圆锥曲线方程及几何性质
圆锥曲线的标准方程公式
圆锥曲线的标准方程公式
圆锥曲线的标准方程公式是数学中用于描述圆锥曲线几何性质的方程形式。
圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
每种曲线都有其独特的标准方程形式。
1. 圆的标准方程公式:
圆的标准方程公式是(x - h)² + (y - k)² = r²，其中圆心坐标为(h, k)，半径为r。
这个方程描述了平面上所有到圆心距离等于半径的点的集合。
2. 椭圆的标准方程公式:
椭圆的标准方程公式是(x²/a²) + (y²/b²) = 1，其中a和b分别代表椭圆的长轴
和短轴的半长。
这个方程描述了平面上到椭圆两个焦点的距离之和等于常数2a的
点的集合。
3. 双曲线的标准方程公式:
双曲线的标准方程公式可以分为两种形式：(x²/a²) - (y²/b²) = 1和(y²/a²) - (x²/b²) = 1，其中a和b分别代表双曲线的焦点到中心的距离和横轴/纵轴的半长。
这个方
程描述了平面上到双曲线两个焦点的距离之差等于常数2a的点的集合。
4. 抛物线的标准方程公式:
抛物线的标准方程公式可以分为两种形式：y² = 4ax和x² = 4ay，其中a为抛物线的焦点到顶点的距离。
这个方程描述了平面上到抛物线焦点的距离等于焦点到顶点距离的某个倍数的点的集合。
通过这些标准方程公式，我们可以方便地描述和理解圆锥曲线的形状和性质。
它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
圆锥曲线所有知识点和二级结论
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。
它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。
下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。
在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。
在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。
二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。
2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。
3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。
三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。
2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。
四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。
2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。
3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
椭圆的参数方程可以表示 为$x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$是参数。
椭圆的面积是$pi ab$， 周长是$4a$。
02 抛物线
定义与方程
定义
抛物线是一种二次曲线，它是由一个定点和一条定直线所决 定的平面曲线。这个定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛 物线的准线。
常见的三种圆锥曲线的图像及几何 性质
目录
• 椭圆 • 抛物线 • 双曲线 • 三种圆锥曲线的对比与联系
01 椭圆
定义与方程
定义
椭圆是平面内与两个定点$F_1$和 $F_2$的距离之和等于常数（大于 $F_1$和$F_2$之间的距离）的点的 轨迹。
方程
对于中心在原点、焦点在x轴上的椭圆， 其标准方程为$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$ 分别是椭圆的长半轴和短半轴。
方程
对于开口向右的抛物线，其标准方程为 $y^2 = 2px$（$p > 0$）；对于开口向左的抛物线，其标准方程为 $y^2 = -2px$ （$p > 0$）。
性质与特征
性质
抛物线具有对称性，其对称轴为直线 $x = -frac{p}{2}$。
特征
抛物线在焦点处的曲率最大，而在准 线处的曲率最小。抛物线的离心率等 于1。
04 三种圆锥曲线的对比与联 系
定义与方程的对比
椭圆
抛物线
双曲线
定义为平面内与两定点F1、F2 的距离之和等于常数（大于 F1F2）的点的轨迹。标准方程 为$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$和$b$是椭圆的半轴长，$c = sqrt{a^2 - b^2}$是焦距。
圆锥曲线与二次曲线的方程与性质分析总结
离心率的计算公式：对于椭圆，离心率e的计算公式为e = c/a，其中c为焦点到椭圆中心的距离，a为长轴 半径；对于双曲线，离心率e的计算公式为e = c/a，其中c为焦点到双曲线中心的距离，a为实轴半径。
