圆锥曲线的共同性质详解
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的共同性质111数学
的坐标为 321，2.
12/10/2021
第十七页，共二十一页。
名师解题
求相关动点的轨迹方程
求以 y 轴为左准线，且过定点(3,2)的离心率为12的动椭 圆左顶点的轨迹方程．
[解] 设动椭圆左顶点的坐标为(x，y)，因椭圆的 y 轴为准线，
离心率为12，故左焦点的坐标为23x，y.
12/10/2021
12/10/2021
第九页，共二十一页。
用圆锥曲线的统一定义求轨迹(guǐjì)方程
已知动点 M(x，y)到点 F(2,0)与到定直线 x＝8 的距离 之比为12，求点 M 的轨迹． (链接教材 P47 例 1) [解] 由题意得 x|－x－282＋| y2＝12，整理得1x62＋1y22 ＝1. 故点 M 的轨迹为中心在原点，焦点为(±2,0)，准线为 x＝±8 页，共二十一页。
解决此类问题常用两种方法：(1)直译法，即依据已知条件直接写出动点
坐标满足的等式，整理得方程；(2)依据定义先判断(pànduàn)轨迹形状，再
由几何性质得方程．
12/10/2021
第十一页，共二十一页。
1．已知圆锥曲线的一个焦点是 F(1,0)，对应准线 l：x＝－1， 且曲线过点 M(3,2 3)，求圆锥曲线的方程． 解：∵MF＝ 3－12＋2 3－02＝4， 点 M 到准线 l 的距离为 d＝|3－(－1)|＝4， ∴MF＝d，且点 F 不在 l 上， 即圆锥曲线是抛物线，其顶点在原点，焦点为 F(1,0)． 由p2＝1 得 p＝2.故此圆锥曲线的方程是 y2＝4x.
的距离和它到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离的比是一个常数e(e>0)，则动点P的轨迹是圆锥曲线．。 求相关动点的轨迹方程
2.5 圆锥曲线的共同性质
c
图形
l l
标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2 px
2
( (
p 2 p 2
,0 ) ,0y 2 px
2
x 2 py
2
(0,
p 2
)
y
p 2
l l
x 2 py
2
( 0，
p 2
)
y
p 2
例1 求下列曲线的焦点坐标与准线方程:
x y （1） 1 25 9 x y （ 3） 1 25 9
2 2
x
+ c + y
2 2 2
2
= 2a 2
x
- c + y
2 2
2
x + c + y = 4a - 4a
2
x - c + y
2
x - c + y
2
2
a － c x＝ a
x－ c
2
＋y
2
在推导椭圆的标准方程时，我们 曾经得到这样一个式子:
a cx a
x
x
a
2
c
常数
c a
就是椭圆的离心率
e ( 0 ,1 ).
变题：若（
a c 0）改为（
c a 0）呢？
已知点P（x，y）到定点F（c，0）
x 的距离与它到定直线l： a
2
比是常数
c a
c
的距离的
(c a 0) ，求点P的轨迹．
(x c) y
2
2
|
a
2
c a
x
圆锥曲线中的共同性质
故 ｎ ＋ ￣（ 一口 ） １ 。 ≤１成立． ６ ／１ 。 （ 一ｂ） 点 评 ： 现 有 界 性 条 件 ， 用 有 界 性 ， 化 到 三 角 发 利 转
函数 的有 界 性 知 识 ， 识 桥 由 然 而 生 ， 利 完 成 由此 及 知 顺 彼 ， 学之美跃然纸上． 数
６ 转化 数 列
９
故
＋Ｆ ≥ Ｔ 成 立 ・ 二
￣（ —０ ） １ 。≤ ｌ ／ １ （ 一ｂ） ＿
分 析 构 造 ： ｆ ｌ １ ｊ Ｉ １有 界 性 ， 度 到 三 角 由 ｎ≤ ，ｂ≤ 过
点评 ： 由数 或 式 结 构 特 点 或 题 设 条 件 ， 妙 转 化 为 巧 数 列 ， 用 数 列 的 相 关 结 论 或 性 质 ， 作 证 明 ， 有 茅 利 再 即 塞顿开之感． 不 仅 可以 提高解 题速 度 ， 缩 思维 ， 它 简 拓 宽 思 路 ， 时 还 让 人 萌 生 一 种 “ 雨 断 桥 人 不 渡 ， 舟 同 春 小 撑 出 绿 荫 来 ” 美 妙感 觉 ． 的 从 以 上 各 例 不 难 看 出 ， 造 法 是 一 种 极 富 技 巧 性 构 和创造性的解 题方 法 ， 体 现 了数学 中发 现 、 比、 它 类 化 归 的 思 想 ， 渗 透 着 猜 想 、 索 、 殊 化 等 重 要 的数 学 也 探 特 方 法 ， 妙 运 用 构 造 法 解 数 学 题 可 从 中欣 赏 到 数 学 之 巧 美 ， 受到解题 之 乐 ， 重要 的是可 开拓 思维空 间 ， 感 更 启 迪 智 慧 ， 于 激 发 学 生 学 习 数 学 的兴 趣 ， 培 养 多元 化 对 对 思维和创新精神都大有裨益． 参考文献 ：
例 ６ 设 实 数 ａ ｂ满 足 ｆ ＜ １ Ｉ ＜ １ 求 证 ： ， Ｉ ａ ， ｆ ｂ ，
圆锥曲线的统一性质
