高一数学经典系列复习资料(第10讲)
新高一分班考试必背知识点(数学10讲,共80页)
新高一分班考试必背知识点（数学10讲）第01讲 几何综合专题必背考点一、圆幂定理过点A 任作一条直线，与圆交于两点，AM 和AN 的乘积称为点A 关于该圆的圆幂。
当点A 在圆外的时候，即切割线定理，当点A 在圆内的时候，即相交弦定理。
这两个定理统称为圆幂定理。
1．相交弦定理如果圆内两条弦AB 和CD 相交于点P ，那么PA BP CP DP ⋅=⋅．AOP CB2．割线定理如果从圆外一定P 向圆引割线PAB 和PCD ，那么PA PB PC PD ⋅=⋅．OPDCBA3．切割线定理如果从圆外一点P 向圆引割线PAB 和切线PC ，那么2PA PB PC ⋅=．实际上，可以把切割线定理看做是割线定理的极限情形，于是上述结论可以合并为： 如果交点为P 的两条相交直线与圆O 相交于A B 、与C D 、，那么就有PA PB PC PD ⋅=⋅， 这里P A B 、、及P C D 、、分别共线．OPBA考虑经过P 点和圆心O 的直线，设PO 交O 于M N 、，R 为圆的半径，则有()22PA PB PC PD PM PN OP R OP R OP R ⋅=⋅=⋅=+-=-22OP R -即为P 点到原O 的幂，圆外的点对圆的幂为正，圆内为负，圆上为0．如果A B C D 、、、是同一个圆上死点，那么，就有这四点组成的四边形ABCD 的内对角互补，即180ABC ADC ∠+∠=︒，180BAD BCD ∠+∠=︒，并且ADB ACB ∠=（同弧所对的圆周角相等）． （2）对于两已知圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线．事实上，设点A 到圆1O 和圆2O 的幂相等，圆1O 、圆2O 的半径分别为1R 、2R 12()R R >，则21AO -222122R AO R =-，即22221212AO AO R R -=-=常数． O 2O 1M D A如图所示，设12O O 的中点为D ，12AM O O ⊥于点M ，注意到：2221112AO AD O D O D DM =++⋅，2222222AO AD DO DO DM =+-⋅．则2212122R R DM O O -==常数． 所以，过定点M 的垂线即是两圆等幂点的轨迹． 这条直线称为两圆的根轴或等幂轴．特别地，若两圆同心，则120O O =，此时同心圆的根轴不存在；若20R =，圆2O 变成一点2O ，则点A 对于圆2O 的幂是22AO ，此时直线(轨迹)称为一圆与一定点的根轴． 2、根轴的性质（1）若两圆相交，其根轴就是公共弦所在的直线． （2）若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线．（3）三个圆，其两两的根轴或者相交于一点，或者互相平行，这称为根心定理．若三条根轴中有两条相交，则这一交点对于三个圆的幂均相等，所以必在第三条根轴上，这一点称为三个圆的根心．显然，当三个圆的圆心在一条直线上时，三条根轴互相平行；当三个圆的圆心不共线时，根心存在.（4）若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点在根轴上．二、四点共圆1、四点共圆定义及性质如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．四点共圆有三个性质：（1）同弧所对的圆周角相等（2）圆内接四边形的对角互补（3）圆内接四边形的外角等于内对角以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明证明四点共圆的基本方法（四点共圆常用于倒角，有神来之笔的感觉！）2、证明四点共圆的方法：（1）若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．（2）若一个四边形的一组对角的和等于180︒，则这个四边形的四个顶点共圆．（3）若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．（4）若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆．、、、四点共圆．（5）若AB、CD两线段和交于P点，且PA PB PC PD⋅=⋅，则A B C D、、、四点共圆．（6）若AB、CD两线段延长后相交于P．且PA PB PC PD⋅=⋅，则A B C D（7）边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆．（托勒密定理）1. 如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形.延长AB 与DC 相交于点G ,CD AO ⊥,垂足为E ,连接BD ,︒=∠50GBC ，则DBC ∠的度数为（ ）.A.50°B.60°C.80°D.85°【答案】C2. 如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB =CD =0.25米，BD =1.5米，且AB ．CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ）A ．2米B ．2.5米C ．2.4米D ．2.1米【答案】B．【解析】试题分析：连接OF，交AC于点E，∵BD是⊙O的切线，∴OF⊥BD，∵四边形ABDC是矩形，∴AD∥BD，∴OE⊥AC，EF=AB，设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE=AC=BD=0.75米，OE=R﹣AB=R﹣0.25，∵AE2+OE2=OA2，∴0.752+（R﹣0.25）2=R2，解得R=1.25．1.25×2=2.5（米）．故这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米．故选B．3.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC=29°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的大小为（）A．29° B．32° C．42° D．58°【答案】B4.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP 中，PB=AB，则PA的长为（）A．5B．532C．52D．53【答案】D．考点：三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D 点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为⊙O的切线．【答案】略6. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．【答案】2.考点：切线的性质；勾股定理．1.【2016，新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）A.17πB.18πC.20πD.28π【答案】A2.【2016，新课标3理数】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积 为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（） A.4π B.92π C.6π D.323π【答案】B3.【2015，山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A.23πB.43π C.53π D.2π【答案】C4.【2015，新课标2，理9】已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π一、 韦达定理1. 韦达定理的含义如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．2. 韦达定理的逆定理以两个数1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++=．一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12cx x a=，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根．3. 韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论： ⑴当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0ba-≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba-<，则此方程的正根小于负根的绝对值． ⑵当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba-<，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a b +a b a ，b 为有理数）． ⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． 4. 韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程； ⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．二、 根的分布1. 一元二次不等式的解集一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系．