高二数学试题-高二上学期期中考试试题(不等式、直线方程)【人教B版】1 最新

合集下载

高二(上学期)期中考试数学试卷及答案

高二（上学期）期中考试数学试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一直线过点(0,3),(3,0)-，则此直线的倾斜角为（）A ．45°B ．135°C ．－45°D ．－135°2．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和．若3133S a =+，则d =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC 的周长是（）A ．B ．6C ．4D ．4．设a R ∈，若直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行，则a 的值是（）A ．1B ．1,1-C ．0D ．0，15．已知直线:sin cos 1l x a y a -=，其中a 为常数且[0,2)a π∈．有以下结论：①直线l 的倾斜角为a ；①无论a 为何值，直线l 总与一定圆相切；①若直线l 与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；①若(,)p x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（）A ．22145x y -= B ．221810x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 7．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（）A ．(3-+B ．[]1,5C ．][(35,3-⋃+D ．][(),15,∞∞-⋃+8．已知A ，B 为圆22:2430C x y x y +--+=上的两个动点，P 为弦AB 的中点，若90ACB ∠=︒，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(1)(2)4x y -+-=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．221(1)(2)4x y +++=D ．22(1)(2)1x y +++=二、多选题9．已知直线30ax y a -+-=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （）A ．1B ．1-C ．3D ．3-10．设抛物线24y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上一点.则下列结论正确的是（）A ．若()1,2P ，则2PF =B ．若P 点到焦点的距离为3，则P 的坐标为(2,.C ．若()2,3A ，则PA PF +D ．过焦点F 做斜率为2的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则6AB =11．如图，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=的交点依次为,,,.A B C D 则下列说法正确的是（）A ．四边形ABCD 为正方形B ．阴影部分的面积大于3.C ．阴影部分的面积小于4.D ．四边形ABCD 的外接圆方程为222x y +=12．已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为A ．1B ．1-C ．3-D ．5-三、填空题13．设()1,0F c -，()2,0F c 分别为椭圆()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点，若直线22a x c=上存在点P ，使22PF c =，则椭圆离心率的取值范围为______.14．已知在数列{}n a 中，12a =，111n na a +=-，*n N ∈，则2021a =________．15．已知焦点为1F ，2F 的双曲线C P 为C 上一点，且满足2123PF PF =，若12PF F △的面积为C 的实轴长为________四、双空题16．抛物线2:2C y x =的焦点坐标是______；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=______．五、解答题17．已知{n a }为等差数列，Sn 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=．(1)求数列{n a }的通项公式；(2)求Sn ．18．已知A (4, 9), B (6, 3)两点，求以线段AB 为直径的圆的方程．19．已知直线10:4l mx y ++=和直线()()2:2100,0l m x ny m n +-+=>>互相垂直，求m n 的取值范围． 20．已知①ABC 的顶点A （-1，5），B （-1，-1），C （3，7）.(1)求边BC 上的高AD 所在直线的方程；(2)求边BC 上的中线AM 所在直线的方程；(3)求①ABC 的面积.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且M 点的纵坐标为4，52p MF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(0,4)Q -作直线交抛物线C 于,A B 两点，试问抛物线C 上是否存在定点N 使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数？若存在求出点N 的坐标，若不存在说明理由．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆C 的四个顶点为顶点的四边形面积为 (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左顶点为A ，右焦点是F ．点P 是椭圆C 上的点（异于左、右顶点），M 为线段PA 的中点，过M 作直线PF 的平行线l ．延长PF 交椭圆C 于Q ，连接AQ 交直线l 于点B ．①求证：直线l 过定点．①是否存在定点1D 、2D ，使得12BD BD +为定值，若存在，求出1D 、2D 的坐标；若不存在说明理由．参考答案：1．A【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，得到tan 1α=，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为α，由斜率公式，可得03130k -==--，即tan 1α=，因为0180α≤<，所以45α=，即此直线的倾斜角为45.故选：A.2．C【解析】根据{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，所以113333a d a +=+，解得1d =，故选：C3．D【分析】先由椭圆方程求出a =.【详解】由椭圆2213x y +=，得：a =由题意可得ABC 的周长为:221224AC CF F B BF a a a +++=+==.故选：D.4．A【分析】根据两直线平行则两直线斜率相等截距不相等可得答案.【详解】0a =时，两直线为10y -=、直线10x +=，显然不平行；所以0a ≠，两直线为1y ax =-+，1(1)=-+y x a，所以1a a -=-，且11a -≠，解得1a =．故选：A.5．C【分析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.【详解】对于①，直线l 的倾斜角的取值范围为[0,)π，与角a 的不同，故①错误；对于①，(0,0)1=，则无论a 为何值，直线l 总与221x y +=相切，故①正确；对于①，若直线l 与两坐标轴都相交，则截距分别为1sin a ，1cos a -，则与两坐标轴围成的三角形的面积为111112sin cos sin 2a a a⋅=≥，故①正确；对于①，由①知直线l 总与221x y +=相切，则直线l 上的点到原点的距离大于等于1，即221x y +≥，故①正确；综上所述，①①①共3个正确；故选：C6．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为221123x y +=，可得21239c =-=，即3c =，因为双曲线C 的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距3c =，又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，即b =，又由222+=a b c ，即229a ⎫⎪⎪⎝⎭+=，解得24a =，可得25b =，所以双曲线C 的方程为22145x y -=. 故选：A ．7．C【分析】由题知圆心为(),1,4C m r =，进而根据三角形面积公式得ABC 面积最大时，AB =，圆心C 到直线AB 的距离为4PC ≤<即可得答案.【详解】解：圆222:22150C x y mx y m +--+-=，即圆()()22:116C x m y -+-=，即圆心为(),1,4C m r =，所以ABC 的面积为21sin 8sin 82ABC S r ACB ACB =∠=∠≤△，当且仅当2ACB π∠=，此时ABC 为等腰直角三角形，AB =C 到直线AB 的距离为= 因为点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，所以4PC ≤<，即4<，所以，28(3)416m ≤-+<，解得31m -≤或53m ≤<+所以，实数m 的取值范围是][(35,3-⋃+故选：C8．B【分析】在直角三角形中利用几何关系即可获解【详解】圆C 即22(1)(2)2x y -+-=,半径r =因为CA CB ⊥,所以2AB ==又P 是AB 的中点,所以112CP AB == 所以点P 的轨迹方程为22(1)(2)1x y -+-=故选：B9．BC【分析】显然0a ≠，再分30a -=与30a -≠两种情况讨论，若30a -≠，求得直线在,x y 轴上的截距，即可得到方程，解得即可；【详解】解：依题意可知0a ≠，所以当30a -=，即3a =时，直线30ax y a -+-=化为30x y -=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当30a -≠，即3a ≠时，直线30ax y a -+-=在x 轴上的截距为3a a-，在y 轴上的截距为3a -，故33a a a -=-，解得1a =-；综上所述，实数3a =或1a =-.故选：BC10．AC【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果.【详解】抛物线24y x =，()1,0F .对于A ，()1,2P ，2PF ，A 正确；对于B ，设(,P x ±，()22143x x -+=，2x =，P 的坐标为(2,±.B 错误；对于C,()min PA PF AF +==正确；对于D ，直线:22l y x =-，联立24y x =，得：2310x x -+=，3A B x x +=,2=5B A x x AB ++=,D 错误. 故选：AC.11．ABC【分析】根据曲线的对称性，可判定A 正确；联立方程组求得A 的坐标，求得ABCD 的面积为13S =，可判定B 正确；由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积可判定C 正确；由232OA =，得出圆的方程，可判定D 错误．【详解】由题意，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=，根据曲线的对称性，可得四边形ABCD 为正方形，选项A 正确；联立方程组，求得A ，所以正方形ABCD 的面积为13S =，所以阴影部分的面积大于3，选项B 正确：由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积为2=4S ，所以阴影部分的面积小于4，选项C 正确；由232OA =，所以四边形ABCD 的外接圆方程为2232x y +=，选项D 错误．故选：ABC .12．ACD【解析】根据题意，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，所以，4242CA -<<+，即26，解得()()1,20,171m ∈--，即m 的值可以为：1或3-或5-.故选：ACD.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题. 13．0e <≤【分析】由题设易知222||a PF c c≥-，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围. 【详解】由题设，222||2a PF c c c=≥-，则22223c e a =≤，而01e <<，所以0e <≤故答案为：0e <≤14．12##0.5 【分析】由递推关系依次求出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．【详解】由题意12a =，211122a =-=，311112a =-=-，41121a =-=-，所以数列{}n a 是周期数列，周期为3，所以202136732212a a a ⨯+===．故答案为：12．15【分析】由2123PF PF =和双曲线定义可得12,46a PF a PF ==，再结合余弦定理和c e a ==122cos 3F PF ∠=，利用面积公式1212121||||sin 2PF F S PF PF F PF =∠=a =. 【详解】由题意，221123PF PF PF PF ∴=> 由双曲线定义可知，122PF PF a -=21,46a PF a PF ==∴222222221212122212||||||36164524cos 2||||4848PF PF F F a a c a c F PF PF PF a a +-+--∴∠===又122cos 3c e c F PF a ===∴∠=又1212(0,)sin F PF F PF π∠∈∴∠=122121211||||sin 2422PF F S PF PF F PF a =∠=⨯=221,a ∴=又0a a >∴=故双曲线C16． ()1,0##0.5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 9. 【分析】由抛物线的解析式可知22p =，即可得出焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；过A 、B 、P 作准线的垂线且分别交准线于点M 、N 、K ，根据抛物线的定义可知AM BN AF BF +=+，由梯形的中位线的性质得出()1942212AM BN PK +==+=，进而可求出AF BF +的结果. 【详解】解：由抛物线2:2C y x =，可知22p =，则122p =，所以抛物线2:2C y x =的焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，如图，过点A 作AM 垂直于准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线交准线于N ，过点P 作PK 垂直于准线交准线于K ，由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+，再根据()4,1P 为线段AB 的中点，而四边形AMNB 为梯形，由梯形的中位线可知()1942212AM BN PK +==+=，则9AM BN +=，所以9AF BF +=. 故答案为：1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；9. 17．(1)an ＝8﹣2n ；(2)27n S n n =-+.【分析】（1）应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；（2）由等差数列前n 项和公式求Sn . （1）设等差数列{an }的公差为d ，由a 1＝6，a 3+a 5＝0，则6+2d +6+4d ＝0，解得d ＝﹣2，因此an ＝a 1+（n ﹣1）d ＝8﹣2n ，所以{an }的通项公式为an ＝8﹣2n ．（2）由题意知：()21172n n n S na d n n -=+=-+，18．(x -5)2＋(y -6)2＝10【分析】根据题意，求得圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程.【详解】因为线段AB 为直径，所以线段AB 的中点C 为该圆的圆心，即C (5, 6)．又因为AB ，所以所求圆的半径r ＝2AB，因此，所求圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10. 19．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】通过两直线垂直的充要条件得到22n m m =+，然后两边同时除以m ，使用不等式即可解决. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()210m m n ++⨯-=，所以22n m m =+，因为0m >，所以2221m m m m n m +==+．因为0m >，所以22m +>，所以11022m <<+，故m n 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 20．(1)x +2y -9=0 (2)4y x =-+ (3)12【分析】（1）求得BC k ，根据垂直关系可得12AD k =-，再根据点斜式求解高AD 所在直线的方程即可；（2）根据中点坐标公式，结合两点式方程求解即可；（3）根据两点式方程可得边BC 所在直线的方程，再根据点到线的距离公式可得点A 到直线BC 的距离，进而根据三角形的面积公式求解即可. （1）因为7(1)23(1)BC k --==--，所以12AD k =-，从而边BC 上的高AD 所在直线的方程为()1512y x -=-+，即x +2y -9=0（2）因为M 是BC 的中点，所以M （1，3），从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即4y x =-+ （3）由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()117131y x ----=----，即210,x y BC -+==所以点A 到直线BC 的距离h ==ABC 的面积1122BC h =⋅=.21．(1)24y x =(2)存在，()44，【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点M 的横坐标，进而求得p,可得答案;（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线NA 与NB 的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论. (1)（1）0(,4)M x 设则05||22p pMF x =+=， 02x p ∴=， 2416p ∴=，0,2p p >∴=，故C 的方程为：24y x = ；(2)假设存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数，由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不为零，(4)AB x m y =+设的方程为，2011220(,),(,),(,)4y A x y B x y N y ，()244x m y y x ⎧=+⎨=⎩由， 24160y my m --=得，所以{Δ>0y 1+y 2=4m y 1y 2=−16m ，即4m <- 或0m > ，01020102222222000012010212441444444NA NB y y y y y y y y k k y y y y y y y y y y x x ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=++---- 2001212()16y y y y y y ∴+++=，200(416)160y m y ∴-+-=恒成立，则024160160y y -=⎧⎨-=⎩ ，04y ∴=， (4,4),N ∴存在定点使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数. 22．(1)2211612x y +=；(2)（i ）证明见解析；（ii ）存在，且()13,0D -、()21,0D -.【分析】（1）根据已知条件得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆C 的方程；（2）（i ）分析可知直线PQ 不与x 轴重合，设设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，写出点M 的坐标，化简直线l 的方程，即可得出直线l 所过定点的坐标；（ii ）点(),B x y ，写出点B 的坐标，利用相关点法求出点B 的轨迹方程，可知点B 的轨迹为椭圆，求出椭圆的两个焦点坐标，结合椭圆的定义可得出结论. (1)解：由题意可得222121222c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 因此，椭圆C 的方程为2211612x y +=. (2)解：（i ）易知点()2,0F 、()4,0A -，若PQ 与x 轴重合，则P 或Q 与点A 重合，不合乎题意，设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，点M 的坐标为004,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭，直线MB 的方程为00422x y x m y -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且002x my =+，所以，直线l 的方程为1x my =-，因此，直线l 过定点()1,0-. （ii ）因为B 为AQ 的中点，则114,22x y B -⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有221111612x y +=，设点(),B x y ，则11422x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得11242x x y y =+⎧⎨=⎩，所以，()()2224211612x y ++=，即()222143x y ++=，即点B 的轨迹方程为()222143x y ++=，因为椭圆22143x y +=的两个焦点坐标分别为()1,0-、()1,0，椭圆()222143x y ++=可由椭圆22143x y +=向左平移2个单位得到，故椭圆()222143x y ++=的两个焦点坐标别为()3,0-、()1,0-，故存在定点()13,0D -、()21,0D -使得124BD BD +=为定值. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。

