7.1.1 角的推广2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型
7.1.1角的推广—2020-2021学年高一下学期人教B版(2019)必修第三册同步习题
角的推广一、选择题1．下列说法中，正确的是()A．第二象限角是钝角B．第二象限角必大于第一象限角C．－150°是第二象限角D．－252°16′、467°44′、1 187°44′是终边相同的角2．下列是第三象限角的是()A．－110°B．－210°C．80° D．－13°3．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}4．若α是第一象限的角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α二、填空题5．若角α与角β终边相同，则α－β＝________.6．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．7．设集合A＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}，B＝{x|k·360°－210°<x<k·360°，k∈Z}，则A∩B＝________.三、解答题8．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．9．若角β的终边落在直线y＝－33x上，写出角β的集合；当－360°＜β＜360°时，求角β.10．已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．角的推广1．解析：第二象限角中，除包含钝角以外，还包含与钝角相差k·360°，k∈Z的角，如460°是第二象限角但不是钝角，A项错；460°是第二象限角，730°是第一象限角，显然460°小于730°，B项错；C项中－150°应为第三象限角．故A、B、C三项都是错误的，D项中三个角相差360°的整数倍，则它们的终边相同，故选D.答案：D2．解析：－110°是第三象限角，－210°是第二象限角，80°是第一象限角，－13°是第四象限角．故选A.答案：A3．解析：－457°角与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，∴应选C.答案：C4．解析：因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角．答案：C5．解析：根据终边相同角的定义可知：α－β＝k·360°(k∈Z)．答案：k·360°(k∈Z)6．解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同的角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.故填120°，300°.答案：120°，300°7．解析：A∩B＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|k·360°－360°＋150°<x<k·360°－360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|(k－1)·360°＋150°<x<(k－1)·360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}．答案：{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}8．解析：与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z可得k＝－1，故所求的最小正角为170°.(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角为－550°.9．解析：∵角β的终边落在直线y＝－33x上，∴在0°到360°范围内的角为150°和330°，∴角β的集合为{x|x＝k·180°＋150°，k∈Z}．当－360°＜β＜360°时，角β为－210°，－30°，150°，330°.10．解析：(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}．终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。
高中数学第七章三角函数7.1.1角的推广课时素养评价含解析新人教B版必修第三册
角的推广(15分钟30分)1.在①160°;②480°;③-960°;④1 530°这四个角中,属于第二象限角的是( ) A.① B.①②C.①②③D.①②③④【解析】选 C.①是第二象限的角;②480°=120°+360°是第二象限的角;③-960°=-3×360°+120°是第二象限的角;④1 530°=4×360°+90°不是第二象限的角.2.与-525°的终边相同的角可表示为( )A.525°-k·360°(k∈Z)B.165°+k·360°(k∈Z)C.195°+k·360°(k∈Z)D.-195°+k·360°(k∈Z)【解析】选 C.因为-525°=-2×360°+195°,所以与-525°的终边相同的角可表示为195°+k·360°(k∈Z).3.已知α是锐角,那么2α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.小于180°的正角D.第一象限角或第二象限角【解析】选C.α是锐角,所以2α∈(0°,180°),所以2α是小于180°的正角.4.如果将钟表拨快10分钟,则时针所转成的角度是度,分针所转成的角度是度.【解析】由题意结合任意角的定义可知,钟表拨快10分钟,则时针所转成的角度是-×=-5°,分针所转成的角度是-×360°=-60°.答案:-5 -605.写出与75°角终边相同的角β的集合,并求在360°≤β<1 080°范围内与75°角终边相同的角.【解析】与75°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.当360°≤β<1 080°时,即360°≤k·360°+75°<1 080°,解得≤k<2.又k∈Z,所以k=1或k=2.当k=1时,β=435°;当k=2时,β=795°.综上所述,与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角.(20分钟45分)一、选择题(每小题5分,共25分.多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.若α与β终边相同,则α-β的终边落在( )A.x轴的正半轴上B.x轴的负半轴上C.y轴的正半轴上D.y轴的负半轴上【解析】选A.因为α=β+k·360°,k∈Z,所以α-β=k·360°,k∈Z,所以其终边在x轴的正半轴上.2.设集合M={α|α=45°+k·90°,k∈Z},N={α|α=90°+k·45°,k∈Z},则集合M与N的关系是( )A.M∩N=∅B.M⊆NC.M⊇ND.M=N【解析】选B.对于集合M,α=45°+k·90°=45°+2k·45°=(2k+1)·45°,即M={α|α=(2k+1)·45°,k∈Z};对于集合N,α=90°+k·45°=2×45°+k·45°=(k+2)·45°,即N={α|α=(k+2)·45°,k∈Z}={α|α=n·45°,n∈Z}.因为2k+1表示所有的奇数,而n表示所有的整数,所以M⊆N.3.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】选C.当k=0时,45°≤α≤90°,即选项C中第一象限所表示的部分;当k=1时,225°≤α≤270°,即选项C中第三象限所表示的部分;当k=2时,其所表示的角的范围与k=0表示的范围一致.综上可得,选项C表示集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}中的角所表示的范围.【补偿训练】如图,分别写出适合下列条件的角的集合.(1)终边落在射线OB上;(2)终边落在直线OA上;(3)终边落在阴影区域内(含边界).【解析】(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1=.(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2=.(3)终边落在第一象限中的阴影区域的角的集合为,终边落在第三象限中的阴影区域的角的集合为={α|30°+180°+k·360°≤α≤60°+180°+k·360°,k∈Z}={α|30°+(2k+1)·180°≤α≤60°+(2k+1)·180°,k∈Z},因此终边落在阴影区域内的角的集合为S3={α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°,k∈Z}∪{α|30°+·180°≤α≤60°+·180°,k∈Z}={α|30°+n·180°≤α≤60°+n·180°,n∈Z}.4.下列关于角的叙述,正确的是( )A.第二象限的角都是钝角B.第二象限角大于第一象限角C.若角α与角β不相等,则α与β的终边不可能重合D.若角α与角β的终边在一条直线上,则α-β=k·180°(k∈Z)【解析】选D.A错,例如495°=135°+360°是第二象限的角,但不是钝角;B错,例如α=135°是第二象限角,β=360°+45°是第一象限角,但α<β;C错,例如α=360°,β=720°,则α≠β,但二者终边重合;D正确,α与β的终边在一条直线上,则二者的终边相差180°的整数倍,故α-β=k·180°(k∈Z).5.(多选题)(2020·潍坊高一检测)下列与412°角的终边相同的角是( )A.52°B.778°C.-308°D.1 132°【解析】选ACD.因为412°=360°+52°,所以与412°角的终边相同的角为β=k×360°+52°,k∈Z,当k=-1时,β=-308°;当k=0时,β=52°;当k=2时,β=772°;当k=3时,β=1 132°;当k=4时,β=1 492°.综上,选项A、C、D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)6.角α,β的终边关于y=x对称,若α=30°,则β=.【解析】因为30°与60°的终边关于y=x对称,所以β的终边与60°角的终边相同.所以β=60°+k·360°,k∈Z.答案:60°+k·360°,k∈Z【补偿训练】如果α满足180°<α<360°,5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,那么α=.【解析】因为5α=α+k·360°,k∈Z,所以α=k·90°,k∈Z.又因为180°<α<360°,所以α=270°.答案:270°7.若角α=2 020°,则与角α具有相同终边的最小正角为,最大负角为.【解析】因为 2 020°=5×360°+220°,所以与角α终边相同的角的集合为{α|α=220°+k·360°,k∈Z},所以最小正角是220°,最大负角是-140°.答案:220°-140°三、解答题8.(10分)已知角β的终边在直线x-y=0上.(1)写出角β的集合S.(2)写出集合S中适合不等式-360°<β<720°的元素.