如下表（以0a >为例）： 判别式:24b ac ∆=-0∆>0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxO xy一元二次方程:20ax bx c ++= (0)a ≠的根有两相异实根12,x x =242b b aca -±-12()x x <有两相等实根 122bx x a==-没有实根2. 二次函数与一元二次方程根的分布所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x 轴的交点问题），因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的．设()()20f x ax bc c a =++≠的二实根为1x ，2x ，()12x x <，24b ac ∆=-，且()αβαβ<，是预先给定的两个实数．（1） 当两根都在区间()αβ，内，方程系数所满足的充要条件： ∵12x x αβ<<<，对应的二次函数()f x 的图象有下列两种情形：αβx 1x 2a>0OxyyxOx 2x 1βα当0a >时的充要条件是：0∆>，2baαβ<-<，()0f α>，()0f β>． 当0a <时的充要条件是：0∆>，2baαβ<-<，()0f α<，()0f β<． 两种情形合并后的充要条件是：()()0200b a f f αβαααβ⎫∆><-<⎪⎬⎪>>⎭，，①（2） 当两根中有且仅有一根在区间()αβ，内，方程系数所满足的充要条件； ∵1x αβ<<或2x αβ<<，对应的函数()f x 的图象有下列四种情形：不等式的解集20ax bx c ++>(0)a >{1x x x <或}2x x >{R x x ∈，且2b x a ⎫≠-⎬⎭实数集R20ax bx c ++<(0)a >{}12x xx x <<无解 无解x 1αβxyOαβx 1xyOxyαβx 1Oxyαβx 1O从四种情形得充要条件是：()()0f f αβ⋅<②（3） 当两根都不在区间[]αβ，内方程系数所满足的充要条件： 当两根分别在区间[]αβ，的两旁时；∵12x x αβ<<<对应的函数()f x 的图象有下列两种情形： xyαβx 2x 1OOx 1x 2βαyx当0a >时的充要条件是：()0f α<，()0f β<． 当0a <时充要条件是：()0f α>，()0f β>．两种情形合并后的充要条件是：()0f αα<，()0f αβ<③ 当两根分别在区间[]αβ，之外的同侧时：∵12x x αβ<<<或12x x αβ<<<，对应函数()f x 的图象有下列四种情形：xyαβx 1x 2O xyαβx 1x 2Oxyαβx 1x 2Oxyαβx 1x 2O当12x x α<<时的充要条件是：0∆>，2baα-<，()0f αα>④ 当12x x β<<时的充要条件是：0∆>，2baβ->，()0f αβ>⑤ 3.区间根定理如果在区间()a b ，上有()()0f a f b ⋅<，则至少存在一个()x a b ∈，，使得()0f x =． 此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力．f (b )f (a )b a1.（2017山东省日照市）式子12a a +-有意义，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≥﹣1 B ．a ≠2 C ．a ≥﹣1且a ≠2 D ．a ＞2 【答案】C ． 【解析】2．（2017济宁）若21121x x -+-+在实数范围内有意义，则x 满足的条件是（ ） A ．x ≥12 B ．x ≤12 C ．x =12 D ．x ≠12【答案】C ．考点：二次根式有意义的条件．3．（2017滨州）下列计算：（1）2(2)2=，（2）2(2)-＝2，（3）2(23)12-=，（4）(23)(23)1+-=-，其中结果正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D ． 【解析】4. 若关于x 的方程2230x x +-=与213x x a=+-有一个解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或﹣3 C ．﹣1 D ．﹣1或3 【答案】C ． 【解析】试题分析：解方程2230x x +-=，得：x 1=1，x 2=﹣3，∵x =﹣3是方程213x x a=+-的增根，∴当x =1时，代入方程213x x a =+-，得：21131a=+-，解得a =﹣1．故选C ． 5. 规定：如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程2280x x +-=是倍根方程；②若关于x 的方程220x ax ++=是倍根方程，则a =±3；③若关于x 的方程260ax ax c -+=（a ≠0）是倍根方程，则抛物线26y ax ax c =-+与x 轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）； ④若点（m ，n ）在反比例函数4y x=的图象上，则关于x 的方程250mx x n ++=是倍根方程． 上述结论中正确的有（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④ 【答案】C ．6. 为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：篮球排球进价（元/个）8050售价（元/个）10570（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？【答案】（1）购进篮球40个，排球20个；（2）y=5x+1200；（3）共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．最大利润为1415元．【解析】（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：y=（105﹣80）x+（70﹣50）（60﹣x）=5x+1200，∴y与x之间的函数关系式为：y=5x+1200．（3）设购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：5120014008050(60)4300xx x+≥⎧⎨+-≤⎩，解得：40≤x≤1303．∵x取整数，∴x=40，41，42，43，共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．∵在y=5x+1200中，k=5＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=43时，可获得最大利润，最大利润为5×43+1200=1415元．7.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为cm．【答案】2482-．1. 已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .【答案】),1()0,(+∞-∞ .2.【2016天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） A.（0，23] B.[23，34] C.[13，23]{34} D.[13，23）{34}【答案】C3.【2015安徽，理9】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A.0a >，0b >，0c <B.0a <，0b >，0c >C.0a <，0b >，0c <D.0a <，0b <，0c <【答案】C4.【2015江苏，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为【答案】45. 【2015安徽，理15】设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==.【答案】①③④⑤1. 整除的基本性质：（1）已知b c ，a c ，则[]a b c ，；特别地，若()1a b =，，则有ab c ； （2）已知c ab ，()1b c =，，则c a ；2. 唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即1212k a a a k n p p p =⨯⨯⨯；其中12k p p p <<<为质数，1a ，2a ，……，k a 为自然数，并且这种表示是唯一的，该式称为n 的质因数分解式；3. 约数个数定理：设自然数n 的质因数分解式为1212k a a a k n p p p =⨯⨯⨯，那么n 的约数个数为12()(1)(1)(1)k d n a a a =+++；所有约数的和为：()()()12222111222111k a a a kk k p p p p p p pp p +++++++++++．4. 质数与合数：对任意大于1的正整数,n 如果除1与n 之外没有其他的正约数，那么称n 为质数（素数），否则为合数.这样，正整数分为了三类：1，质数，合数. 设正整数1,n p >是n 的大于1的约数中最小的正整数，则p 为质数. 设正整数1,n >如果对任意1n 之间的质数,p 都有|,/p n 那么n 为质数. 质数由无穷多个.5. 最大公约数：用[]a b ，表示a 和b 的最小公倍数，()a b ，表示a 和b 的最大公约数，那么有[]()ab a b a b =⨯，，；若(),1,a b =则称整数a 和b 互质. 若()|,,.a b a b a ⇒=对于任意整数()()()(),,,,,,.m a b a ma b ma mb m a b =+=若(),1,a b =则存在整数,m n ，使得1;ma nb +=反之，对整数,a b 、若存在整数m n 、，使得1,ma nb +=则有(), 1.a b =（裴属恒等式）若(),1,|,|.c a c ab c b =⇒ 6. 