高二年级第一学期期中考试数学试题(1)

高二年级第一学期期中考试数学试题一．选择题（每题3分,共45分.请把答案填在本题后的相应的表格内）1.若a>b 且c<0则有（）A.ac>bcB. ac<bcC. ac ＝bcD. ac 与bc 的大小不能确定2.若a>b 那么( )A.2c-a>2c-bB.2a-c<2b-cC. 2a+c>2b+cD.2c+a<2c+b3.圆C ：22y x +y x 32+-=0的圆心和半径分别为（）A.(1-, 23), 1B.(2, )3-,23C.(1, 23-),413D.(1, 23-),213 4．斜率为3，在x 轴上的截距为4的直线方程是（）A. y=3x+4B. x=3y+12C. 3x=y 4-D. 3x=y+125.满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤+≤≥2100y x y x y x 的可行域内使目标函数ｚ=y x 2+取得最大值的点的坐标是( )A . (0, 0) B. (21,23-) C. (0，2-) D. (1，0)6.已知a<0, 1-<b<0那么( )A. a>ab>ab 2B. ab 2>ab>aC. ab>a>ab 2D. ab>ab 2>a7.直线的斜率为3-,则其倾斜角为( )A.π+arctan3B. arctan(3-)C. –arctan(3-)D.π+arctan(3-)8.直线l 1:132=+y x和 l 2: y=x 32+1关系为( ) A.平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合9.不等式：xx x x +>+22的解集是( ) Ａ. ()+∞∞-, B.（,2- 0） C. (]0,2- D. ()()+∞⋃-∞-,02,10.直线有斜率是直线有倾斜角的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.即不充分又不必要条件11.直线l 1: x+3y=1直线l 2的斜率为21, 则l 2到l 1的角为( )A. 450B. 1200 C . 1350 D. 150012.直线2x-3y+2=0和曲线y=x 61-的交点到直线y=1-x 34的距离是( ) A. 54 B. 511 C. 5513 D.5511 13.已知: x<0, 则 x x 1- 有( )A. 最大值-2B. 最小值2C. 最小值-2D. 最大值214.a,b 是不等的实数,则下列不等式总成立的是( )A.ab ba +>2 B.ab ba >+2 C.ab b a >+222 D.222>+abb a 15.两直线a, b 互不垂直,a 到b 的角为α, a, b 的夹角为β, 则下列不等式中不一定成立的是( )A.sin α=βsinB.αcos =cos βC. tan α=βtanD. αcot =cot β 请把选择题的答案填在此表格内第Ⅱ卷（非选择题共55分）二.填空(每小题3分,共15分)16.由两点A(1, 2), B(3-, 4) 所确定的直线的斜率为．17.已知5<x<7, 4-<y<3, 则x y -的取值范围是．18.不论m 为何实数,方程 (3m+4)x+(5-2m)y+7m 6-=0 所表示的直线总过一定点,则该点的坐标为．19.不等式 5532<--x x 的解集为．20. 已知点 A (3,2-),B (5-, 4), 则以线段AB 为直径的圆的标准方程为．三.解答题(共40分)21.已知 m b a ,, 都是正数，且b a < , 求证:ba mb m a >++ (7分)22.设0<x<2, 求函数y=)38(3x x -的最大值,并写出此时x 的值.(7分)23.动点P 到直线l: y=2-的距离等于它到点A (0,4) 的距离,求动点P的轨迹方程． (只求方程不用证明) (8分)24.求直线a: 2x-y+3=0 关于直线l: x+y+1=0 的对称直线b 的方程,并化为截距式． (8分)25.解不等式01)1)((<---ax x x a ，其中0<a<2． (10分)。

2022-2023学年北京市第八十中学高二上学期期中考试数学试卷(带讲解)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”得到a＝－2或a＝1，即得解.
【详解】解：若a＝－2，则直线l1：－2x＋2y－1＝0与直线l2：x－y＋4＝0平行；
若“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”，∴ ，解得a＝－2或a＝1，
令，则，即，
由题意可得：平面的法向量，
∵ ，
故平面和平面所成角的余弦值为 .
19.如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面，，分别是线段，的中点，是线段上的一点．
（1）若平面，求证：为的中点；
（2）若是直线与平面的交点，试确定的值；
（3）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥体积．
【分析】根据圆的几何特征，过圆内一点最长的弦是过此点的直径，最短的弦是过此点且与该直径垂直的弦，即可求得.
【详解】圆，过点作圆的所有弦中，
根据圆的几何特征，最短弦所在直线与垂直，
斜率，
所以该直线方程，
即
故答案为：
【点睛】此题考查根据圆的几何特征求过圆内一点最短弦所在直线方程，根据垂直关系求出斜率.
16.已知点在曲线：上，斜率为的直线与曲线交于，两点，且，两点与点不重合，有下列结论：
（1）曲线有两个焦点，其坐标分别为，；
（2）将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），得到的曲线是一个圆；
（3）面积的最大值为；
（4）线段长度的最大值为3．
其中所有正确结论的序号是______．

山东省济宁市邹城市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题+答案解析(附后)

山东省济宁市邹城市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知椭圆，则其离心率( )A. B. C. D.2.已知，向量，，若，则实数x的值等于( )A. B. 1 C. D. 23.若点在圆的内部，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.4.若P，Q分别为直线与直线上任意一点，则的最小值为( )A. B. C. D.5.过点的直线l与圆相切，则直线l的方程是( )A.或 B.C.或 D.6.如图所示，在大小为的二面角中，四边形ABFE和四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )A. 2B.C.D.7.在正方体中，与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.8.已知椭圆E：，其右焦点为，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则E的方程为A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法中，正确的有( )A. 直线必过定点B. 直线在y轴上的截距为C. 直线的倾斜角为D. 点到直线的距离为710.给出下列命题，其中正确的是( )A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是C. 若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线D. 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为若，则11.已知圆和圆相交于A，B两点，下列说法正确的是( )A. 圆M圆心坐标为B. 两圆有两条公切线C.直线AB的方程为D. 若点E圆O上，点F在圆M上，则12.如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，侧面PAD是边长为的正三角形，底面ABCD为矩形，且，点Q是PD的中点，则下列结论描述正确的是( )A. 平面PADB. B，Q两点间的距离等于C. DC与平面AQC所成的角为D. 三棱锥的体积为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年河南省信阳市多高二上学期期中联考数学试题(含解析)