【解析】(1)如图,直线x-y=0过原点,倾斜角为60°,在0°到360°范围内,终边落在射线OA 上的角是60°,终边落在射线OB上的角是240°,所以以射线OA,OB为终边的角的集合分别为S1={β|β=60°+k·360°,k∈Z},S2={β|β=240°+k·360°,k∈Z},所以角β的集合S=S1∪S2={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=60°+180°+k·360°,k∈Z}={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=60°+n·180°,n∈Z}.(2)由于-360°<β<720°,即-360°<60°+n·180°<720°,n∈Z.解得-<n<,n∈Z,所以n=-2,-1,0,1,2,3.所以集合S中适合不等式-360°<β<720°的元素为60°-2×180°=-300°;60°-1×180°=-120°;60°+0×180°=60°;60°+1×180°=240°;60°+2×180°=420°;60°+3×180°=600°.【补偿训练】1.如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,以逆时针方向等速沿单位圆周旋转,已知P点在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2 s达到第三象限,经过14 s后又回到了出发点A处,求θ.【解析】因为0°<θ<180°,且k·360°+180°<2θ<k·360°+270°,k∈Z,则当k=0时,90°<θ<135°.又因为14θ=n·360°(n∈Z),所以θ=n·°,从而90°<n·°<135°,所以<n<,又因为n∈Z,所以n=4或5.当n=4时,θ=°;当n=5时,θ=°.2.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值.【解析】根据题意可知:14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z,从而可知α=·180°,β=·180°,m,n∈Z.又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,则2α,2β在第二象限.又0°<α<β<180°,从而可得0°<2α<2β<360°,因此2α,2β均为钝角,即90°<2α<2β<180°.于是45°<α<90°,45°<β<90°.所以45°<·180°<90°,45°<·180°<90°,即<m<,<n<.又因为α<β,所以m<n,从而可得m=2,n=3.即α=°,β=°.。
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型
7.1.2弧度制及其与角度制的换算课标要求素养要求1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养.2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算素养.教材知识探究摄氏度与华氏温度“在一个标准大气压下，把冰水混合物的温度定为零度，把沸水的温度定为100度，它们之间分成100等份，每一等份是摄氏度的一个单位，叫做1摄氏度．”摄氏度的发明者是安德斯·摄尔修斯(Anders Celsius 1701～1744)，其结冰点是0 ℃，沸点为100 ℃.1714年德国人法勒海特(Fahrenheit)以水银为测温介质，制成玻璃水银温度计，选取氯化铵和冰水的混合物的温度为温度计的零度．人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离分成100份，每一份为1华氏度，记作“1”．按照华氏温标，则水的冰点为32，沸点为212 ．“华氏温标”是经验温标之一．在美国的日常生活中，多采用这种温标．规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为180等份，每等份代表1度．华氏温度用字母“F”表示．摄氏温度(℃)和华氏温度()之间的换算关系为：华氏度与摄氏度的进率：华氏度()＝32＋摄氏度(℃)×1.8，摄氏度(℃)＝(华氏度()－32)÷1.8.问题 1.温度可以用摄氏温度与华氏温度来表示，测量角除了角度外，是否还有其他单位？它是怎样定义的？2．摄氏温度与华氏温度可以换算，而两种测量角的单位之间能否进行互化？怎样互化？3．今后我们常用哪种单位来度量角？为什么？提示 1.弧度，弧长等于半径的弧所对的圆心角即为1弧度的角．2．可以，1°＝π180rad，1 rad＝180°π.3．弧度书写方便简单．1．度量角的两种单位制单位圆中长为1个单位的弧所对的圆心角就是1弧度的角角度制定义用度作为单位来度量角的制度1度的角把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，记作1°.1°＝60′，1′＝60″弧度制定义以弧度为单位来度量角的制度1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角.1弧度记作1 rad2.弧长公式在半径为r的圆中，若弧长为l的弧长所对的圆心角为αrad.则α＝lr，由此得到l＝αr．即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积．3．角度制与弧度制的换算牢记180°＝π rad，1 rad＝180°π4.扇形的弧长及面积公式牢记公式是解决数学问题的关键设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则教材拓展补遗[微判断]1．1弧度就是1°的圆心角所对的弧．(×)提示1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角．2．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．(√)3．160°化为弧度制是89π rad.(√)4．1 rad的角比1°的角要大．(√)5．扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30.(×) 提示扇形的弧长公式l＝|α|r，α的单位为弧度．[微训练]1．下列命题为假命题的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12πC．1 rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D 为假命题，故选D. 答案 D2．2 340°转化为弧度为________． 解析 2 340×π180＝13π. 答案 13π3．已知半径为1的扇形面积为38π，则扇形的圆心角为________． 解析 由S ＝12|α|r 2得3π8＝12×α×12，所以α＝3π4. 答案 3π44．若θ＝－5，则角θ的终边在第________象限． 解析 2π－5与－5的终边相同，∵2π－5∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角．答案 一 [微思考]对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？ 提示 角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k ·360°＋π6(k ∈Z )，β＝2k π＋60°(k ∈Z )等写法都是不规范的，应写为α＝k ·360°＋30°(k ∈Z )，β＝2k π＋π3(k ∈Z )题型一 角度与弧度的互化 进行角度与弧度之间换算的桥梁是π=180° 例1 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－800°；(3)7π12；(4)－45π. 解 (1)20°＝20×π180＝π9；(2)－800°＝－800×π180＝－409π； (3)7π12＝7π12×180°π＝105°；(4)－45π＝－45π×180°π＝－144°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则和方法(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝180°π进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则n 180＝απ. 【训练1】 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．解 (1)112°30′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2252°＝2252×π180＝5π8.(2)－5π12＝－5π12×180°π＝－75°. 题型二 用弧度制表示区域角的集合 在书写时，注意角度制与弧度制不能混用例2 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的正半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．解 (1)以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )，以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|－2π3＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z . (2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2π3＋2k π<α<7π6＋2k π，k ∈Z .规律方法 根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角．(4)按逆时针方向书写． 训练2 已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． 解 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6， 又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )， 又－5π≤γ<0，∴当k ＝－3时，γ＝－296π； 当k ＝－2时，γ＝－176π； 当k ＝－1时，γ＝－56π.题型三 扇形的弧长公式与面积公式的应用 例3 已知扇形AOB 的周长为10 cm.(1)若这个扇形的面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长．当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值，需把面积S 转化为关于半径r 的二次函数. 解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ，(1)依题意有⎩⎨⎧l ＋2r ＝10，①12lr ＝4，②①代入②得r 2－5r ＋4＝0， 解得r 1＝1，r 2＝4.当r ＝1时，l ＝8 cm ，此时，θ＝8 rad>2π rad ，舍去； 当r ＝4时，l ＝2 cm ，此时，θ＝24＝12 rad.(2)由l ＋2r ＝10得l ＝10－2r ， S ＝12lr ＝12(10－2r )·r ＝5r －r 2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －522＋254(0<r <5)．当r ＝52时，S 取得最大值254， 这时l ＝10－2×52＝5， ∴θ＝5r ＝552＝2 rad.