第二讲 函数的极限与洛比达法则

则 lim[1 + u ( x)]
x → x0
v( x)
=e
v( x)
x→ x0
lim u ( x )⋅v ( x )
证明： lim[1 + u ( x)]
x → x0
= lim [1 + u ( x)] x → x0 lim u ( x ) v ( x ) u ( x)v( x) x→ x0 = lim e =e
x → x0
2.局部有界性 若 lim f ( x)存在，则f ( x)在x0的某邻域 局部有界性
设 0与 是 个 数, 且 > 0 x δ 两 实 δ 。 3.局部保号性 −若 lim }称 ) = A，且A > 0(或A <U(x ,δ ) 局部保号性 x < δ f ( x 点 的 邻 , 作 0), 则在 数 {x x 0 x → x0 集 为 x0 δ 域记 0
2.利用分子（或分母）极限建立参数满足的关系式 利用分子（或分母） 利用分子 3.消除其中的一个参数，并回代到原函数中进行极限求解 消除其中的一个参数， 消除其中的一个参数 4.有时可以利用 的分析，得到原函数极限形式为 , 有时可以利用1的分析 有时可以利用 的分析， 0 ∞ 则可以运用洛比达法则求解
U x0 , δ）有界 （
0
x → x0
空心邻域（ 空心邻域（不含 x0 ）
U(x0 ,δ ) = {x x − x0 < δ } 0 点 0叫 这 （x0的 心f, ( x) > 0(或f ( x) <的 径. x 做 U 域, δ）有 邻 中 δ 叫 这 域0) 做 邻 半 U(x0 ,δ ) ={x x0 −δ < x < x0 +δ }= (a − δ , a + δ ) 4.无穷小量乘有界量仍是无穷小量 无穷小量乘有界量仍是无穷小量
x →0
x →0 1
1 x 1 − 1x −1 −1 lim(1 − ) = lim[(1 − ) ] = e x →∞ x →∞ x x
第二讲 函数的极限与洛比达法则 2.公式推广（简便计算公式） 公式推广（简便计算公式） 公式推广
若 lim u ( x) = 0, lim v( x) = ∞
x → x0 x → x0
lim f (x) = A x→−∞ lim f (x) = A
x→+∞
六、利用变量代换求极限 适当地进行变量代换，使得极限中出现 或 适当地进行变量代换，使得极限中出现0或 ∞，从而利于我们使用所熟知的各种方法求解 ， 极限
第二讲 函数的极限与洛比达法则 七、利用洛比达法则求极限
0 ∞ , 0 ∞
x0
A 2
lim f (x) = 0 x→−∞ A
x→+∞ x→−∞
lim f (x) = A 2 lim f (x) = A 1
A 1
x→+∞
lim f (x) = lim f (x) = A
x→−∞
第二讲 函数的极限与洛比达法则 二、函数极限的性质 1.唯一性 若 lim f ( x)存在，则其极限值是唯一的 唯一性
1 u( x) x → x0
u ( x)v( x )
本公式多用于形如 1 的幂指函数
∞
第二讲 函数的极限与洛比达法则 五、利用左、右极限求极限 利用左、
x→x0
lim f (x) = A
x→x0 x→x0
lim f (x) = A +
lim f (x) = A −
lim f (x) = A
x→∞ x→∞
0⋅∞ ∞ − ∞ 0
0
∞
0
1∞
1.洛比达定理 洛比达定理 0 ∞ 对 或 型的极限，只要下式右边的极限存在（或为∞） 0 ∞ f ( x) f '( x) lim = lim 则 x→* g ( x ) x →* g '( x ) 2.注意事项 注意事项 （1） "*" 可表示x0 , x0 − , x0 + , ∞, +∞, −∞中任一种； 0 ∞ （ 2） 必 须 是 型 或 型 ， 否 则 不 适 用 ； 0 ∞ （ 3） 利 用 洛 比 达 法 则 一 次 不 成 功 ， 可 以 继 续 使 用 ； （ 4） 在 使 用 洛 比 达 法 则 之 前 要 尽 量 地 化 简 原 函 数 ， 比 如 对 一 些 因式直接代入，或 将其等价代换。
f [ g ( x)] f [ϕ ( x)] sin(tan x) sin x 例 lim = lim =1 x →0 x →0 ( g ( x) ϕ ( x)) x x
第二讲 函数的极限与洛比达法则 四、利用重要极限求极限（两个重要极限） 利用重要极限求极限（两个重要极限） ∞ 1.基本公式 基本公式 1
