辽宁省东北育才学校2012届高考数学模拟最后一卷试题 理 新人教A版
2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(辽宁卷,理数).pdf
2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（辽宁卷） 数学（理科） 考生注意事项： 答题前，务必在试题卷?答题卡规定填写自己的姓名?座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名?座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整?笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷?草稿纸上答题无效． 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交． 参考公式： 椎体体积，其中为椎体的底面积，为椎体的高． 若（x，y），（x，y）…，（x，y）为样本点，为回归直线，则 ， ， 说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算． 第Ⅰ卷一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的? 1．设集合，则集合是（ ） A．B． C． D． 2．若，则（ ） A． B． C． D． 3．中心在原点，焦点坐标为（0，）的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为（ ） A．B． C．D． 4?一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则这时另一个是女孩的概率是（ ） A． B． C． D． 5．如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ） A．2400 B．2450 C．2500 D．2550 6．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 7．公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ） A．4 B．8 C．16 D．36 8．已知直线（其中）与圆交于，O是坐标原点，则·=（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 9．关于的方程的两实根为，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．如图，分别是三棱锥的棱的中点，，，则异面直线与所成的角为（ ） A．60° B．45° C．0° D．120° 11．下列命题中正确的一项是（ ） A．“”是“直线与直线相互平行”的充分不必要条件 B．“直线垂直平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的充分条件 C．已知，，为非零向量，则“”是“”的充要条件 D．，，则， 12．已知是定义在R上的偶函数，且对任意，都有，当时，，则函数在区间上的反函数的值为（ ） A． B． C．D．第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分?第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答?第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答?二?填空题：本大题共4小题，每小题5分? 13．若实数均不为零，且，则展开式中的常数项等于________． 14．设椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，且，，则该椭圆的离心率为___________． 15．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则___________． 16．某公司的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示对呈线性相关关系． 245683040605070根据上表提供的数据得到回归方程中的，预测销售额为115万元时约需___________万元广告费． 参考公式：回归方程为，其中， 三?解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤? 17．（本小题满分12分） 设向量 （1）若与垂直，求的值； （2）若，求证：∥． 18．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧棱 （1）求证：平面； （2）若与底面成的角，试求二面角的大小． 19．（本小题满分12分） 某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示． （1）请先求出频率分布表中①?②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3?4?5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3?4?5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官面试的概率? 20．（本小题满分12分） 已知椭圆的右焦点为，上顶点为为上任一点，是圆的一条直径，若与平行且在轴上的截距为的直线恰好与圆相切． （1）已知椭圆的离心率； （2）若的最大值为49，求椭圆的方程． 21．（本小题满分12分） 设函数． （1）求函数的极大值； （2）若时，恒有成立（其中是函数的导函数），试确定实数的取值范围． 请考生在第22?23?24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分?做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑? 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，是边长为的正方形，以从为圆心，为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点F，延长交于． （1）求证：是的中点； （2）求线段的长． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 坐标系与参数方程过作倾斜角为的直线l与曲线E：（为参数）交于两点． （1）求曲线的普通方程及的参数方程； （2）求的取值范围． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数． （1）求不等式的解集； （2）若不等式的解集是非空的集合，求实数的取值范围． 2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题答案（辽宁卷） 数学（理科）一?选择题 1—5：CCCBD 6—10：BDADA 11—12：DB 二?填空题 13．-672 14． 15． 16．15 三?解答题 17．（1）∵b-2c，且a与b-2c垂直 ∴ 即 ∴， ∴． （2）∵，∴，即 ∴ 即a与b共线 ∴a∥b 18． （1）证：由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°， 故BD2=AD2+AB22AD?ABcos60°=4+162×2×4×=12． 又AB2=AD2+BD2， ∴ΔABD是直角三解形，∠ADB=90°， 即AD⊥BD． 在ΔPDB中，PD=，PB=，BD=， ，故得PD⊥BD． 又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD． （2）由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD． ∴平面PAD⊥平面ABCD 作PE⊥AD于E，又PE平面PAD．∴PE⊥平面ABCD． ∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDE=60° ∴PE=PDsin60°=． 作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BC． ∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角． 又EF=BD=，在ΔRtΔPEF中， ． 故二面角P—BC—A的大小为． 19．（1）由题可知，第2组的频数为0．35×100=35人 第3组的频率为 频率分布直方图如图所示 （2）因为第3?4?5组共有60名学生， 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生， 每组分别为： 第3组：人 第4组：人 第5组：人 所以第3?4?5组分别抽取3人?2人?1人． （3）设第3组的3位同学为，第4组的2位同学为，第5组的1位同学为 则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下： ，，， ，，， ，，， ，， 其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为 20．（Ⅰ）由题意可知直线l的方程为， 因为直线与圆相切，所以，即 从而 （Ⅱ）设?圆的圆心记为，则 （0），又=( 解得c=4，此时椭圆方程为； (当 解得 但故舍去． 综上所述，椭圆的方程为． 21．（1）∵，且， 当时，得；当时，得； ∴的单调递增区间为； 的单调递减区间为和． 故当时，有极大值，其极大值为． （2）∵， ①当时，， ∴在区间内是单调递减． ∴ ∵，∴ 此时，不存在． ②当时，． ∵， ∴即 此时，． 综上可知，实数的取值范围为． 选做题 22．（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO=∠FDO， 因为BC是的切线，且CF是圆D的弦， 所以，即∠CDO=∠BCE 故Rt△CDO≌Rt△BCE，所以 所以E是AB的中点 （2）连接BF，∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB ∴△FEB∽△BEC， 得 ∵ABCD是边长为a的正方形 ∴ 23．（1）消去参数θ，可得曲线E的普通方程为 由条件可得L的参数方程为（t为参数）． （2）将L的参数方程代入由曲线E的方程得 由， 得 又由于倾斜角满足，∴ 24．（1），令 得，所以不等式的解集是 （2）在上递减，上递增，所以，， 由于不等式的解集是非空的集合，所以，， 解之，，即实数的取值范围是：．。