带余除法一般地，如果a 是整数，b 是整数(0)b ≠，那么一定有另外两个整数q 和r ，使得a b q r =⨯+，0r b ≤<；当0r =时，我们称a 能被b 整除；当0r ≠时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的不完全商(简称为商)． 用带余除式又可以表示为：a b q r ÷=，其中0r b ≤<．7. 余数的性质①两数的和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数的和(或这个和除以m 的余数)； ②两数的差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数的差(或这个差除以m 的余数)； ③两数的积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数的积(或这个积除以m 的余数)； 8. 同余的定义：若两个整数a ，b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a ，b 对于模m 同余，用式子表示为(mod )a b m ≡；同余式意味着(假设a b ≥)a b mk -=，k 是整数，即()m a b -．所以有如下结论：若两个数a ，b 除以同一个数c 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被c 整除． 9. 完全平方数①平方差：()()22A B A B A B -=+-，其中A B +，A B -奇偶性相同； ②约数个数为奇数的是完全平方数，特别地，约数个数为3的是质数的平方； ③若干个数的积是完全平方数，则质因数分解后每个质因数的次数都是偶数； 10. 费马小定理设p 是素数，则对任意整数a 都有(mod )p a a p ≡．中国剩余定理（孙子定理） 设正整数12,,,k m m m 两两互质，则对于任意给定的整数12k a a a ，，，，同余方程组(mod )i i x a m ≡，12i k =，，，一定有解，并且它的全部解可以写成1123221312112k k k k k k x a b m m m a b m m m a b m m m lm m m -=++++，其中i b 满足：121(mod )ki i im m m b m m ≡，12i k =，，，，l 为任一整数． 11. 两个有用的因式分解因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算．（1）若n 是正整数，则()()1221:...;n n n n n n x y x y x x y xy y -----=-++++（2）若n 是正奇数，则()()1221:...;n n n n n n x y x y x x y xy y ----+=+-+-+1. 发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数． 验证 （1）22222(1)0123-++++的结果是5的几倍？（2）设五个连续整数的中间一个为n ，写出它们的平方和，并说明是5的倍数． 延伸 任意三个连续整数的平方和被3整除余数是几呢？请写出理由． 【答案】（1）3；（2）见解析；延伸 2，理由见解析． 【解析】试题分析：（1）直接计算这个算式的值；（2）先用代数式表示出这几个连续整数的平方和，再化简，根据代数式的形式作出结论．2. 杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则（a +b ）5= ． 【答案】1a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+1b 5．点睛：本题考查了完全平方公式以及规律型中数字的变化，观察图形，找出二项式系数与杨辉三角之间的关系是解题的关键．3. 若实数x 满足2210x x --=，则322742017x x x -+-= ． 【答案】﹣2020．4. n 是整数，式子21[1(1)](1)8n n ---计算的结果（ ）A ．是0B ．总是奇数C ．总是偶数D ．可能是奇数也可能是偶数 【答案】C ． 【解析】试题分析：当n 是偶数时，21[1(1)](1)8n n ---=21[11](1)8n --=0，当n 是奇数时，21[11](1)8n +-=21[1(1)](1)8n n ---=1(1)(1)4n n +-，设n =2k ﹣1（k 为整数），则1(1)(1)4n n +-=1(211)(211)4k k -+--=k （k ﹣1），∵0或k （k ﹣1）（k 为整数）都是偶数，故选C ．5. 对任意一个三位数n ，如果n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F （n ）．例如n =123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F （123）=6． （1）计算：F （243），F （617）；（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s =100x +32，t =150+y （1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：k =()()F s F t ，当F （s ）+F （t ）=18时，求k 的最大值． 【答案】（1）F （243）=9，F （617）=14；（2）54．试题解析：（1）F （243）=（423+342+234）÷111=9； F （617）=（167+716+671）÷111=14．（2）∵s ，t 都是“相异数”，s =100x +32，t =150+y ，∴F （s ）=（302+10x +230+x +100x +23）÷111=x +5，F （t ）=（510+y +100y +51+105+10y ）÷111=y +6． ∵F （t ）+F （s ）=18，∴x +5+y +6=x +y +11=18，∴x +y =7．∵1≤x ≤9，1≤y ≤9，且x ，y 都是正整数，∴16x y =⎧⎨=⎩或25x y =⎧⎨=⎩或34x y =⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=⎩或52x y =⎧⎨=⎩或61x y =⎧⎨=⎩．∵s 是“相异数”，∴x ≠2，x ≠3． ∵t 是“相异数”，∴y ≠1，y ≠5，∴16x y =⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=⎩或52x y =⎧⎨=⎩，∴()6()12F s F t =⎧⎨=⎩或()9()9F s F t =⎧⎨=⎩或()10()8F s F t =⎧⎨=⎩，∴k =()()F s F t =12或k =()()F s F t =1或k =()()F s F t =54，∴k 的最大值为54． 点睛：本题考查了因式分解的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F （n ）的定义式，求出F （243）、F （617）的值；（2）根据s =100x +32、t =150+y 结合F （s ）+F （t ）=18，找出关于x 、y 的二元一次方程．6. 如果2210a a +-=，那么代数式242a a a a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭的值是（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．3 【答案】C ．1.【2016新课标3，理】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =（ ）A. [2，3]B.（-∞ ，2][3,+∞） C. [3,+∞） D.（0，2][3,+∞）【答案】D2.【2016新课标2，理】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）A.{1}B.{12}，C.{0123}，，，D.{10123}-，，，，【答案】C3.【2015，课标2理12】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A4.【2015，陕西理12】对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．1-是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()y f x =上【答案】A5. 设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ） A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+【答案】B一、一元一次不等式的解法：关于x的一元一次不等式aax b ab>⎧⎪>⇒=⎨⎪<⎩情况解之.二、一元二次不等式的解法：一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系．如下表（以0a>为例）：三、分式不等式：分式不等式的求解过程其实就是把分式不等式转化整式不等式，然后按照整式不等式解出不等式的值，但要注意分母不为零这一必要条件.