f (2 x) L′ 2 f ′(2 x) = 2 f ′(0) = 2 lim = lim x →0 x →0 x 1 ⇒ f ′(0) = 1 1 x L′ 1 1 = lim = lim = x → 0 f (3 x ) x → 0 3 f ′(3 x ) 3 f ′(0) 3
f (2 ⋅ o) lim =2 x →0 o 3 x 2 2 1 1 x 2 = lim = ⋅ = lim x → 0 f (3 x ) 3 x →0 f (3 x) 3 2 3 f (2 x) lim x →0 x
5.有限个无穷小量的和、差、积是无穷小量 有限个无穷小量的和、 有限个无穷小量的和 x0 x0 −δ x0 +δ
δ
δ
x
第二讲 函数的极限与洛比达法则 三、无穷小的概念及其阶的比较 (或 x →∞) 时 , 函数 或 1.定义 若
则
为 则称函数 lim f ( x) = 0
lim f ( x) = 0
2.无穷小阶的比较 无穷小阶的比较
x →∞
x → x0
x → x0
(或 x →∞) 时的无穷小 或 lim+ f ( x) = 0 lim− f ( x) = 0
x →+∞
lim f ( x) = 0
x → x0
x →−∞
lim f ( x) = 0
x2 sin x 3x lim = 0 lim 2 = ∞ lim =1 x →0 3 x x →0 x →0 x x 称 ο 0 β 是比α 高阶无穷小，记β =（α） lim α ( x) = 0
第二讲 函数的极限与洛比达法则 八、已知函数极限存在，反求函数中的参数 已知函数极限存在， 基本思路与方法步骤： 基本思路与方法步骤： 1.利用无穷小（大）阶的比较进行分析 利用无穷小（ 利用无穷小
lim f ( x) = 0 f ( x) = ∞ f ( x) = c(c ≠ 0) lim lim
第二讲 函数的极限与洛比达法则 §1 函数极限的概念与性质 一、函数极限的概念
自变量变化过程的六种形式: 自变量变化过程的六种形式
x0
−∞
x→x0
lim f (x) = A
x→x0 x→x0
+∞ lim f (x) = A +
lim f (x) = A −
lim f (x) = A
x→∞
lim f (x) = A x→−∞ lim f (x) = A
第二讲 函数的极限与洛比达法则 6.
(1 + x) µ − 1 µ x
0 ∞
x 2 + ax + b 已知 lim = 3, 则常数a, b的取值为（ ） x→2 x−2 2009年第1题
第二讲 函数的极限与洛比达法则 课后习题讲解 1.
sin x 1− x lim x →∞ sin x 1+ x
y
1
1 sin x lim x →∞ 1 x
y = ex
2.
o
x
第二讲 函数的极限与洛比达法则 4. 本题是一道比较经典的考试题型
1.常见的替换公式 常见的替换公式 3.活用公式、整体思想 活用公式、 活用公式
2
4.补充（复合函数等价无穷小替换） 补充（复合函数等价无穷小替换） 补充
1 − x sin(1 − x) → 1) (x x cos x − 1 − ( x → 0) ϕ ( x) ln(1 + ϕ ( x))(lim ϕ ( x) = 0) 2
x→+∞
第二讲 函数的极限与洛比达法则
f (x0 )
A 2 A 1
x→x0
x→x0
lim f (x) = A 1 +
lim f (x) = A = f (x0 ) 2 −
பைடு நூலகம்
x→x0
lim f (x) = f (x0 )
x0
x0
A 2
A 2 A 1
A
x0
x→x0
A 1
x0
x→x0 x→x0
x0
lim f (x) = A 1 + lim f (x) = A 2 −
则 lim f [ g ( x )] = lim f ( u) = A
x → x0 u → u0
x → x0 x → x0
第二讲 函数的极限与洛比达法则 §2 函数极限计算的方法 不定式（未定式） 不定式（未定式） 当分子分母都是无穷小或都是无穷大时， 当分子分母都是无穷小或都是无穷大时，两 个函数之比的极限可能存在也可能不存在， 个函数之比的极限可能存在也可能不存在，即使 极限存在也不能用“商的极限等于极限的商” 极限存在也不能用“商的极限等于极限的商”这 一运算法则，这种极限称为不定式极限。 不定式极限 一运算法则，这种极限称为不定式极限。 常见的不定式有： 常见的不定式有： 0 , ∞
第二讲 函数的极限与洛比达法则 比较分子、 一、无穷大分裂法 比较分子、分母的最高次幂 因式分解、通分、 二、无穷小分裂法 因式分解、通分、分子或分母有理化 三、利用等价无穷小替换求极限