(值得一做)辽宁省东北育才学校2012届高三下学期最后一次模拟考试理科综合能力试题
（值得一做）辽宁省东北育才学校2012届高三下学期最后一次模拟考试理科综合能力试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第II卷第33—40题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案实用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 O16 N23 CL35.5 C U63.6第Ⅰ卷（选择题共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．李斯特氏菌是致死食源性细菌，会在人类的细胞之间快速传递，使人患脑膜炎。
其原因是该菌的一种InIC的蛋白可通过阻碍人类细胞中的Tuba蛋白的活性，使细胞膜更易变形而有利于细菌的转移。
下列叙述正确的是（）A．该菌进人人体细胞的方式是需要消耗能量的胞吞作用B．该菌使人类细胞发生变形，说明细胞膜具有选择透过性C．与乳酸菌一样，该菌的遗传物质主要是DNAD．Tuba蛋白和InIC蛋白的合成均需要内质网和高尔基体的加工2．细胞中的核糖体通常不是单独执行功能，而是构成多聚核糖体（如右图）。
研究表明，动物卵裂期细胞中多聚核糖体的百分比明显增高，下列有关叙述中不正确的是（）A．核糖体的主要功能是合成蛋白质B．卵裂期细胞分裂旺盛，需要大量蛋白质C．多聚核糖体的形成可以大大缩短每条肽链的合成时间D．多聚核糖体上的核糖体数目与信使RNA的长度有关3．植物的光合作用通常会因受到光照而被活化，分析得知一种在叶绿体内部与光合作用有关的酶，其活性受到PH及其镁离子浓度的影响如图所示。
2012辽宁高考数学(理)试题及答案解析(免费)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则)()(B C A C U U 为(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}【答案】B【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ，所以)()(B C A C U U 为{7,9}。
故选B【解析二】 集合)()(B C A C U U 为即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B(2)复数22i i-=+ (A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i + 【答案】A 【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ----===-++-，故选A 【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。
复数的运算要做到细心准确。
(3)已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是(A) a ∥b (B) a ⊥b(C){0,1,3} (D)a +b =a -b【答案】B【解析一】由|a +b |=|a -b |，平方可得a ⋅b =0, 所以a ⊥b ，故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a +b |=|a -b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b ，故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。
2012高考辽宁理科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(辽宁卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1，3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(U A )∩(U B )＝()A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}2．复数2i2i -=+( ) A ．34i 55- B ．34i 55+ C ．41i 5- D ．31i 5+3．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b 4．已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则p 是( ) A ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0D ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜05．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3！ B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9！6．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 7．已知sin α－cos α2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．2C 2D ．1 8．设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．559．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( )A ．－1B ．23 C ．32D ．4 10．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A ．16 B ．13 C ．23 D ．4511．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈［0,1］时，f (x )＝x 3．又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在［12-，32］上的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．812．若x ∈［0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )A ．e x ≤1＋x ＋x 2B 211124x x ≤-+C ．cos x ≥1－12x 2D ．ln(1＋x )≥x －18x 2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________．14．已知等比数列{a n }为递增数列，且2510a a ＝，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝__________．15．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．16．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C P A ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值． 18．如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值．19．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．附：2211221221121()n n n n n n n n n χ+++-=，20．如图，椭圆C 0：2221x y a b+=(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 12，b ＜t 1＜a ．点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2．