具体如下：1）()0()()0()f xf xg xg x>⇔⋅>判别式:24b ac∆=-0∆>0∆=0∆<二次函数2y ax bx c=++(0)a>的图象x2x1Oyxx1=x2Oyx O xy一元二次方程:20ax bx c++=(0)a≠的根有两相异实根12,x x=242b b aca-±-12()x x<有两相等实根122bx xa==-没有实根不等式的解集20ax bx c++>(0)a>{1x x x<或}2x x>{Rx x∈，且2bxa⎫≠-⎬⎭实数集R 20ax bx c++<(0)a>{}12x x x x<<无解无解2）()0()()0()f x f x g x g x ≥⇔⋅≥且()0g x ≠ 3）()()()(00()[()()]0)()()f x f x ag x a a g x f x ag x g x g x ->≠⇔>⇔->四、高次不等式（穿线法：）一般高次不等式()0f x >用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是：1) 将()f x 最高次项的系数化为正数；2) 将()f x 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；3) 将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）；4) 根据曲线显现出来的()f x 值的符号变化规律，写出不等式的解集． 五、平均值不等式1、基本不等式或平均值不等式 如果,a b 为正数，则,2a b ab +当且仅当a b =时，等号成立.我们称2a b+为正数,a b 的算术平均值，ab ,a b 的几何平均值.此不等式用语言可以叙述为：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 几个重要的不等式：①,a b 222;1122a b a b ab a b++≥≥≥+②()20;b aab a b +≥>③()20;b a ab a b +≤-< ④112.a a a a+=+≥2、三个正数的算术-几何平均值 如果,,a b c 为正数，则3,3a b c abc ++当且仅当a b c ==时，等号成立. 3、一般形式得算术-几何平均值不等式 如果12,,...,n a a a 为n 个正数，则1212......,n nn a a a a a a n+++≥当且仅当12...n a a a ===时，等号成立.六、柯西不等式设1212,,...,,,,...,n n a a a b b b 是给定的实数.那么：()()()222222212111122..........n n n n aa ab b b a b a b a b ++++++≥+++等号成立当且仅当()*0,i a i N =∈或存在实数,λ满足1122,,..,.n n b a b a b a λλλ===1. 不等式的解为____________．【答案】【解析】不等式化为，解一元二次不等式即可．详解：不等式化为，解得，∴不等式的解集为，故答案为．2. 如果关于x 的分式方程1131+-=-+x xx a 有负分数解，且关于x 的不等式组2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x ＜﹣2，那么符合条件的所有整数a 的积是（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．3 D ．9【答案】D ．【分析】把a 看做已知数表示出不等式组的解，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将a 的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有a 的值，即可求出之积． 3. 解方程21421224x x x x +-=+--． 分析：去分母，转化为整式方程．4. 2016年在东安县举办了永州市首届中学生足球比赛，比赛规则是：胜一场积3分，平一场积1分；负一场积0分．某校足球队共比赛11场，以负1场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于25分，则该校足球队获胜的场次最少是 8 场． 【答案】8．【解答】解：设该校足球队获胜的场次是x 场， 依题意得：3x +（11﹣x ﹣1）≥25， 3x +10﹣x ≥25， 2x ≥15， x ≥7.5．因为x 是正整数，所以x 最小值是8，即该校足球队获胜的场次最少是8场．5. 已知关于x 的不等式＞x ﹣1．（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集． 【答案】解：（1）当m=1时，不等式为＞﹣1，去分母得：2﹣x ＞x ﹣2， 解得：x ＜2；1.【2016，浙江理数】已知实数a ，b ，c （ ） A ．若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100 B ．若|a 2+b +c |+|a 2+b –c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100 C ．若|a +b +c 2|+|a +b –c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100 D ．若|a 2+b +c |+|a +b 2–c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100【答案】D2.【2016，四川理数】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p是q 的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A3.【2016，山东理数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x 则22x y 的最大值是（ ）A.4B.9C.10D.12【答案】C4.【2015，山东，理5】不等式152x x ---<的解集是（ ）A.（-，4）B.（-，1）C.（1，4）D.（1，5）【答案】A5. 若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（ ） A.()21log 2a b a a b b +<<+ B.()21log 2a b a b a b <+<+ C.()21log 2a ba ab b +<+< D.()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】试题分析：因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 21,2aba b a b ab ><<∴<+>= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B.一、平面解析几何的基本公式在平面α上建立直角坐标系xOy 后，就可以把平面上的点和有序实数对一一对应.建立了坐标系的平面一般简称为坐标平面，有序实数对的全体是集合(){}2,|,,R x y x y R =∈所以，以后我们可以将坐标平面和集合(){}2,|,R x y x y R =∈等同，坐标平面上的点和(),x y 等同.1、两点间的距离公式：设()111,P x y 和()222,P x y 是坐标平面上的两个点，则1P 和2P 的距离12PP为 ()()22121234.PP x x x x -+-2、中点公式：设()111,P x y 和()222,P x y 是坐标平面上的两个点，则线段1P 2P 中点的坐标(),x y 为12122.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩二、直线的概念与直线的斜率倾斜角：一条直线L 向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)0,π 斜率：当直线的倾斜角不是90︒时，则称其正切值为该直线的斜率，即tan k α=;当直线的倾斜角等于90︒时，直线的斜率不存在.过两点()()()11122212,,,p x y p x y x x ≠的直线的斜率公式:2121tan y y k x x α-==-（若12,x x =则直线12p p 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90︒）.直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件.确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.名称 方程 说明 适用条件斜截式y kx b =+k ——斜率 b ——纵截距倾斜角为90︒的直线不能用此式点斜式()00y y k x x -=-00(,)x y ——直线上已知点，k ——斜率倾斜角为90︒的直线不能用此式两点式121y y y y --=121x x x x -- 1122(,),(,)x y x y 是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式1x y a b+= a ——直线的横截距b ——直线的纵截距过()0,0及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式0Ax By C ++=A B -，C A -，CB-分别为斜率、横截距和纵截距A B 、不能同时为零直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线. 