规律方法 弧长公式及扇形面积公式的应用类问题的解决方法首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制．一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)，其次，利用α，l ，R ，S 四个量“知二求二”代入公式．在求解的过程中要注意：(1)看清角的度量制，选用相应的公式；(2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题．【训练3】 (1)若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2D ．80 cm 2(2)一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． (1)解析 ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202 ＝80π(cm 2)． 答案 B(2)解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ， 得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2， 即扇形的圆心角为2 rad.一、素养落地1．通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算素养．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×180°π＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度． 二、素养训练1．将－1 485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( ) A ．－π4－8πB.74π－8π C.π4－10πD.74π－10π解析 －1 485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为7π4－10π，选D. 答案 D2．已知扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的圆心角大小不变 B ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 C ．扇形的圆心角增大到原来的4倍 D ．扇形的圆心角减小到原来的一半解析 设扇形原来的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，变化后半径为2r ，弧长为2l ，圆心角为β，∴α＝l r ，β＝2l 2r ＝lr ＝α，即扇形的圆心角大小不变．答案 A3．若α∈(0，π)，且α与角－5π3终边相同，则α＝________． 解析 －5π3＝－2π＋π3，故α＝π3.答案 π34．已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．解 设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S .由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r .∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －a 42＋a 216.∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a 2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝l r ＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，最大值为a 216.基础达标一、选择题1．与α＝π12＋2k π(k ∈Z )终边相同的角是( ) A ．345°B ．375°C ．－11π12 D.23π12解析 因为k ＝1，α＝π12＋2π＝375°，所以选B. 答案 B2．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为( ) A ．3B ．6C ．9D ．12解析设扇形的半径为R，由题意可得6 R ＝3，则R＝2，扇形的面积S＝12lR＝12×6×2＝6.答案 B3．如果2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为() A．sin 2 B.2sin 1C．2sin 1 D．tan 1解析由图可知，弦长AB＝2，所以半径为1sin 1，由弧长公式可得l AB＝αr＝2sin 1，故选B.答案 B4．若扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为()A．1∶3 B．2∶3C．4∶3 D．4∶9解析设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，则R＝r＋rsinπ6＝r＋2r＝3r.∴S内切＝πr2.S扇形＝12αR2＝12×π3×R2＝12×π3×9r2＝32πr2.∴S内切∶S扇形＝2∶3.答案 B5．下列表示中不正确的是()A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}B．终边在y轴上的角的集合是{α|α＝π2＋kπ，k∈Z}C．终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k·π2，k∈Z}D．终边在直线y＝x上的角的集合是{α|α＝π4＋2kπ，k∈Z}解析 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }． 答案 D 二、填空题6．若3π4的圆心角所对的弧长为3π，则扇形半径长为________．解析 ∵l ＝|α|r ，∴r ＝l α＝4.答案 47．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______．解析 ∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，当k ＝－1时，－3π2＜α＜－π，当k ＝0时，π2＜α≤2，当k 为其它整数时，满足条件的角α不存在．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2 8．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 34三、解答题9．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解 (1)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|2k π－3π4<θ<2k π＋π3，k ∈Z }．(2)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|kπ＋π6<θ<kπ＋π2，k∈Z}．10．已知α＝1 690°.(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．解(1)1 690°＝1 440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋25 18π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋2518π(k∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋2518π<4π，∴－9736<k<4736(k∈Z)．∴k＝－2，－1，0，1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.能力提升11．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B ＝________．解析如图所示，∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．答案[－4，－π]∪[0，π]12．用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，∴l＝30－2r，从而S＝12lr＝12(30－2r)r＝－r2＋15r＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r－1522＋2254(0＜r＜15)．∴当半径r＝152cm时，l＝30－2×152＝15 (cm)，扇形面积的最大值是2254cm2，这时α＝l r＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为152cm时，面积最大，为2254cm2. 创新猜想13．(多选题)下列命题正确的是( )A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.23π6是第四象限角解析 A 选项，60°＝π3，正确；B 选项，－103π＝－600°，正确；C 选项中－150°＝－150×π180＝－56π，错误；D 选项中23π6＝4π－π6，为第四象限角，正确．故选ABD.答案 ABD14．(多空题)如图所示，长为3，宽为1的长方体形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一铁块挡住，使木块底面与桌面所成角为π6，则点A 走过的路程是__________，扇形ABA 1的面积S 为__________．解析 在扇形ABA 1中，圆心角恰为π2，弧长l 1＝AB ×π2＝3＋1×π2＝π；在扇形A 1CA 2中，圆心角也为π2，弧长l 2＝A 1C ×π2＝1×π2＝π2；在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－π2－π6＝π3，弧长l 3＝A 2D ×π3＝3×π3＝3π3.所以点A 走过的路程为l 1＋l 2＋l 3＝（9＋23）π6. BA ＝12＋（3）2＝2.∠ABA 1＝π2，S ＝12α·r 2＝12·π2·22＝π. 答案 （9＋23）π6π。
7.1.1角的推广—高一下学期人教B版必修第三册同步习题