若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 12＋t 22为定值．21．设f (x )＝ln(x ＋1)ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线32y x =在(0,0)点相切．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当0＜x ＜2时，9()6xf x x <+．22．选修4－1：几何证明选讲如图，O 和O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交O 于点E ．证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE ．23．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4．(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 24．选修4—5：不等式选讲已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若()2()2x f x f k -≤恒成立，求k 的取值范围．1． B 由已知条件可得U A ＝{2,4,6,7,9}，U B ＝{0,1,3,7,9}，所以(U A )∩(U B )＝{7,9}，故选B ．2． A222i (2i)44i i 34i 2i (2i)(2i)555---+===-++-，故选A ． 3． B |a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，因为|a ＋b |＝|a －b |， 所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2， 即2a ·b ＝－2a ·b ， 所以a ·b ＝0，a ⊥b ．故选B ． 4． C 命题p 是一个全称命题，其否定为存在性命题，p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0，故选C ．5． C 完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有33A 种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有333333A A A 种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有33333333A A A A ，故选C ．6． B 因为数列{a n }为等差数列， 所以1111111()2a a S +=，根据等差数列的性质，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ＋a q ＝a m ＋a n 得，a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，所以111116882S ⨯==，故选B ． 7． A 将sin α－cos α2两边平方得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝2，即sin αcos α＝12-，则222sin cos tan 1sin cos tan 12αααααα==-++， 整理得2tan α＋tan 2α＋1＝0， 即(tan α＋1)2＝0，所以tan α＝－1．故选A ．8． D 不等式组表示的平面区域如图所示，则2x ＋3y 在A (5,15)处取得最大值，故选D ． 9． D 当i ＝1时，2124S ==--； i ＝2时，22213S ==+； i ＝3时，232223S==-；i ＝4时，24322S==-；i ＝5时，2124S ==--； i ＝6时，23S =； i ＝7时，32S=； i ＝8时，S ＝4；i ＝9时，输出S ，故选D ． 10． C 设AC ＝x cm(0＜x ＜12)， 则CB ＝12－x (cm)，则矩形面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2＜32，即(x －8)(x －4)＞0，解得0＜x ＜4或8＜x ＜12，在数轴上表示为由几何概型概率公式得，概率为82123=，故选C ．11． B 由f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )可知，f (x )是偶函数，且关于直线x ＝1对称， 又由f (2－x )＝f (x )＝f (－x )可知，f (x )是以2为周期的周期函数． 在同一坐标系中作出f (x )和g (x )在［12-，32］上的图象如图，可知f(x)与g(x)的图象在［12-，32］上有6个交点，即h (x )的零点个数为6．12．C对于e x与1＋x＋x2，当x＝5时，e x＞32，而1＋x＋x2＝31，所以A项不正确；211124x x-+，当14x==，21157124645x x-+=<，所以B项不正确；令f(x)＝cos x＋12x2－1，则f′(x)＝x－sin x≥0对x∈［0，＋∞)恒成立，f(x)在［0，＋∞)上为增函数，所以f(x)的最小值为f(0)＝0，所以f(x)≥0，cos x≥1－12x2，故C 项正确；令g(x)＝ln(1＋x)－x＋18x2，则11()114g x xx'=+-+，令g′(x)＝0，得x＝0或x ＝3．当x∈(0,3)时，g′(x)＜0，当x∈(3，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在x＝3时取得最小值g(3)＝ln 4－3＋98＜0，所以D项不正确．13．答案：38解析：由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱，长方体表面积为2×(4×3＋3×1＋4×1)＝38，圆柱的侧面积为2π，上下两个底面积和为2π，所以该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38．14．答案：2n解析：设数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a12·q8＝a1·q9，a1＝q，由2(a n＋a n＋2)＝5a n ＋1，得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或12q=，因为数列{a n}为递增数列，所以q＝2，a1＝2，a n＝2n．15．答案：－4解析：由已知可设P(4，y1)，Q(－2，y2)，∵点P，Q在抛物线x2＝2y上，∴()212242,22,yy⎧=⎪⎨-=⎪⎩①②∴128,2,yy=⎧⎨=⎩∴P(4,8)，Q(－2,2)．又∵抛物线可化为212y x=，∴y′＝x，∴过点P的切线斜率为44xy='=．∴过点P的切线为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8．又∵过点Q 的切线斜率为22x y =-'=-，∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2． 联立48,22,y x y x =-⎧⎨=--⎩解得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4． 16．答案：3 解析：正三棱锥P －ABC 可看作由正方体P ADC －BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P －ABC 的外接球的直径，且PF ⊥平面ABC ．设正方体棱长为a ，则3a 2＝12，a ＝2，AB ＝AC ＝BC ＝22．1322222322ABC S ∆=⨯⨯⨯=．由V P －ABC ＝V B －P AC ，得111222332ABC h S ∆⋅⋅=⨯⨯⨯⨯，所以23h =，因此球心到平面ABC 的距离为3．17．解：(1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°， 所以1cos 2B =． (2)解法一：由已知b 2＝ac ，及1cos 2B =， 根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ， 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34． 解法二：由已知b 2＝ac ，及1cos 2B =， 根据余弦定理得22cos 2a c acB ac+-=，解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34．18．解：(1)证法一：连结AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′．又MN 平面A ′ACC ′，AC ′平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′．证法二：取A ′B ′中点P ，连结MP ，NP ， 而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点， 所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′， PN ∥平面A ′ACC ′． 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′． 