三、直线的位置关系两条直线相交、平行、重合的条件 （1）两条直线11112222:0,:0.l A x B y C l A x B y C ++=++=（设1212,,,A A B B 都不为0）， 或表示为111:,l y k x b =+222:,l y k x b =+由直线1l 与2l 的方程组组成二元一次方程组1112220,0.A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩或1122,,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解由三种情况：有唯一解、无解、由无数组解，它们分别对应两条直线相交、平行、重合的位置关系，应用这一结论，可判定两直线的位置关系. 即()111212220A B A B k k A B ≠≠⇔≠⇔1l 与2l 相交； ()11122212122220,A B C A B C k k b b A B C =≠≠⇔=≠⇔1l 与2l 平行； ()11122212122220,A B C A B C k k b b A B C ==≠⇔==⇔1l 与2l 重合； （2）两条直线垂直的条件 一般地，设两条直线11112222:0,:0.l A x B y C l A x B y C ++=++=（12120A A B B ≠）或表示为111:,l y k x b =+222:,l y k x b =+则：1212121210.l l k k A A B B ⊥⇔⋅=-⇔+=特别地，对于直线1:,l x a =直线2:,l y b =由于1l x ⊥轴，2l y ⊥轴，所以12l l ⊥.若直线12,l l 的斜率都不存在，则它们的倾斜角都是90︒，所以12l l ∥. （3）有关对称问题设直线:0l Ax By C ++=,常见的对称结论有： ① l 关于x 轴对称的直线是：()0Ax B y C +-+= ② l 关于y 轴对称的直线是：()0A x By C -++= ③ l 关于原点对称的直线是：()()0A x B y C -+-+= ④ l 关于直线y x =对称的直线是：0Ay Bx C ++= ⑤ l 关于直线y x =-对称的直线是：()()0A y B x C -+-+= 四、点到直线的距离点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=的距离为0022Ax By Cd A B++=+如果给出的方程不是一般式，应先将方程化为一般式再进行求解．若点P 在直线上，点P 到直线的距离为零，距离公式仍然成立．点到几种特殊直线的距离：（1）点()00,P x y 到x 轴的距离0d y =；（2）点()00,P x y 到y 轴的距离0d x =；（3）点()00,P x y 到直线x a =轴的距离0d x a =-；（4）点()00,P x y 到直线y a =轴的距离0d y a =-； 两条平行直线间的距离两条平行直线11:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=的距离为1222C C d A B-=+.使用公式时，两条直线均为一般式，且x y 、的系数分别相同，而不是对应成比例．因此当直线方程不满足此条件时，应先将方程变形. 五、圆的方程1、圆的标准方程平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径．现求以(,)C a b 为圆心，以r 为半径的圆的方程．可根据两点间的距离公式，设点(,)M x y 是圆C 上任意一点，由两22()()x a y b r -+-，则化简后得圆的标准方程． 以点(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程：222()()x a y b r -+-= 圆心在原点的圆的标准方程：222x y r +=。
高一第十章数学知识点
高一第十章数学知识点第一节：平面向量的基本概念和运算在高一的数学学习中，平面向量是一个重要的概念。
平面向量由大小和方向两个要素确定，通常用箭头表示。
平面向量的加法、减法、数量乘法都是根据平行四边形法则进行计算的。
平面向量的模长表示向量的长度，可以通过勾股定理计算得到。
如果两个向量的模长相等，并且方向相同，则它们相等；否则它们不相等。
第二节：平面向量的数量积平面向量的数量积也是高一数学学习的重点内容之一。
两个向量的数量积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
数量积有一些重要的性质，比如交换律、结合律、分配律等。
数量积还可以用来计算两个向量的夹角，通过公式可以得到它们之间的cos值。
第三节：平面向量的应用平面向量在现实生活中有许多应用，比如力的合成、速度的合成等。
平面向量的运用可以有效地解决一些几何问题，比如判断三角形是否共线、四边形是否为平行四边形等。
另外，平面向量的运用还可以求解一些简单的力学问题，比如物体的平衡条件、摩擦力的计算等。
第四节：直线和圆的方程在高一数学学习中，直线和圆的方程是一个重要的内容。
直线的方程包括一般式、斜截式和截距式，可以根据直线上的已知点和直线的斜率等条件确定。
圆的方程包括标准方程和一般方程，可以根据圆心和半径等条件确定。
直线和圆的方程在几何图形的分析、计算和求解问题中起到了重要的作用。
第五节：平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示也是高一数学学习的一部分。
向量的坐标表示是通过将向量的起点放在坐标原点，终点在平面上任意一点，然后求取该点的坐标来表示向量。
通过坐标表示，可以方便地进行向量的加法、减法、数量乘法等运算。
向量的坐标表示在解题时可以简化计算步骤，提高解题效率。
第六节：直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系也是高一数学学习的重点内容之一。
直线与平面的位置关系可以分为四种情况：直线与平面相交，直线与平面平行，直线在平面内，直线在平面外。
可以通过判别式、参数方程等方法求解直线与平面的交点，从而确定位置关系。
高一第十章数学知识点归纳
高一第十章数学知识点归纳高一的数学学习中，第十章是一个重要的章节，主要学习了数学中的一些基础知识和概念，为以后的学习打下坚实的基础。
下面将对这一章节的知识点进行归纳总结。
一、函数与方程1. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值对应到一个因变量的值上。
函数可以用图表、公式和文字来表示。
2. 一次函数：一次函数是自变量的最高次数为1的函数，其表达式为f(x) = ax + b。
其中a为斜率，b为截距。
3. 二次函数：二次函数是自变量的最高次数为2的函数，其表达式为f(x) = ax² + bx + c。
其中a、b、c为常数。
4. 方程：方程是等式的一种特殊形式，其中包含一个或多个未知数，并要求找出满足等式的未知数的取值。
二、平面几何1. 直线与角：直线可以通过两个点确定，它是一个无限延伸的线段。
角是由两条射线共享一个起点而形成的图形。
2. 三角形与四边形：三角形是由三条线段组成的图形，而四边形是由四条线段组成的图形。
3. 相似与全等：相似是指两个图形的形状相同但大小不同，而全等是指两个图形的形状和大小完全相同。
4. 圆：圆是由一组与圆心的距离相等的点组成的图形。
三、概率与统计1. 概率：概率是指某个事件发生的可能性大小，可以用一个介于0和1之间的数来表示。
2. 随机事件：随机事件是在一定条件下具有不确定性的事件，其结果是随机的。
3. 统计：统计是对数据进行收集、整理、分析和解释的过程，以得出结论并作出预测。
四、数列1. 等差数列：等差数列是一种数列，其中每个项与前一项的差都相等。
其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列：等比数列是一种数列，其中每个项与前一项的比值都相等。
其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 数列求和：数列求和是指将数列中所有项相加的过程，可以通过求和公式或递推关系式来计算。
高一数学第十章知识点
高一数学第十章知识点第一节直线与圆的相交直线和圆的相交关系是高一数学第十章的重要内容之一。
在这一节中，我们将学习直线与圆相交的四种情况，分别是相切、相离、相交和相重。
1. 直线与圆相切当一条直线与圆相切时，直线切点所在的位置有以下两种情况：情况一：直线与圆的切点在圆的外部。
这种情况下，直线与圆之间存在唯一的切点，且直线的斜率等于切点处的切线斜率。
情况二：直线与圆的切点在圆的边界上。
这种情况下，直线与圆相切于圆上的一点，且直线过切点的切线垂直于与之相切的圆的半径。
2. 直线与圆相离当一条直线与圆相离时，直线与圆之间不存在任何交点。
我们可以通过比较直线与圆之间的距离来确定是否相离，若直线到圆心的距离大于圆的半径，则直线与圆相离。
3. 直线与圆相交当一条直线与圆相交时，直线与圆之间存在两个交点。
我们可以通过解方程组来求解直线与圆的交点坐标。
4. 直线与圆相重当一条直线为圆的弦时，直线与圆相交于两个点，这两个点分别位于弦的两边，且这两个点与圆心连线的垂直平分线经过弦的中点。
第二节余弦定理余弦定理是解决三角形中边长和夹角之间关系的重要工具之一。
余弦定理的表达式如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC其中，c表示三角形的第三条边（斜边），a和b分别表示三角形的其他两条边（腰），C表示斜边c对应的夹角。
通过余弦定理，我们可以求解三角形的边长或夹角，从而解决各种三角形相关的问题。
第三节反余弦函数及其性质反余弦函数是解决三角函数方程和求解角度的重要工具之一。
反余弦函数的记号为arccos(x)，表示当余弦值为x时，对应的角度。
反余弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]或[0, 180°]。
反余弦函数有以下几个重要的性质：1. arccos(cos(x)) = x，其中x满足反余弦函数的定义域。
2. cos(arccos(x)) = x，其中x满足反余弦函数的值域。
