切线垂直。
3. 相关公式：- 双曲线标准方程：(x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1 或 (y^2)/(a^2) -(x^2)/(b^2) = 1（其中a > b）。
圆锥曲线经典性质总结及证明
圆锥曲线的经典结论一、椭圆1.点 P 处的切线 PT平分△ PF1F2 在点 P 处的外角 . （椭圆的光学性质）2.PT 平分△ PF1F2 在点 P处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 . （中位线）3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 . 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . （第二定义）4.若 P0 ( x0,y0 )x2y21x0 x y0 y1.（求在椭圆b2上，则过 P0的椭圆的切线方程是b2a2a2导）5.若 P0 ( x0,y0 )x2y21外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点在椭圆b2a2弦 P1P2 的直线方程是x0x y0 y 1. （结合 4）a2b26.椭圆 x2y2 1 (a ＞ b ＞ 0) 的左右焦点分别为F1 ， F 2 ，点 P 为椭圆上任意一点a2b2F1 PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S F1PF2b2 tan . （余弦定理 +面积公式 +2半角公式）7.x2y21（ a＞ b＞ 0）的焦半径公式：椭圆2 b2a|MF1| a ex0 , | MF2 | a ex0 (F1 ( c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ). （第二定义）8.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、 Q两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于M、 N两点，则M F⊥ NF9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、 A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点 M，A2P 和 A1Q交于点 N，则 MF⊥ NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第 8 条，证毕10. AB 是椭圆x2 y21 的不平行于对称轴的弦， M(x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则a2 b2k OM k ABb2a2 ，即K AB b2x0 。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是代数几何中重要的一部分，它由平面和一个定点的两条曲线组成。
在数学的发展历史中，圆锥曲线的研究经历了漫长的时期，涉及到众多的数学家和学者的努力。
本文将对圆锥曲线的基本概念、性质、分类以及应用等知识点进行总结。
一、圆锥曲线的基本概念1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由平面与一个定点和这个定点到平面上任意一点的连线组成的图形。
2. 圆锥曲线的基本元素圆锥曲线由定点称为焦点和一条固定的直线称为准线组成。
3. 圆锥曲线的标准方程圆锥曲线可以用一般的二次方程表示，即 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数。
4. 圆锥曲线的焦点和准线焦点是定点到平面上各点的距离与准线到这些点距离之比的极限值。
准线是过焦点且垂直于对称轴的直线。
二、圆锥曲线的性质1. 直线和圆的特例直线是当离心率为1的圆锥曲线，圆是离心率为0的圆锥曲线。
2. 焦准属性圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与到准线的距离之比始终为常数，这就是焦准属性。
3. 长轴和短轴圆锥曲线的焦点和准线确定了两条互相垂直的轴线，这两条轴线分别称为长轴和短轴。
4. 离心率圆锥曲线的离心率是一个反映离心程度的量，离心率为0时曲线为圆，离心率为1时曲线为直线。
5. 对称性圆锥曲线具有平移和对称性，即曲线在对称轴两侧具有相同的形状。
三、圆锥曲线的分类1. 椭圆圆锥曲线的离心率小于1，且大于0，形状近似于椭圆的曲线称为椭圆。
2. 抛物线圆锥曲线的离心率等于1，形状类似于抛物线的曲线称为抛物线。
3. 双曲线圆锥曲线的离心率大于1，形状类似于双曲线的曲线称为双曲线。
四、圆锥曲线的应用1. 天文学圆锥曲线在天文学中有广泛的应用，例如行星和彗星的轨道可以用圆锥曲线描述。
2. 工程学在工程学中，圆锥曲线被用于设计天桥、隧道、公路弯道等工程项目。
3. 经济学圆锥曲线在经济学中有重要的应用，例如需求曲线和供给曲线可以用圆锥曲线表示。
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圆锥曲线的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质）2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义）4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.（求导）5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.（结合4）6. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.（余弦定理+面积公式+半角公式）7. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义）8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第8条，证毕10. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
（点差法）11. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.（点差法） 12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.（点差法） 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.（同上）2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（同上）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.（同上）4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）（同上）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.（同上） 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.（同上）7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.（同上）8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c -,2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--（同上） 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.（同上） 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.（同上）11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。
（同上） 12. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-.（同上）13. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-.（同上）椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）椭 圆1. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.证明2. 过椭圆22221x ya b += (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.证明3. 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. 证法1（代数）证法二（几何）4. 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.（上条已证）5. 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 21时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8. 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQS ∆的最小值是2222a b a b +.证明9. 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 证明（图片有误，ep=b^2/a ）10. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a ---<<. 11. 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)122tan 2PF F S b γ∆=.12. 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PAB a b S b a γ∆=-. 13. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.证明14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.（之前有类似的）15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （角分线定理+合比公式）（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.（角分线定理）18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（角分线定理）双曲线1.双曲线22221x ya b-=（a＞0,b＞0）的两个顶点为1(,0)A a-,2(,0)A a，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221x ya b+=.（同上）2. 过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.（同上）3. 若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1,F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）.（同上） 4. 设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.（同上）5. 若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e 1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.7. 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC -≤.8. 已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥. （1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQS ∆的最小值是2222a b b a -.（同上） 9. 过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.（同上） 10. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.11. 设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2)122cot 2PF F S b γ∆=.（同上）12. 设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-. (2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PAB a b S b aγ∆=+. 13. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.（同上）14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.（同上）15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（同上）(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).（同上）16. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.（同上）17. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.（同上）18. 已知椭圆22221x y a b+=上一点000(,)P x y ，以直线与椭圆交于M,N 两点，恒有P0M ⊥PON ，则直线横过),(2222022220b a a b y b a b a x +-⋅+-⋅ 证明19. 已知椭圆22221x y a b+=，不再椭圆上的一点P ，过P 做倾斜角互补的两直线，与椭圆交于A,B,C,D 四点，则A,B,C,D 四点共圆证明其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：212122111AB kx x y y k=+-=+- 2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B 不同时为0)的形式。