角的推广一、选择题1．下列说法中，正确的是()A．第二象限角是钝角B．第二象限角必大于第一象限角C．－150°是第二象限角D．－252°16′、467°44′、1 187°44′是终边相同的角2．下列是第三象限角的是()A．－110°B．－210°C．80° D．－13°3．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}4．若α是第一象限的角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α二、填空题5．若角α与角β终边相同，则α－β＝________.6．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．7．设集合A＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}，B＝{x|k·360°－210°<x<k·360°，k∈Z}，则A∩B＝________.三、解答题8．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．9．若角β的终边落在直线y＝－33x上，写出角β的集合；当－360°＜β＜360°时，求角β.10．已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．角的推广1．解析：第二象限角中，除包含钝角以外，还包含与钝角相差k·360°，k∈Z的角，如460°是第二象限角但不是钝角，A项错；460°是第二象限角，730°是第一象限角，显然460°小于730°，B项错；C项中－150°应为第三象限角．故A、B、C三项都是错误的，D项中三个角相差360°的整数倍，则它们的终边相同，故选D.答案：D2．解析：－110°是第三象限角，－210°是第二象限角，80°是第一象限角，－13°是第四象限角．故选A.答案：A3．解析：－457°角与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，∴应选C.答案：C4．解析：因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角．答案：C5．解析：根据终边相同角的定义可知：α－β＝k·360°(k∈Z)．答案：k·360°(k∈Z)6．解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同的角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.故填120°，300°.答案：120°，300°7．解析：A∩B＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|k·360°－360°＋150°<x<k·360°－360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|(k－1)·360°＋150°<x<(k－1)·360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}．答案：{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}8．解析：与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z可得k＝－1，故所求的最小正角为170°.(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角为－550°.9．解析：∵角β的终边落在直线y＝－33x上，∴在0°到360°范围内的角为150°和330°，∴角β的集合为{x|x＝k·180°＋150°，k∈Z}．当－360°＜β＜360°时，角β为－210°，－30°，150°，330°.10．解析：(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}．终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．。
【2019人教B版】7.1.1 角的推广 教学设计(1)-人教B版高中数学必修第三册
7.1.1角的推广本节课是人教B版必修3第七章三角函数的第一小节，主要内容是角的概念的推广，把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等。
在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确表示出来，理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键。
【教学重点】任意角的概念、象限角与区间角的概念、掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角【教学难点】终边相同角的表示方法与确定问题1：角的概念的推广引入：初中是怎么定义角的？（1）我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角，这个公共端点称为角的顶点，这两条射线称为角的边。
（2）角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
（3）图中所示的大小为120o的角，即可以认为是OA旋转到OB所形成的，也可以认为是OB旋转到OA 所形成的。
o o（4）以前学习的角，范围是[0,180]答：（1）只要时间足够长，摩天轮所转过的角的大小会超过360o；（2）甲、乙两人观察到的摩天轮旋转方向相反，如果其中一人观察到的是逆时针旋转，则另一个人观察到的是顺时针旋转，由于相反意义的量可以用正负数表示，因此不难想到这种不同可以用正负号来区分。
知识点1角的概念的推广一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，（1）这两条射线分别称为角的始边和终边；（2）按照逆时针方向旋转而成的角称为正角，按照顺时针方向旋转而成的角称为负角，当射线没有旋转时，也把它看成一个角，称为零角，（3）这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也称为转角．注：（1）上述角的定义中，当射线绕其端点按逆时针或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的。
高中数学人教B版必修第三册《7.1.1 角的推广》练习题(4)
人教B版必修第三册《7.1.1 角的推广》练习题(4)一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB−sinA,sinB−cosA)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A. AB. BC. CD. D2.已知集合A={(x,y)|y2=x}，B={(x,y)|y=x}，则A∩B=()A. {(0,0)}B. {(1,1)}C. {(0,0)，(1,1)}D. {0,1}3.下列角与α=36°终边相同的角为()A. 324°B. −324°C. 336°D. −336°4.已知α∈[0,2π)，与角−π3终边相同的角是()A. π3B. 2π3C. 4π3D. 5π35.每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升旗仪式，一般需要10min.这10min的时间，钟表的分针走过的角度是()A. 30°B. −30°C. 60°D. −60°6.下列各角中与2π3终边相同的一个是()A. π3B. −2π3C. −4π3D. 5π37.与−420°终边相同的角是()A. −120°B. 420°C. 660°D. 280°8.若点P在−π4的终边上，且|OP|=2，则点P的坐标为()A. (√2,√2)B. (√2,−√2)C. (−√2,√2)D. (−√2,−√2)9.设角A是第三象限角，且|sin A2|=−sin A2，则A2在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10.的值()A. 小于B. 大于C. 等于D. 不存在二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）x上，则2sinα+cosα的值是______．11.已知角α的终边在直线y=−3412.与π终边相同的角的集合是______．213.把−1999π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是______．514.点P(tan2018°,cos2018°)位于第______象限．三、解答题（本大题共2小题，共24.0分）15.时间经过4h，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？16.写出终边在如图所示直线上的角的集合．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：由题意知A 、B 、C 是锐角，推出A 、B 的关系，分别求它的正弦和余弦，即可得到结果．解：在锐角三角形ABC 中，有A <90°，B <90°，C <90°，又因为A +B +C =180°所以有A +B >90°，所以有A >90°−B.又因为Y =cosx 在0°<x <90°上单调减即cos x 的值随x 的增加而减少，所以有cosA <cos(90°−B)=sinB ，即cosA <sinB ，sinB −cosA >0，同理B >90°−A ，则cosB <cos(90°−A)=sinA ，所以cosB −sinA <0，故答案为B考点：三角形内角点评：本题考查三角形内角，象限角等知识，是中档题．2.答案：C解析：解：解{y 2=x y =x 得，{x =0y =0或{x =1y =1，∴A ∩B ={(0,0)，(1,1)}．故选：C ．可解方程组{y 2=x y =x 即可得出A ∩B 的元素，从而得出A ∩B ．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题． 3.答案：B解析：本题考查终边相同角的表示，属于基础题．直接利用终边相同角的表示方法求解即可．解：与36°角终边相同的角为36°+k ×360°，k ∈Z ，令k =−1，可得−324°．故选B ．4.答案：D解析：解：∵与−π3终边相同的角的集合为{α|α=−π3+2kπ,k ∈Z}．∴取k =1时，α=5π3∈[0,2π]，故选：D ．写出与−π3终边相同的角的集合{α|α=−π3+2kπ,k ∈Z}，取k =1得答案．本题考查了终边相同的角的集合的写法，是基础的会考题型．5.答案：D解析：解：则10分钟时间钟表的分针走过的角度是−1060×360°=−60°，故选：D．根据任意角的定义即可求出．本题考查了任意角的定义，属于基础题．6.答案：C解析：解：与2π3终边相同的角为：2kπ+2π3，k∈Z．当k=−1时，可得−4π3与2π3终边相同．故选：C．利用终边相同的角相差2π的整数倍，判断选项即可．本题考查终边相同角的应用，是基础题．7.答案：C解析：解：与−420°角终边相同的角为：n⋅360°−420°(n∈Z)，当n=3时，n⋅360°−420°=660°．故选：C．根据终边相同的角的表示方法，即可得出结论．本题是基础题，考查终边相同的角的表示方法，比较基础．8.答案：B解析：解：设点P(x,y)由任意角三角函数定义，sin(−π4)=yr=y2，cos(−π4)=xr=x2解得：x=√2，y=−√2故选B．根据任意角三角函数定义，若角的终边上不同于原点的任意一点的坐标为(x,y)，则此角的正弦值为y r ，余弦值为xr，其中r为点到原点的距离，列方程即可得所求．本题考察了任意角三角函数的定义，熟记概念并能理解运用是解决本题的关键．9.答案：D解析：本题考查三角函数的符号，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．先确定A 2可能是第二或第四象限角，再根据|sin A 2|=−sin A 2，可得sin A 2<0，从而可得结论． 解：∵角A 是第三象限角，则A 2可能是第二或第四象限角，又|sin A 2|=−sin A 2，故sin A 2<0，∴A 2是第四象限角，故选D ． 10.答案：A解析：试题分析：根据三角函数的定义，以及象限角的概念，2，3二象限，4在第三象限，故可知利用正弦值和余弦值和正切值的符号可知，因此乘积为小于零，选A ．考点：三角函数的符号点评：考察三角函数的数值估算，属于基础题。
