一诊模拟理科数学试题

萱花中学高2018级理科数学一诊仿真考试试题命题人：唐德全 满分：150分 时间：120分钟一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．已知1i 1imn =+-，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则i m n +在复平面内对应的点到坐标原点的距离为A ．3B ．3C ．5D ．52．已知全集U = R ，集合2{20}A x x x =-≥,22{log (1)}B x y x ==-，则B AC U ⋂）（ A ．[1,2) B ．(1,2) C ．(1,2]D ．(),1[0,2]-∞- 3．已知命题2:,580p x x x ∀∈++>R ，则p ⌝为A ．2,580x x x ∀∈++<RB ．2000,580x x x ∃∈++R ≤C ．2000,58<0x x x ∃∈++RD ．2,580x x x ∀∈++R ≤4．某学校为了提高学生的安全意识，防止安全事故的发生，拟在未来连续7天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天中恰好有2天连续的概率是 A ．221 B ．27 C ．37 D ．475．已知有限等差数列{}n a 共9项，其中前4项的和为3，后3项的和为4，则第5项为 A ．6766 B ．4744 C ．3733D ．16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设7()4a f =-，9()5b f =-，4()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <c <b 7．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为A ．38log 8-B ．39log 8-C ．38log 40-D ．310log 40-8．设函数())+cos(2+)f x x x ϕϕ=+π()2ϕ<的图象关于直线0x =对称，则()y f x =在π3π[,]48上的值域为 A．[ B ．[2,0]- C．( D ．(2,0)-9．已知实数x ，y 满足约束条件22441x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩≥2≤≥，向量(,)x y =a ，(3,1)=-b ，设z 表示向量a 在向量b 方向上的投影，则z 的取值范围是 A ．3[,6]2- B ．[1,6]- C．[ D．[ 10．已知函数f （x ）=的最大值是M ，最小值为N ，则（ ）A ．M ﹣N=4B ．M+N=4C ．M ﹣N=2D ．M+N=211．已知双曲线2222: 1 (0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，22(0)AF F B λλ=>，其中A B 、为双曲线右支上的两点．若在△1AF B 中，190F AB ∠=︒，1F B =，则双曲线Γ的离心率的平方的值为A．5+．5- C．6．612．已知函数21(0) ()(2)1(0)x x f x f x x ⎧-=⎨-+>⎩≤，把函数1()()2g x f x x =-的零点中的偶数按从小到大的顺序排列成一个数列{}n a ，该数列的前n 项和为n S ，则10S = A ．40 B ．50 C ．90 D ．110 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知抛物线26y x =上的一点到焦点的距离是到y 轴距离的2倍，则该点的横坐标为 ． 14．已知5(1)ax +的展开式中3x 的系数与43()5x x+的展开式中第三项的系数相等，则a = ． 15．萱花中学一向注重学生的社会实践活动，特开展了模拟法庭审案一课，一名“模拟”法官在审理一起“模拟”珍宝盗窃案时，四名“模拟”嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是__________． 16．设函数()e (0,0)mf x x x m x=+≠≠在1x =处的切线与(e 1)20160x y --+=平行，()ln 1kf s t t +≥在(0,),(1,e]s t ∈+∞∈上恒成立，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47＜0成立的n 的最小值．18.(本小题满分12分)已知向量()(),cos2,sin 2,m x x n ==a b ，函数()f x =⋅a b ，且()y f x =的图像过点12π⎛ ⎝和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求,m n 的值；（2）将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间． 19．(本小题满分12分)随着人们的生活水平的提高，越来越多的人重视自身健康，除了加强身体锻炼，也会购买保健品服用．某保健品公司为了解某城市市民的年龄构成，按1%的比例从年龄在20～80岁（含20岁和80岁）之间的市民中随机抽取600人进行调查，并将年龄按[20,30)，[30,40)，[40 ,50)，[50 ,60)，[60 ,70)，[70,80]进行分组，绘制成频率分布直方图，如图所示．规定年龄在 [20，40)岁的人为“青年人”，[40，60）岁的人为“中年人”，[60，80]岁的人为“老年人”．(l)根据频率分布直方图估计该城市60岁以上 （含60岁）的人数，若每一组中的数据用该 组区间的中点值来代表，试估算所调查的600 人的平均年龄；(2)将上述人口分布的频率视为该城市年龄在2080岁的人口分布的概率，从该城市年龄在2080岁的市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．20．