3. arccos(x) = arccos(-x)，其中x满足反余弦函数的定义域。
新高一数学第十章知识点
新高一数学第十章知识点高一数学第十章主要介绍了数列与数列的极限。
数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列，而数列的极限则是数列中数值无限接近且不会超出某个特定值的概念。
1. 数列的基本概念数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列。
通常用a1，a2，a3...an表示。
2. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设首项为a1，公差为d，则等差数列的一般项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设首项为a1，公比为q，则等比数列的一般项公式为an = a1 * q^(n-1)。
4. 数列的极限数列的极限是指随着项数的增加，数列中的数值逐渐趋近某一个常数或无穷大。
常用极限记号lim表示。
5. 数列极限的性质数列极限的性质有极限唯一性、有界性、保号性和运算性。
其中，极限唯一性指数列只有一个极限值；有界性指数列的极限值必然在某个范围内；保号性指极限值与数列中的数符号一致；运算性指可以对数列进行四则运算。
6. 数列极限的计算方法常用的计算数列极限的方法有夹逼定理、单调有界原则、极限四则运算法则、换元法等。
7. 应用题高一数学第十章还会涉及一些数列极限的应用题。
这些应用题可以通过数列的性质和计算方法来解决。
综上所述，高一数学第十章主要介绍了数列与数列的极限。
了解数列的基本概念、等差数列和等比数列的特点，掌握数列极限的计算方法和性质，以及运用这些知识解决应用题，对于提高数学综合能力和解题能力都具有重要意义。
通过不断练习和巩固这些知识，可以为今后的学习打下坚实的基础。
人教B版高中数学必修一第10课时.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第10课时 函数的表示方法课时目标1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．识记强化函数的表示法．表示函数常用的三种方法为解析法、图象法、列表法．(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫解析法．(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫图象法．(3)列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫列表法．课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米答案：A解析：该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤102mx －10m ，x ＞10.由y ＝16m ，可知x ＞10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13. 2．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了a km ，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了b km(b ＜a )，再折回匀速前进c km ，则此人距起点的距离s 与时间t 的关系示意图正确的是( )答案：C解析：注意理解两坐标轴s ，t 的含义，这里s 是指距起点的距离，不是路程的累加，结合题意可知C 符合. 故选C.3．y 与x 成反比，且x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式( )A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x答案：C解析：y ＝k x，x ＝2，y ＝1，∴k ＝2，故选C. 4．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x (x ＞0)B ．y ＝100x (x ＞0)C ．y ＝50x (x ＞0)D ．y ＝100x(x ＞0) 答案：C解析：依题意，得100＝x ＋3x 2·y ，即y ＝50x .又x ＞0，则所求函数解析式为y ＝50x(x ＞0)．故选C.5．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1 答案：B解析：令1x ＝t ，则x ＝1t ，f (t )＝1t 1－1t＝1t －1， ∴f (x )＝1x －1，故选B. 6．设f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝x ＋3，则f (1)等于( )A ．2B ．4C.23D.43答案：A解析：令x ＝±1，得f (－1)＋2f (1)＝4，f (1)＋2f (－1)＝2，消去f (－1)，得f (1)＝2.二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．设f (x )＝x 2，g (x )＝2x －1，则f [g (0)]＝________.答案：1解析：g (0)＝－1，∴f [g (0)]＝f (－1)＝1.8.如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是________，这个函数的定义域为________．答案：V ＝x (a －2x )2 {x |0＜x ＜a 2} 解析：据长方体的体积公式，易得V ＝x (a －2x )2，其中0＜x ＜a 2. 9．若2f (1x)＋f (x )＝x (x ≠0)，则f (x )＝________. 答案：23x －x 3(x ≠0) 解析：用1x 代换x ，得2f (x )＋f (1x )＝1x .解方程组⎩⎨⎧2f (1x )＋f (x )＝x 2f (x )＋f (1x )＝1x，得f (x )＝23x －x 3.故填23x －x 3(x ≠0)． 三、解答题(本大题共4小题，共45分) 10．(12分)把长为l 的铁丝弯成下部为矩形ABCD ，上部为半圆形的框架(如图所示)，若AB ＝2x ，求此框架围成的平面图形的面积y 与x 的函数关系式y ＝f (x )，并求其定义域．解：设AB ＝2x ，则CD ＝πx .于是AD ＝l －2x －πx 2. ∴y ＝2x ·l －2x －πx 2＋πx 22＝－π＋42x 2＋lx . 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，l －2x －πx 2>0，解得0<x <l 2＋π. ∴函数的定义域为⎝⎛⎭⎫0，l 2＋π.11．(13分)由给定条件求下列解析式：(1)已知f (x )＝x 2，求f (2x ＋1)；(2)已知f (x －1)＝x ＋2x ，求f (x )．解：(1)因为f (x )＝x 2，所以f (2x ＋1)＝(2x ＋1)2＝4x 2＋4x ＋1.(2)方法一(拼凑法) 因为f (x －1)＝x ＋2x ＝(x －1)2＋4(x －1)＋3，而x －1≥－1，所以f (x )＝x 2＋4x ＋3(x ≥－1)．方法二(换元法) 令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，且t ≥－1.所以f (t )＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)＝t 2＋4t ＋3，即f (x )＝x 2＋4x ＋3(x ≥－1)．能力提升12．(5分)函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (ab ≠0)的图象只可能是( ) 答案：D解析：由a 的符号排除B 、C ，又A 中y 轴为抛物线的对称轴，即b ＝0，也应排除．13．(15分)(1)已知f (x )＋2f (－x )＝x ＋1，求f (x )的解析式；(2)设f (x )是R 上的函数，且f (0)＝1，并且对任意实数x 、y 都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．解：(1)∵f (x )＋2f (－x )＝x ＋1，∴f (－x )＋2f (x )＝－x ＋1.于是得关于f (x )的方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f (－x )＝x ＋1，2f (x )＋f (－x )＝－x ＋1. 解得f (x )＝－43x ＋13. (2)解法一：由f (0)＝1，f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，设x ＝y ，得f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)．因为f (0)＝1，所以f (x )－x (2x －x ＋1)＝1，即f (x )＝x 2＋x ＋1.解法二：令x ＝0，得f (0－y )＝f (0)－y (－y ＋1)，即f (－y )＝1－y (－y ＋1)．又令－y ＝x ，代入上式得：f (x )＝1－(－x )(x ＋1)＝1＋x (x ＋1)，∴f (x )＝x 2＋x ＋1.。
高一上册数学知识点全面总结及详细解析2024版
高一上册数学知识点全面总结及详细解析2024版引言高一上册数学是高中数学学习的基础阶段，涵盖了代数、几何、函数等多个方面的知识点。
本文将对这些知识点进行详细总结，帮助学生更好地掌握和应用这些知识。
第一章：集合与函数1. 集合的概念集合的定义与表示方法：集合是指某些确定的、不同的对象的全体。
