2013~2014天津市河西区期末试卷 (文史类)

（2014河西期末1）若复数z 满足i iz 42+=，则在复平面内z 对应的点的坐标是 A ．2(，)4B. 2(，)4-C.4(-，)2-D.4(，)2-（2014河西期末2）下列命题为真命题的是 A.若q p ∨为真命题，则q p ∧为真命题B.“5=x ”是“0542=--x x ”的充分不必要条件C.命题“若1-<x ，则0322>--x x ”的否命题为“若1-<x ，则0322≤--x x ”D.若命题p ：R x ∈∃，使012<++x x ，则p ⌝：R x ∈∀，使012>++x x （2014河西期末3）在ABC ∆中，若2tan -=A ，则A cos = A.5-B.5 C.52- D.52A.64B.72C.80D.112俯视图侧视图正视图（2014河西期末6）已知数列}{n a 的通项公式163-=n a n ，则数列}{n a 的前n 项和n S 取得最小值时n 的值为 A.3B.4C.5D.6（2014河西期末7）如图，1F 、2F 是双曲线12222=-by a x 0(>a ，)0>b 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两个分支分别交于点A 、B ，若2ABF ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率为 A.332 B.3 C.4 D.7（2014河西期末8）用)(A C 表示非空集合A 中元素的个数，定义⎩⎨⎧--=*),()(),()(A C B C B C A C B A )()()()(B C A C B C A C <≥， 若1{=A ，}2，)({2ax x x B +=}0)2(2=++ax x ，且1=*B A ，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则)(S C = A.4B.3C.2D.1（2014河西期末9）若直线01=+-y x 与圆2)(22=+-y a x 有公共点，则实数a 的取值范围是 3[-，]1.（2014河西期末10）已知O 为坐标原点，F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，P 为抛物线C 上一点，若4=PF ，则POF ∆的面积为 .3（2014河西期末11）在如图的程序框图中，输出的值为x ，则123log x x += 5（2014河西期末12）已知O 为坐标原点，2(A ，)1，x P (，)y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-012553034x y x y x，则AOP ∠cos 的最大值等于 .5512 （2014河西期末13）如果关于x 的不等式0)(<x f 和0)(<x g 的解集分别为a (，)b 和b1(，)1a，那么称这两个不等式为“对偶不等式”.如果不等式x x ⋅-θ2cos 34202<+ 与不等式x x ⋅+θ2sin 42201<+为“对偶不等式”，且2(πθ∈，)π，那么θ= 65π（2014河西期末14）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈+=]1,21[),1(2)21,0[,21)(x x x x x f ，若满足0[)]([∈a f f ，)21，则实数a 的取值范围是 .8541<<a （2014河西期末15）甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． （Ⅰ）设i (，)j 表示甲乙抽到的牌的数字，(如甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为2(，)3)，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；（Ⅱ）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？（Ⅲ）甲乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．解：（Ⅰ）方片4用4′表示，则甲乙二人抽到的牌的所有情况为：第11题图（2，3），（2，4），（2，4′），（3，2），（3，4），（3，4′），（4，2），（4，3），（4，4′）， （4′，2），（4′，3），（4′，4）共12种不同的情况.…………5分（Ⅱ）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′， 因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为23. …………8分（Ⅲ）甲抽到的牌比乙大，有（4，2），（4，3），（4′，2），（4′，3），（3，2）共5种 情况.甲胜的概率为1512P =，乙胜的概率为2712P =， 因为571212<，所以此游戏不公平.…………13分（2014河西期末16）已知函数x x f 2cos )(=x x cos sin +. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）若4(πα∈，)2π且462)83(-=+παf ，求α的值. 解：（Ⅰ）x x f 2cos )(=x x cos sin +x x 2sin 2122cos 1++=21)42sin(22++=πx ， …………4分πωπ==2T ，2221)(min -=x f ， 所以)(x f 的最小正周期为π，最小值为2221-.