2023-2024学年河南省信阳市多高二上学期期中联考数学试题第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知非零实数a ，b ，若a b >，则下列不等式成立的是（）A.11a b> B.22a b > C.11a b< D.33a b >【正确答案】D【分析】结合不等式和函数性质，结合列举法即可求解.【详解】对AC ，令2,1a b ==，满足a b >，但不满足11a b>，故A 错；对B ，令2,3a b ==-，满足a b >，但不满足22a b >，故B 错；对C，令1,1a b ==-，满足a b >，但不满足11a b<，故C 错；对D ，设3y x =，函数为增函数，若a b >，则33a b >，故D 正确.故选：D2.在数列{{}n a 中，11a =，12n n a a +-=，n +∈N ，则10a 的值为（）A.17B.18C.19D.21【正确答案】C【分析】由题知公差为2，结合通项公式求出10a 即可.【详解】由12n n a a +-=得2d =，故101911819a a d =+=+=.故选：C3.《算法统宗》是中国古代数学名著，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要详推.这位公公年龄最小的儿子年龄为（）A.8岁 B.9岁C.11岁D.12岁【正确答案】C【分析】将年龄从小到大排列成公差为3的等差数列{}n a ，利用公式计算得到答案.【详解】将年龄从小到大排列成公差为3的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，则9198932072S a ⨯=+⨯=，解得111a =.故选：C.4.在下列函数中，最小值是2的为（）A.1y x x=+B.33x x y -=+C.1ln (1e)ln y x x x=+<< D.1πsin 0sin 2y x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】取=1x -时，12y x x=+=-，A 错误，CD 选项中均值不等式等号条件不成立，错误，利用均值不等式得到B 正确，得到答案.【详解】当=1x -时，12y x x=+=-，A错误；332x x y -=≥=+，当33x x -=，即0x =时等号成立，B 正确；1e x <<，则()ln 0,1x ∈，1ln 2ln y x x =+≥=，1ln ln x x=，即ln 1x =时等号成立，ln 1x ≠，等号不成立，故C 错误；π02x <<，()sin 0,1x ∈，1sin 2sin =+≥=y x x ，1sin sin =x x ，即sin 1x =时等号成立，sin 1x ≠，等号不成立，故D 错误.故选：B.5.设变量,x y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为（）A.2B.4C.-2D.12【正确答案】B【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】画出约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≥⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数2z x y =+可化为直线2y x z =-+，当直线2z x y =+过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由20240x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得(2,0)A ，所以目标函数的最小值为224z =⨯=.故选：B.根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y x b b =-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；（3）斜率型：形如y bz x a-=-，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解.6.在ABC 中，sin :sin :sin 7:5:3A B C =，则该三角形的最大内角是（）A.135° B.120°C.84°D.75°【正确答案】B【分析】根据正弦边化角原则，求出三边比例，再由大边对大角，对最大角采用余弦定理即可求解.【详解】由sin :sin :sin 7:5:3A B C =可得::7:5:3a b c =，不妨设3c x =，则5,7b x a x ==，则222222259491cos 22532b c a x x x A bc x x +-+-===-⋅⋅，故120A =︒.故选：B7.已知等差数列{}n a 满足927S =，330n S =，430n a -=，则n 值为（）A.20B.19C.18D.17【正确答案】A【分析】根据927S =得到53a =，带入求和公式结合等差数列性质解得答案.【详解】()9199227s a a =+⨯÷=，故19526+==a a a ，即53a =.()()15433033222n n n n n na a a S a -=++===，解得20n =.故选：A.8.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，1b =，2C B =，则ABC 外接圆半径为（）A.2B.C.D.1【正确答案】D【分析】结合正弦定理边化角得sin 2sin A B =，由2C B =得sin sin cos C A B =，联立第三角公式可求出A ，结合2sin ar A=可求ABC 外接圆半径.【详解】由正弦定理可得:sin :sin 2:1a b A B ==，即sin 2sin A B =，又2C B =，故sin sin 22sin cos sin cos C B B B A B ===，结合第三角公式得()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，故sin cos 0,cos 0B A A ==，2A π=，由221sin 2sin 21a a r r A A =⇒===⨯.故选：D9.已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a ⋅<，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（）A.19B.20C.21D.22【正确答案】A【分析】将条件处理得10110,0a a ><，再结合等差数列下标性质即可求解.【详解】()91191111101130220a a a a a a a +<⇔++=+<，又10110a a ⋅<，数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，故数列为递减数列，10,0a d ><，所以10110,0a a ><，()1191910191902a a S a +⋅==>，()()120201011201002a a S a a +⋅==+<，所以123101119200S S S S S S S <<<<>>>>>，又()191101190S S a a -=+<，故n S 取得最小正值时n 等于19.故选：A10.在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 对边的长，根据下列条件解三角形，有两解的是（）A.7a =，14b =，30A =︒B.30a =，25b =，150A =︒C.72a =，50b =，135A =︒D.30a =，40b =，26A =︒【正确答案】D【分析】根据正弦定理得到sin B 的值，根据角度范围得到解的个数，得到答案.【详解】根据正弦定理：sin sin a b A B=，7141sin 2B =，sin 1B =，90B =︒，有一解，A 不满足；30251sin 2B =，5sin 12B =，π0,6B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有一解，B 不满足；50sin 22B =，252sin 72B =，π0,4B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有一解，C 不满足；3040sin 26sin B =︒，4sin 264sin 302sin 26sin 333B ︒︒︒<=<=，0154B <∠<︒，有两解，D 满足.故选：D.11.在数列{}n a 中，11a =，23a =，35a =，31n n a a +=，则515252021log log log a a a +++（）A.0B.1C.5log 3D.5log 15【正确答案】B【分析】根据31n n a a +=，可得6n n a a +=，则数列{}n a 是以6为周期的周期数列，再求出123456a a a a a a ，即可得解.【详解】31n n a a +=，故361n n a a ++=，故6n n a a +=，数列的周期为6.11a =，23a =，35a =，41a =，513a =，615a =，1234561a a a a a a =，()5152520215122021log log log log a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅()()3365126125log a a a a a a ⎡⎤=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦()2515log a a a =⋅⋅⋅⋅53log a =5log 5=1=.故选：B.12.已知数列{}n a 满足11a =，221(1)nn n a a -=+-，()*2123nn n a a n +=+∈N ，则数列{}na 的前2021项的和为（）A.101132022- B.101032022- C.101132020- D.101032020-【正确答案】A【分析】利用累加法得到()12113122n nn a ---=+-，带入得到231(1122)n nn a =-+-，再利用分组求和法计算得到答案.【详解】212213(1)3nnnn n n a a a +-+-==++，即2121(1)3nnn n a a +---+=.()()()2121232325131n n n n n a a a a a a a a -----=-+-+⋅⋅⋅+-+[]()1121211331(31)3(11221)3n n n n n n --------⎡⎤⎡⎤=++⋅⋅⋅+-++=-+⎣⎦⎣⎦-+-+()()11311311222n n n n--+--=-=+-.()12211331112(1)(1)12)22nnn n n n n n a a ---==+---+-+=+-.故()()2021132021242020S a a a a a a =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅()()()0110101210111113331111222222⎛⎫---=++-++-+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭2101021010(1)(1)(3131311112222221)⎛⎫++-++-+⋅⋅--⋅++- ⎪⎝⎭-1010101110111331132021*********-=++--=--.故选：A.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是{2x x <-或12x >-}，则20x bx c -+<的解集为________.【正确答案】122xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】首先根据题意得到2x =-和12x =-是方程20x bx c ++=的根，从而得到521b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，再解不等式即可.【详解】由题知：2x =-和12x =-是方程20x bx c ++=的根，所以()()122122b c ⎧⎛⎫-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得521b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩.所以2202520x bx c x x -+<⇒-+<，解得122x <<.所以解集为122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.故122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭14.ABC 中，5cos 13B =，3sin 5A =，则在ABC 中，cos C =________.【正确答案】1665【分析】计算12sin 13B =，根据正弦定理判断B A >得到4cos 5A =，根据和差公式计算得到答案.【详解】5cos 13B =，则12sin 13B ==，3sin 5A =，sin sin B A >，根据正弦定理知b a >，故B A >，A为锐角，故4cos 5A ==.()()1235416cos cos πcos sin sin cos cos 13513565C A B A B A B A B =--=-+=-=´-´=.故答案为.166515.如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是200米，圆心角是120°的扇形AOB .O 为南门位置，C 为东门位置，小区里有一条平行于AO 的小路CD ，若3OD =米，则圆弧AC 的长为___________米【正确答案】50π【分析】连结OC ，由//CD OA ，可得DCO COA ∠=∠，60CDO ︒∠=，在△OCD 中，由正弦定理可得，sin sin OD OCDCO CDO=∠∠，可求出sin DCO ∠，进而可求出,DCO COA ∠∠，进而根据圆弧AC 所对应的圆心角及半径，可求出圆弧AC 的长度.【详解】连结OC ，因为//CD OA ，所以DCO COA ∠=∠，180********CDO DOA ︒︒︒︒∠=-∠=-=.在△OCD 中，由正弦定理可得，sin sin OD OC DCO CDO =∠∠，即3sin 32DCO =∠232sin 2002DCO ⨯∠==，因为DCO COA ∠=∠，且()0,120COA ︒︒∠∈，所以45DCO COA ︒∠=∠=，所以»452π20050π360AC ︒︒=⨯⨯=.故答案为.50π16.正数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对[3,1]x ∀∈--恒成立，则实数m 的取值范围是________.【正确答案】[)3,-+∞【分析】采用基本不等式，先求出a b +的最小值，再采用分离参数法结合二次函数性质即可求解.【详解】因为191a b +=，所以()199101016a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当312b a ==时取到等号，故16a b +≥，则2418a b x x m +≥-++-对[3,1]x ∀∈--恒成立等价于241186x x m ≥-++-对[3,1]x ∀∈--恒成立，即242m x x ≥-++对[]3,1x ∈--恒成立，()2max 42m x x ≥-++，242y x x =-++在[]3,1--单增，则()2max421423x x -++=--+=-，则[)3,m ∈-+∞.故[)3,-+∞三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC的面积，满足222)4S a b c =+-．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．【正确答案】（Ⅰ）,3π（Ⅱ【详解】解：（1）由题意可知，13sin 2cos tan 243S ab C ab C C C π==⨯⇒=⇒=；（2）2sin sin sin sin()sin sin()31sin cos sin )226A B A C A A A A A A A πππ+=+--=+=++=+≤当△ABC 为等边三角形的时候sin sin A B +18.设函数2()(1)1f x ax a x =-++.当a ∈R 时，求关于x 的不等式()0f x <的解集.【正确答案】答案见解析.【分析】讨论0a =，a<0和0a >三种大情况，再考虑1a =，1a >，01a <<三种情况，解不等式得到答案.【详解】若0a =，原不等式可化为10x -+<，解得1x >；若a<0，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a<或1x >；若0a >，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，其解得情况应由1a 与1的大小关系确定，当1a =时，解为∅；当1a >时，解得11x a <<；当01a <<时，解得11x a<<.综上所述：当a<0时，解集为1x x a⎧<⎨⎩或}1x >；当0a =时，解集为{}1x x >；当01a <<时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎩⎭；当1a =时，解集为∅；当1a >时，解集为11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.19.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-；数列{}n b 满足11(2,)n n n n b b b b n n N ---=≥∈，11b =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【正确答案】（1）12n n a -=，1n b n=（2）(1)21n n T n =-⋅+【分析】（1）采用作差法结合,n n S a 关系式可求n a ，再验证1a 可求{}n a 的通项公式；对11n n n n b b b b ---=变形得1111n n b b --=，求出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而求出{}n b 的通项公式；（2）采用错位相减法即可求解.【小问1详解】由21n n S a =-，得1121S a =-，11a ∴=.又21n n S a =-，1121(2)n n S a n --=-≥，两式相减，得1122n n n n S S a a ---=-，122n n n a a a -=-12n n a a -∴=，2n ≥.∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列.11122n n n a --∴=⋅=.由()*112,Nn n n n b b b b n n ---=≥∈，得1111n n b b --=，又11b =，∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列.11(1)1n n n b ∴=+-⋅=.1n b n∴=；【小问2详解】01112222n n T n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，12212222n n T n ∴=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅.两式相减，得11121222212212nn nn n nn T n n n ---=++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-+-⋅-(1)21n n T n \=-×+.20.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin sin a A c C b A B -=-.（1）求角C ；（2）若1c =，且ABC的面积(0,)12S ∈，求ABC 的周长l 的取值范围.【正确答案】（1）3π；（2）(21).【分析】（1）先利用正弦定理，边角互化，再结合余弦定理，即可求解.(2)先利用三角形面积公式，得出ab 的范围，再结合余弦定理，即可求出范围.【详解】（1）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得22()a c b a b -=-，∴222c a b ab =+-，∴由余弦定理，得2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,πC ∈，∴π3C =.（2）∵ABC 的面积13=sin 24S ab C ab =，∴330412<<，∴103ab <<，若=1c ，则2222=()31c a b ab a b ab =+-+-=，∴+a b∵ABC 的周长+1l a b c =++，且103ab <<，∴21l <<+，即ABC 的周长l 的取值范围为(21)+.21.首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【正确答案】（1）400吨；（2）不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为y x，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.（2）根据获利100S x y =-，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.【小问1详解】由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥-=；当且仅当1800002x x=，即400x =时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.【小问2详解】不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =---，因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.22.设数列{}n a 满足13a =，121n n a a n +=-+.（1）证明数列{}n a n -为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若11c =，11n n n n b c c a n +=-=-，111n n n d c c +=-.求证：数列{}n n b d ⋅的前n 项和14n S <.【正确答案】（1）证明见解析，2n n a n=+（2）证明见解析【分析】（1）计算()1(1)2n n a n a n +-+=-，再根据首项得到通项公式.（2）计算12n n b =，利用累加法得到1212n n n c --=，放缩111142121n n n n b d +⎛⎫⋅≤- ⎪--⎝⎭，利用裂项相消法计算得到证明【小问1详解】()1(1)2112n n n a n a n n a n +-+=-+--=-，又112a -=，{}n a n ∴-为以2为首项，以2为公比的等比数列，可得：2n n a n -=，2n n a n =+.【小问2详解】112n n n n b c c +=-=，2n ∴≥时()()()121321n n n c c c c c c c c -=+-+-+⋅⋅⋅+-2n 1111111112121212222212n n n n -----=+++⋅⋅⋅+==-=-，1n =时也符合上式，1212n n n c --∴=()111122112212121221n n n n n n n n n b d -++⎛⎫∴⋅=-=- ⎪----⎝⎭()()()()111111222212121n n n n +++==----11111111122212142121n n n n n ++⎛⎫⎛⎫=-≤- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭1223111111114212121212121n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴≤-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111114214n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭.所以数列{}n n b d ⋅的前n 项和14n S <.。