曲线的导数与切线斜率
圆锥曲线的导数表示切线的斜率 二次曲线的导数可以求出切线的斜率 导数的几何意义是曲线在某点的切线的斜率 导数在研究圆锥曲线和二次曲线的性质中具有重要作用
曲线的交点与公共点个数问题
公共点的个数也是解析性质 的一个重要方面
圆锥曲线与二次曲线的交点 个数取决于它们的方程和几 何性质
二次曲线在几何图形中的应用：二次曲线常用于描述平面几何中的一些形状和结构，例 如椭圆、抛物线、双曲线等。
圆锥曲线与二次曲线的组合应用：在一些复杂的几何图形中，可能需要同时利用圆锥曲 线和二次曲线的性质来解决相关问题。
实际应用中的注意事项：在利用圆锥曲线和二次曲线的性质解决实际问题时，需要注意 一些细节和限制条件，以确保结果的准确性和可靠性。
圆锥曲线与二次曲线的解析性 质
曲线的渐近线与水平截距
圆锥曲线的渐近线：根据圆锥曲线的标准方程，求出其渐近线的方程。 二次曲线的水平截距：根据二次曲的标准方程，求出其与x轴交点的横坐标。 曲线的渐近线与水平截距的关系：分析渐近线与水平截距在曲线性质中的作用和相互影响。 解析性质的应用：举例说明解析性质在解决实际问题中的应用。
解析性质决定了曲线在平面 上的位置关系和相互交点的
个数
解析性质对于研究圆锥曲线 与二次曲线的几何性质具有
重要意义
曲线的参数方程与极坐标方程
(同步讲解)圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点小结圆锥曲线在高考中的地位：圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。
通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。
(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。
(2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。
(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。
高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆C：+ y2 = 1.如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x = -3于点D（-3，m）.（1）求m2 + k2的最小值；（2）若∣OG∣2 =∣OD∣·∣OE∣, ①求证：直线l过定点；②试问点B、G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.（理22）已知动直线l与椭圆C：+ = 1相交于P（x1，y1），Q（x2，y 2）两个不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=，其中O为坐标原点．（1）证明：+和+均为定值；（2）设线段PQ 的中点为M ，求∣OM ∣·∣PQ ∣的最大值；（3）椭圆C 上是否存在三点D, E, G ，使得S △ODE = S △ODG = S △OEG =？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．(2009年山东卷)设m ∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a =(mx,y+1),向量b =(x,y-1),a⊥b ,动点M(x,y)的轨迹为E.（1）求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知m=1/4,设直线l 与圆C:x 2+y 2=R 2(1<R<2)相切于A 1,且l 与轨迹E 只有一个公共点B 1,当R 为何值时,|A 1B 1|取得最大值?并求最大值. 一.圆锥曲线的定义：椭圆：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
圆锥曲线知识点整理
圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是数学中的重要概念之一，是一个由一个动点和一个定点之间的线段所确定的曲线。
它包括椭圆、双曲线和抛物线这三种基本形式。
圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域均有广泛的应用，掌握圆锥曲线的知识对于深入学习和应用这些领域的知识至关重要。
以下是圆锥曲线的一些常见知识点整理：1. 椭圆：椭圆是一个闭合的曲线，它有两个焦点和一个长轴。
定义椭圆的一个特性是到两个焦点的距离之和等于常数，这个常数被称为椭圆的短轴长度。
椭圆的方程可以表示为(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴。
2. 双曲线：双曲线是一个开放的曲线，它有两个分离的分支。
双曲线的定义也与焦点有关，但与椭圆的定义不同，双曲线的焦点之间的距离差等于常数。
双曲线的方程可以表示为(x/a)² - (y/b)² = 1，其中a和b分别代表双曲线的半长轴和半短轴。
3. 抛物线：抛物线是一个开放的曲线，它有一个焦点和一个直线称为准线。