常用大写字母表示集合，小写字母表示集合中的元素。
集合的表示方法有列举法和描述法。
集合的基本运算（并集、交集、补集）：并集是指两个集合中所有元素的集合，交集是指两个集合中共有元素的集合，补集是指全集中不属于某集合的元素的集合。
子集与全集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则A是B的子集。
全集是指包含所有讨论对象的集合。
2. 函数的概念函数的定义与表示方法：函数是指两个集合之间的一种对应关系，其中每个元素在第一个集合中都有唯一的元素与之对应。
常用符号f(x)表示函数。
函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）：单调性指函数在某区间内是否保持递增或递减，奇偶性指函数是否关于原点对称或关于y轴对称，周期性指函数是否存在一个周期使得函数值重复出现。
反函数与复合函数：反函数是指将原函数的自变量与因变量互换得到的新函数，复合函数是指两个函数的组合。
第二章：基本初等函数1. 一次函数一次函数的定义与图像：一次函数是指形如y=ax+b的函数，其图像是一条直线。
一次函数的性质与应用：一次函数的斜率a决定了直线的倾斜程度，截距b 决定了直线与y轴的交点。
一次函数广泛应用于实际问题的建模与求解。
2. 二次函数二次函数的定义与图像：二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其图像是一条抛物线。
二次函数的性质（顶点、对称轴、开口方向）：二次函数的顶点是抛物线的最高或最低点，对称轴是通过顶点的垂直线，开口方向由系数a的正负决定。
二次函数的应用：二次函数在物理、经济等领域有广泛应用，如抛物运动、利润最大化等问题。
3. 指数函数与对数函数指数函数的定义与性质：指数函数是指形如y=a^x的函数，其图像呈指数增长或衰减。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解82---第十章《概率》单元达标高分突破必刷卷(基础版)
高一数学复习考点知识与题型专题讲解第十章《概率》单元达标高分突破必刷卷(基础版）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．下列事件中，随机事件的个数是（ ）①2022年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④x ∈R ，则x 的值不小于0．A ．1B ．2C ．3D ．42．从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中，是对立事件的是（ ）A ．①B．②④C．③D．①③3．口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件A 为“取到的小球的编号为②”，事件B 为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（ ）A ．A 与B 互斥B ．A 与B 对立C ．6()7P A B +=D ．6()7P AB =4．从甲地开车到乙地共有A ，B ，C 三条路线可走，路线A 堵车的概率为0.06，路线B 堵车的概率为0.09，路线C 堵车的概率为0.12，且三条路线是否堵车相互独立，若小李从这三条路线中随机选一条，则堵车的概率为（）A．0.06B．0.09C．0.12D．0.275．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：137 966191 925 271 932 812 458 569 683431 257393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.40B．0.30C．0.35D．0.256．下列说法正确的是（）A．在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率B．掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是对立事件C．甲､乙两人对同一个靶各射击一次，记事件A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则+=“恰有一人中靶”A BD．拋掷一枚质地均匀的硬币，若前3次均正面向上，则第4次正面向上的概率小于12 7．袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）A ．19 B ．318 C ．29 D ．5188．中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气歌”是以“春､夏､秋､冬”开始的四句诗，2016年11月30日，“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国古代第五大发明”.从某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有45人，能说出三句或三句以上的有32人，据此估计从该校一年级学生中抽取一人，对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的概率约为（ ）A ．0.45B ．0.32C ．0.23D ．0.77二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
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高一数学同步辅导教材（第10讲）一、本讲教学进度2.4 反函数二、教学内容1．反函数2．互为反函数的函数图像间的关系★3．常见的几种图形变换三、重点、难点剖析1.反函数(1)如函数y＝f(x)存在反函数，则f(x)对应的映射f:A→B必须满足两个条件：①B中的每一个元素在A中都有原像；②B中的每一个元素在A中的原像只有一个，（即要求映射f:A→B是一一映射.(2) 原函数与其反函数互为反函数．如一个函数存在反函数，常常通过求其反函数的定义域来求这个函数的值域．(3) 求一个函数的反函数一般分为三步：①用y表示x，将y＝f(x)变形为x＝f -1(y)；②将x＝f -1(y)中的字母x、y互换，改写成y＝f -1(x)；③由y＝f (x)的值域得y＝f -1(x)的定义域．例１给出下列函数的图像，判断其中哪些函数存在反函数：素在定义域中的原像是否唯一，也即对y＝f(x)来讲，必须有“x1≠x2 f(x1)≠f(x2)”.从图像上看，要求所有与y轴垂直的直线和函数的图像最多只有一个公共点．解作与y轴垂直的直线(图中均用虚线表示)，可见(1)、(3)不满足直线与图像最多只有一个公共点的条件，所以存在反函数的是y＝f2(x)和y＝f4(x).评析 (1) 有些函数不存在反函数，如f(x)＝x2(x∈R),但如果适当改变其定义域，变为g(x)＝x2(x ≥0),则g(x)存在反函数．但必须注意，这时的函数g(x)与f(x)的解析式虽然相同，但定义域不同，它们已不是同一个函数了．(2) 由上述方法可见，在定义域上单调增（或单调减）的函数一定存在反函数．当然，存在反函数的函数在其整个定义域上不一定是单调的．例２已知定义在区间(a,b)上的函数y＝f(x)是增函数，求证：(1) f(x)存在反函数；(2) f(x)的反函数y＝f-1(x)在它的定义域上也是增函数．证 (1) 假设对于f(x)的值域中的某个值y0，在f(x)的定义域中有两个不同的值x1、x2使f(x1)＝f(x2)＝y0. ∵x1≠x2．∴必有x1＜x2或x1＞x2.由f(x)在定义域上是增函数，得f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)，都与f (x 1)＝f (x 2)矛盾．所以对于f (x )值域中每一个值，在其定义域中只有唯一的一个值与之对应，由此得f (x )存在反函数．(2) 不妨设f (x )的值域为(m ,n )，即f -1(x )的定义域为(m ,n ).对于任意的y 1＜y 2,如y 1、y 2∈(m ,n ),f-1(y 1)＝x 1，f -1(y 2)＝x 2，则y 1＝f (x 1)，y 2＝f (x 2).如果x 1＞x 2，由f (x )是增函数，则y 1＞y 2，与y 1＜y 2矛盾；如果x 1＝x 2，由函数的定义，必有y 1＝y 2，也与y 1＜y 2矛盾．所以当y 1＜y 2时，必有x 1＜x 2，即f -1(y 1)＜f -1(y 2).也就是说f -1(x )在它的定义域上也是增函数．评析 (1)欲证明函数f (x )存在反函数，也可以证明对于f (x )定义域中任意的x 1和x 2，若x 1≠x 2则f (x 1)≠f (x 2).(2) 同本题类似，可以证明在定义域上的减函数一定存在反函数，且其反函数也是减函数．例３ 求下列函数的反函数： 31x , (x ＜0),(1) f (x )＝2334x －1 (x ≥0)； (2) f (x )＝ 2x ， (0≤x ≤1), x 2－2x ＋3. (x ＞1).解 (1) y ＝2334x －1≥－1 (x ≥0). 由y ＝2334x －1， 得23x ＝43(y ＋1), ∵ x ≥0， ∴ x ＝32)1(43⎥⎦⎤⎢⎣⎡+y , ∴ f -1(x )＝32)1(43⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x (x ≥－1). (2) 当x ＜0，y ＝31x ＜0， x ＝y 3.∴ f -1(x )＝x 3 (x ＜0)．当0≤x ≤1, y ＝2x ∈[0,2], x ＝21y ． ∴ f -1(x )＝21x (0≤x ≤2)． 当x ＞1，y ＝(x －1)2＋2＞2, (x －1)2＝y －2，∵ x ＞1, ∴ x ＝1＋2-y .