(本小题满分12分)已知直线:l y x =圆22:4O x y +=，椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b+=>>的离心率e =，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)已知动直线1l (斜率存在)与椭圆E 交于P ，Q 两个不同的点，且△OPQ 的面积1OPQ S ∆=，若N 为线段PQ 的中点，问：在x 轴上是否存在两个不同的定点A ，B ，使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值？若存在，求出A ，B 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．(本小题满分12分)已知函数21()ln ,() (0)2f x xg x ax bx a ==+≠．(1)若当2a =-时，函数()()()h x f x g x =-在其定义域上是增函数，若函数2()e e ,[0,ln 2]x x x b x ϕ=+∈，求函数()x ϕ的最小值；(2)设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线，分别交1C 、2C 于点M 、N ,则是否存在点R ,使1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线平行？若存在，求出点R 的横坐标；若不存在，请说明理由． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P 的直角坐标为3(3,)2--，曲线C 的极坐标方程为5ρ=，直线l 过点P 且与曲线C 相交于A 、B 两点．(1) 求曲线C 的直角坐标方程； (2) 若8AB =，求直线l 的直角坐标方程．23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲：已知函数2()f x ax x a =+-的定义域为[]1,1-(1)若(0)(1)f f =，解不等式3()14f x ax -<+； (2)若1a ≤，求证：5()4f x ≤．萱花中学高2018级一诊仿真考试理科数学试题试题答案1．C 【解析】通解 由已知可得(1i)(1i)(1)(1)i m n n n =+-=++-，因为,m n 是实数，所以101n n m -=⎧⎨+=⎩，故21m n =⎧⎨=⎩，即i 2i m n +=+，i m n +在复平面内对应的点为(2,1)，其到坐标C ．优解 2(1i)i 1i 1i 221i m m m m n +==+=+--，故122mm n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21m n =⎧⎨=⎩， 故i 2i m n +=+．i m n +在复平面内对应的点为(2,1)故选C ．2．B 【解析】由已知得(,0][2,)A =-∞+∞，(0,2)U A ∴=，又(,1)(1,)B =-∞-+∞，()(1,2)U A B ∴=，故选B ．3．B 【解析】由全称命题的否定为特称命题可知，命题2:,580p x x x ∀∈++>R 的否定为：20,580x x x ∃∈++R ≤，故选B ．4．D 【解析】连续7天中随机选择3天，有3735C =种情况，其中恰好有2天连续，有4+3+3+3+3+4=20种情况，所以所求的概率为204357=，故选D ． 5．A 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意可知111434 3 29865(9)(6)422a d a a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⨯⎪+-+=⎪⎩，解得1137,2266a d ==，5137674226666a ∴=+⨯=，故选A ． 6．B 【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(,0]-∞上单调递增，()f x ∴在[0,)+∞ 上单调递减，且77()()44a f f =-=，99()()55b f f =-=，又4()3c f =，且4790345<<<，c a b >>，故选B ． 7．B 【解析】运行该程序，13π10sin log 1112S =++=，2n =；113311sin πlog 211log 2S =++=+，3n =；1113333π11log 2sinlog 310log 62S =+++=+，4n =；1111333310log 6sin 2πlog 410log 249log 8S =+++=+=+，5n =，故输出的39log 8S =-，故选B ．8．A 【解析】由题意得函数π()2sin(2)6f x x ϕ=++，因为其图象关于直线0x =对称，所以ππ20π ()62k k ϕ⨯++=+∈Z ，即ππ ()3k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π3ϕ=，ππ()2sin(2)2cos263f x x x =++=．当π3π44x ≤≤时，π3π224x ≤≤， 所以()y f x =在π3π[,]48上的值域为[．9．C 【解析】由题意作出222441x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩≥≤≥，所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，向量a 在向量b方向上的投影)||z x y ⋅=-a b b ，由可行域知，(,)(2,0)x y ==a 时，向量a 在向量b=；当1(,3)2=a 时，向量a在向量b方向上的投影最小，且最小值为=，所以z的取值范围是[．10．D11．B 【解析】∵22(0)AF F B λλ=>，故2,,A F B 三点共线．在1AF B ∆中，190F AB ∠=，1|||F B AB =，故1AF B ∆是等腰直角三角形．