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市八校高二上学期期中考试数学试题(解析版)

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市八校高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知直线l 1的一个方向向量a →＝(2，4，x )，直线l 2的一个方向向量b →＝(2，y ，2)，若|a →|＝6，且l 1⊥l 2，则x ＋y 的值是（） A ．－3或1 B ．3或－1 C ．－3 D ．1【答案】A【分析】根据|a →|＝6，且l 1⊥l 2，利用向量坐标的运算列出方程求解即可.【详解】由条件可知|a →|6，且a →·b →＝4＋4y ＋2x ＝0，解得43x y =⎧⎨=-⎩或41x y =-⎧⎨=⎩，∴x ＋y ＝1或－3. 故选：A2．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（） A ．5270x y -+= B ．310x y +-= C ．3240x y -+= D ．230x y --=【答案】A【解析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可. 【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径，则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ，则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.3．已知1F ，2F 是两个定点，且122F F a =（a 是正常数），动点P 满足2121PF PF a +=+，则动点P的轨迹是（） A ．椭圆 B ．线段 C ．椭圆或线段 D ．直线【答案】C【分析】讨论21a +与2a 的大小关系，结合椭圆定义可知.【详解】解：因为212a a + （当且仅当1a = 时，等号成立)，所以1212||||||PF PF F F +，当0a > 且1a ≠ 时，1212||||||PF PF F F +>，此时动点P 的轨迹是椭圆；当1a = 时，1212||||||PF PF F F +=，此时动点P 的轨迹是线段12F F ．故选：C ．4．已知A （0，0，2），B （1，0，2），C （0，2，0），则点A 到直线BC 的距离为（） A ．22B ．1C 2D ．22【答案】A【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离. 【详解】∵A （0，0，2），B （1，0，2），C （0，2，0），AB →∴＝（1，0，0），BC →＝（﹣1，2，﹣2），∴点A 到直线BC 的距离为：d ＝22AB BC AB 1(cos AB,BC )AB 1()AB BC→→→→→→→→⋅-<>=-⋅＝1×21113-⎛⎫- ⎪⨯⎝⎭＝223．故选：A【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题.5．已知直三棱柱111ABC A B C 中，120BAC ∠=，AB AC =，且直线A 1B 与平面ABC 所成的角为45，D 为1CC 的中点，则异面直线1A B 与AD 所成角的余弦值为（） A ．105B ．105-C ．1020D ．1020-【答案】A【分析】在直三棱柱111ABC A B C 中，由直线A 1B 与平面ABC 所成的角为45，可得145A BA ∠=，从而1AA AB =，取AB 中点O ，1AA 中点M ，连接11,,OM MC OC ，则1OM A B ∕∕，1C M AD ∕∕，所以1OMC ∠或其补角即为异面直线1A B 与AD 所成角，从而可得答案.【详解】解：因为三棱柱111ABC A B C 是直三棱柱，则1AA ⊥平面ABC ，所以1A BA ∠即为直线A 1B 与平面ABC 所成的角，所以145A BA ∠=，所以1AA AB =，取AB 中点O ，1AA 中点M ，连接11,,OM MC OC ，则1OM A B ∕∕，1C M AD ∕∕，所以1OMC ∠或其补角即为异面直线1A B 与AD 所成角，设12AA AB a ==，则112OM A B =，1MC =，在ABC中，2cos120OCa===，1C O=，在1C MO ∆中，1MC，OM=，1C O ∴2222221111cos 2OM MC OCOMC OM MC +-∠====⨯⨯，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线1A B 与AD 所成角的余弦值为故选：A.6．已知点()2, 2,,3()1A B -，若直线10kx y --=与线段AB 有交点，则实数k 的取值范围是 A ．3(,4),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3(,4],2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭D ．34,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】根据题意知A 、B 两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．【详解】根据题意，若直线l ：kx ﹣y ﹣1＝0与线段AB 相交，则A 、B 在直线的异侧或在直线上，则有（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0，即（2k ﹣3）（k +4）≥0，解得k ≤﹣4或k ≥32，即k 的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[32，+∞）．故选C ．【点睛】本题考查直线与线段AB 相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为030的直线与圆222x y b +=相交的，则椭圆的离心率为（）A ．12B ．22C ．34D ．32【答案】B【详解】过点1F 倾斜角为030的直线方程为：()33y x c =+，即30x y c -+=，则圆心()0,0到直线的距离：213c cd ==+，由弦长公式可得：22234c b b -=，整理可得：2222222,,2b c a c c a c =∴-== 则：212,22e e ==. 本题选择B 选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．8．如图，三棱锥-P ABC 中，ABC ∆为边长为3的等边三角形，D 是线段AB 的中点，DE PB E =，且DE AB ⊥，32PA =，332PB =，则PA 与平面CDE 所成角的正切值为A 3B 2C 2D 3【答案】A【分析】可证AB ⊥平面DCE ，过P 作PM AB ⊥于M ，从而APM ∠为PA 与平面CDE 所成的角，利用解直角三角形可求其正切值．【详解】由勾股定理222PA PB AB PA PB +=⇒⊥，过P 作PM AB ⊥于M ，由,,DE AB AB DC DE DC D ⊥⊥⋂=可得AB ⊥平面DCE ，所以APM ∠为PA 与平面CDE 所成的角，在直角三角形APB 中, APM PBA ∠=∠,332tan tan 3332APM PBA ∠=∠==. 故选：A ．【点睛】本题考查线面角的计算，此类问题可根据线面垂直构造线面角，并将其放置在可解的三角形来求．二、多选题9．直线y x b =+与曲线21x y =-恰有一个交点，则实数b 可取下列哪些值（） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】AC【分析】先画直线与曲线图象，再结合题意判断实数b 的取值范围即可解题. 【详解】解：曲线21x y =-，整理得221x y +=，0x ≥，画出直线与曲线的图象，如图，直线y x b =+与曲线21x y =-恰有一个交点，则(1,1]{2}b ∈--故选：AC.【点睛】本题考查根据直线与半圆的交点个数求参数，是基础题.10．已知P 是椭圆22194x y +=上一点，椭圆的左､右焦点分别为12,F F ，且121cos 3F PF ∠=，则（）A ．12F PF △的周长为12 B．12F PF S=C ．点P 到xD ．122PF PF ⋅=【答案】BCD【分析】A ．根据椭圆定义分析12F PF △的周长并判断；B ．根据椭圆定义以及已知条件先求解出12PF PF ⋅的值，结合三角形的面积公式求解出12F PF S 并判断；C ．根据三角形等面积法求解出点P 到x 轴的距离并判断；D ．根据向量数量积运算以及12PF PF ⋅的值求解出结果并判断. 【详解】A ．因为1226PF PF a +==，所以1212122266F PF CPF PF F F a c =++=+=+=+B ．因为1226PF PF a +==，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，所以()121224943623PF PF PF PF -=-⋅-⋅，所以126PF PF ⋅=，所以12122111sin 622F PF SPF F PF PF =⋅⨯∠== C ．设点P 到x 轴的距离为d ，所以1212F F d ⋅=d === D ．因为2112121cos 623PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠=⨯=，故正确；故选：BCD.11．圆221:20+-=Q x y x 和圆222:240++-=Q x y x y 的交点为A ，B ，则（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB 1 【答案】ABD【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A 的正误，求出圆1Q 的圆心坐标后求出垂直平分线的方程后可判断B 的正误，利用垂径定理计算弦长后可判断C 的正误，求出1Q 到直线的距离后可求动点到直线距离的最大值，从而可判断D 的正误.【详解】对于A ，因为圆221:20+-=Q x y x ，222:240++-=Q x y x y ，两式作差可得公共弦AB 所在直线的方程为440x y -=，即0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20+-=Q x y x 的圆心为（1，0），1AB k =，则线段AB 中垂线的斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆心()11,0Q 到0x y -=的距离为2d ==又圆1Q 的半径1r =，所以AB =，故C 不正确；对于D ，P 为圆1Q 上一动点，圆心()11,0Q 到0x y -=的距离为d =又圆1Q 的半径1r =，所以P 到直线AB 1，故D 正确. 故选：ABD.12．已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，则下列说法错误的是A ．y x -2B ．22x y +的最大值为7+C ．y x D ．x y +的最大值为2【答案】CD【分析】B 中22x y +表示(,)x y 到原点距离的平方，求出原点到圆心距离可得圆上点到原点距离的最大值的最小值，可判断B ，A ，C ，D 中均可以令对应式子m =，解得y 后代入圆方程，由判别式0∆≥可得最值．从而得到判断．本题用了几何意义求解，转化为直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离不大于半径可得结论．【详解】对于A ，设z y x =-，则y =x+z ，z 表示直线y =x+z 的纵截距，当直线与圆22(2)3x y -+=≤解得22z ≤≤，所以y x -2，故A 说法正确；对于B ，22xy +的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为222x y +的最大值为2(27+=+B 说法正确；对于C ，设yxk =，把y kx =代入圆方程得22(1)410k x x +-+=，则2164(1)0k ∆=-+≥，解得k ≤yxC 说法错误；对于D ，设m x y =+，则y x m =-+，m 表示直线y x m =-+的纵截距，当直线与圆22(2)3x y -+=有≤解得22m ≤≤，所以x y +2，故D 说法错误. 故选：CD .【点睛】本题考查命题的真假判断，实质考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离不大于半径易得解，对平方式可用几何意义：两点间距离的平方求解．三、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:0l x ay +=和直线()2:2340l x a y ---=，a R ∈，若1l 与2l 平行，则1l 与2l 之间的距离为_________.【解析】利用两直线平行求出参数a 的值，然后利用平行线间的距离公式可求得直线1l 与2l 之间的距离.【详解】由于直线1l 与2l 平行，则()23a a =--，解得1a =，所以，直线1l 的方程为0x y +=，直线2l 的方程为20x y +-=，因此，直线1l 与2l 之间的距离为d ==.14．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术•商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼.在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中P A ⊥平面ABC ，P A =AC =1，BC ，则四面体P ABC 的外接球的表面积为________.【答案】4π【解析】根据“鳖臑”四面体P ABC 的特征，可确定外接球球心为PB 的中点，即可求解. 【详解】如图，由题意90ACB ∠=︒,则取PB 的中点为点O ，可得OA OB OP OC ===，即O 为球心，则其半径222221111222R PB PA AB PA AC BC ==+++=，则其表面积为244S R ππ==，故答案为：4π15．圆心在直线40x y --=上，且过两圆22460x y x +--=和22460x y y +--=的交点的圆的方程为______.【答案】()()223116x y -++=【分析】设出圆系方程222246(46)0x y x x y y λ+--++--=，求得圆心坐标，代入已知直线方程求得参数值得圆方程．【详解】由题意设圆方程为222246(46)0x y x x y y λ+--++--=，整理得22446011x y x y λλλ+---=++，圆心坐标为22(,)11λλλ++，所以224011λλλ--=++，解得13λ=-，所以圆方程为226260x y x y +-+-=，即22(3)(1)16x y -++=．故答案为：22(3)(1)16x y -++=．16．