抛物线的定义与焦点和准线之间的距离以及焦点到曲线上任意一点的距离有关。
抛物线的方程可以表示为y = ax² + bx + c，其中a、b和c分别代表抛物线的系数。
4. 圆锥曲线的性质：圆锥曲线具有许多有趣的性质和特点。
例如，椭圆的离心率小于1，而双曲线的离心率大于1。
抛物线的离心率等于1，它在焦点上有对称性。
此外，圆锥曲线还具有切线、法线、渐近线等几何性质，这些性质在解题和实际应用中非常重要。
5. 圆锥曲线的应用：圆锥曲线在许多领域都有广泛的应用。
在天文学中，行星的轨道可以用椭圆来描述；在工程学中，双曲线常用于天线的设计和无线通信的信号传播；在物理学中，抛物线可用于描述物体在重力作。
高一数学圆锥曲线的标准方程与几何性质
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圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线
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圆锥曲线的标准方程包括x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（椭圆）、 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（双曲线）和y = ax^2 + bx + c（抛 物线）
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椭圆的性质：对 称性、旋转性、 中心对称性、焦 点对称性
椭圆的应用：光 学、天体物理、 工程等领域
双曲线的标准方程
双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点 的轨迹
双曲线的标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a>0,b>0）
双曲线的焦点：F1(c,0), F2(-c,0)
利用几何性质和代 数关系，求解标准 方程
验证求解结果是否 满足圆锥曲线的定 义和性质
圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的焦点与准线
焦点：圆锥曲线上的一个特殊 点，决定了曲线的形状和性质
准线：与焦点相对应的直线， 决定了曲线的性质和位置
椭圆的焦点与准线：椭圆的焦 点在椭圆的中心，准线是垂直 于椭圆中心的直线
圆锥曲线在工程中 的应用：如建筑设 计、机械制造等
圆锥曲线在数学中 的应用：如解析几 何、微积分等
圆锥曲线在计算机 科学中的应用：如 图形学、计算机视 觉等
解析几何问题中的应用
圆锥曲线在物理中的应用：如天体运动、电磁场等 圆锥曲线在工程中的应用：如建筑设计、机械制造等 圆锥曲线在计算机图形学中的应用：如三维建模、图像处理等 圆锥曲线在数学竞赛中的应用：如奥林匹克数学竞赛、国际数学竞赛等
圆锥曲线在实际问题中 的应用
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【解析】(ⅰ)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2 ＋ 2)＋(2－ 2)＝4，故 a＝2.
设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1⊥PF2， 因此 2c＝|F1F2|＝ |PF1|2＋|PF2|2
＝ （2＋ 2）2＋（2－ 2）2＝2 3.
即 c＝ 3，从而 b＝ a2－c2＝1，
故所求椭圆的标准方程为x42＋y2＝1. (ⅱ)方法一：连接 F1Q，如图，设点 P(x0，y0)， ∵PF1⊥PF2，则xa022＋yb022＝1，x20＋y20＝c2，
探究一 圆锥曲线的定义及应用
例1 (1)设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F2 作椭
圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角 形，则椭圆的离心率是( )
A.
2 2
B.
2－1 2
C．2－ 2
D. 2－1
【解析】选 D.
x2 y2 (2)已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分
D.x42－1y22 ＝1
【解析】选 D.
根据对称性，不妨设 A 在第一象限，A(x，y)，
x2＋y2＝4 ∴y＝b2x
x＝
4 b2＋4
y＝
4
b，
b2＋4·2
16 b b ∴xy＝b2＋4·2＝2
b2＝12，
x2 y2 故双曲线的方程为 4 －12＝1，故选
D.
x2 y2 (2)如图，椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别 为 F1，F2，过 F2 的直线交椭圆于 P、Q 两点，且 PQ⊥PF1. (ⅰ)若|PF1|＝2＋ 2，|PF2|＝2－ 2，求椭圆的标准 方程； (ⅱ)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率 e.
( 3－1)c，∴e＝ 3＋1.故选 D.
