2013-2014学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

北 京 交 通 大 学2013~2014学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参 考 答 案一．（本题满分8分）某中学学生期末考试中数学不及格的为%11，语文不及格的为%7，两门课程都不及格的为%2．⑴ 已知一学生数学考试不及格，求他语文考试也不及格的概率（4分）；⑵ 已知一学生语文考试不及格，求他数学考试及格的概率（4分）． 解：设=A “某学生数学考试不及格”，=B “某学生语文考试不及格”． 由题设，()11.0=A P ，()07.0=B P ，()02.0=AB P ． ⑴ 所求概率为()()()11211.002.0===A P AB P A B P ． ⑵ 所求概率为()()()()()()7507.002.007.0=-=-==B P AB P B P B P B P B A P ．二．（本题满分8分）两台车床加工同样的零件，第一台车床加工出现不合格品的概率为0.03，第二台车床加工出现不合格品的概率为0.05；把两台车床加工的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工的零件多一倍．现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件，发现是不合格品，求这个零件是第二台车床加工的概率． 解：设=A “任取一个零件是不合格品”，=B “任取一个零件是第一台车床加工的”． 所求概率为()A B P ．由Bayes 公式得 ()()()()()()()B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=11503.03205.03105.031=⨯+⨯⨯=．三．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它002cos πx x C x f ． ⑴ 求常数C （3分）；⑵ 现对X 独立重复地观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求()2Y E （5分）． 解：⑴ 由密度函数的性质，()1=⎰+∞∞-dx x f ，得()C xC dx x C dx x f 22sin22cos 10====⎰⎰+∞∞-ππ， 因此，21=C ． ⑵ 由于()212112sin 2cos 213333=-====⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎰⎰+∞ππππππx dx x dx x f X P ．所以，随机变量Y 的分布列为()kk C k Y P ⎪⎭⎫⎝⎛⋅==214， ()4,3,2,1,0=k ．所以 ()()∑==⋅=422k k Y P k Y E51614164316621641161022222=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=． 四．（本题满分8分） 在正方形(){}1,1,≤≤=q p q p D ：中任取一点()q p ,，求使得方程02=++q px x 有两个实根的概率． 解：设=A “方程02=++q px x 有两个实根”，所求概率为()A P ．设所取的两个数分别为p 与q ，则有11<<-p ，11<<-q ． 因此该试验的样本空间与二维平面点集(){}11,11,<<-<<-=q p q p D ：中的点一一对应．随机事件A 与二维平面点集(){}04,2≥-=q p q p D A ：，即与点集()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=q p q p D A 4,2：中的点一一对应．所以， ()241312412214113112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==--⎰p p dp p D D A P A 的面积的面积． 五．（本题满分8分）一个工厂生产某种产品的寿命X （单位：年）的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000414x x ex f x． 该工厂规定：该产品在售出的一年内可予以调换．若工厂售出一个该产品，赢利100元，而调换一个该产品，需花费300元．试求工厂售出一个该产品净赢利的数学期望． 解：设Y 为工厂售出一个产品的净赢利，则⎩⎨⎧<-≥=13001100X X Y 所以，{}{}300300100100-=⋅-=⋅=Y P Y P EY{}{}13001100<⋅-≥⋅=X P X P ⎰⎰-+∞-⋅-⋅=104144130041100dx e dx e xx5203.1113001004141=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅=--e e六．（本题满分9分）设G 是由X 轴、Y 轴及直线022=-+y x 所围成的三角形区域，二维随机变量()Y X ,在G 内服从均匀分布．求X 与Y 的相关系数YX ,ρ．解：由于区域G 的面积为1，因此()Y X ,的联合密度函数为()()()⎩⎨⎧∉∈=Gy x Gy x y x f ,0,1,． 当10<<x 时，()()()x dy dy y x f x f xX -===⎰⎰-+∞∞-12,220，所以，()()⎩⎨⎧<<-=其它01012x x x f X ．当20<<y 时，()()21,210y dy dx y x f y f yY -===⎰⎰-∞+∞-， 所以，()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它2021y y y f Y ．()()()3131212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E X ， ()()32212=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y y dy y yf Y E Y ， ()()()6141312121222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x XE X，()()32212222=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y ydy y f y Y E Y，所以，()()()()1813161var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X ，()()()()923232v a r 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y ，()()⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-⋅===12202220102,dx y x xydy dx dxdy y x xyf XY E xx ，()()6121324122212123102=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x ，所以，()()()()181323161,cov -=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ． ()()()2192181181var var ,cov ,-=-==Y X Y X YX ρ． 七．（本题满分9分）某餐厅每天接待400位顾客，假设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间()100,20上的均匀分布，并且每位顾客的消费额是相互独立的．