安徽省六安市第一中学2016-2017学年高二上学期第一次

理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，()5283S a a =+，则53a a 的值为（ ） A ．56 B ．13 C ．35 D ．162.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ）A．2．2．3- D．3+3.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且()cos 2cos cos 1B B C A ++-=，则（ ）A ．,,a b c 成等比数列B ．,,a b c 成等差数列C ．,c,b a 成等比数列D ．,c,b a 成等差数列4.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．175. ABC ∆中，tan A 是以-4为第三项，-1为第七项的等差数列的公差，tan B 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．以上均错6.已知等比数列{}n a 为递增数列，262,3a a --为偶函数()()2212f x x a x a =-++的两个零点，若123n n T a a a a =，则7T =（ ）A ．128B ．-128C ．128或-128D ．64或-64 7.公差不为0的等差数列{}n a 的部分项123,,k k k a a a 构成等比数列{}n k a 且1231,2,6k k k ===，则4k =（ ）A ．20B ．22C ．24D ．288.已知函数()af x x =的图象过点()4,2，令()()*1,1n a n N f n f n =∈++，记{}n a 的前n项为n S ，则2016S =（ ）A 1B 1-C 1-D 19. 在ABC ∆中，①若060,10,7B a b ===，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为120°；③若ABC ∆为锐角三角形，且三边长分别为2,3,x ，则x x << ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．010.已知数列{}n a 满足()*21102,4n n a a a n n N +=-=∈，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值为（ ）A ．25B ．26C ．27D ．2811.数列{}n a 的前n 项和为()*21n n S n N =-∈，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n- B ．()1213n - C ．41n - D ．()1413n - 12.已知函数()y f x =的定义域为()0,+∞，当1x >时()0f x >，对任意的(),0,x y ∈+∞，()()()f x f y f x y +=成立，若数列{}n a 满足()11a f =，且()()*121,n n f a f a n N +=+∈，则2017a 的值为（ ）A ．201421- B ．201521- C ．201621- D ．201721-二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角A B C 、、sin cos 20A a B a --=，则B ∠=__________．14.已知数列{}n a 中，1160,3n n a a a +=-=+，则12330a a a a ++++=___________．15.在ABC ∆中，边AB 在垂直平分线交边AC 于D ，若3C π=，8,7BC BD ==，则ABC ∆的面积为___________．16.下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为()*,,i j a i j N ∈，则①9,9a =__________；②表中的数82共出现____________次．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别是,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c aC b--=． （1）求sin sin CA的值； （2）若1cos ,24B b ==，求ABC S ∆．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，()()2*11n n na n a n n n N +=+++∈． （1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）若数列{}n b 满足121n n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为1,4n S a =，对一切正整数n ，都有1202n n S a -+=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设121log n n nb a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比11,1q a >=，且132,,14a a a +成等差数列，数列{}n b 满足：()()*1122131n n n a b a b a b n n N +++=-+∈．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若8n n ma b ≥-恒成立，求实数m 的最小值． 21.（本小题满分12分）如图，某小区准备将一块闲置的直角三角形（其中,,2B AB a BC π∠===）土地开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分（图中阴影部分）有公共绿地走道MN ，且两边是两个关于走道MN 对称的三角形（AMN ∆和A MN '∆），现考虑方便和绿地最大化原则，要求M 点与B 点不重合，A '点落在边BC 上，设AMN θ∠=．（1）若3πθ=，绿地“最美”，求最美绿地的面积；（2）为方便小区居民行走，设计时要求,AN A N '最短，求此时公共绿地走道MN 的长度． 22.（本小题满分12分）函数()()()112321,11,1x n xe nf xg x f x a g g g g e n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 是等差数列，且2n n S nb n c-=+，求非零常数c ； （3）设11n n n c a a +=，若数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57n k T >对一切*n N ∈都成立的最大正整数k 的值．参考答案一、选择题二、填空题13.23π； 14. 765 ；15. ； 16. （1）82；（2）5 三、解答题17.解：（1）∵cos 2cos 2cos A C c aB b--=， ∴cos 2cos 2sin sin cos sin A C C A B B--=， ∴cos sin 2cos sinB 2sinCcosB sinAcosB A B C -=-， ∴()()sin 2sin A B B C +=+， ∴sin 2sin C A =，∴sin 2sin CA=（2）ABC S ∆=18.（1）证明：()()111111n nn n na n a a a n n n n ++-+-==++，19.解：（1）因为1202n n S a -+=，① 所以当2n ≥时，111202n n S a ---+=，②①-②得：12,2n n a a n -=≥，所以11422n n n a -+==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分()()111122log 212n n n n b n -+++==+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7分所以()2341223242212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯③()345122223242212n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯，④．．．．．．．．．．．．．．．． 10分 ③-④()()()23412312222222122821122n n n n n n T n n n ++-++-=⨯++++-+⨯=+--+⨯=-所以22n n T n +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.解：（1）因为等比数列{}n a 满足：11321,,,14a a a a =+成等差数列， 所以：312214a a a =++，即2111214a q a a q =++， 所以：22150q q --=，所以3q =（因为1q >） 所以13n n a -=， 因为：()1122131n n n a b a b a b n +++=-+，①所以当2n ≥时，有()1112211231n n n a b a b a b n ---+++=-+，②①-②得：()()12132n n n a b n n -=-≥，所以()212n b n n =-≥，当1n =时也满足，所以21n b n =-．（2）若8n n ma b ≥-恒成立，则1293n n m --≥恒成立， 令1293n n n c --=，则12043n n nn c c +--=．当5n =时，56c c =，当5n <时，12345c c c c c <<<<， 当5n >时，678c c c >>>．所以n c 的最大值为56181c c ==，所以181m ≥，m 的最小值为181．21．由,,2B AB a BC π∠===，得3BAC π∠=．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分设()01MA MA xa x '==<<，则MB a xa =-，所以在Rt MBA '∆中，()1cos 2a xa x xa xπθ---==．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （1）因为3πθ=，所以()11cos 22x x πθ--==，所以23x =，又3BAC π∠=，所以AMN ∆为等边三角形，所以绿地的面积1222sin 2333S a a π=⨯⨯⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 （2）因为()21cos 2cos 22sin 1xxπθθθ--=-=-=， 所以212sin x θ=，则22sin aAM θ=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 又3BAC π∠=，所以在AMN ∆中，23ANM πθ∠=-，故2sin sin 3ANAMπθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 222sin sin 2sin sin 33aaAN θππθθθθ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．9分 因为221112sin sin sin cos 2cos 2sin 232226ππθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-==-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 又42ππθ<<，所以52366πππθ<-<， 所以当262ππθ-=，即3πθ=时，AN 最短，且23AN a =， 此时公共绿地走道23MN a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22.解：（1）由已知得()()22g x g x +-=， 因为123218n n a g g g n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，① 2122231n n n n a g g g g n n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①+②得()()212222221n n a n -=+++=-，所以21n a n =-；（2）22n n n b n c -=+，则1231615,,123b b b c c c===+++， 由题意得：2132b b b =+，所以12c =-； （3）()()1111212122121n c n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以11122121n nT n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 所以2157n kn >+对一切*n N ∈都 成立 所以()min 1573n k T <=，则max 19,18k k <=．。