设2||AF m =，由122AF AF a -=，得12||2||2AF a AF a m =+=+，又1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+，∴2||2BF a =， 又122BF BF a -=，∴1||4BF a =，依题意11|||BF AF =，=2即4)a a m =+，1)m a =，在12Rt F AF ∆中，22212||||4AF AF c +=，即22282)4a a c +-=，即2225c a =-，∴25e =- 12．C 【解析】当0x ≤时，1()212x g x x =--，其零点为0和-1．当02x <≤时，有220x -<-≤，则2()(2)12x f x f x -=-+=， 当24x <≤时，有022x <-≤，则4()(2)121x f x f x -=-+=+ 当46x <≤时，有224x <-≤，则6()(2)122x f x f x -=-+=+ 当68x <≤时，有426x <-≤，则8()(2)123x f x f x -=-+=+ 以此类推当222n x n <+≤()n N ∈时，22()(2)12x n f x f x n --=-+=+．结合函数图象可知方程1()02f x x -=在(0,2]，(2,4]，(4,6]，…，(2,22]n n +上的根依次为2，4，6，…，2n +2．即函数1()()2g x f x x =-的零点中的偶数按从小到大的顺序排列成的数列为0，2，4，6，…，2n +2，其通项公式为22n a n =-，前n 项和为(22)(1)2n n n S n n -==-，所以1090S =，C 正确． 13．32【解析】设该点的横坐标为0x ，则由抛物线的定义得00322x x +=，解得032x =． 14．35【解析】5(1)ax +=5(1)ax +的展开式的通项为155()k k k k k k T C ax C a x +==，令3k =，则3x 的系数为333510C a a =，同理43()5x x +的展开式正第三项的系数为224354()525C ⨯=，所以3541025a =，35a =． 15 乙16．]+∞【解析】由题意可得´()e e 1f x m =-=-，所以1m =， 当(0,)s ∈+∞，(1,e]t ∈时，()0,()ln 10f s g t t t >=+>， 由()ln 1kf s t t +≥可得ln 1()t t k f s +≥在(0,)s ∈+∞，(1,e]t ∈上恒成立， 即max ln 1]()t t k f s +≥[， 故只需求出()f x 在(0,)+∞上的最小值和()g x 在(1,e]上的最大值即可， 由1()e f x x x=+可得2221e 1´()e x f x x x -=-=．由´()0f x >可得x >或x <， 由´()0f x <可得0x <<或0x <<， 所以()f x在(,)-∞+∞上单调递增，在(上单调递减， 故()f x 在(0,)+∞上的最小值为f = 由()ln 1g x x x =+可得´()ln 10g x x =+>在(1,e]上恒成立， 所以()g x 在(1,e]上的最大值为(e)eln e 1e 1g =+=+，所以k ， 所以实数k的取值范围是]+∞． 17．解析 (1) an ＝2n (2) 10. 18．【解析】（Ⅰ）已知()sin2cos2f x m x n x =⋅=+a b ，)(x f 过点)2,32(),3,12(-ππ，∴()sin cos 1266f m n πππ=+= 234cos 34sin )32(-=+=πππn m f∴122122m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m（Ⅱ）由（Ⅰ）知)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f由题意知()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x由题意知2011x +=．所以00x =，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入()y g x =得sin 216πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又∵0ϕπ<<，所以6πϕ=，因此()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭由222,k x k k Z πππ-+≤≤∈， 得z k k x k ∈≤≤+-,2πππ∴()f x 的单调增区间为[,],2k k k πππ-+∈Z ．19．【解析】 (1)由频率分布直方图可知60岁以上（含60岁）的频率为(0.0l+0.01)×10=0.2，故样本中60岁以上（含60岁）的人数为600×0.2=120，故该城市60岁以上（含60岁）的人数为120÷1% =12000． （4分） 所调查的600人的平均年龄为25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）． （6分） (2)通解 由频率分布直方图知，“老年人”所占的频率为15，所以从该城市年龄在20~80岁的市民中随机抽取1人,，抽到“老年人”的概率为15，分析可知X 的所有可能取值为0,1,2,3,P (X =0)=00331464()()55125C =，P (X =1)=11231448()()55125C =，P (X =2)= 22131412()()55125C =， P (X =3)= 3303141()()55125C =．（10分） 所以X 的分布列为EX =0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35．（12分） 优解 由题意知每次抽到“老年人”的概率都是15，且X ~B (3, 15)，P (X =k )=3311()(1)55k k k C --，k =0,1,2,3,所以X 的分布列为故EX =3×15=35． （12分）20．