一模

2014-2015高三摸底试试题(文数)1. 已知集合{}{},,,,,A a b c B c d e ==，则AB 等于（ B ）.A {}c B.{},,,,a b c d e C.{},,,a b d e D. {},,,b c d e2.复数z ＝i （i ＋1）（i 为虚数单位）的共轭复数是 （ C ）A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i3．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z=4x+y 的最大值为( B )（A ）10（B ）8（C ）2 （D ）04．已知命题p ：x ∀∈R ，2x=5，则⌝p 为 D （A ）x ∀∉R,2x=5 （B ）x ∀∈R,2x≠5 （C ）0x ∃∈R ，20x =5（D ）0x ∃∈R ，2x ≠55.已知12log 1a >，112b⎛⎫> ⎪⎝⎭，2c=，则 BA . a b c >>B . c a b >>C . a c b >>D . c b a >>6.对于给定空间中的直线l ，m ，n 及平面α，“,,,mn l m l n α⊆⊥⊥”是“l α⊥”的 （B ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7.下列函数在定义域内不是奇函数的是 B A . 1y x x =+ B . sin y x x = C . (1)y x x =- D . πcos()2y x =- 8. 方程125x x -+=的解所在的区间 CA ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）9.定义3x y x y ⊗=-, 则()h h h ⊗⊗等于 C A ．h - B ．0 C ．h D ．3h10. 已知函数221,(0)()3,(0)ax x x f x ax x ⎧++≤=⎨->⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是A. 1a <B.0a >C.1a ≥D. 01a << 二、填空题11.当x>1时，函数y=x+11x -的最小值是____ 3 。

12. 计算：33log 18log 2-= ．213.已知平面向量()()1,22,.23a b m b a b ==-⊥+=，，且a 则 （－4，7）二）选做题（14、15题）14（几何证明选讲选做题）如图2，在△ABC 中，DE//BC,DF//AC,AE=4，EC=2，BC=8，则BF= . 8315（坐标系与参数方程选做题）圆的极坐标方程为2cos ρθθ=-，()02θπ≤<, 则圆的圆心的极坐标是 52,3π⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若3sin(), 052πθωω-=<<，求θω-的范围及cos ω的值．16．（本小题满分12分）(本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1）解：∵a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，∴θθcos 2sin =. …… 2分图2FAE BCD∵ 1cos sin 22=+θθ, 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,解得sin 55θθ==, ∴55cos ,552sin ==θθ. …… 6分 （2）解:∵02πω<<，20πθ<<，∴22ππθω-<-<.---------7分∵3sin(), 5θω-=∴ 4cos()5θω-==. …… 8分 ∴cos cos[()]cos cos()sin sin()ωθθωθθωθθω=--=-+- …… 10分=…… 12分17.（本小题满分12分）某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体, 从中任取2人, 求至少有1人的学历为研究生的概率； （2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以 下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上 的概率为539，求x 、y 的值. 17．（本小题满分12分） (本小题主要考查分层抽样、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解: 用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本, 设抽取学历为本科的ABCPD 人数为m ， ∴30505m=, 解得3m =. …… 2分 ∴ 抽取了学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作S 1、S 2 ；B 1、B 2、B 3 .从中任取2人的所有基本事件共10个: (S 1, B 1),(S 1, B 2),(S 1, B 3),(S 2, B 1),(S 2, B 2), (S 2, B 3), (S 1, S 2), (B 1, B 2), (B 2, B 3), (B 1, B 3).其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个: (S 1, B 1),(S 1, B 2),(S 1, B 3),(S 2, B 1), (S 2, B 2), (S 2, B 3), (S 1, S 2). …… 4分 ∴ 从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为710. …… 6分 (2)解: 依题意得：10539N =，解得78N =. …… 8分 ∴ 35～50岁中被抽取的人数为78481020--=. ∴482010805020x y==++. …… 10分解得40, 5x y ==.∴40, 5x y ==. …… 12分18.（本小题满分14分）如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，2AB DC ==（1）求证：BD ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥A PCD -的体积．18.（本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证明：在ABD △中，由于2AD =，4BD =，AB =∴222AD BD AB +=. …… 2分 ∴ AD BD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面PAD . …… 4分O PDC BA（2）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O .