而MN 平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′．(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O －xyz ，如图所示．设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)， 所以M (2λ，0，12)，N (2λ，2λ，1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，由0,0A M MN ⎧⋅'=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u rm m 得111110,2210,22x z y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，由0,0NC MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u rn n 得222220,2210,22x y z y z λλλ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可取n ＝(－3，－1，λ)．因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m ·n ＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得=2λ． 19．解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100将2×2222112212211212()100(30104515)100 3.0307525455533n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯．因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14．由题意X ～B (3，14)，从而X 的分布列为E (X )＝np ＝13344⨯＝， D (X )＝np (1－p )＝13934416⨯⨯=． 20．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为11()y y x a x a=++，① 直线A 2B 的方程为11()y y x a x a-=--．② 由①②得22221221()y y x a x a-=--．③ 由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故2211221x y a b +=．从而y 12＝b 2(1－212x a )，代入③得22221x y a b-=(x ＜－a ，y ＜0)．(2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得 4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|， 故x 12y 12＝x 22y 22．因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 12(1－212x a )＝b 2x 22(1－222x a)．由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 12＋x 22＝a 2． 从而y 12＋y 22＝b 2，因此t 12＋t 22＝a 2＋b 2为定值．21．解：(1)由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1．由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32， 又y ′|x ＝0＝(11x +＋a )|x ＝0＝32＋a ，得a ＝0． (2)证法一：由均值不等式，当x ＞0时，x ＋1＋1＝x ＋2，12x<+． 记h (x )＝f (x )－96xx +，则2154()1(6)h x x x '=+-++2254654(6)4(1)(6)x x x x +-<-+++＝32(6)216(1)4(1)(6)x x x x +-+++． 令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0＜x ＜2时，g ′(x )＝3(x ＋6)2－216＜0． 因此g (x )在(0,2)内是递减函数， 又由g (0)＝0，得g (x )＜0， 所以h ′(x )＜0．因此h (x )在(0,2)内是递减函数， 又h (0)＝0，得h (x )＜0．于是当0＜x ＜2时，9()6xf x x <+． 证法二：由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)＋1x +－1．由均值不等式，当x ＞0时，2(1)1x +⋅＜x ＋1＋1＝x ＋2， 故112xx +<+．① 令k (x )＝ln(x ＋1)－x ， 则k (0)＝0，1()1011x k'x x x -=-=<++， 故k (x )＜0，即ln(x ＋1)＜x ．② 由①②得，当x ＞0时，3()2f x x <． 记h (x )＝(x ＋6)f (x )－9x ，则当0＜x ＜2时， h ′(x )＝f (x )＋(x ＋6)f ′(x )－9＜32x ＋(x ＋6)(11121x x +++)－9 ＝12(1)x +［3x (x ＋1)＋(x ＋6)(2＋1x +)－18(x ＋1)］ ＜12(1)x +［3x (x ＋1)＋(x ＋6)(3＋2x )－18(x ＋1)］ ＝4(1)x x +(7x －18)＜0． 因此h (x )在(0,2)内单调递减， 又h (0)＝0，所以h (x )＜0，即9()6xf x x <+． 22．证明：(1)由AC 与O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ， 所以△ACB ∽△DAB ． 从而AC ABAD BD=，即AC ·BD ＝AD ·AB ． (2)由AD 与O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ， 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD ． 从而AE ADAB BD=，即AE ·BD ＝AD ·AB ． 结合(1)的结论，AC ＝AE ．23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．解2,4cos ρρθ=⎧⎨=⎩得ρ＝2，π3θ=±， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，π3-)． 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)解法一：由cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，(1，)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,,x t y t =⎧≤⎨=⎩ (或参数方程写成1,,x y y y =⎧≤≤⎨=⎩解法二：将x ＝1代入cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得ρcos θ＝1，从而1cos ρθ=． 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,ππtan ,33x y θθ=⎧-≤≤⎨=⎩． 24．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2．又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，42x a a-≤≤，得a ＝2． (2)记h (x )＝f (x )－2()2x f ， 则()1,1,143,1,211,,2x h x x x x ⎧⎪≤-⎪⎪---<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩＝ 所以|h (x )|≤1，因此k ≥1．。
2012学年高考理科数学年辽宁卷答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）【解析】{0,1}N ={0,1}M N =【提示】先求出N =，再利用交集定义得出MN ．【考点】集合的基本运算（交集），则q ⌝”，所以“若又C 的渐近线为πsin 6x ⎛- ⎝()f x ∴值域为【提示】根据给出的三角函数表达式，结合两角差的正弦即可求出其值域．【解析】由图知，||||cos(π)2||(cos AB BC AB BC B BC =-=⨯⨯-BC AC AB BC-，82m m ++b a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭bPA PB PC PD=，Array PA PB PC PD=，即可求出圆的半径．π2AC ω=，sin(b ωϕ+90，得AC PA⊥平面而PA，AE所以CD⊥90， ，则相关的各点坐标为：(0,0,0)A ，(4,0,0)B (4,3,0)，(0,5,0)D (2,4,0)，(0,0,)P h （Ⅰ）易知(4,2,0)CD =-，(2,4,0)AE =，(0,0,AP =，8CD AE =-+，0CD AP =，所以，而AP ，AE 是平面内的两条相交直线，所以CD （Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，CD ，AP 分别是平面PAE ABCD 的法向量，而与平面PAE 所成的角,cos ,CD PB PA PB <>=<>，即||||||||C D P BP AP BC D P B P A P B =，知，(4,2,0)CD =-，(0,0,AP =由(4,0,)PB h =-，故22162516h h h h ++=++3351501220(y y y =03420(y y =2k11 / 11。