章末复习课2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型
章末复习课[网络构建][核心归纳]1．两非零向量a 与b 的数量积 a ·b ＝|a ||b |·cos θ.2．两个非零向量平行、垂直的等价条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则： (1)a ∥b ⇔a ＝λb (λ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝ （x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 4．向量的投影向量a 在b 方向上的投影数量为|a |cos θ＝a ·b |b |. 5．三角恒等变换本章的公式多不易记住，解决这个问题的最好办法就是掌握每个公式的推导过程：首先用向量方法推导出C α－β，再用－β代替C α－β中的β得到C α＋β；接着用诱导公式sin(α±β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－（α±β）＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α∓β得到S α＋β与S α－β；将S α＋β除以C α＋β得到T α＋β，将S α－β除以C α－β得到T α－β；将S α＋β、C α＋β、T α＋β中的β换为α，得到S 2α、C 2α、T 2α.6．熟练掌握常用的角的变换是提高解题速度、提高分析问题和解决问题的能力的有效途径．常用的角的变换有：α＝2·α2、4α＝2·2α、π4－α2＝π2－α2、2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(α＋β)－(β－α)、2β＝(α＋β)－(α－β)＝(α＋β)＋(β－α)、α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)、β＝α＋β2－α－β2、α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β、α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β.这些变换技巧需要同学们在平时解题的过程中多多摸索，而探索的方法就是认真观察已知条件中的角与待求式中的角之间的关系．7．时刻注意考虑角的范围是避免解题出错的唯一方法，首先是本章的某些公式中的角就有范围限制，如tan 2α＝2tan α1－tan 2α中的α的限制条件是α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4(k ∈Z )；其次是题中角的范围也是有限制的.要点一 向量的数量积数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (2)求向量的夹角和模的问题①设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π) cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.【例1】 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．(1)用k 表示数量积a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ的大小． 解 (1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |， 得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2. ∴(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0. ∵|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |＝cos 2β＋sin 2β＝1，∴k 2－3＋8k a ·b ＋1－3k 2＝0， ∴a ·b ＝2k 2＋28k ＝k 2＋14k (k >0)． (2)a ·b ＝k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ≥14×2k ·1k ＝12.∴当k ＝1时，f (k )min ＝f (1)＝14×(1＋1)＝12， 此时a 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝a ·b |a ||b |＝12， 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°.【训练1】 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58B.18C.14D.118解析 ∵BC→＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，∴BC →·AF→＝(AC →－AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC → ＝12×1×1×12－12＋34－34×1×1×12 ＝14＋34－12－38＝18. 答案 B要点二 向量的夹角及垂直问题1．求两个向量的夹角主要利用两个公式：(1)cos θ＝a ·b|a ||b |，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模． (2)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，求解的前提是：已知两个向量的坐标． 2．解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x 1x 2＋y 1y 2＝0”较为简单．3．用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两基底向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角．【例2】 已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标以及矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值．(1)证明 ∵A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)， ∴AB→＝(1，1)，AD →＝(－3，3)．∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB→⊥AD →，即AB ⊥AD . (2)解 ∵AB→⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则DC→＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴点C 坐标为(0，5)． 从而AC →＝(－2，4)，BD →＝(－4，2)，且|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16，设AC→与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45.∴矩形ABCD 的两条对角线所夹锐角的余弦值为45.【训练2】 已知向量OB →＝(2，0)，OC →＝(2，2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2 解析 建立如图所示的直角坐标系．∵OC→＝(2，2)，OB →＝(2，0)，CA→＝(2cos α，2sin α)， ∴点A 的轨迹是以C (2，2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作此圆的切线，切点分别为M ，N ，连接CM 、CN ，如图所示，则向量OA→与OB →的夹角范围是∠MOB ≤〈OA →，OB →〉≤∠NOB . ∵|OC→|＝22，∴|CM →|＝|CN →|＝12|OC →|， 知∠COM ＝∠CON ＝π6，但∠COB ＝π4. ∴∠MOB ＝π12，∠NOB ＝5π12， 故π12≤〈OA→，OB →〉≤5π12. 答案 C要点三 向量的长度(模)与距离的问题向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点．一般地，求向量的模主要利用公式|a |2＝a 2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a |＝x 2＋y 2，将它转化为实数问题，使问题得以解决． 【例3】 设|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值． 解 法一 ∵|3a －2b |＝3，∴9a 2－12a ·b ＋4b 2＝9. 又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝13.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2 ＝9＋6×13＋1＝12.∴|3a ＋b |＝2 3.法二 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．∵|a |＝|b |＝1，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22＝1.∵3a －2b ＝(3x 1－2x 2，3y 1－2y 2)， ∴|3a －2b |＝（3x 1－2x 2）2＋（3y 1－2y 2）2＝3.∴x 1x 2＋y 1y 2＝13. ∴|3a ＋b |＝（3x 1＋x 2）2＋（3y 1＋y 2）2＝9＋1＋6×13＝2 3.【训练3】 设0<|a |≤2，f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |. 解 f (x )＝1－sin 2 x －|a |sin x －|b | ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋|a |22＋|a |24－|b |＋1.∵0<|a|≤2，∴当sin x ＝－|a |2时，|a |24－|b |＋1＝0； 当sin x ＝1时，－|a |－|b |＝－4. 由⎩⎨⎧|a |24－|b |＋1＝0，－|a |－|b |＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝2，|b |＝2.∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝22＋2×2×2cos 45°＋22＝8＋42， ∴|a ＋b |＝8＋42＝22＋ 2.要点四 三角函数式的化简、求值三角函数式的化简，主要有以下几类：①对整式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或数值；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段． 三角函数求值主要有三种类型，即(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．