已知12,F F 为椭圆C ：221164x y +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【分析】根据已知可得12PF PF ⊥，设12||,||PF m PF n ==，利用勾股定理结合8m n +=，求出mn ，四边形12PFQF 面积等于mn ，即可求解. 【详解】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.四、解答题17．已知直线:43100l x y ，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 右上方. (1)求圆C 的方程；(2)问题：是否存在______的直线1l 被圆C 截得的弦长等于1l 的方程；若不存在，请说明理由.请从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答. ①过点()1,1；②在x 轴上的截距和在y 轴上的截距相等；③方程为()()322210k x k y k ++-+-=. 【答案】(1)224x y +=(2)选①，存在，直线1l 的方程为1x =或1y =；选②，存在，直线1l 的方程为0x y +=；选③，不存在直线1l ，理由见解析【分析】（1）设圆心坐标为(,0)a ，52a >-，由圆心到切线距离等于半径求得a 得圆方程；（2）由弦长得圆心到直线1l 的距离，选①，检验斜率不存在的直线符合要求，斜率存在的直线设出直线方程后由点到直线距离公式求解；选②，分类讨论，截距为0，直线过原点时检验可得，截距不为0时设出直线方程，由点到直线距离公式求解；选③，直接由点到直线距离公式求解．【详解】（1）直线l 与x 轴交点为5(,0)2-，依题意设所求圆的圆心C 的坐标为()5,02a a ⎛⎫ ⎪⎝>⎭-，则41025a +=，解得0a =或5a =-（舍去）.故所求圆C 的方程为224x y +=；（2）由题意易得圆心C 到直线1l 1=选①：直线1l 过点()1,1.若直线1l 的斜率不存在，则直线1l 的方程为1x =，易知符合题意；若直线1l 的斜率存在，不妨设直线1l 的方程为()11y k x -=-，即10kx y k -+-=1=，解得0k =，此时直线1l 的方程为1y =.综上，存在符合题设的直线1l 且其方程为1x =或1y = 选②：直线1l 在x ，y 两坐标轴上的截距相等.若直线1l 的截距都为0，则直线1l 过原点O 即圆心C ，不合题意；若直线1l 的截距都不为0，不妨设直线1l 的方程为1xyλλ+=，即0x y λ+-=.1=，解得λ=综上，存在符合题设的直线1l 且其方程为0x y +=.选③：直线1l 方程为()()322210k x k y k ++-+-=.1=整理，得212670k k ++=，（）因为3641270∆=-⨯⨯<，所以方程（）无解，所以不存在符合题设的直线1l ． 18．已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍． (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．【答案】（1）22143x y +=；（2）32-或32【详解】试题分析：（Ⅰ）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）经分析当直线m 的斜率不存在时，不满足A 是PB 的中点，然后设出直线m 的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出12x x +，12x x ，结合122x x =得到关于k 的方程，则直线m 的斜率可求试题解析：如图，设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意，2d MN =，由此2242(1)x x y -=-+ 化简得：22143x y += 所以动点M 的轨迹C 的方程为22143x y += （2）(0,3)P 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由A 是PB 的中点，得1223y y =+，椭圆的上下顶点分别是(0,3),(0,3)-，不满足1223y y =+，即m 的斜率存在. 设直线m 的方程为3y kx =+ 11(,)A x y ，22(,)B x y ，如图所示.将3y kx =+代入22143x y+=，得22(34)24240k x kx +++= 其中，222(24)424(34)96(23)0k k k ∆=-⨯+=-> 且1222434k x x k +=-+…①，1222434x x k =+…② 又A 是PB 的中点，故212x x =…③将③代入①②，得12834k x k =-+，2121234x k =+ 所以222812()3434k k k-=++，且23k > 解得32k =-或32k 所以直线m 的斜率为32-或32.【解析】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程19．如图,四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，//EA PD ，22AD PD EA ===，,,F G H 分别为,,PB EB PC 的中点．（1）求证：//FG 平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 夹角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）4π. 【解析】（1）因为,F G 分别为,PB EB 中点，得到//P FG E ，结合线面平行的判定定理，即可求解；（2）以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面PBC 和平面FGH 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为,F G 分别为,PB EB 中点，所以//FG PE ，又因为FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ，//FG 平面PED . （2）因为EA ⊥平面ABCD ，且//EA PD ，所以PD ⊥平面ABCD ，又因为四边形ABCD 为矩形，所以,,DA DC DP 两两垂直，故以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,1),(1,1,1),(2,1,),(0,1,1)2P B C E F G H ，可得(0,2,2),(2,0,0)PC CB =-=设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22020y z x -=⎧⎨=⎩，取1y =，可得1z =，所以平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)n =，同理可取平面FGH 的法向量为(0,1,0)m =，设平面FGH 与平面PBC 的夹角为θ，则||2cos 2||||m n m n θ⋅==⋅，又由[0,]2πθ∈，所以平面FGH 与平面PBC 夹角为4π.【点睛】利用空间向量计算二面角的常用方法：1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.20．已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>22，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为642+．（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线:l x ky m =+与椭圆M 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求m 的值．【答案】（1）2219x y +=；（2）125m =或3m =．【解析】（1）根据题意可得出关于a 、c 的方程组，解出这两个量的值，可得出b 的值，进而可得出椭圆M 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆M 的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出0CA CB ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算，并代入韦达定理，可求得实数m 的值. 【详解】（1）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为642+，所以22642a c +=+又椭圆的离心率为223，即223c a =，所以322223a c c a⎧+=+⎪⎨=⎪⎩，可得3a =，22c =，所以1b =，椭圆M 的方程为2219x y +=；（2）由2219x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2229290k y kmy m +++-=，设()11,A x y 、()22,B x y ，则有12229km y y k +=-+，212299m y y k -=+，①.因为以AB 为直径的圆过点C ，所以0CA CB ⋅=．由()113,CA x y =-，()223,CB x y =-，得()()1212330x x y y --+=．将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式，得()()()()2212121330k y y k m y y m ++-++-=．将①代入上式，可得()()()()()22221932309km k m km m k +-+-⋅-+-=+，整理可得()()35120m m --=，解得125m =或3m =．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.21．椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，其左焦点1F 到点(2,1)P 的距离是10．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l ：y kx m =+被圆O ：223x y +=截得的弦长为3，且l 与椭圆E 交于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max 22S =．【详解】试题分析：（1）借助条件布列的方程组；（2）联立方程组，借助维达定理构建面积函数，转求最值.试题解析：（1）由题意可得c e a ==解得1c =，a =1b ==，即有椭圆的方程为2212x y +=；（2）∵O 到l的距离d ===∴d ==，∴223(1)4m k =+．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，把y kx m =+代入得222(12)4220k x kmx m +++-=，∴122412km x x k -+=+，21222212m x x k -=+，∴12|||AB x x =-===，∵1||||2S AB d AB =⋅=2221(3351)212k k k +++≤=+， ∴当223351k k +=+，即1k =±时，max S =【解析】1、待定系数法求椭圆方程；2、设而不求法表示面积.【思路点睛】本题综合考查了直线、圆、椭圆的知识，难度中等.第一问通过待定系数法确定椭圆的方程，注意对椭圆基本性质的理解；第二问考查了三角形的面积问题，如何表示面积手段是非常灵活的，除了熟知的底乘高除以二以外，还有面积的正弦形式，特别是割补思想表示面积，本题比较常规，难点是包含两个变量，通过弦长建立二者的等量关系，就可以很轻松的建立面积的一元函数.在求最值上很有技巧性，巧解均值不等式，值得同学们总结.22．如图()1，梯形ABCD 中，//AB CD ，过,A B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别.2E F AB AE ==，，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿,AE BF 同侧折起，得空间几何体ADE - BCF ，如图()2．(1)若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ；(2)若//DE CF ，3CD =，线段AB 上存在一点P ，满足CP 与平面ACD 所成角的正弦值为520，求AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）23.【分析】(1)由正方形的性质推导出AF BE ⊥，结合AF BD ⊥，可得AF ⊥平面BDE ，由此AF DE ⊥，再由AE DE ⊥，能证明DE ⊥平面ABEF ；(2)过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设AP m =，可得()2,1,3CP m =--，利用向量垂直数量积为零求出平面ACD 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出结果．【详解】(1)由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF BE ⊥，由已知得AF BD ⊥，BE BD B ⋂=，AF ∴⊥平面BDE ，又DE ⊂平面BDE ，AF DE ∴⊥，又AE DE ⊥，AE AF A ⋂=，DE ∴⊥平面.ABFE(2)在图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E ⋂=，即AE ⊥面DEFC ，在梯形DEFC 中，过点D 作//DM EF 交CF 于点M ，连接CE ，由题意得2DM =，1CM =，由勾股定理可得DC CF ⊥，则6CDM π∠=，2CE =，过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()(132,0,0,2,2,0,3,0,2A B C D ⎛- ⎝⎭， ()132,1,3,2,2AC AD ⎛=-=-- ⎝⎭．设平面ACD 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得23013202x y z x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩,取1x =得(1,1,3n =-，设AP m =，则(2,P m ，0)，()02m ≤≤，得(2,1,3CP m =- 设CP 与平面ACD 所成的角为θ， 252sin cos ,357(1)m CP n m m θ====+-．所以2.3AP =【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及空间向量的应用，是中档题．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.。

浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题【含答案】

A ．23-B ．3-6．已知()f x 是定义域为(,∞-(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．07．如图，在三棱锥O ABC -中，的三等分点，过点M 的平面分别交棱A ．133B ．8．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体等球与最大球和正四面体三个面均相切，知正四面体ABCD 棱长为CC中点A．Q为1PA长度的最小值为B．线段1C．存在一点PAN平面PBC；(1)求证：//(1)求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第(2)若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查选手中至少有1位是95分以下选手的概率是多少？(3)若女子组40位选手的平均分为117，标准差为19．已知函数2π5π()3sin(2)sin(236f x x =--+(1)若方程()f x m =在ππ[,]44x ∈-上有且只有一个实数根，求实数()(1)求证：1A C⊥平面BDE；B C的中点，求点(2)若点F为棱11B C上的动点（不包括端点）(3)若点F为线段11范围.22．在区间D上，如果函数(f x故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径9．ACD【分析】根据统计中的相关概念和性质运算求解【详解】不妨设样本甲的数据为10x x <≤11．ACA B C三个时间包含的样本点，【分析】首先分别列举,,选项，即可判断选项.【详解】事件A的所有基本事件为甲事件B的所有基本事件为甲1乙【详解】在底面ABCD 的投影为H ，连接,BH CH 2sin PH PHPC PBβα===，即2=PB 建系可得：()3,0,0B ，()3,3,0C ，(,,P x y z故D正确.故选：BCDx y--=13．250【分析】由题意可得直线的斜率，再由点斜式方程即可求解因为M ，N 分别是PC ，PD 又因为//AB DC 且12AB DC =，所以//NM AB ，NM AB =，所以四边形所以//AN BM ，又因为AN ⊄则()0,0,0A ，()0,0,1P ，(0,1,0B 设平面PBC 的法向量为(,m x =因为()0,1,1BP =-，(22,0,0BC = 所以0220BP m y z BC m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令y =66在ABD △中，3AD =，2AB =，由正弦定理得32⨯00DB m DE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即301322x y z ⎧=⎪⎨-+⎪⎩不妨取1z =，则3y =，则m = 所以平面BDE 的一个法向量为m ()10,3,3A C =-- ，1AC ∴=-。