2012届高三数学第三次联考 文(2012东北三校三模)新人教A版
2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第三次调研测试数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 若i zi-=+123，则=z A.1522i -- B.1522i - C.i 2521+ D.1522i -+2. 若集合{2,1,0,1,2}A =--，则集合{|1,}y y x x A =+∈=A.{1,2,3}B.{0,1,2}C.{0,1,2,3}D.{1,0,1,2,3}-3. 直线l ：2x my =+与圆M ：22220x x y y +++=相切，则m 的值为A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或17-4. 各项都是正数的等比数列{}n a 中，13a ，312a ，22a 成等差数列，则1012810a aa a +=+A.1B.3C.6D.95. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是相关系数为1r相关系数为2r相关系数为3r相关系数为4r A. 24310r r r r <<<< B. 42130r r r r <<<< C. 42310r r r r <<<<D. 24130r r r r <<<<6. 函数21()3coslog 22f x x x π=--的零点个数为 A.2B.3C.4D.57. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是631，则判断框内应填入的条件是 A.i <4 B.i >4 C.i <5 D.i >58. 函数()sin()6f x A x πω=+(0)ω>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图像只需将()f x 的图像A.向左平移6πB.向右平移3πC.向左平移23πD.向右平移23π9. 若满足条件AB=3，C=3π的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是 A.()1,2B.()2,3C.()3,2D.()2,2 10. 现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为A.13B.23C.12D.3411. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其一个焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M 、N 两点，O 是坐标原点，满足OM ON ⊥，则双曲线的离心率为A.172+ B.152+ C.132+ D.122+12. 四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于443+，则球O 的体积等于 A.423π B.823π C.1623π D.3223π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 平面区域⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤-1111y x y x 的周长为_______________.14. 某长方体的三视图如右图，长度为10的体对角线在正视图中的长度为6，在侧视图中的长度为5，则该长方体的全面积为________________.15. 等差数列{}n a 的首项为a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，则数列{}n S 为递增数列的充分必要条件是________________.16. 如果直线2140ax by -+=(0,0)a b >>和函数1()1x f x m+=+(0,1)m m >≠的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是_______________. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分）在△ABC 中，向量(2cos ,1)m B =，向量(1sin ,1sin 2)n B B =--+，且满足m n m n +=-.⑴求角B 的大小；⑵求sin sin A C +的取值范围. 18. （本小题满分12分）2012年2月份，从银行房贷部门得到好消息，首套住房贷款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示： ⑴求本周该银行所发放贷款的贷款．．年限．．的标准差； ⑵求在本周内一位购房者贷款年限不超过20年的概率； ⑶求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限（取过剩近似整数值）.19. （本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ABCD ⊥底面,90ADC ∠=，AB CD ||，122AD CD DD AB ====.⑴求证：11AD B C ⊥； ⑵求四面体11A BDC 的体积.20. （本小题满分12分）已知12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左右焦点， ,M N 分别为其左右顶点，过2F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点. 当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBNA 1CD 1DA BB 1C 165的面积等于2，且满足222MF AB F N =+.⑴求此椭圆的方程；⑵当直线l 绕着焦点2F 旋转但不与x 轴重合时，求MA MB NA NB ⋅+⋅的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =.⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵对于任意正实数x ，不等式1()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围； ⑶求证:当3a >时，对于任意正实数x ，不等式()()xf a x f a e +<⋅恒成立.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA的中点，过点M 引圆O 的割线交该圆于,B C 两点，且100BMP ∠=，40BPC ∠=.⑴求证：MBP ∆ 与MPC ∆相似； ⑵求MPB ∠的大小.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为：2sin()42t πρθ+=（其中t 为常数）.⑴若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围； ⑵当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离.24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 已知函数()|1||22|.f x x x =-++ ⑴解不等式()5f x >；⑵若关于x 的方程1()4a f x =-的解集为空集，求实数a 的取值范围.2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.C2.C3. B4.D5.A6.B7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.B 简答与提示：1. C 由已知i i i z 2521123+=-+=. 故选C. 2. C 将2,1,0,1,2--=x 逐一带入1+=x y ,得y=0,1,2,3，故选C.3. B 圆的方程化为22(1)(1)2x y +++=，由直线与圆相切，可有2132=+-m m ,解得71m =-或. 故选B.4. D 由已知31232a a a =+于是232q q =+,由数列各项都是正数，解得3q =,210128109a a q a a +==+. 故选D.5. A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知24310r r r r <<<<. 故选A6. B 在同一坐标系内画出函数3cos 2y x π=和21log 2y x =+的图像，可得交点个数为3. 故选B.7. C 初始值15,0,1===P T i ，第一次循环后2,1,5i T P ===，第二次循环后3,2,1i T P ===，第三次循环后14,3,7i T P ===，第四次循环后15,4,63i T P ===，因此循环次数应为4次，故5i <可以作为判断循环终止的条件. 