要注意角的范围． (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围． 【例4】 化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β. 解 法一 原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－ 12(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(4cos 2αcos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1) ＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12 ＝sin 2αsin 2β＋cos 2α(1－cos 2β)＋cos 2β－12 ＝sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.法二 原式＝sin 2αsin 2β＋(1－sin 2α)cos 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝cos 2β－cos 2β⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α＋12cos 2α＝1＋cos 2β2－cos 2β⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2α＋12（1－2sin 2α） ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.法三 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2αcos 2β＝14(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β) －12cos 2αcos 2β＝14＋14＝12.法四 原式＝(sin αsin β－cos αcos β)2＋2sin αsin β·cos αcos β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2(α＋β)＋12sin 2αsin 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2(α＋β)－12cos(2α＋2β) ＝cos 2(α＋β)－12[2cos 2(α＋β)－1]＝12.【训练4】 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin 4α1＋cos 2α的值． 解 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝13，即cos 2α＝13.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，2α∈(π，2π)，∴sin 2α＝－1－cos 22α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.∴sin 4α1＋cos 2α＝2sin 2α·cos 2α1＋1＋cos 2α2＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－223×131＋1＋132＝－4215.要点五 三角函数与向量的综合问题三角函数与向量的综合问题是近几年高考题的热点，目的在于考查学生对三角函数基本关系式的变形、运算和推理能力，一般来说题目难度不大，解决这类问题，应利用平面向量的坐标、数量积、平行与垂直的条件、夹角公式等知识将向量转化为三角函数问题．【例5】 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)． (1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 长度相等(其中k 为非零实数)，求β－α的值． (1)证明 法一 ∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)， a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)， ∴(a ＋b )·(a －b )＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)＋(sin α＋sin β)(sin α－sin β) ＝cos 2α－cos 2β＋sin 2α－sin 2β＝0. ∴(a ＋b )⊥(a －b )．法二 ∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴|a |2＝cos 2α＋sin 2α＝1， |b |2＝cos 2β＋sin 2β＝1.∴|a |2＝|b |2. ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．(2)解 ∵k a ＋b ＝(k cos α，k sin α)＋(cos β，sin β)＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)， a －k b ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)， ∴|k a ＋b |2＝(k cos α＋cos β)2＋(k sin α＋sin β)2＝k 2cos 2α＋2k cos αcos β＋cos 2β＋k 2sin 2α＋2k sin αsin β＋sin 2β ＝k 2＋2k cos(α－β)＋1.同理可求|a －k b |2＝k 2－2k cos(α－β)＋1. 又∵|k a ＋b |＝|a －k b |， ∴|k a ＋b |2＝|a －k b |2.∴2k cos(α－β)＝－2k cos(α－β)． ∵k ≠0，∴cos(α－β)＝0. ∴cos(β－α)＝0.又∵0<α<β<π，∴β－α＝π2.【训练5】 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x ，1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )．若f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求x .解 (1)由题设得f (x )＝2cos 2 x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1.若f (x )＝1－3，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－3， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－32. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π6.从而2x ＋π6＝－π3，解得x ＝－π4.要点六 三角函数与三角变换的综合问题利用三角公式和基本的三角恒等变换的思想方法，可以化简三角函数的解析式，进而才能顺利地探求三角函数的有关性质．反过来，利用三角函数性质，可确定解析式，进而可求出有关三角函数值．因而三角恒等变换与三角函数的综合问题是高考命题的热点．解决三角恒等变换与三角函数的综合问题关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图像和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切割化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化，角的代换)的运用；还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用．【例6】 已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4－23sin 2x 4＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由． 解 (1)∵f (x )＝sin x 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2x 4 ＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3. ∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3＝－1时，f (x )取得最小值－2； 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3＝1时，f (x )取得最大值2. (2)g (x )是偶函数，理由如下：由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3， 又g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π2 ＝2cos x 2.∵g (－x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝2cos x 2＝g (x )，∴函数g (x )是偶函数．【训练6】 已知函数f (x )＝cos 2 x 2－sin x 2cos x 2－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．解 (1)f (x )＝cos 2 x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. 所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. (2)由(1)知f (α)＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35. 所以sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－1825＝725.。
7.1.1 角的推广2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型
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【训练2】 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 －720°≤β<360°的元素β写出来. 解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝ k·360°－1 910°，k∈Z}. ∵－720°≤β<360°， 即－720°≤k·360°－1 910°<360°(k∈Z)，
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(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再 按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.
