在职研究生数学 概率统计原理小抄终极版
河北省考研数学复习资料概率统计重点知识总结
河北省考研数学复习资料概率统计重点知识总结概率统计是数学中的一个重要分支，它研究随机事件发生的概率以及对概率分布进行统计推断的方法。
在河北省考研数学复习中，概率统计是一个重点内容。
下面我将为大家总结一些概率统计中的重要知识点，希望对大家的复习有所帮助。
1. 概率的基本概念概率是一个随机事件发生的可能性大小的度量。
它可以用一个介于0和1之间的数来表示，0表示不可能事件，1表示必然事件。
概率的计算可以通过古典概率、几何概率和统计概率等方法进行。
2. 事件的关系与运算一般事件的关系与运算有包含、相等、互斥和对立等。
包含关系表示事件A发生必定导致事件B发生；相等关系表示事件A和事件B具有相同的结果；互斥关系表示事件A和事件B不可能同时发生；对立关系表示事件A和事件B中只有一个发生。
这些关系和运算在实际问题中有着重要的作用。
3. 随机变量与概率分布随机变量是对随机事件结果的数量化描述。
它可以是离散型随机变量或连续型随机变量。
离散型随机变量的概率分布由概率质量函数表示，连续型随机变量的概率分布由概率密度函数表示。
概率分布可以用来描述随机变量的取值情况和对应的概率。
4. 重要概率分布4.1 二项分布二项分布描述了在n个相互独立的伯努利试验中，成功事件发生k次的概率分布。
它的概率质量函数可以用公式P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)表示，其中n表示试验次数，k表示成功次数，p表示每次试验成功的概率。
4.2 正态分布正态分布是一种常见的连续型概率分布，也被称为高斯分布。
它的概率密度函数呈钟形曲线，并且具有对称性。
正态分布在统计推断中具有重要的作用，很多自然现象和随机变量都可以近似地服从正态分布。
正态分布可以由均值μ和方差σ^2来完全描述。
4.3 泊松分布泊松分布描述了在一定时间或空间单位内，事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数可以用公式P(X=k)=e^(-λ)(λ^k)/k!来表示，其中λ表示单位时间或空间内事件的平均发生率。
(完整word版)概率论与数理统计知识点总结(良心出品必属精品)
（14）独 立性
P(B | A) P( AB) P( A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与
B 也都相互独立。 必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
F(x1) F (x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
x
x
4° F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；
5° P(X x) F(x) F(x 0) 。
对于离散型随机变量， F(x) pk ； xk x x
n
A Bi
2°
， i1
（15）全 概公式
则有 P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。
全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公
式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某
事件的概率，就用全概率公式；
不发生的事件。
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不
可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基
本事件是互不相容的。
..
2
.. -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。 它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
当 AB 独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB) （11）减
概率统计知识点总结考研
概率统计知识点总结考研概率统计是数学的一个分支，它研究的是随机现象的规律性和数量关系，因此在现代世界中具有非常重要的地位。
在考研数学中，概率统计是一个重要的知识点，涉及到的内容非常丰富，包括概率基本概念与分类、条件概率、独立性、期望与方差、离散型随机变量、连续型随机变量、常用分布、大数定律和中心极限定理、参数估计与假设检验等等。
本文将就以上内容进行总结，以便广大考研学子能够更好地掌握概率统计知识。
一、概率基本概念与分类1.1 概率的基本概念概率是描述事物出现的可能性的一种数值。
在现实生活中，随机现象是普遍存在的，其结果的确定是不可预测的，因此需要用概率来描述随机现象的规律性。
概率的计算公式为P(A)=N(A)/N(S)，其中P(A)为事件A发生的概率，N(A)为事件A发生的次数，N(S)为随机试验的次数。
概率的性质包括非负性、规范性、可列可加性和互斥事件概率的加法规则等。
1.2 概率的分类根据随机试验的结果空间和概率分布的不同，概率可分为等可能概率、经典概率、几何概率、条件概率和伯努利概率等。
每种概率都具有其特定的应用场景和计算方法。
二、条件概率、独立性2.1 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
其计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)。
条件概率的计算方法在实际问题中具有重要的应用价值，如生病的概率、考试的概率等。