∴ f -1(x )＝1＋2-x (x ＞2)．x 3, (x ＜0),∴ f -1(x )＝ 21x ， (0≤x ≤2), 1＋2-x ， (x ＞2).评析 (1) 按约定，求一个函数的反函数时，必须注明反函数的定义域．(2) 求一个分段函数的反函数，只需分段求出它的反函数，然后再合成．2. 互为反函数的函数图像间的关系在求一个函数的反函数时，按习惯字母x 表示自变量，y 表示自变量的函数，因此在第二步时将字母x 、y 互换，由此得反函数y ＝f -1(x )．如注意到在直角坐标平面中，若将x 轴和y 轴互换，可以看成是整个坐标平面绕直线y ＝x 翻转180o 而得，从这个角度考虑，就不难理解函数y ＝f (x )和它的反函数y ＝f -1(x )的图像关于直线y ＝x 对称．例４ 求证：函数f (x )＝4274--x x 的图像关于直线y ＝x 对称． 分析 证明一个函数的图像关于直线y ＝x 对称，只要证明图像上任意一点P 关于直线y ＝x 的对称点P 也在图像上，或证明函数y ＝f (x )的反函数f -1(x )即f (x )本身．证１ 设y ＝f (x )的图像上有一点P (a ,b )，则b ＝f (a )＝4274--a a .P 点关于直线y ＝x 的对称点为P (b ,a ).∵ 2ab －4b ＝4a －7, ∴ a ＝4274--b b , 即 a ＝f (b ).由此点P (b ,a )也在函数y ＝f (x )的图像上，所以函数y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称．证2 由f (x )＝4274--x x (x ≠2)， ∵ y ＝2＋421-x , ∴ y ≠2. 又y －2＝421-x , 2x －4＝21-y ，x ＝21(21-y ＋4)＝4274--y y , ∴ f -1(x )＝4274--x x (x ≠2)， f -1(x )＝f (x )． ∵ y ＝f (x )与y ＝f -1(x )的图像关于直线y ＝x 对称．∴ y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称．例５ (1) 已知f (x －2)＝x 2－4x ＋6 (x ≤2),求f -1(3)；(2) 已知点(2,3)在函数f (x )＝b ax +的图像上，又在其反函数的图像上，求f (x )的解析式．解 (1) ∵ f (x －2)＝(x －2)2＋2， x ≤2．∴ f (x )＝x 2＋2 （x ≤０）．设f -1(3)＝x ，则f (x )＝3.x 2＋2＝3, x 2＝1.∵ x ≤0, ∴ x ＝－1,即f -1(3)＝－1. 3＝b a +⋅2, 2a ＋b ＝9, 2＝b a +⋅3, 3a ＋b ＝4.∴ a ＝－5,b ＝19， f (x )＝x 519-.评析 (1) 本题(1)也可以先求出f -1(x )＝－2-x ，再计算f -1(3)＝－23-＝－1.(2) 本题(2)中（2,3）在f -1(x )的图像上，即f -1(2)＝3,由此得出f (3)＝2.*3. 常见的几种图像变换(1) 平移变换① y ＝f (x －a )的图像，当a ＞0时，可以由y ＝f (x )的图像向右平移a 个单位得到；当a ＜0时，可以由y ＝f (x )的图像向左平移|a |个单位得到．② y ＝f (x )＋b 的图像，当b ＞0时，可以由y ＝f (x )的图像向上平移b 个单位得到；当b ＜0时，可以由y ＝f (x )的图像向下平移|b |个单位得到．(2) 对称变换① y ＝－f (x )的图像与y ＝f (x )的图像关于x 轴对称；② y ＝f (－x )的图像与y ＝f (x )的图像关于y 轴对称；③ y ＝－f (－x )的图像与y ＝f (x )的图像关于原点对称；④ 若f -1(x )存在，y ＝f -1(x )的图像与y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称；⑤ 若对于定义域中的一切x ，有f (a －x )＝f (a ＋x ),y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称；⑥ y ＝|f (x )|的图像，是使y ＝f (x )的图像在x 轴上方部分及x 轴上的点保持不变，将其在x 轴下方部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方；⑦ y ＝f (|x |)的图像，是除去y ＝f (x )的图像在y 轴左边部分，使该图像在y 轴右边部分和y 轴上的点保持不变，并根据偶函数的性质，再将y ＝f (x )的图像在y 轴右边部分以y 轴为对称轴翻折到y 轴左边.例６ 已知f (x )＝x 2－2x ，画出下列函数的图像：(1) y ＝f (x ＋1)； (2) y ＝f (x )＋1； (3) y ＝f (－x )； (4) y ＝－f (－x )； (5) y ＝|f (x )|； (6) y ＝f (|x |)．分析 当然可以分别求出这些函数的解析式再画图像，这里运用图像变换画出它们的图像．(2) 由已知，得解 f (x )＝(x －1)2－1，其图像是顶点在(1,－1),开口向上的一条抛物线．练 习一、选择题1. 若f (x )＝x 2＋2x ＋4的定义域是[0,＋∞),则f -1(x )的定义域是（ ）Ａ. [4,＋∞) Ｂ. [3,＋∞) Ｃ. [0,＋∞) Ｄ. [－1,＋∞)2. 下列函数中,存在反函数的是（ ）Ａ. y ＝112+x Ｂ.y ＝2－12-x Ｃ. x 2＋1, (x ≥0), Ｄ.y ＝5x -3y ＝2x ＋3，（x ＜0)3. 函数f (x )＝412-x ＋3 （x ≥1）的反函数是（ ）Ａ.y ＝21(x －3)4＋21 (x ≥4) Ｂ.y ＝21(x －3)4＋21 (x ≥3) Ｃ.y ＝21(x －3)2＋1 (x ≥4) Ｄ.y ＝21(x －3)4＋1 (x ≥3) 4. 已知函数y ＝f (x )存在反函数，则下列命题中假命题是（ ）Ａ. 函数y ＝f (x )与x ＝f -1(y )是同一个函数Ｂ. 若y ＝f (x )是奇函数，则y ＝f -1(x )也是奇函数Ｃ. y ＝f (x )与x ＝f (y )的图像关于直线y ＝x 对称Ｄ. 若y ＝f (x )在[0,＋∞)上是增函数，则y ＝f -1(x )在[0,＋∞)上也是增函数5. 已知函数y ＝f (x )的反函数为y ＝g (x )，函数y ＝ϕ(x )的图像与y ＝g (x )的图像关于 原点对称，则y ＝ϕ(x )的图像与y ＝f (x )的图像（ ）Ａ. 关于直线x －y ＝0对称 Ｂ. 关于直线x ＋y ＝0对称Ｃ. 关于x 轴对称 Ｄ. 关于y 轴对称6. y ＝112--x x 的图像可以由函数y ＝x1的图像经过下面的变换得到（ ） Ａ. 沿x 轴向右平移1个单位，再沿yＢ. 沿x 轴向右平移1个单位，再沿y Ｃ. 沿x 轴向左平移1个单位，再沿y Ｄ. 沿x 轴向左平移1个单位，再沿y二、填空题7. 若y ＝x ＋a 与y ＝bx －2互为反函数，则 8. 若y ＝g (x )的图像与函数f (x )＝xx 21- 9. 函数f (x )＝31+x －2 (x ≤0) 10. 若点(－1,0)在函数f (x )＝(x ＋a )2＋b (x 上，则f (x )＝ ．三、解答题 11. 已知函数y ＝f (x )的图像如图12－3 求：(1) 函数y ＝f (x )的解析式；(2) 函数y ＝f -1(x )的解析式；(3) y ＝f -1(x )的定义域和值域． 12. 已知f (x )＝112++x x (x ≠－1)，求：(1) f -1(1),f -1(3)； (2) f [f -1(3)],f -1[f (3)]； (3) f [f -1(x )],f -1[f (x )].答 案 与 提 示[答案]一、 Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ｂ Ａ二、 7. 2, 1 8. x211- 9. f -1(x )＝(x ＋2)3－1 (x ≤－1) 10. x 2－1 (x ≤0) 三、11. 21x ， （－2≤x ＜0）, 2x ， （－1≤x ＜0）,2－2x ， （0≤x ≤1）, 1－21x ,（0≤x ≤2）． (3) 定义域为[－1,2],值域为[－2,1].12. (1) f -1(1)＝0, f -1(3)＝－2；(2) f [f -1(3)]＝3, f -1[f (3)]＝3；(3) f [f -1(x )]＝x (x ≠2), f -1[f (x )]＝x (x ≠1).[提示]一、 1. f (x )＝(x ＋1)2＋3≥4 (x ≥0)．4. y ＝f -1(x )在[0,＋∞)上不一定都有意义．二、 9. f (x )＝31+x －2≤－1 (x ≤0).10. 将(－1,0)和(0,－1)分别代入y ＝(x ＋a )2＋b .三、11. (2) 可以作出y ＝f -1(x )的图像再求f -1(x )，也可以分段求出f -1(x )再合成．12. (1) 1＝112++x x ，x ＝0，f -1(1)＝0. 3＝112++x x ，x ＝－2，f -1(3)＝－2.或求出 f -1(x )＝xx --21再求值． (3) y ＝2－11+x ≠2, x ＝yy --21, f -1(x )＝x x --21 (x ≠2)． f [f -1(x )]＝1)(1)(211++--x f x f ＝121212+-+--⋅xx x ＝)2()1()2()1(2x x x x -+--+-＝x (x ≠2)． f -1[f (x )]＝)(21)(x f x f --＝11221112++--++x x x x ＝)12()1(2)1()12(+-++-+x x x x ＝x (x ≠－1)．(1) f (x )＝ (2) f -1(x )＝。