解析 (1)①0°角不属于任何象限，所以①不正确. ②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确. ③钝角α的范围是90°<α<180°，显然是第二象限角，所以③正确. ④锐角的集合是{α|0°<α<90°}，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④ 不正确. (2)∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.
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5.终边相同的角 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同 所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为_S_＝__{β_|_β_＝_α_＋__k_·_3_60_°__，__k_∈__Z_}. 即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为__α__.
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解 图(1)中，α＝360°－30°＝330°； 图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°； γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.
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第七章三角函数[数学文化]——了解数学文化的发展与应用早期对于三角函数的研究可以追溯到古代．古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯，他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份(即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同)．对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的．喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值喜帕恰斯表．然而古希腊的三角学基本是球面三角学，这与古希腊人研究的主体是天文学有关．梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理．古希腊三角学与天文学的结合在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式与半角公式的方法．托勒密还给出了所有0度到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值．[读图探新]——发现现象背后的知识伦敦眼伦敦眼(英文名：The London Eye)，全称英国航空伦敦眼(The British Airways London Eye)又称千禧之轮，坐落在伦敦泰晤士河畔，是世界第四大摩天轮，是伦敦的地标之一，也是伦敦最吸引游人的观光点之一．伦敦眼总高度135米(443英尺)．伦敦眼共有32个乘坐舱，因舱内外用钢化玻璃打造，所以设有空调系统．每个乘坐舱可载客约25名，回转速度约为每秒0.26米，即一圈用时30分钟．问题1：伦敦眼转一圈需用时30分钟，这就叫周期现象，那么周期为多少呢？问题2：当游客坐伦敦眼达到最高点时，伦敦美景尽收眼底，总高度135米对应于三角函数的哪些量？链接：(1)周期为30分钟；(2)游客达到最高点与最低点时，分别对应了三角函数的最大值与最小值．7.1任意角的概念与弧度制7.1.1角的推广课标要求素养要求1.结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义.2.理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示.在角的概念推广过程中，经历由具体到抽象，重点提升学生的数学抽象、直观想象素养.教材知识探究周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5：00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习．问题小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？提示时针转了－45°，分针转了－540°.1．角的概念现在所学的角的概念与初中的不同，初中是从静止的角度阐述的一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．2．角的分类注意正角、负角的旋转方向类型定义图示正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角当射线没有旋转，称为零角3.角的加减运算的几何意义设α、β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β．把角α的终边旋转角－β，这时终边所对应的角是α－β．4．象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上．这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角，如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．5．终边相同的角终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为α．,教材拓展补遗[微判断]1．经过1小时，时针转过30°.(×)提示因为时针顺时针旋转，所以时针转过－30°.2．终边与始边重合的角是零角．(×)提示终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)．3．第一象限角都是锐角．(×)提示390°为第一象限角，但不是锐角．4．钝角是第二象限角．(√)5．第三象限的角一定比第一象限的角大．(×)提示例如－120°为第三象限角，60°为第一象限角，故错误．[微训练]1．与－457°角的终边相同的角的集合是()A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}解析由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．答案 C2．－378°是第________象限角．解析－378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角．答案四[微思考]1．角的概念推广后角的范围有怎样的变化？提示角的概念推广后，角度的范围不限于0°～360°，而是任意的角，包括正角、负角与零角．2．终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？提示当角的始边相同时，若角相等，则终边相同，但若角终边相同，则不一定相等.题型一任意角的概念辨析任意角的构成要素：①顶点②始边③终边④旋转方向⑤旋转圈数例1(1)在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中说法错误的序号为________．(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________．解析(1)①0°角不属于任何象限，所以①不正确．②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．③钝角α的范围是90°<α<180°，显然是第二象限角，所以③正确．④锐角的集合是{α|0°<α<90°}，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．(2)∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.答案(1)①②④(2)－40°规律方法判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可．【训练1】写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．解图(1)中，α＝360°－30°＝330°；图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.题型二终边相同的角的表示及应用在终边相同的角的表示中，k·360°可以理解为按一定方向转动的圈数，k取正整数时，按逆时针转，k取负整数时，按顺时针转，k＝0时，没有转动．【例2】写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．解直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．∴S中适合－360°≤β<720°的元素是：45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.规律方法解答本题关键是找到0°～360°范围内，终边落在直线y＝x的角：45°，225°，再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．【训练2】写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来．解由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．∵－720°≤β<360°，即－720°≤k·360°－1 910°<360°(k∈Z)，∴31136≤k<61136(k∈Z)．故取k＝4，5，6.k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.题型三象限角的判定判断象限角的前提是角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的正半轴重合例3(1)已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°.其中是第二象限角的是()A．①②B．①③C．②③D．②④(2)已知α为第三象限角，则α2是第几象限角？(1)解析－120°为第三象限角，①错误；－240°＝－360°＋120°，∵120°为第二象限角，∴－240°也为第二象限角，故②正确；180°为轴线角；495°＝360°＋135°，∵135°为第二象限角，∴495°为第二象限角，故④正确．故选D.答案 D(2)解因为α为第三象限角，所以k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z，所以k·180°＋90°＜α2＜k·180°＋135°，k∈Z，当k为偶数时，记k＝2n，n∈Z，n·360°＋90°＜α2＜n·360°＋135°，n∈Z，所以α2终边在第二象限，当k为奇数时，记k＝2n＋1，n∈Z，n·360°＋270°＜α2＜n·360°＋315°，n∈Z，所以α2终边在第四象限．