2022-2023学年山东省德州市高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省德州市高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知直线1l：10x +=，直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍，则直线2l 的斜率是（） A．B．CD．C【详解】1l：10x +=的斜率k =30，因此直线2l 的倾斜角为23060⨯=，所以2l 的斜率为tan 603= 故选：C2．已知直线20x my +-=与直线y nx =垂直，则m ，n 的关系为（） A ．10mn -= B ．10mn += C ．0-=m n D ．10++=m nC【分析】根据直线一般式中两直线垂直系数满足的关系即可求解.【详解】直线20x my +-=与直线0nx y -=垂直,则()1100n m n m ⨯+⨯-=⇒-=，即0-=m n 故选：C3．已知(P 为双曲线()22210y x a a-=>上点．则该双曲线的离心率为（）ABCDB【分析】利用点在双曲线上及双曲线的离心率公式即可求解.【详解】因为(P 为双曲线()22210y x a a-=>上点，所以2211a -=，解得a =或a =，所以双曲线的方程为22132y x -=，所以223,12a b ==，所以22235122c a b =+=+=，解得c =c =，所以该双曲线的离心率为10262153c e a ===. 故选：B.4．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，c AP =，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A ．1132a b c ++B ．1162a b c -++C ．1132a b c -+D ．1162a b c --+D【分析】由图形可得MN MC CD DN =++，根据比例关系可得13MC AD =，12DN DP =，再根据向量减法DP AP AD =-，代入整理并代换为基底向量．【详解】()111111323262MN MC CD DN AD AB DP AD AB AP AD AB AD AP =++=-+=-+-=--+ 即1162MN a b c =--+故选：D ．5．已知两圆221x y +=和()2216x y a +-=无公共点，则实数a 的取值范围为（） A ．()3,3- B ．()(),55,-∞-⋃+∞ C ．()()5,33,5--⋃ D ．()()(),53,35,-∞-⋃-⋃+∞D【分析】由两圆221x y +=和()2216x y a +-=无公共点，可得两圆外离或内含，从而可得答案. 【详解】解：圆221x y +=的圆心为()0,0，半径11r =，圆()2216x y a +-=的圆心为()0,a ，半径24r =，设圆心距为d ，则d a =，因为两圆221x y +=和()2216x y a +-=无公共点，所以两圆外离或内含，则21d r r <-或21d r r >+，即3a <或5a >，解得33a -<<或5a >或5a <-，所以实数a 的取值范围为()()(),53,35,-∞-⋃-⋃+∞. 故选：D.6．如图所示，在正方形中ABCD ，AB 6=，以AC 为折痕把ABC 顺时针折起，折成一个大小θ为的二面角，若1cos 2θ=，则四面体A BCD -的体积为（）A ．12B 3C 3D ．32D【分析】根据线面垂直可得椎体的高，由二面角可求三角形BOD 的面积，进而根据体积公式即可求解.【详解】由于四边形ABCD 为正方形，所以,,,,OB AC OD AC OB OD O OB OD ⊥⊥⋂=⊂平面BOD , 所以BOD θ∠=，且AC ⊥平面BOD , 故1cos 2BOD ∠=，又因为1232OB OD AC AB ====故BOD 为等边三角形，故11111sin 60sin 6033232A BCDBOD V S AC OB OD AC OB OD AC -=⋅=⨯⋅⨯=⨯⋅⨯ 11333323322=⨯ 故选：D7．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，椭圆C 的一顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，12AF F △的面积32，过1F ，且垂直于2AF 的直线与椭圆C 交于D ，E 两点，则ADE 的周长是（）A ．42B ．8C ．219D ．16B【分析】先根据12AF F △的面积为3，焦距为2，求得椭圆方程为22143x y +=，然后根据已知条件及等边三角形的性质，再利用等腰三角形的三线合一定理及椭圆的定义，结合三角形的周长公式即可求解.【详解】因为12AF F △的面积为3，焦距为2，所以1,3c b ==，所以222a b c =+=，故椭圆方程为22143x y +=，假设A 为椭圆C 的上顶点，因为两个焦点为1F ，2F ，所以122AF AF a ===，1222F F c ==，故1212AF AF F F ==,所以12AF F △为等边三角形，又因为过1F ，且垂直于2AF 的直线与椭圆C 交于D ，E 两点，所以2AD DF =，2AE EF =,由椭圆的定义可知：212224DF DF a +==⨯=，212224EF EF a +==⨯=，所以ADE 的周长为22114428AD AE DE DF EF DF EF a ++=+++==⨯=，故选.B8．已知在三棱锥中，S ABC -中，BA BC ⊥，2BA BC ==，22SA SC ==，二面角B AC S --的大小为5π6，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（）A ．56π3B ．58π3C ．105π4D ．124π9A【分析】如图，取AC 的中点D ，连接BD ，SD ，则可得SDB ∠为二面角B AC S --的平面角，得5π6BDS ∠=，过点D 作与平面ABC 垂直的直线，则球心O 在该直线上，设球的半径为R ，连接OB ，OS ，然后在△OSD 中利用余弦定理可求出R ，从而可求得球的表面积. 【详解】如图，取AC 的中点D ，连接BD ，SD ，因为2AB BC ==，22SA SC ==，所以,BD AC SD AC ⊥⊥，所以SDB ∠为二面角B AC S --的平面角，所以5π6BDS ∠=，因为AB ⊥BC ，2AB BC ==，所以22AC =，2BD CD ==，因为22SA SC ==，所以826SD =-=，过点D 作与平面ABC 垂直的直线，则球心O 在该直线上，设球的半径为R ，连接OB ，OS ，可得22OD R =-，在△OSD 中，π3ODS ∠=，由余弦定理可得2222cos OS OD SD OD SD ODS =+-⋅⋅∠，即2221262262R R R =-+--⨯⨯，解得2143R，所以其外接球的表面积为256π4π3R =. 故选：A.二、多选题9．已知曲线C 的方程为2213224x y m m -=--（2R,3m m ∈≠且2m ≠），则（）A ．若曲线C 表示圆，则65m =B ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为2,23⎛⎫⎪⎝⎭C．若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为26, 35⎛⎫ ⎪⎝⎭D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围为2,3⎛⎫-∞⎪⎝⎭ACD【分析】根据曲线表示的圆锥曲线的类型，列出相应的不等式组，求得参数范围，即可判断出答案.【详解】由题意知曲线C的方程为221 3224x ym m-=--，若曲线C表示圆，则32024032(24)mmm m->⎧⎪-<⎨⎪-=--⎩，解得65m=，故A正确；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则32024032(24)mmm m->⎧⎪-<⎨⎪->--⎩，解得625m<<，B错误；若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则32024032(24)mmm m->⎧⎪-<⎨⎪-<--⎩，解得2635m<<，C正确；若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则32<0240mm-⎧⎨-<⎩，解得23m<，D正确，故选.ACD10．如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点．则（）A．12 MN=B．AB CD⊥C3D．直线AM与CN所成角的余弦值为1 3BC【分析】把,,,MN AM NC CD分别用,,AB AC AD表示，再根据数量积的运算律计算分析，即可判断ABD ，连接DM ，在DM 上取点O ，使得2OD OM =，连接OA ，则OA ⊥平面BCD ，解ADM △即可判断C.【详解】解：由正四面体ABCD ，可得π3BAC BAD DAC ∠=∠=∠=，对于A ，()()1122MN AN AM AN AB AC AD AB AC =-=-+=--，则()212MN AD AB AC ⎡⎤=--⎢⎥222222AD AB AC AB ACAB AD AD AC =+++⋅-⋅-⋅ ==A 错误；对于B ，CD AD AC =-，则()11022AB CD AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅=-=，所以AB CD ⊥，故B 正确；对于D ，111,222AM AB AC NC AC AN AC AD =+=-=-，则32AM NC ==111222AM NC AB AC AC AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211112424AB AC AB AD AC AD AC =⋅-⋅+-⋅ 1111148282=-+-=，设直线AM 与CN 所成角为θ，则12cos cos ,33AM NC AM NC AM NCθ⋅====，所以直线AM 与CN 所成角的余弦值为23，故D 错误；对于C ，连接DM ，在DM 上取点O ，使得2OD OM =，连接OA ，则OA ⊥平面BCD ，则ADM ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，在ADM △中，1AM DM AD ===，则331344cos 33212ADM +-∠==⨯⨯，由正四面体的结构特征可得，直线,,AB AC AD 与平面BCD 所成角的相等，所以侧棱与底面所成角的余弦值为33，故C 正确故选：BC11．双曲线具有如下光学性质：如图1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，从右焦点2F 发出的光线m 交双曲线右支于点P ，经双曲线反射后，反射光线n 的反向延长线过左焦点1F ．若双曲线C 的方程为224121x y -=，则（）A ．双曲线的焦点2F 21B ．若m n ⊥，则1242PF PF =C ．当n 过点()3,6Q 时，光线由2F P Q →→所经过的路程为8D ．反射光线n 所在直线的斜率为k ，则212k ⎡∈⎢⎣⎭ABD【分析】对于A ，求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式即可判断；对于B ，判断出1290F PF ∠=︒，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于C ，利用双曲线的定义直接求得；对于D ，先求出双曲线的渐近线方程，由P 在双曲线右支上，即可得到n 所在直线的斜率的范围；【详解】对于A ，由双曲线C 的方程为224121x y -=知双曲线的渐近线方程为：2120x y -=，焦点()25,0F 到直线2120x y -=的距离为：52121214=+，故A 正确；对于B ，若m n ⊥，则1290F PF ∠=︒.因为P 在双曲线右支上，所以124F P F P -=.由勾股定理得：2221212F P F P F F += 二者联立解得.()22121212100164222F F F P F P PF PF ---⋅===故B 正确；对于C ，光由2F P Q →→所经过的路程为()()222111222356046F P PQ F P a PQ F P PQ a FQ a +=-+=+-=-=++--=.，故C 不正确；对于D ，双曲线224121x y -=的渐进线方程为212y x =±.设左、右顶点分别为A 、B .如图示：当m 与2F B 同向共线时，n 的方向为2BF ，此时k =0，最小. 因为P 在双曲线右支上，所以n 所在直线的斜率为212k <.即210,2k ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭. 故D 正确. 故选：ABD.12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,E F 分别为棱,AB AD 的中点，()11101B G B C λλ=≤≤，则（）A ．无论λ取何值，三棱锥C EFG -的体积始终为1B ．若2λ=122EG BD ⋅=C ．点1D 到平面EFG 15D ．若异面直线EF 与AG 11710λ= AB【分析】对于A ，利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；对于B ，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量的数量积公式即可求解；对于C ，由B 选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面EFG 的法向量，再利用点到平面的距离公式即可求解；对于D ，由B 选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线EF 与AG 的方向向量，再利用向量的夹角与线线角的关系即可求解；【详解】对于A ，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,E F 分别为棱,AB AD 的中点, 所以1113221121212222EFCS⎛⎫=⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭,在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，由等体积法知，V三棱锥C EFG-=V三棱锥G EFC-=111321332EFC S CC ⋅⋅=⨯⨯=，所以无论λ取何值，三棱锥C EFG -的体积始终为1，故A 正确；对于B,由题意可知，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以()2,2,0B ，()12,2,2B ，()2,1,0E ，()10,2,2C ，()10,0,2D , 由24λ=，得11124B G B C =，设(),2,2G x ，则所以()()1112,0,0,2,0,0B G x B C =-=-，所以())22,0,02,0,0x -=-，所以()222x -=-，解得22x = 所以222,2G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()12,1,2,2,2,22EG BD ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()()1221222222EG BD ⎛⋅=⨯-+⨯-+⨯=+ ⎝⎭B 正确；对于C ，由B 选项建立的空间直角坐标系知，()2,1,0E ，()1,0,0F ，()10,0,2D ，设(),2,2G x ，则()()1112,0,0,2,0,0B G x B C =-=-，()11101B G B C λλ=≤≤，所以()()2,0,02,0,0x λ-=-，所以()22x λ-=-，解得22x λ=-，所以()22,2,2G λ-，所以()()()11,1,0,12,2,2,1,0,2,EF FG D F λ=--=-=-，设平面EFG 的法向量为(),,n x y z =，则00n EF n FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即()012220x y x y z λ--=⎧⎨-++=⎩，令1,x =则121,2y z λ--=-=，所以1221,1,n λ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以点1D 到平面EFG 的距离为12D F n d n⋅==+ 由于λ无法确定，所以点1D 到平面EFG 的距离无法确定，故C 错误；对于D,由B 选项建立的空间直角坐标系知，()2,1,0E ，()1,0,0F ，()2,0,0A ,()2,2,0B ，()12,2,2B ，()10,2,2C ,设(),2,2G x ，则()()1112,0,0,2,0,0B G x B C =-=-，111BG BC λ=，所以()()2,0,02,0,0x λ-=-，所以()22x λ-=-，解得22x λ=-，所以()22,2,2G λ-，所以()()1,1,0,2,2,2EF AG λ=--=-，因为异面直线EF 与AG 11cos ,22EF AGEF AG EF AG⋅<>==22=23λ=或107λ=（舍），故D 错误. 故选：AB.三、填空题13．在空间直角坐标系中，已知()3,2,1OA =，()1,0,5OB=，()1,2,1OC =--，点M 为线段AB 的中点，则CM =________．【分析】利用中点坐标公式及向量的线性运算的坐标表示，结合两点间的距离公式即可求解；【详解】因为()3,2,1OA =，()1,0,5OB =，点M 为线段AB 的中点，所以()()12,1,32OM OA OB =+=, 所以()3,1,4CM OM OC =-=-, 所以23CM = 故答案为14．写出与圆221x y +=和圆()()224316x y -+-=都相切的一条直线方程________．（写出一条即可） 1y =-（填4350x y +-=，247250x y -+=都正确）.【分析】利用圆的标准方程及两圆位置关系，结合直线的斜截式方程及点关于直线对称即可求解. 【详解】由题意可知，圆221x y +=的圆心坐标为()0,0O ,半径为11,r =圆()()224316x y -+-=的圆心坐标为()4,3C ,半径为24,r =如图所示所以()()2240305OC -+-,125r r +=，即12OC r r =+，所以两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条. 当切线为1l 时，因为303404OC k -==-，所以143l k =-，设直线1l ：()403y x b b =-+>，即4330+-=x y b ，223143b-=+，解得53b =或53b =-（舍），故所求直线1l 的方程为4533y x =-+，即4350x y +-=.由图可知，2:1l y =-；2l 与3l 关于直线34y x =对称，联立134y y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，解得431x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以2l 与3l 的一个交点为4,13⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在2l 上取一点()0,1-，该点关于直线34y x =的对称点为()00,x y ，则000013242143y x y x -⎧=⋅⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以对称点为2472525,⎛⎫⎪⎝⎭-.所以37124252447253l k +==-+，故所求直线3l 的方程为244173y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即247250x y -+=. 