又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ． …… 6分∵PAD △是边长为2的等边三角形，∴PO =. 由（1）知，AD BD ⊥，在Rt ABD △中， 斜边AB边上的高为5AD BD h AB ⨯==. …… 8分 ∵AB DC ∥，∴112225ACD S CD h =⨯==△. …… 10分∴11233A PCD P ACD ACD V V S PO --==⨯=⨯=△. …… 14分19.（14分）在数列{}n a 中，21=a ，1341+-=+n a a n n ，*∈N n ，（Ⅰ）证明：数列{}n a n -是等比数列；（Ⅱ）设2n na b n n -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ； 19.（14分）（Ⅰ）证明：由题设1341+-=+n a a n n ，得()()++∈-=+-N n n a n a n n ,411 又0111≠=-a ∴()411=-+-+na n a n n∴数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列（Ⅱ）解：由(1)可知14-=-n n n a而()14-⋅=-=n n n n n a n b∴12104434241-⋅⋯+⋅+⋅+⋅=n n n S ……①()n n n n n S 44143424141321⋅+⋅-⋯+⋅+⋅+⋅=- ……② 由①-②得：n n n n S 44441312⋅-⋯+++=--n n n n n n 431444141⋅--=⋅---= …………………………（3分）…………………………（5分）…………（6分）…………………………（8分） …………………………（9分）……（10分）……（12分）…………（13分）∴n n n n n n S 49139134941⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⋅+-=()()91413919413+⋅-=+⋅-=n n n n20.（本小题满分14分） 图4已知椭圆()222:133x y E a a+=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于 不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ∆的面积的最大值.19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆()222:133x y E a a+=>的离心率12e =, ∴12=. …… 2分解得2a =.∴ 椭圆E 的方程为22143x y +=． …… 4分 （2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴02t <<，即0t <<．……………（14分）∴弦长||AB == ……8分∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分)2127t =-)221272t +-≤=……12分=，即t =. ∴ ABC ∆ …… 14分 解法2：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得221234t y-=. ∴ 圆C 的半径为r =． …… 6分∴ 圆C 的方程为222123()4t x t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴0t <<0t <<．在圆C 的方程222123()4t x t y--+=中，令0x =，得y=∴ 弦长||AB =…… 8分 ∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分)2127t=-)221272t+-≤=……12分=，即t=.∴ABC∆．21．（本小题满分14分）已知函数22()ln()f x x a x ax a R=-+∈．（Ⅰ）当1a=时，证明函数()f x只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x在区间()1,+∞上是减函数，求实数a的取值范围．21. 解：（Ⅰ）当1a=时，2()lnf x x x x=-+，其定义域是(0,)+∞∴2121()21x xf x xx x--'∴=-+=-…………2分令()0f x'=，即221x xx---=，解得12x=-或1x=．x>Q，∴12x∴=-舍去．当01x<<时，()0f x'>；当1x>时，()0f x'<．∴函数()f x在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减∴当x =1时，函数()f x取得最大值，其值为2(1)ln1110f=-+=．当1x≠时，()(1)f x f<，即()0f x<．∴函数()f x只有一个零点．……………………6分（Ⅱ）显然函数22()lnf x x a x ax=-+的定义域为(0,)+∞∴222121(21)(1)()2a x ax ax axf x a x ax x x-++-+-'=-+==………8分①当0a=时，1()0,()f x f xx'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意 (10)分② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥． …12分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥-此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，∴1120aa ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤- 综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………14分 法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……10分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x >∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤- 综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………14分。