综上可知，α2是第二象限角或第四象限角．规律方法判断象限角的步骤(1)当0°≤α＜360°时，直接写出结果；(2)当α＜0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)，转化为判断角β所属的象限．【训练3】在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．题型四区域(间)角的表示例4已知，如图所示．①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．包括边界用实线表示，不包括边界用虚线表示解①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．【迁移1】如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：150°≤α≤225°，则满足条件的角α为{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．【迁移2】如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解由图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}．规律方法表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．【训练4】已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}．求：(1)A∩B；(2)A∪B.解在直角坐标系中，分别画出集合A，B所包含的区域，结合图形可知，A∩B＝{θ|30°＋k·360°<θ<45°＋k·360°，k∈Z}，A∪B＝{γ|k·360°－45°<γ<k·360°＋90°或k·360°＋210°<γ<k·360°＋270°，k∈Z}.一、素养落地1．通过本节课的学习，学会利用图形描述建立形与数的联系，提升学生的数学抽象、直观想象素养．2．在高中阶段用转角，即“运动”的观点理解角的概念，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．3．关于终边相同角的认识(1)一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：①α为任意角；②k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；③k∈Z这一条件不能少．(2)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．二、素养训练1．已知α是第二象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.所以180°－(90°＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)，即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，所以180°－α为第一象限角．故选A.答案 A2．已知α是锐角，那么2α是()A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角D．第一或第二象限角解析∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角．故选C.答案 C3．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________．解析由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°，k∈Z.又180°<α<360°，所以k＝3，则α＝270°.答案270°4．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α≤(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α≤2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α≤(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α≤n·180°＋105°，n∈Z}．基础达标一、选择题1．下列说法中正确的是()A．第二象限的角都是钝角B．第二象限角大于第一象限的角C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合D．若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)解析A错误，495°＝135°＋360°是第二象限的角，但不是钝角；B错误，α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限的角，但α<β；C错误，α＝360°，β＝720°，则α≠β，但二者终边重合；D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z)．答案 D2．与－468°角的终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋456°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋252°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋96°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－252°，k∈Z}解析因为－468°＝－2×360°＋252°，所以252°角与－468°角的终边相同，所以与－468°角的终边相同的角为k·360°＋252°，k∈Z，故选B.答案 B3.如图，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}答案 D4．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C5．已知角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z解析法一(特值法)：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.法二(直接法)：因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.答案 B二、填空题6．已知0°<α<360°，α的终边与－60°角的终边关于x轴对称，则α＝________．答案60°7．在－180°～360°范围内，与1 985°角终边相同的角为______．解析∵1 985°＝185°＋5×360°，1 985°＝－175°＋6×360°，∴在－180°～360°范围内与1 985°角终边相同的角有－175°，185°两个．答案－175°，185°8．已知角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________．解析∵30°与150°的终边关于y轴对称，∴β的终边与150°角的终边相同．∴β＝150°＋k·360°，k∈Z.答案150°＋k·360°，k∈Z三、解答题9．在与角－2 019°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．解(1)∵－2 019°＝－6×360°＋141°，∴与角－2 019°终边相同的最小正角是141°.(2)∵－2 019°＝－5×360°＋(－219°)，∴与角－2 019°终边相同的最大负角是－219°.(3)∵－2 019°＝－6×360°＋141°，∴与－2 019°终边相同也就是与141°终边相同．由－720°≤k·360°＋141°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1，0，1.代入k·360°＋141°依次得：－579°，－219°，141°，501°.10．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．能力提升11．设集合A＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}，集合B ＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，则()A．A∩B＝∅B．A BC．B A D．A＝B解析对于集合A，α＝45°＋k·180°＝45°＋2k·90°或α＝135°＋k·180°＝45°＋90°＋2k·90°＝45°＋(2k＋1)·90°.∵k∈Z，∴2k表示所有的偶数，2k＋1表示所有的奇数，∴集合A＝{α|α＝45°＋n·90°，n∈Z}，又集合B＝{β|β＝45°＋n·90°，n∈Z}，∴A＝B.故选D.答案 D12．若α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？ 解 ∵α是第一象限角，∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )．(1)－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．(2)2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )，∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y 轴的正半轴上的角．(3)k ·120°<α3<k ·120°＋30°(k ∈Z )．法一 (分类讨论)当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°<α3<n ·360°＋30°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是第二象限角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、第二或第三象限角．法二 (几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上1，2，3，4，因为α是第一象限角，则标有1的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、第二或第三象限角．创新猜想13．(多选题)下列说法中正确的是( )A ．终边落在第一象限的角为锐角B．锐角是第一象限角C．钝角为第二象限角D．角α与－α的终边关于x轴对称解析终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限角，但不是锐角，故A的说法是错误的；同理第二象限角不一定是钝角，但钝角一定是第二象限角．答案BCD14．(多空题)与2 000°角终边相同的角中，最小正角为__________，最大负角为__________．解析 2 000°＝5×360°＋200°＝6×360°－160°，所以与2 000°角终边相同的角中，最小正角为200°，最大负角为－160°.答案200°－160°。