故选C. 8. A 由条件知函数()f x 的周期为π，可知2ω=，即函数()sin(2)6f x A x π=+，()cos 2g x A x =，可将()g x 化为()sin(2)2g x A x π=+，由此可知只需将()f x 向左平移6π个单位即可获得x A x A x A x f 2cos )22sin(]6)6(2sin[)6(=+=++=+ππππ.故选A.9. C 若满足条件的三角形有两个，则应1sin sin 23<<=A C ，又因为2sin sin ==CABA BC ，故A BC sin 2=，2BC <<. 故选C. 10. C 通过将基本事件进行列举，求得概率为21. 故选C.11. B 由题意可有：a b c 2=，由此求得251+=e . 故选B.12. B 由题意可知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径R ，且四棱锥的高h R =，进而可知的正方形，所以该四棱锥的表面积为2124(sin 60)2R +⋅=2(24R +=+2,22==R R ，进而球O的体积34433V R ππ==⨯=故选B. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13.14. 4+15.0d ≥且0d a +>16. 34[,]43简答与提示：13. 画出图形，可得该区域图形为边长为2的正方形，故其周长为.14.2，1，因此其全面积为1212)4++⨯=+15. 由n n S S >+1，可得(1)(1)(1)22n n n n n a d na d +-++>+，整理得0>+a dn ，而*∈N n ，所以0d ≥且0>+a d . 因此数列{}n S 单调递增的充要条件是: 0d ≥且0d a +>.16. 根据指数函数的性质，可知函数1()1(0,1)x f x m m m +=+>≠恒过定点(1,2)-.将点(1,2)-代入2140ax by -+=，可得7a b +=.由于(1,2)-始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +≤.由22725a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，这说明点(,)a b 在以(3,4)A 和(4,3)B 为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是34[,]43.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域等有关知识.【试题解析】解：⑴由m n m n +=-，可知0m n m n ⊥⇔⋅=. 然而(2cos ,1),m B =(1sin ,1sin 2)n B B =--+，所以有2cos sin 21sin 22cos 10m n B B B B ⋅=--+=-=，得1cos ,602B B ==.(6分)⑵)30sin(3cos 23sin 23)120sin(sin sin sin +=+=-+=+A A A A A C A .(9分) 又0120A <<，则3030150A <+<，1sin(30)12A <+≤，所以 3sin sin 23≤+<C A ,即sin sin A C +的取值范围是.（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、平均值的求取以及概率的初步应用.【试题解析】解：⑴贷款年限依次为10，15，20，25，30，其平均值20x =.222222(1020)(1520)(2020)(2520)(3020)505s -+-+-+-+-==，所以标准差s =. (4分)⑵所求概率123101025980808016P P P P =++=++=. (8分) ⑶平均年限101010152025252015302280n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈(年). (12分) 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系以及几何体体积的求法.【试题解析】解：⑴由四边形11A ADD 是正方形，所以D A AD 11⊥.又⊥1AA 平面ABCD ， 90=∠ADC ，所以DC AD DC AA ⊥⊥,1，而1AA AD A =，所以DC ⊥平面D D AA 11，DC AD ⊥1.又1A DDC D =，所以⊥1AD 平面11DCB A ，从而C B AD 11⊥. (6分)⑵设所给四棱柱的体积为V ，则61=⋅=AA S V ABCD ，又三棱锥ABD A -1的体积等于三棱锥111C D A B -的体积，记为1V ，三棱锥111C D A D -的体积又等于三棱锥CBD C -1的体积，记为2V .而3221221311=⨯⨯⨯⨯=V ，3422221312=⨯⨯⨯⨯=V ，所以所求四面体的体积为22221=--V V V . (12分) 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】解：⑴当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN 面积: ,222212=⋅⋅ab a 得12=b . 又2222,,b MF a c AB F N a c a =+==-，于是c a ab c a -+=+222，得2=ac ，又221a c =+，解得a =因此该椭圆方程为1222=+y x . (4分) (2)设直线1:+=my x l ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x my x 消去x 并整理得：012)2(22=-++my y m . 设),(),,(2211y x B y x A ，则有21,22221221+-=+-=+m y y m m y y . (6分) 由),2(11y x MA +=，),2(22y x MB +=，),2(11y x NA -=，),2(22y x NB -=，可得4)(22121++=⋅+⋅y y x x NB NA MB MA . (8分)1)()1()1)(1(2121221212121++++=+++=+y y m y y m y y my my y y x x 21222++-=m m ,所以2104)(222121+=++=⋅+⋅m y y x x NB NA MB MA . (10分)由于m R ∈,可知MA MB NA NB ⋅+⋅的取值范围是(0,5]. (12分) 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研 究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】解：⑴令()l n 10fx x '=+=,得1x e=. 当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增. (3分) ⑵由于0x >，所以11()l n l n 22fxxxk x k x x=>-⇔<+. 构造函数1()ln 2k x x x =+，则令221121()022x kx x x x-'=-==，得12x =.当1(0,)2x ∈时，()0k x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0k x '>.所以函数()k x 在点12x =处取得最小值，即m i n11()()l n 11l n 222k x k ==+=-. 因此所求的k 的取值范围是(,1l n 2)-∞-. (7分) ⑶()()()ln()ln x x f a x f a e a x a x a a e +<⋅⇔++<⋅()ln()ln a x a a x a x a ae e+++⇔<.构造函数ln ()xx xg x e=，则问题就是要求()()g a x g a +<恒成立. (9分) 对于()g x 求导得 2(ln 1)ln ln 1ln ()x x x x x e x x e x x xg x e e +-⋅+-'==.令()ln 1ln h x x x x =+-，则1()ln 1h x x x'=--，显然()h x '是减函数.当1x >时，()(1)0h x h ''<=，从而函数()h x 在(1,)+∞上也是减函数. 从而当3x >时，()()ln 1ln 20h x h e e e e e <=+-=-<，即()0g x '<，即函数ln ()xx xg x e =在区间(3,)+∞上是减函数.当3a >时，对于任意的非零正数x ，3a x a +>>，进而有()()g a x g a +<恒成立，结论得证. (12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到圆的性质以及三角形相似等有关知识内容.【试题解析】解：⑴因为MA 为圆的切线，所以2MA MB MC =⋅ 又M 为PA 中点，所以2MP MB MC =⋅.因为BMP PMC ∠=∠，所以BMP ∆与PMC ∆相似. （5分） ⑵由⑴中BMP ∆与PMC ∆相似，可得MPB MCP ∠=∠. 在MCP ∆中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=， 得180202BPC BMPMPB -∠-∠∠==. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等内容.【试题解析】对于曲线M,消去参数，得普通方程为2,12≤-=x x y ,曲线M是抛物线的一部分；对于曲线N ，化成直角坐标方程为t y x =+，曲线N 是一条直线. (2分)(1)若曲线M,N 只有一个公共点，则有直线N过点时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点(之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以11t <≤满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由12-=-x x t ，得210,x x t +--=14(1)0t ∆=++=，求得54t =-. 综合可求得t的取值范围是：11t <≤或54t =-. （6分）(2)当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(200-x x，0x ≤823243)21(212002≥++=++=x x x d ， 当012x =-时取等号，满足0x ≤823. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明以及解法等内容.【试题解析】解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-<--<≤-+≥+=1,1311,31,13)(x x x x x x x f当1≥x 时，由513>+x 解得：34>x ；当11<≤-x 时，由53>+x 得2>x ，舍去；当1-<x 时，由513>--x ，解得2-<x . 所以原不等式解集为4|23x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.(5分)（2）由（1）中分段函数()f x 的解析式可知:()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增.并且min ()(1)2f x f =-=，所以函数()f x 的值域为[2,)+∞.从而()4f x -的取值范围是[2,)-+∞,进而1()4f x -(()40)f x -≠的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞.根据已知关于x 的方程1()4a f x =-的解集为空集，所以实数a 的取值范围是1(,0]2-. (10分)。
2012年辽宁高考理科数学试题及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝， 则)()(B C A C U U 为(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}【答案】B【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ，所以)()(B C A C U U 为{7,9}。
故选B【解析二】 集合)()(B C A C U U 为即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。
采用解析二能够更快地得到答案。
(2)复数22i i-=+ (A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i + 【答案】A【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i iii i i----===-++-，故选A【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。
复数的运算要做到细心准确。
(3)已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是(A) a∥b(B) a⊥b(C){0,1,3} (D)a+b=a-b【答案】B【解析一】由|a+b|=|a-b|，平方可得a⋅b=0, 所以a⊥b，故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|a-b|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|a-b|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b，故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。
辽宁省东北育才学校2012届高三高考模拟最后一卷理综试题
2012届东北育才学校科学高中部模拟考试理科综合能力测试命题：高三理综备课组本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至5页，第Ⅱ卷5至15页，满分300分．时间150分钟考生注意：⒈答题前,考生务必将自己的考号、姓名填写在答题卡上．⒉第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色签字气在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．⒊考试结束，监考员将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题共126分）本卷共21小题,每小题6分,共126分．以下数据可供解题时参考：可能用到的相对的原子质量：H1 C12 O16 S32 Cl 35。
5 Fe 56 Cu 64 Mn 55一、选择题:本大题共13小题，每小题6分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列有关细胞的叙述,正确的是①硝化细菌、霉菌、颤藻的细胞都含有核糖体、DNA和RNA②细胞学说揭示了“老细胞为什么要产生新细胞"③柳树叶肉细胞的细胞核、叶绿体和线粒体中均能发生碱基互补配对现象④胆固醇、磷脂、维生素D都属于固醇⑤蛙红细胞、人肝细胞、洋葱根尖分生区细胞并不都有细胞周期A．①③⑤B．②④⑤C．②③④D．②③⑤2．下列有关人体生命活动调节的叙述正确的是A．神经兴奋在神经纤维上传导时,其方向与膜内电流的方向相反B．已经获得免疫的机体，再次受到相同抗原刺激时就会发生过敏反应C．人体产生冷、热感觉的神经中枢在下丘脑D．人体是由下丘脑合成并分泌抗利尿激素3．下列哪一项试剂在两个实验中的作用相同A．酒精在“观察植物细胞有丝分裂”和“检测生物组织中的脂肪”中的作用B．盐酸在“观察植物细胞有丝分裂”和“低温诱导植物染色体数目的变化”中的作用C．CuSO4在“检测生物组织中的还原糖”和“检测生物组织中的蛋白质”中的作用D．蒸馏水在“提取纯净的动物细胞膜"和“探究生长素类似物促进插条生根的最适浓度”中的作用4．对下列相关图的叙述中,正确的是（）A．甲图若表示某二倍体生物细胞,表示的时期为减数第一次分裂后期B．乙图表示在不同生命活动过程中，细胞内染色体数的变化曲线,男人和女人在b过程中都可以出现两条X染色体C．丙图中直接刺激肌肉可以引起其兴奋收缩，并能在g、f、e处检测到膜电位变化D．丁图为种子萌发过程，甲为淀粉含量的变化曲线，乙为每个细胞中DNA总量的变化曲线5．某研究小组用番茄进行光合作用和呼吸作用的实验,乙图是在密闭温室中测得的一昼夜CO2变化量，下列相关叙述中不．正确的是A．如甲图所示与M点相比，N点限制单株光合作用强度的外界因素主要是光照强度B．如乙图所示，B—C时间段叶绿体内ADP的移动方向是由叶绿体基质向类囊体薄膜C．图乙中C点与E点光合作用和呼吸作用强度相等D．对叶片做如丙图处理：在A、B的对应部位截取相等面积的叶片，烘干称重为M A、M B，则M=M B-M A,为B叶片被截取部分在6小时内光合作用合成的有机物总量6．右图表示某草原生态系统中能量流动图解,①～④表示相关过程能量数值．下列有关叙述正确的是 A ．①是流入该生态系统的总能量 B ．分解者获得的能量最少C ．图中②／①的值代表草→兔的能量传递效率D ．③和④分别是兔和狐未吸收的能量 7．下列关于有机物的叙述正确的是A ．石油、天然气和煤的主要成分都是烷烃B ．乙烯和苯都能使溴水褪色，故不能用溴水鉴别乙烯和苯蒸气C ．乙醇、乙酸和乙酸乙酯都能发生取代反应和氧化反应D ．棉花与合成纤维的主要成分均为纤维素8．若N A 表示阿伏加德罗常数，下列说法正确的是A ．27 mL 4℃的水中所含分子数约为1。