试求：⑴ 该餐厅每天的平均营业额（3分）；⑵ 用中心极限定理计算，该餐厅每天的营业额在其平均营业额的760±元之间的概率（6分）．（附：标准正态分布的分布函数()x Φ的某些取值：解：⑴ 设i X 表示第i 位顾客的消费额，()400,,2,1 =i ．则有40021,,,X X X 相互独立，()100,20~U X i ，()400,,2,1 =i ．所以，()60=i X E ，()316001280var 2==i X ． 再设X 表示餐厅每天的营业额，则∑==4001i i X X ．所以，()()240006040040014001=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==i i i i X E X E X E （元）．⑵ 由独立同分布场合下的中心极限定理，有{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯≤⨯-≤⨯-=≤-≤-3160040076031600400240003160040076076024000760X P X P ()901.019505.021645.123160040076031600400760=-⨯=-Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-Φ-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯Φ≈． 八．（本题满分8分）设总体X 服从参数为p 的几何分布，其分布律为{}1-==k pq k X P () ,3,2,1=k ．其中10<<p 是未知参数，p q -=1．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求参数p 的极大似然估计量． 解：似然函数为(){}{}{}{}n n n n x X P x X P x X P x X x X x X P p L ======== 22112211,,, ()()()()nx nx x x nk k n p p p p p p p p ----∑-=--⋅-==1211111111所以，()()p n x p n p L n k k -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑=1ln ln ln 1．所以，()01ln 1=---=∑=pnx p n p L dp d nk k ，解方程，得x p 1=．因此p 的极大似然估计量为ξ1ˆ=p ． 九．（本题满分8分）设总体X 存在二阶矩，记()μ=X E ，()2v a r σ=X ，()n X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，X 是其样本均值．求()X E （4分）及()X D （4分）． 解：()()μμμ=⋅===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===n n n X E n X n E X E n i ni i n i i 1111111，()()n n n n X n X n X n i n i i n i i 22212212111v a r 11v a r v a r σσσ=⋅===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===．十．（本题满分9分）两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X 和Y ，假设X 与Y 相互独立，都服从参数为5=λ的指数分布，其密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-055x x e x f xX ． 现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止．令：T ：从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量T 的概率密度函数． 解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-00055x x e x f xX ， Y 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-055y y e y f yY 由题意，知 Y X T +=，设T 的密度函数为()t f T ，则 ()()()()⎰⎰+∞-+∞∞--=-=55dx x t f e dx x t f x f t f Y x Y X T作变换 x t u -=，则 dx du -=，当0=x 时，t u = ；当+∞→x 时，-∞→u ．代入上式，得 ()()()()⎰⎰∞---∞--=-=tY u tt Y u t T du u f e edu u f et f 55555当0≤t 时，由()0=y f Y ，知()0=t f T ； 当0>t 时， ()t t u u tT te du e e et f 55552555-∞---=⋅=⎰综上所述，可知随机变量T 的密度函数为 ()⎩⎨⎧≤>=-0255t t te t f tT ． 十一．（本题满分9分）设总体X 服从指数分布，其概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex f xθθ，()nX X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．⑴ 求出统计量()i n i X X ≤≤=11min 的密度函数()()x f 1，并指出该分布是什么分布？⑵ 求常数a ，使得i ni X a T ≤≤=1min 为θ的无偏估计．解：① 由于总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex f xθθ，因此其分布函数为 ()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤==-∞-⎰0100x ex dt t f x F x xθ ．所以()i ni X X ≤≤=11min 的密度函数为()()()()()θθθθθnxx n x n e n e e n x f x F n x f -----=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=11111，()0>x ． 即随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为nθ的指数分布．② 由于随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为n θ的指数分布，所以()()()nX E X E i n i θ==≤≤11min ．所以，若使()()()θθ=⋅==≤≤na X aE X E i n i 11min ，只需取n a =即可．即若取n a =，即i ni X n T ≤≤=1min ，则T 是未知参数θ的无偏估计量．十二．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布()2,σμN．令aY X U +=，bY X V -=（a与b 都是常数），试给出随机变量U 与V 相互独立的充分必要条件． 解：由于随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布，又aY X U +=，bY X V -=，所以U 与V 也都是服从正态分布的随机变量．所以，U 与V 相互独立的充分必要条件是()0,cov =V U ． 而 ()()bY X aY X V U -+=,cov ,cov()()()()Y Y ab X Y a Y X b X X ,cov ,cov ,cov ,cov -+-= ()()()21σab Y abD X D -=-=．因此，随机变量U 与V 相互独立的充分必要条件是01=-ab ．。