圆锥曲线的一个统一性质【定理1】 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E ，过椭圆上一点P 作椭圆的切线交直线ca x 2=于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过椭圆的右焦点)0,(c F . 证明：设点),(00y x P ，则过点P 的切线方程为12020=+by y a x x ，∴点))(,(0022cy x c b c a A -，即))(,(0022cy x c b c a c AF ---= 又),(00y x c PF --=， 所以])()[())((0020220cy x c b y c a c x c AF PF ---+--=⋅ 整理得：0)()(0220=-+--=⋅cx c b c b x c AF PF ，AF PF ⊥∴，原命题得证. 【推论1】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E ，过椭圆上一点P 作椭圆的切线交直线ca x 2-=于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过椭圆的左焦点)0,(c F -. 【定理2】已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E ，过双曲线上一点P 作双曲线的切线交直线ca x 2=于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过椭圆的右焦点)0,(c F . 分析：证法可同定理一（证略）【推论2】已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E ，过双曲线上一点P 作双曲线的切线交直线ca x 2-=于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过椭圆的左焦点)0,(c F -. 【定理3】已知抛物线)0(22>=p px y ，过抛物线上一点P 作抛物线的切线交准线2p x -=于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过抛物线的焦点)0,2(p F .证明：设点),(00y x P ，则过点P 的切线方程为)(00x x p y y +=， 令2p x -=，得00)2(y p x p y -=，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴00)2(,2y p x p p A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴0000,2,)2(,y x p PF y p x p p AF 即02200=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅p x p x p p PF AF ，PF AF ⊥∴ 即以线段AP 为直径的圆恒过抛物线的焦点)0,2(p F . 【定理4】已知圆锥曲线E ，过E 上一点P 作E 的切线交其相应的准线于点A ，则以线段AP 为直径的圆恒过E 相应的焦点F .。
苏教版选修1《圆锥曲线的共同性质》评课稿
苏教版选修1《圆锥曲线的共同性质》评课稿一、教材概述《圆锥曲线的共同性质》是苏教版高中选修一教材中的一篇重要章节。
本章主要介绍了圆锥曲线的基本概念和性质，帮助学生建立对圆锥曲线的认识和理解。
通过学习本章，学生将能够掌握圆、椭圆、双曲线和抛物线这四种常见的圆锥曲线的特点和方程，并能够应用这些知识解决相关问题。
二、教材内容分析1. 圆的性质和方程本节主要介绍了圆的定义、性质和方程。
学生通过学习，能够了解到圆是平面上一点到固定点的距离等于常数的轨迹，以及圆的方程表示形式。
在此基础上，教材给出了几个典型例题，通过解题过程展示了如何根据问题条件得到圆的方程。
2. 椭圆的性质和方程本节介绍了椭圆的定义、性质和方程表达方式。
学生通过学习，可以理解椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的轨迹，并学会根据问题条件写出椭圆的方程。
此外，教材还给出了椭圆的焦点、长轴、短轴等概念，并通过实例引导学生应用这些知识解决问题。
3. 双曲线的性质和方程本节主要介绍了双曲线的定义、性质和方程表达方式。
学生通过学习，可以了解到双曲线是平面上到两个固定点的距离之差等于常数的轨迹，并学会根据问题条件写出双曲线的方程。
教材还给出了双曲线的中心、焦点、准线等概念，并通过例题训练学生应用这些知识。
4. 抛物线的性质和方程本节介绍了抛物线的定义、性质和方程表达方式。
学生通过学习，可以了解到抛物线是平面上到一个固定点的距离等于到一条直线的距离的轨迹，并学会根据问题条件写出抛物线的方程。
教材还给出了抛物线的焦点、准线等概念，并引导学生通过例题巩固所学知识。
三、教学方法分析教材采用了导入-展示-引导-训练的教学方法，通过引入真实问题、给出典型例题，让学生在解决具体问题的过程中，逐步理解和掌握圆锥曲线的基本概念和性质，并学会应用这些知识解决相关问题。
同时，教材还使用了图表、公式等多种形式，帮助学生直观地理解和运用知识。
四、教材特点总结1.系统性：教材从圆的性质和方程开始，逐步引入椭圆、双曲线和抛物线，系统地介绍了这四种圆锥曲线的共同性质。
优选教育第章圆锥曲线的共同性质.ppt
究
• 攻
定义得，P到右焦点的距离为2a－258＝10－258＝252.