(3)已知直线 y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线 C：y2＝8x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点．若 FA＝2FB，则 k＝ ________．
【解析】2 3 2 抛物线 C：y2＝8x 的准线为 l：x＝
－2，直线 y＝k(x＋2)(k＞0)恒过定点 P(－2，0)．如图，过 A、B 分别作 AM⊥ l 于点 M，BN⊥l 于点 N.
探究二 圆锥曲线标准方程及应用
x2 y2 例 2 (1)已知双曲线 4 －b2＝1(b>0)，以原点为圆心，
双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相 交于 A、B、C、D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双 曲线的方程为( )
A.x42－34y2＝1
B.x42－43y2＝1
C.x42－y82＝1
由 FA＝2FB，则 AM＝2BN，点 B 为 AP 的中点．
1 连结 OB，则 OB＝2AF，∴OB＝BF，点 B 的横坐标为 1，
故点 B 的坐标为(1，2 2)．∴k＝1－2 （2－－20）＝2 3 2.
【点评】涉及到圆锥曲线上的点与焦点的距离一般用 定义转化化简，最值问题须充分注意动点坐标的取值范围．
【备考建议】 圆锥曲线的几何性质一直是高考命题的热点内容之 一，小题与解答题均有考查，往往具有信息量大、思维量 大、运算量大的特点．复习时不能把目标仅仅定位在知识 的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几 何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲 线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些 解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何 中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法； 而且要求考生要有不怕困难的精神，良好的心理品质，细 心认真的态度，有较强的运算能力．要善于观察、发现题 目的特点，根据圆锥曲线各基本量的几何特征，运用数形 结合，分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化等思 想方法简化计算．
3 别为 F1，F2，焦距为 2c，直线 y＝ 3 (x＋c)与双曲线的一
个交点 P 满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则该双曲线的离心率为 ()
A. 2
B. 3
C．2 3＋1
D. 3＋1
【解析】选 D.
易知∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，∴∠F1PF2＝90°， ∴PF2＝c，PF1＝ 3c.由双曲线定义知 2a＝PF1－PF2＝
第 趋势】 圆锥曲线的几何性质常与代数、三角函数、平面向量、 不等式等知识交汇在一起进行命题，综合性强，体现了在 知识的交汇点处命题的原则，新课标全国卷有关圆锥曲线 模块的命题一般是“一大两小”，以 2 道小题考查圆锥曲 线的定义，离心率，标准方程以及几何性质，其中有关双 曲线的考查大都是客观题，以一道解答题(大题)的某小问 在直线与圆锥曲线位置关系的情境中考查圆锥曲线方程 的求法．而解答题一般涉及椭圆或抛物线．预计高考对本 节知识的考查体现在：圆锥曲线内部综合，即以选择题、 填空题的形式考查椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，特 别是求离心率、焦点关系等．以解答题形式考查主要是解 答题的第一问，求最值及过定点问题．
从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|， 有|QF1|＝4a－2|PF1|. 又由 PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝ 2|PF1|， 因此，4a－2|PF1|＝ 2|PF1|，得|PF1|＝2(2－ 2)a， 从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－ 2)a＝2( 2－1)a.
a 求得 x0＝±c
a2－2b2，y0＝±bc2.
由|PF1|＝|PQ|＞|PF2|得 x0＞0，
从而|PF1|2＝a
a2c－2b2＋c2＋bc42
＝2(a2－b2)＋2a a2－2b2＝(a＋ a2－2b2)2.
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a. 从 而 由 |PF1| ＝ |PQ| ＝ |PF2| ＋ |QF2| ， 有 |QF1| ＝ 4a － 2|PF1|，
又由 PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝ 2|PF1|，因
此(2＋ 2)|PF1|＝4a，即(2＋ 2)(a＋ a2－2b2)＝4a，
于是(2＋ 2)(1＋ 2e2－1)＝4，
解得 e＝
121＋2＋4 2－12＝ 6－ 3.
方法二：连接 F1Q，如图，由椭圆的定义， |PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.