【解析】(1)设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离d==l被圆O截得的弦长为2，所以1b=，（2分）221,4,1e b a b=∴==，∴椭圆E的方程为2214xy+=．（4分）(2)设11(,)P x y，22(,)Q x y，直线1l的方程为y kx m=+，由2214y kx mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得222(14)8440k x kmx m+++-=，则判别式222(8)4(14)(44)0km k m∆=-+->，2214m k∴<+．2121222844,1414km mx x x xk k-+=-=++，12PQ x x=-=（6分）原点O到直线1l的距离1d=，则1112OPQS PQ d∆=⋅==，2214m k∴=+，令214k n+=，则2m n=，22n m∴=，22142k m+=．N为PQ的中点，1224214Nx x kmxk+∴==-+，122214Ny y myk+==+，22142k m+=，2Nkxm∴=-，12Nym=，22212NNxy∴+=．（9分）假设在x轴上存在两个不同的定点(,0),(,0)()A sB t s t≠满足题意，则直线NA的斜率1NNykx s=-，直线NB的斜率2NNykx t=-，222122212112()()24()()NN NN N N N N Nxy xk kx s x t x s t x st x s t x st--∴==⋅=-⋅---++-++．当且仅当0s t+=，2st=-时，1214k k=-，则s t==s t==综上所述，存在两个不同的定点A，(B或(A，B，使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值． （12分）21．【解析】(1)依题意2()ln h x x x bx =+-．()h x 在其定义域(0,)+∞上的增函数， 1´()20h x x b x ∴=+-≥在(0,)+∞上恒成立，12b x x∴+≤在(0,)+∞上恒成立． 0x >，12x x ∴+≥12x x=，即x =时等号成立． ∴b的取值范围为(,-∞． （2分） 设xt e =，则函数()x ϕ可化为2y t bt =+，[1,2]t ∈，即22()24b b y t =+-，∴当12b-≤，即2b -≤≤2y t bt =+在[1,2]上为增函数，当1t =时，函数2y t bt =+取得最小值，且min 1y b =+ 当122b <-<，即42b -<<-时，当2b t =-时，函数2y t bt =+取得最小值，且2min 4b y =-当22b -≥，即4b -≤时，函数2y t bt =+在[1,2]上为减函数， 当2t =时，函数2y t bt =+ 取得最小值，且min 42y b =+．综上所述，当2b -≤≤()x ϕ的最小值为1b +； 当42b -<<-时，()x ϕ的最小值是24b -；当4b -≤时，()x ϕ的最小值是42b +． （6分） (2)设点P 、Q 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，且120x x <<， 则点M 、N 的横坐标均为122x x x +=． 曲线1C 在点M 处的切线的斜率1122k x x =+， 曲线2C 在点N 处的切线的斜率122()2a x x kb +=+， 假设曲线1C 在点M 处的切线与曲线2C 在点N 处的切线平行，则12k k =， 即122x x =+12()2a x x b ++， 则22212121122()()()2x x a x x b x x x x --=+-+=222211()()22a ax bx x bx +-+=22121211()()()()ln ln lnx g x g x f x f x x x x -=-=-=， ∴22211211212(1)2()ln 1x x x x x x x x x x --==++． （9分）设211x u x =>，则2(1)ln ,11u u u u-=>+ ① 令2(1)()ln ,11u r u u u u-=->+，则22214(1)()(1)(1)u r u u u u u -'=-=++． ∵1u >，∴()0r u '>，∴()r u 在(1,)+∞上单调递增，故()0r u >， 则2(1)ln 1u u u ->+，这与①矛盾，故假设不成立， 故不存在点R ，使曲线1C 在点M 处的切线与曲线2C 在点N 处的切线平行． （12分） 22．【解析】(1)由2525ρρ=⇒=，得2225x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为2225x y +=． （4分） (2)设直线l 的参数方程为3cos 3sin 2x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），① 将参数方程①代入圆的方程2225x y +=，得2412(2cos sin )550,t t αα-+-= （6分）216[9(2cos sin )55]0αα∴∆=++>，上述方程有两个相异的实数根，设1t 、2t ，128AB t t ∴=-化简有23cos 4sin cos 0ααα+=，解得cos 0α=或3tan 4α=-，从而可得直线l 的直角坐标方程为30x +=或34150x y ++=． （10分）23．【解析】(1)(0)(1)f f =，即1a a a -=+-，则1a =-，2()1f x x x ∴=-++∴不等式化为234x x x -+<-+， （2分）①当1<x -≤0时，不等式化为234x x x -<-+，0x <<； ②当01x ≤≤时，不等式化为234x x x -+<-+，102x ∴<≤．综上，原不等式的解集为1{}2x x <<．（6分） (2)由已知[1,1]x ∈-，1x ∴≤，又1a ≤，则22222155()(1)(1)11()244f x a x x a x x x x x x x x =-+-++-+=-+=--+≤≤≤．（10分）。