中考数学一轮复习 第22讲 相似三角形及其应用专题精练

第22讲：相似三角形及其应用
一、夯实基础
1．下列判断正确的是( )
A. 不全等的三角形一定不是相似三角形
B. 不相似的三角形一定不是全等三角形
C. 相似三角形一定不是全等三角形
D. 全等三角形不一定是相似三角形
2．△ABC 中，∠ABC 为直角，BD ⊥AC ，则下列结论正确的是( ) A. AB BD ＝BC AC B. AD BD ＝AB
BC
C. CD BC ＝
AD AB D. AC BC ＝BD
AD
3．一个三角形三边长之比为4∶5∶6，三边中点连线组成的三角形的周长为30 cm ，则原三角形最大边长为 （ ）
A. 44 cm
B. 40 cm
C. 36 cm
D. 24 cm
4．如图，在▱ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ∶EC ＝3∶1，连结AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为( )
A. 3∶4
B. 9∶16
C. 9∶1
D. 3∶1
(第4题图)
(第5题图)
5．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( )
二、能力提升
6．如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为__ __m.
(第6题图)
(第7题图)
7．如图，已知△ABC的面积是3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC 与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 (结果保留根号)．
8．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连结CD，请添加一个适当的条件，使△ABC∽△ACD： (只填一个即可)．
三、课外拓展
9．如图，在Rt△ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3，x，4的三个正方形，则x的值为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 12
(第9题图)
(第10题图)
10．已知：在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC 边于点F.点D为BC上一点，连结DE，DF.设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为( )
(第11题图)
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半
圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD为( )
A. 2.5
B. 1.6
C. 1.5
D. 1
12．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ的长度为 _
m.
四、中考链接
13．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE
交AM于点N，AB＝AC＝BD，连结MF，NF.
(1)判断△BMN的形状，并证明你的结论．
(2)判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．
14．课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问：加工成的正方形零件的边长是多少毫米？
小颖解得此题的答案为48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：
(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t(s)．
(1)求线段CD的长．
(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
(3)当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
参考答案
一、夯实基础 1、B 2、B 3、D 4、B 5、B
二、能力提升 6、9
7 8、∠ACD ＝∠ABC(答案不唯一) 三、课外拓展 9、C 10、D 11、B 12、2.3 四、中考链接
13、解：(1)△BMN 是等腰直角三角形． 证明：∵AB ＝AC ，点M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，AM 平分∠BAC. ∵BN 平分∠ABE ，AC ⊥BD ， ∴∠AEB ＝90°， ∴∠EAB ＋∠EBA ＝90°，
∴∠MNB ＝∠NAB ＋∠ABN ＝1
2(∠BAE ＋∠ABE)＝45°.
∴△BMN 是等腰直角三角形． (2)△MFN ∽△BDC.
证明：∵点F ，M 分别是AB ，BC 的中点， ∴FM ∥AC ，FM ＝1
2
AC.
∵AC ＝BD ，
∴FM ＝12BD ，即FM BD ＝12.
∵△BMN 是等腰直角三角形， ∴NM ＝BM ＝12BC ，即NM BC ＝12，
∴FM BD ＝NM BC ＝1
2. ∵AM ⊥BC ，
∴∠NMF ＋∠FMB ＝90°. ∵FM ∥AC ， ∴∠ACB ＝∠FMB. ∵∠CEB ＝90°， ∴∠ACB ＋∠CBD ＝90°. ∴∠CBD ＋∠FMB ＝90°. ∴∠NMF ＝∠CBD. 在△MFN 与△BDC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧NM CB ＝FM DB ，∠NMF ＝∠CBD ， ∴△MFN ∽△BDC.
14、解：(1)设矩形的边长PN ＝2y mm ，则PQ ＝y mm ，由PN ∥BC 可得△APN ∽△ABC ， ∴PN BC ＝AE AD ，即2y 120＝80－y 80
， 解得y ＝2407，∴PN ＝2407×2＝480
7(mm)，
答：这个矩形零件的两条边长分别为240
7 mm ，
480
7
mm. (2)设PN ＝x mm ，同(1)可得△APN ∽△ABC ， ∴PN BC ＝AE AD ，即x 120＝80－PQ 80， 解得PQ ＝80－23
x.
∴矩形PQMN 的面积S ＝PN·PQ＝x ⎝
⎛⎭⎪⎫80－23x ＝－23x 2＋80x ＝－23(x －60)2
＋2400，
∴S 的最大值为2400 mm 2
，此时PN ＝60 mm ，PQ ＝80－23×60＝40(mm)．
15、解：(1)∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6， ∴AB ＝10. ∵CD ⊥AB ，
∴S △AB C ＝12BC·AC＝1
2AB·CD，
∴CD ＝BC·AC
AB ＝4.8，
∴线段CD 的长为4.8.
(2)①过点P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，如解图①所示， 由题可知DP ＝t ，CQ ＝t ，则CP ＝4.8－t ， ∵∠ACB ＝∠CDB ＝90°， ∴∠HCP ＝90°－∠DCB ＝∠B. ∵PH ⊥AC ，∴∠CHP ＝90°， ∴∠CHP ＝∠ACB ， ∴△CHP ∽△BCA ，
∴PH AC ＝PC AB ，即PH 8＝4.8－t 10，得PH ＝9625－45t ， ∴S △CPQ ＝12CQ·PH＝12t(9625－45t)＝－25t 2＋4825t.
②存在某一时刻t ，使得S △CPQ ∶S △ABC ＝9∶100， ∵S △ABC ＝1
2×6×8＝24，
且S △CPQ ∶S △ABC ＝9∶100， ∴(－25t 2＋48
25
t)∶24＝9∶100，
整理，得5t 2
－24t ＋27＝0，即(5t －9)(t －3)＝0， 解得t ＝9
5或t ＝3.
∵0≤t≤4.8，
∴当t ＝9
5 s 或t ＝3 s 时，S △CPQ ∶S △ABC ＝9∶100.
(3)①若CQ ＝CP ，
则t ＝4.8－t ，解得t ＝2.4. ②若PQ ＝PC ，如解图①所示，
∵PQ ＝PC ，PH ⊥QC ， ∴QH ＝CH ＝12QC ＝t
2.
∵△CHP ∽△BCA ， ∴CH BC ＝CP
AB ，∴t
26＝4.8－t 10， 解得t ＝14455
.
③若QC ＝QP ，
过点Q 作QE ⊥CP ，垂足为E ，如解图②所示． ∵QC ＝QP ，QE ⊥CP ， ∴CE ＝P E ＝12PC ＝t
2
.
∵∠QEC ＝∠ACB ＝90°，∠QCE ＝∠ABC ， ∴△QCE ∽△ABC ， ∴CE BC ＝QC
AB ， ∴4.8－t 26＝t 10，
解得t ＝2411
.
综上所述：当t 为2.4 s 或4455 s 或24
11
s 时，△CPQ 为等腰三角形．。