所以与圆221x y +=和圆()()224316x y -+-=都相切的一条直线方程为:1y =-（填4350x y +-=，247250x y -+=都正确）.故1y =-（填4350x y +-=，247250x y -+=都正确）.15．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C ：()22101x y a a a+=>+的蒙日圆方程为227x y +=，则椭圆C 的离心率为________． 12##0.5【分析】取椭圆的右顶点和上顶点作椭圆的两条切线，求出交点坐标C，又因为C在227x y +=，代入可求出a ，再由离心率的公式即可得出答案.【详解】由椭圆C ：()22101x y a a a+=>+知，椭圆的右顶点为)A ，上顶点为(B ，过,A B 作椭圆的切线，则交点坐标为C，因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，所以C在227x y +=，所以17a a ++=，解得：3a =，则椭圆C 的离心率为12e ==. 故1216．设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为：()122311112πk k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ --∠+∠++∠+∠，其中()1,2,,,3i Q i k k ==≥为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23Q PQ ，，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 遍历多面体M 的所有以点P 为公共点的面，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，1AA =S 为底面1111D C B A 的中心，记三棱锥1A A BD -在点A 处的离散曲率为m ，四棱锥S ABCD -在点S 处的离散曲率为n ，则m n -=________．112-【分析】根据离散曲率的定义，结合结合体的结构特征，分别求出三棱锥1A A BD -在点A 处的离散曲率m ，四棱锥S ABCD -在点S 处的离散曲率n ，相减即可求得答案. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中,11π2A AD A AB BAD ∠=∠=∠=,故三棱锥1A A BD -在点A 处的离散曲率1111πππ11()1()2π2π2224mA AD A ABBAD ；设,AC BD 交于O ,连接SO ,4AB BC ==，122AA =ABCD 为正方形，则22SO =,1222OB BD ==,故4SB = ,同理4SA SD SC ===, 四棱锥S ABCD -为正四棱锥，而4AB = ,则四棱锥S ABCD -每个侧面都为正三角形，所以π3ASB ASD CSB CSD ∠=∠=∠=∠=, 故四棱锥S ABCD -在点S 处的离散曲率11ππππ11()1()2π2π33333nASB ASDCSBCSD ，故1114312m n -=-=-，故112-四、解答题17．已知圆C 与x 轴相切，圆心C 在直线2y x =上，且与y 轴正半轴相交所得弦长为23 (1)求圆C 的方程；(2)过点()0,2P 的直线l 交圆于C ，于E ，F 两点，且14EF =，求直线l 的方程． (1)22(1)(2)4x y -+-=(2)2y x =+ 或2y x =-+【分析】（1）根据几何法，利用勾股定理即可求解，（2）根据直线与圆相交，弦长公式即可求解.【详解】（1）设圆心(,2)C m m ，因为圆C 与x 轴的正半轴相切，所以0m >，圆C 的半径为2m ，因为圆C 截y 轴所得弦的弦长为23，所以222(3)(2)m m +=，即233m =，又0m >，所以1m =，所以圆22:(1)(2)4C x y -+-=．（2）当直线l 无斜率时，此时直线l 方程为0x =，由题知：此时直线l 与圆C 截得的弦长为23，不满足条件，当直线l 有斜率时，设直线方程为：2y kx =+，则圆心()1,2M 到直线l 的距离为21k k+ ，所以222214221k k ⎛⎫⎡⎤+= ⎪⎢⎥ ⎪+⎣⎦⎝⎭，解得1k =± ，所以直线l 的方程为：2y x =+ 或2y x =-+18．如图，圆柱轴截面ABCD 是正方形，2AD =，点E 在底面圆周上，AF DE ⊥，F 为垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)当直线DE 与平面ABE 2时，求三棱锥B CDE -的体积． (1)见解析 (2)23【分析】（1）先证明BE AED ⊥平面，证明AF BE ⊥，进而证明AF ⊥平面BED ，根据线面垂直的性质定理可证明结论.（2）建立空间直角坐标系，求出三角形CDE 的面积，平面DCE 的法向量，利用空间向量的距离公式求出点B 到平面CDE 的距离，再由三棱锥的面积公式即可求出答案.. 【详解】（1）由题意可知DA ⊥底面ABE ,BE ⊂ 底面ABE ,故BE DA ⊥ ，又BE AE ⊥，AEDE E =，,AE DE ⊂平面AED ，故BE ⊥平面AED ,由AF ⊂平面AED ,得AF BE ⊥，又AF DE ⊥，,BE DE E BE DE ⋂=⊂，平面BED ，故AF ⊥平面BED , 由DB ⊂平面BED ,，可得AF DB ⊥．（2）由题意，以A 为原点，在底面圆内过点A 作AB 的垂线作为x 轴，以AB ，AD 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，并设AD 的长度为2，则()000A ,,，()0,2,0B ，()0,2,2C ，()0,0,2D ，因为DA ⊥平面ABE ，所以∠DEA 就是直线DE 与平面ABE 所成的角，所以tan 2DADEA AE∠==2AE =()1,1,0E ， 1146DE CE ==++=()2116125522ECDSCD =-=⨯由上可得()0,2,0DC =，()1,1,2DE =-，设平面DCE 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20,20,y x y z =⎧⎨+-=⎩ 取2x =，得()2,0,1n =．因为()1,1,0BE =-，所以点B 到平面CDE 的距离()1210012541BE n d n⋅⨯+-⨯+⨯===+ 所以三棱锥B CDE -的体积为.112525333CDEV Sd =⋅⋅==19．已知圆M ：()2218x y +-=，点()0,1N -，P 是圆M 一动点，若线段PN 的垂直平分线与PM 交于点Q ．(1)求点Q 的轨迹方程C ；(2)若点A 是曲线C 上的动点，求OA AN ⋅的最大值（其中O 为坐标原点）． (1)2212y x +=(2)12-【分析】（1）根据垂直平分线的性质以及椭圆的定义可判断Q 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，即可求解其方程，（2）根据向量的坐标运算，计算数量积，进而根据椭圆的有界性和二次函数的性质求解.【详解】（1）圆22:(1)8M x y +-=的圆心(0,1)M ，半径为r =由题意可知||||QN QP =，又点P 是圆上的点，则||PM =且||||||PM PQ QM =+，则||||2QN QM +=，由椭圆的定义可知，点Q 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，其中a =1c =，1b =，则点Q 的轨迹方程22:12y C x +=；（2）设(),A x y ，则()(),,,1OA x y AN x y ==---，进而()2221OA AN x y y x y y ⋅=-+--=---①又2212y x +=，所以22112x y =-，将其代入①得()2211111222OA AN y y y ⋅=---=-+- ，由椭圆的有界性可知y ≤，所以当1y =- 时，取最大值12-20．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>经过点()2,1P ，且双曲线C 的右顶点到一条渐近线的距(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P 分别作两条互相垂直的直线P A ，PB 与双曲线C 交于A ，B 两点（A ，B 两点均与点P 不重合），设直线AB ：()0y kx m k =+≠，试求k 和m 之间满足的关系式． (1)2212x y -=(2)22128230m k km m +++-=【分析】（1）将点代入得22411a b -==，求得22,a b ，即可得解；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程，利用韦达定理求得1212,x x x x +，再根据PA PB ⊥，可得0PA PB ⋅=，计算从而可得出答案.【详解】（1）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>经过点()2,1P ，则22411a b -=，右顶点为(),0a ，不妨取渐近线为by x a=-，即0bx ay +=，=从而可解得222,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2212x y -=；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立2212x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得()222124220k x kmx m ----=，则2121222422,1212km m x x x x k k --+==--，则()121222212my y k x x m k +=++=-，()22221212122212m k y y k x x km x x m k -=+++=-，()()11222,1,2,1PA x y PB x y =--=--，因为PA PB ⊥，则0PA PB ⋅=，即()()()()121222110x x y y --+--=，即()()12121212250x x x x y y y y -++-++=，即2222222222282251001212121212m km m k m k k k k k k -----+-+=-----，整理得22128230m k km m +++-=，所以22128230m k km m +++-=.关键点点睛：本题考查了利用待定系数法求双曲线的方程，考查了直线与双曲线的位置关系，解决第二问的关键在于由PA PB ⊥转化为0PA PB ⋅=，计算量比较大，有一定的难度.21．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，4AB AC ==，12AA =，点D 是棱BC 的中点．(1)求证：1//A B 平面1AC D ；(2)在棱上AC 是否存在点M ，其中()01AM AC λλ=<<，使得平面1BA D 与平面1A DM 所成角的大小为60°，若存在，求出λ；若不存在，说明理由． (1)见解析(2)存在，14λ=【分析】（1）根据三角形中位线得线线平行，即可证明线面平行，（2）根据空间向量，利用法向量的夹角即可求解. 【详解】（1）连接1A C 交1AC 于点O ,由于四边形11ACC A 为矩形，所以O 为1A C 的中点，又点D 是棱BC 的中点，故在1A BC 中，OD 是1A BC 的中位线，因此1//OD A B ,OD ⊂平面1AC D ，1A B ⊄ 平面1AC D ,所以1//A B 平面1AC D（2）由1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥可知，三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，且底面为直角三角形，故以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系;则()()()()()10,0,0,0,0,2,4,0,0,0,4,0,2,2,0,A A B C D由()01AM AC λλ=<<得()0,4,0M λ,()()14,0,2,2,2,0A B BD =-=- ,设平面1BA D 的法向量为(),,m x y z =，则1420220m A B x z x y m BD⎧⊥-=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⊥⎩⎪⎩ ，取2z =，得()1,1,2m =， ()()10,4,2,2,42,0A M DM λλ=-=-- ,设平面1A DM 的法向量为()111,,x n y z =，则()111114202420y z n A M x y n DMλλ⎧-=⊥⎧⎪⇒⎨⎨-+-=⊥⎪⎩⎩ ，取12z λ=，得()211,2n λλ=-，，故()2221141cos ,261214m nm n m n λλλλ⋅-++===⨯+-+ ，化简得()()2821=04121=0λλλλ+-⇒-+由于01λ<< ，所以14λ=，故棱上AC 存在点M ，其中14AM AC =，即14λ=，使得平面1BA D 与平面1A DM 所成角的大小为60°.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，点Q 为椭圆C 上任意一点，且QF 的最51．(1)求椭圆的C 标准方程；(2)设椭圆1C ：22226x y a b+=，过点Q 作椭圆C 的切线交椭圆1C 于M ，N 两点，求证：MON △（O 为原点）的面积为定值，并求出此定值．（注：在椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点(),m n 的切线方程为221mx ny a b +=） (1)22154x y +=； (2)证明见解析，定值为10.【分析】（1）根据椭圆上的点到右焦点的最小值，即可根据两点距离求解最值，进而得,a b 的值，（2）根据椭圆切线方程，以及直线与椭圆相交，弦长公式即可求解.【详解】（1）设(),Q x y ，则()()222222222222222211112=11b x x x b x x b a a a c QF x y x b ⎛⎫⎛⎫-+=-+-=--++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭，记()222221f x x a c x b =-++，由于对称轴为222a x a c==，且a x a -≤≤，且1a c >=，故()f x 在[],a a -单调递减，故当x a =时，此时(),0Q a ，()f x 取最小值为()2a c -，故QF的最小值为1a c -，故a =2b = ，故椭圆的方程为22154x y +=，（2）设(),Q m n ，则过Q 的切线方程为：154mx ny +=， 1C 方程为：22654x y +=，联立()22222265454401001500154x y n m x mx n mx ny ⎧+=⎪⎪⇒+-+-=⎨⎪+=⎪⎩，由于(),Q m n 在椭圆22154x y +=上，所以22221452054m n m n +=⇒+= 设()()1122,,,M x y N x y ,当切线MN无斜率时，则方程为x =,M N -或((,M N -，故MN =此时1122MON S MN =⨯; 设切线有斜率时，设斜率为k ，且45m k n =-则2212122222401001501015==2,=54542m n n x x m x x n m n m --+⋅=++，故MN=d=故1122MONS MN d=⋅==代入212121015=2,=2nx x m x x-+⋅得：1=102MONS =，综上，MON△的面积为定值10.关键点点睛：考查了直线与圆锥曲线的位置关系，联立方程得韦达定理，进而根据弦长公式以及点到直线的距离公式表示三角形的面积，对计算能力要求较高.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高二数学期中测试题
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知c<d, a > b >0, 下列不等式中必成立的一个是
（） A ．a +c> b +d B ．a -c> b -d C ．a d< b c D ． a b c d
> 2．直线20x y +-=的倾斜角为 ( )
A ．4π
- B ．4
π C ．23π D ．43π 3．过点P(- 3 ,1),Q(0,m)的直线的倾斜角α的范围为[π3 ,23
π]，则m 值的范围为（） (A) m ≥2 (B) -2≤m ≥4 (C) m ≤-2或m ≥4 (D) m ≤0或m ≥2
4．如果l 1,l 2的斜率分别是二次方程x 2-4x+1=0的两根，则l 1,l 2的夹角是（）
(A) π6 (B) л4 (C) π3 (D) л8
5．已知集合A={ x | | x -1|≤a , a >0}, B={ x | | x -3|>4}，且A ∩B=φ，则a 的取值范围是（）
A ．(0, 2]
B ．(-∞, 2]
C ．(7, +∞)
D ．(- ∞, -1)
6．若图中的直线
123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则有：
A ．123k k k <<
B ．312k k k <<
C ．321k k k <<
D ．132k k k <<
7、直线l 的倾斜角为α，且3sin 5
α=，则直线l 的斜率是 A.43- B.34 C.43或43- D.34或34
- 8、已知直线1:,03:21+-=+y kx l y x l =0若l 1与l 2夹角为600，则k 值 A.3或0 B.3-或0 C.3 D.3-
9.若A(1,2),B(-2,3),C(4,y)在同一条直线上，则y 的值是（）
(A) 12 (B) 32
(C) 1 (D) -1 10．若直线10ax y +-=与直线4(3)40x a y +-+=平行，则实数a 的值等于
A ．4
B ．4或1-
C ．35
D ．32
-
11.直线y=x-1上的点到圆x 2+y 2+4x-2y+4=0的最近距离为（） (A) 2 2 (B) 2 –1 (C) 2 2 –1 (D) 1
12.设点A(2,-3),B(-3,-2)，直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（）
(A) k ≥34 或k ≤-4 (B) k ≥34 或k ≤-14 (C) -4≤k ≤34 (D) 34
≤k ≤4 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）．
13．．不等式2x x
432>-的解集是 . 14．倾斜角为3
π且在y 轴上截距为2的直线方程是______ ______． 15．已知直线l 被坐标轴截得线段中点是)3,1(-，则直线l 的方程是 ___________
16．过点)3,2(--，且与x 轴、y 轴的截距相等的直线方程是 _________________ ．
三、解答题（共70分．）
17．解不等式：13
252≤-+-x x x （10分）
18.光线从A （3，2）发出，射到x 轴上一点M ，经x 轴反射通过B （-1，6），求入射光线
和反射光线所在直线的方程。

（12分）
19．已知三点A （1，0）B （0，-1）C （1，2）。

求过点C 且与直线AB 平行的直线方程。

（12
分）
20．已知直线L1：(a+3)x+(a-1)y+8=0和L2(a-2)x+(a+3)y-7=0垂直。

求a的值。

（12分）
PA 取得最小值时，求直21.过点P（2，1）作直线交x、y正半轴于A、B两点，当PB
线的方程．（12分）
22、一直线被两直线l1:4x+y+6=0,l2:3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线的
方程。

（12分）。