…………8分（Ⅱ）=+)83(παf 212sin 22+-α462-=， 所以232sin =α，…………11分因为4(πα∈，)2π，所以322πα=，3πα=因此α的值为3π. …………13分（2014河西期末17）如图，三角形ABC 中，AB BC AC 22==，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点． （Ⅰ）求证：GF ∥底面ABC ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面EBC ；（Ⅲ）求几何体ADEBC 的体积．（I ）证明：取BE 的中点H ，连结HF 、GH ，因为G 、F 分别是EC 和BD 的中点， 所以HG //BC ，HF //DE ，…………2分又因为ADEB 为正方形， 所以DE //AB ，从而HF //AB ， 所以HF //平面ABC ，HG //平面ABC ，HF ∩HG =H ， 所以平面HGF //平面ABC ， 所以GF //平面ABC .（Ⅱ）因为ADEB 为正方形，所以EB ⊥AB ，所以GF //平面AB ， …………4分 又因为平面ABED ⊥平面ABC ，所以BE ⊥平面ABC ，…………6分所以BE ⊥AC ， 又因为CA 2+CB 2=AB 2， 所以AC ⊥BC ， 因为BC ∩BE =B ，所以AC ⊥平面BCE . …………8分 （Ⅲ）连结CN ，因为AC =BC ，所以CN ⊥AB ，…………9分又平面ABED ⊥平面ABC ，CN 平面ABC ，所以CN ⊥平面ABED 。

因为三角形ABC 是等腰直角三角形，所以2121==AB CN ， …………11分因为C —ABED 是四棱锥， 所以V C —ABED =6131=⋅CN S ABED . …………13分A C（2014河西期末18）若正数项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11=a ，点n S P (，)1+n S 在曲线2)1(+=x y 上. （Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式n a ；解：（Ⅰ）因为点n S P (，)1+n S 在曲线2)1(+=x y 上，所以21)1(+=+n n S S .分别取1=n 和2=n ，得到⎪⎩⎪⎨⎧++=+++=+2213212121)1()1(a a a a a a a a ， 由11=a 解得32=a ，53=a .…………4分（Ⅱ）由21)1(+=+n n S S 得11=-+n n S S .数列}{n S 是以1S 为首项，1为公差的等差数列，所以2n S n =， …………6分由1--=n n n S S a )2(12≥-=n n ，当1=n 时，111==S a ， 所以12-=n a n .…………8分 （Ⅲ）因为11+⋅=n n n a a b )12)(12(1+-=n n )121121(21+--=n n ，所以+-+-=5131311(21n T )121121+--+n nn n 12112+=+=， …………11分 )1-共线．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线m kx y +=与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）设椭圆E 的标准方程为12222=+b y a x )0(>>b a ，由已知得a A (，)0，0(B ，)b ，所以a AB -=(，)b ，因为与n 2(=，)1-共线，所以b a 2=，…………2分由222c b a +=，解得22=a ，12=b ，所以椭圆E 的标准方程为1222=+y x . …………4分（Ⅱ）设1(x P ，)1y ，2(x Q ，)2y ，把直线方程m kx y +=代入椭圆方程1222=+y x ， 消去y ，得0224)12(222=-+++m kmx x k ，所以124221+-=+k kmx x ，12222221+-=k m x x ， …………8分 0881622>+-=∆m k ，即1222+<k m （*）…………9分因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，所以0<⋅，即02121<+y y x x ，…………10分又))((2121m kx m kx y y ++=)(21212x x mk x x k ++=1222222+-=+k k m m ， 由++-122222k m 0122222<+-k k m 得323222+<k m ，…………13分依题意且满足（*）得 322<m 故实数m 的取值范围是36(-，)36.…………14分（2014河西期末20）已知函数cx bx ax x f ++=23)(的导函数为)(x h ，)(x f 的图象在点2(-，))2(-f 处的切线方程为043=+-y x ，且0)32('=-h ，直线x y =是函数x kxe x g =)(的图象的一条切线.（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式及k 的值；（Ⅱ）若14)()(2++-≤x m x g x f 对于任意0[∈x ，)∞+恒成立，求实数m 的取值范围.。