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2012届东北育才学校科学高中部模拟考试数学试卷（理）第I 卷（选择题 共60分）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数20123ii-（i 为虚数单位）对应的点位于(A)第一象限 （B ） 第二象限 （C ） 第三象限 （D ） 第四象限2.已知全集U R =,集合{}13A x x =-≤≤，集合(){}2log 21B x x =-<，则U A B ð= (A){}12x x ≤≤ （B ）{}12xx -≤≤（C ） {}02x x ≤≤（D ）{}11x x -≤≤3.下列命题正确的是（A ） 命题“若022=+y x ，则0==y x ”的逆否命题为“若y x ,中至少有一个不 为0，则022≠+y x ”；（B ） 设回归直线方程为y=2-2.5x ，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位； （C ） 已知ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(-2≤ξ≤0)=0.4，则P （ξ>2）=0.2； （D ） 若向量b a ,满足0<⋅b a ，则a 与b 的夹角为钝角.4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A,B 中至少有一个发生的概率是 (A)512（B ）12（C ）712（D ）345.椭圆2211612xy+=的长轴为1A 2A ,短轴为1B 2B ,将椭圆沿y 轴折成一个二面角,使得1A 点在平面1B 2A 2B 上的射影恰好为椭圆的右焦点,则该二面角的大小为（ ）（A ）75° （B ）60° （C ）45° （D ）30°6.已知G 是△ABC 的重心，且0GC 3GB GA =++c b a ，其中c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，则cos C = （A ）23 （B ）23-（C ）65 （D ）637.已知抛物线()220y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(A)1x = （B ）1x =- （C ）2x = （D ）2x =-8. 执行下面的程序框图，如果输入30,72==n m ， 则输出的n 是（A ）12 （B ） 6 （C ） 3 （D ）09.设x 、a 1、a 2、y 成等差数列，x 、b 1、b 2、y 成等比数列，则21212(a a )b b +的取值范围是（A ）[4，+∞) （B ）（0][4,+,-∞∞ ） （C ）[0，4] （D ）(4)[4,,-∞-+∞ )10.已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x ,若目标函数y x z +=2的最大值7，最小值为1，则=++acb a（A ） 2 （B ）1 （C ） －1 （D ） －211.已知四面体P A B C -的外接球的球心O 在AB 上，且P O ⊥平面ABC，2AC =,若四面体P A B C -的体积为32，则该球的体积为（A（B ）2π （C） （D）12.已知)(x f 为定义在),(+∞-∞上的可导函数，且)()(x f x f '<对于R x ∈恒成立，且e 为自然对数的底，则（A ）)0()2012(),0()1(2012f e f f e f ⋅>⋅> （B ）)0()2012(),0()1(2012f e f f e f ⋅>⋅< （C ）)0()2012(),0()1(2012f e f f e f ⋅<⋅> （D ）)0()2012(),0()1(2012f ef f e f ⋅<⋅<第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
将答案填在题后的横线上。
）13.函数002f (x )A sin(x )(x R ,A ,,||)πωϕωϕ=+∈>><的图象(部分)如图所示，则它的解析式是 .14. 已知数列{}*()n a n N ∈，首项156a =，若二次方程2110n n a x a x +--=的根A1A B1B C1C D 1D FEα、β且满足331ααββ++=，则数列{}n a 的前n 项和____________=n S .15．()5223++x x 的展开式中x 的系数是_______.16．某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
） 17．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝3sin(ωx )－2sin 2ωx2(ω>0)的最小正周期为3π.（Ⅰ）当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，3π4时，求函数f (x )的最小值；（II ）在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )，求sin A 的值．18. （本小题满分12分）2.5P M 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国 2.5P M 标准采用世卫组织设定的最宽限值， 2.5P M 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标.某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的 2.5P M 监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天.（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率;（Ⅱ）记ξ表示两天空气中空气质量为二级的天数.求ξ的分布列及期望. 19．（本小题满分12分）如图，已知正四棱柱1111A B C DA B C D -中，底面边长2A B =，侧棱1B B 的长为4，过点B 作1B C 的的垂线交侧棱1C C 于点E ，交1B C 于点F ． （Ⅰ）求证：1A C ⊥平面B E D ；（II ）求1A B 与平面B D E 所成的角的正弦值． 20．（本小题满分12分）已知函数2)ln 21()(2+-+=x a x x x f 在点1(，)1(f ）处的切线的斜率为21.（Ⅰ）求a 的值； （II ）设函数)2(42)()(>-=x x x f x g 问：函数)(x g y =是否存在最小值点0x ？若存在，求出满足mx <0FEDCBA的整数m 的最小值；若不存在，说明理由. 21. （本小题满分12分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点为A (0，2)，且离心率为32. （I ）求椭圆的标准方程；（II ）过点M (0,2)的直线l 与椭圆相交于不同两点P 、Q ，点N 在线段PQ 上．设＝＝λ，试求实数λ的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在 BA 的延长线上．（Ⅰ）若21,31==EA ED EBEC ，求ABDC 的值； （Ⅱ）若FB FA EF ⋅=2，证明：CD EF //．23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C 上的点)23,1(M 对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点)3,1(πD ．（I ）求曲线2C 的直角坐标方程； （II ）若点),(1θρA ，)2,(2πθρ+B 在曲线1C 上，求222111ρρ+的值．24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．已知函数1()x f x e ex=+( 2.718)e ≈（I ）若1212,[1,),x x x x ∈+∞≠.求证：2121()()0f x f x x x ->-；（II ）若满足(||3)(|4|1)f a f a +>-+.试求实数a 的取值范围.2012届东北育才学校科学高中部模拟考试理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：13.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 2ππx y ； 14.nn ⎪⎭⎫⎝⎛-+3121221； 15.240； 16. 322+π； 三、解答题：17.f(x)＝3sin(ωx)－2²1－cos(ωx)2＝3sin(ωx)＋cos(ωx)－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1， 依题意函数f(x)的最小正周期为3π，即2πω＝3π，解得ω＝23，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π6－1……………………………………….4分（I ）由π2≤x ≤3π4得π2≤23x ＋π6≤2π3， 所以，当23x ＋π6＝2π3，即x ＝3π4时，f(x)最小值＝2³32－1＝3－1……………………………………………..6分 （Ⅱ）由f(C)＝2sin ⎝⎛⎫2C 3＋π6－1及f(C)＝1，得sin ⎝⎛⎭⎫2C 3＋π6＝1，因为0<C<π，所以π6<2C 3＋π6<5π6，所以2C 3＋π6＝π2C ＝π2，………………………………………8分在Rt △ABC 中， ∵A ＋B ＝π2，2sin 2B ＝cosB ＋cos(A －C)， ∴2cos 2A －sinA －sinA ＝0，∴sin 2A ＋sinA －1＝0，解得sinA ＝－1±52，∵0<sinA<1，∴sinA ＝5－12.........................12分 18. （I ）设恰好有一天超标的概率为p 112426815C C p C ==故设恰好有一天超标的概率为815（Ⅱ）由茎叶图可知，6天中有3天空气质量为二级，ξ的取值有0，1，2，();51026233=⋅==CC C P ξ ();531261313=⋅==CC C P ξ();51226323=⋅==C C C P ξ1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE （天）方法二：ξ服从参数为2,3,2===n M N 的超几何分布，1632=⨯==∴NM n E ξ （天）答：ξ的期望为1天。