重
分 层 作 业
难
返 首 页
利用圆锥曲线的定义求最值
自
当
主
堂
预
[探究问题]
达
习
标
• 探
1．根据椭圆(双曲线)的共同性质，椭圆(双曲线)上一点P到其焦点F的距离
• 固
新
双
知 PF，与点P到对应准线的距离d有什么关系？
基
合
作 探 究
第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的共同性质
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
学习目标：1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的 双
知
基
准线方程的方法．(重点) 2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问
合 作
题．(难点)
课
探
时
究
分
•
层
攻
作
重
业
难
返 首 页
[自 主 预 习·探 新 知]
自
当
主
堂
预
达
习 •
1．圆锥曲线的共同性质：
标 •
探
固
新
圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在定直线 l 上)的距离 双
知
基
之比是一个 常数e.
合 作
这个 常数e 叫做圆锥曲线的离心率， 定点F 就是圆锥曲线的焦点， 定直线l 课
探
时
究 •
就是该圆锥曲线的准线．
分 层
攻
3.4.2 圆锥曲线的共同特征
知识回顾:
1.圆锥曲线的共同性质; 2.圆锥曲线的准线定义与方程的求解(标准形式); 3.轨迹方程的思考.(定义法与直接法)
1(a
b
0)
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),长轴长、 短轴长分别为2a,2b的椭圆.
圆锥曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ统一定义:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为 常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上） (1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆.
(2)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|)
3、抛物线的定义：
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
探究与思考: 若PF/d≠1呢?
圆锥曲线的统一定义 指的是到定点F的距 离与到定直线l的距离 （F不在l上）的比e是 常数的点的轨迹叫做 圆锥曲线。
55
c 10 5
P到右准线的距离为 2a2 d 56 64 24
c
55
知椭圆 x2 a2
y2 b2
1 a b 0 的左右焦点为 F1，F2，离心率为
2 2
,以线段 F1
F2为直径的
面积为 ， (1)求椭圆的方程；(2) 设直线 l 过椭圆的右焦点 F2（l 不垂直坐标轴），
椭圆交于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 M（m,0），试求 m 的取值范围.
(3)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线.
其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l就是该圆锥曲线的准线.
例2.已知双曲线 x2 y 2 1上一点P到
圆锥曲线准线若干共同性质的总结
PM方程为
—1 $1，直线 PN — #2
为—二—1 $1，代入 — #2
点P坐标得仝—11 $1，o — 1二$1，所以直线MN
c #2
c#
方程为o —1 $1.令1 $0，得o $c，因此直线MN c#
（ ・ ・ 方 、
#2 一 i
F 过焦点 <2 % ,0）.又 mn Fp<2 2$~~%
—二2 $ — 1（
为Fp,0),过F的直线3交抛物线于—,N两点,
P (-2 , t)为准线上一动点，直线PM, PN, PF的
p
斜率分别为F1 , F2 , F设MN的方程为o $my + 2 ,
代入
y2 — 2pmy — p2 $0.设 M(o1 ,
y1) , No , y2),则 y1 +y2 $2pm , y1y2 $ —p2.又
P,过P 应
的两条切线PM, PN,—, N
为切点,,
F
分别交切线PM, PN于A ,
)两点,那么AF$)F.
7「3+
的准线3与o轴交于
P ,过点P
于—,N两 卸锥
M N 两 的切 于 A
A
MN的垂线,垂足为),则 AB
o轴上一
定
性质6)的证明过程本文中不再赘述.还有一
性质是关于 )
两顶点的 ，因 线
以"AMP $"DNP，所以直线P<2平分"MPN. 同理（对左 和左准 的 况结 成
、 的情况可类似证明（略）•
3
的准线3与o轴交于点
P, F（与准 对应）
于
MN两点，作ND丄3于D,那么MD平分线段PF.
4，殳曲