2.2 独立性两个事件A与B独立，是指事件A的发生与B的发生互相独立，不影响彼此。
可用P(AB)=P(A)P(B)来计算两个事件的独立性。
在实际问题中，独立事件具有较强的应用性，如掷硬币、抛骰子等。
三、期望与方差3.1 期望期望是随机变量取值的平均数，它是描述一个随机变量平均水平的数值，也被称为均值。
离散型随机变量的期望计算公式为E(X)=∑X*P(X)，连续型随机变量的期望计算公式为E(X)=∫xf(x)dx。
3.2 方差方差是随机变量取值与其期望之差的平方的数学期望，用以描述随机变量取值的离散程度。
考研概率统计必须掌握核心知识点
考研概率统计必须掌握核心知识点●离散分布●二项分布●E(X)=np●D(X)=np(1-p)●泊松分布●E(X)=\lambda●D(X)=\lambda●几何分布●E(X)=\frac{1}{p}●D(X)=\frac{1-p}{p^2}●超几何分布●E(X)=\frac{nM}{N}●连续分布●均匀分布●E(X)=\cfrac{b+a}{2}●D(X)=\cfrac{(b-a)^2}{12}●指数分布●E(X)=\cfrac{1}{\lambda}●D(X)=\cfrac{1}{\lambda ^2}●正态分布●E(X)=\mu●D(X)=\sigma ^2●二维●联合分布函数●边缘分布函数●条件分布函数●随机变量函数分布●公式法（绝对单调）●分布函数法●数字特征●期望的性质●E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx 绝对收敛●E(c)=c●E(cX)=cE(X)●E(X+Y)=E(X)+E(Y)●若XY独立，E(XY)=E(X)E(Y)●方差的性质●D(X)=E(X^2)-E^2(X)●D(c)=0●D(cX)=c^2D(X)●D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abCov(X,Y)●若XY独立，D(XY)=D(X)D(Y)+D(X)E^2(Y)+D(Y)E^2(X) \geqslantD(X)D(Y)●若 D(X) 存在，D(X)=E[(X-E^2(X))^2] \leqslant E((X-c)^2)●协方差●Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)●Cov(X,X)=D(X)●Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)●Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)●XY独立时，协方差=0●Cov(X,c)=0●相关系数●\rho _{x,y} =\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}●\rho _{x,y}=0 \iff Cov(X,Y)=0 ，XY不相关●规范性：| \rho _{x,y} | =1的充要条件为存在线性关系●Y=aX+b 且 a>0 ， \rho _{x,y} =1●Y=aX+b 且 a<0 ， \rho _{x,y} =-1●独立与不相关●XY独立，则一定不相关：反之，不成立●XY的联合分布是二维正态分布，XY独立的充要条件是XY不相关●XY都服从0-1分布，XY独立的充要条件是XY不相关●XY不相关 \iff Cov(X,Y)=0 \iff E(XY)=E(X)E(Y) \iff D(X\pmY)=D(X)+D(Y)●大数定律●切比雪夫不等式●P\{ | X - \mu |\geqslant \epsilon \} \leqslant\ \frac{\sigma ^2}{\epsilon^2}●P\{ | X - \mu | < \epsilon \} \leqslant\ 1-\frac{\sigma ^2}{\epsilon ^2}●伯努利大数定律n_A是n重伯努力实验中A事件的发生次数，P(A)=p●\lim\limits_{n \to \infty} P\{ | \frac{n_A}{n}-p| < \epsilon \} =1●切比雪夫大数定律独立，存在期望和方差，且方差有界●\lim\limits_{n \to \infty} P\{ | \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}X_k-\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}E(X_k)| < \epsilon \} =1●辛勤大数定律独立且同分布，期望存在E(X_i)=\mu●\lim\limits_{n \to \infty} P\{ | \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}X_k-\mu| < \epsilon \} =1●中心极限定律●列维-林德伯格中心极限定理独立，同分布，期望方差存在●\lim\limits_{n \to \infty} P\{ \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sqrt{n} \sigma} \leqslant x \} = \phi(x)●棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为其极限分布定理）Y_n \sim B(n,p)●\lim\limits_{n \to \infty} P\{ \frac{Y_n-np}{\sqrt{npq} } \leqslant x \} =\phi(x)●抽样分布●卡方分布●\chi^2 = X_1^2+X_2^2+……+X_n^2服从自由度为n●可加性：●\chi_1^2 \sim \chi^2(n_1)，\chi_2^2 \sim \chi^2(n_2)，相互独立●\chi_1^2 + \chi_2^2 \sim \chi^2(n_1+n_2)●E(\chi^2)=n，D(\chi^2)=2n●t分布●X \sim N(0,1) ，Y\sim\chi^2(n)，独立●t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}服从自由度为n的t分布●X \sim t(n)，f(x) 为偶函数●X \sim t(n) ，n充分大时，X近似服从N(0,1)●X \sim t(n)，E(X)=0，D(X)=\frac{n}{n-2}●F分布●U\sim\chi^2(m),V\sim\chi^2(n)且UV独立●F=\frac{U/m}{V/n} ，F \sim F(m,n)●X \sim F(m,n) ，\frac{1}{X} \sim F(n,m)●X\sim t(n)， X^2 \sim F(1,n)●●参数估计●点估计●矩估计法●E(X)=\overline{X}●最大似然估\sum\limits_{i=1}^{n}●写似然函数L( \theta ) = \prod\limits _{i=1}^{n}f(x_i;\theta)●取对数●求导●最大似然估计量用大写，最大似然估计值用小写●无偏性 E(\hat{\theta})= \theta●有效性 D(\theta_1)<D(\theta_2)●一致性 \lim\limits_{n \to \infty} P\{ | \hat{\theta}-\theta | \leqslant\epsilon \} = 1●区间估计●\mu构造统计量●\sigma^2 未知，Z=\cfrac {\overline{X}-\mu}{\sigma/ \sqrt{n}} \simN(0,1）●\sigma^2已知，Z=\cfrac {\overline{X}-\mu}{S/ \sqrt{n}} \sim t(n-1)@\sigma^@Z=\cfrac {\overline{X}-\mu}{S/ \sqrt{n}} \sim t(n-1)●\sigma^2构造统计量●\mu未知，\cfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)●\mu已知，\cfrac{1}{\sigma^2} \sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\sim \chi^2(n)●置信区间●假设检验●过程●提出假设H_0和备择假设H_1●构建检验统计量●写出拒绝域●双边检验●单边检验●判断●= 必须在H_0中●双正态总体均值之差的检验●\sigma_1^2,\sigma_2^2已知●Z=\cfrac{ \overline{X} -\overline{Y} }{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)●未知，但相等●t=\cfrac{ \overline{X} - \overline{Y} }{S_W\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1+n_2)●S_W=\sqrt{\cfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}。
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生 B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk k nk k A P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk k nk k A P A P 11)()( （n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥（iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ §4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A 包含k 个基本事件，即}{}{}{2]1ki i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑=§5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率 （2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
考研数学概率论32个常考知识点1500字
考研数学概率论32个常考知识点1500字概率论是数学中的重要分支之一，也是考研数学中的重要部分。
在考研数学概率论中，有一些常考的知识点需要掌握。
以下是32个常考的概率论知识点：1. 概率的定义和基本性质：概率是指事件发生的可能性，介于0和1之间。
2. 事件之间的关系：包括事件的和、差和积等。
3. 随机事件的分类：包括必然事件、不可能事件、简单事件和复合事件等。
4. 古典概型：指的是由有限个等可能的基本事件组成的样本空间。
5. 频率的概念：频率是指某个事件出现的次数与试验次数的比。
6. 相对频率的概念：相对频率是指某个事件出现的次数与试验次数的比。
7. 随机变量的定义：随机变量是指将样本空间映射到实数的函数。
8. 离散型随机变量和连续型随机变量：根据随机变量的取值是否为有限个或可排多数的情况进行分类。
9. 随机变量的概率分布：指的是随机变量各取值的概率。
10. 随机变量的期望：期望是指随机变量取各值的加权平均值。
11. 随机变量的方差：方差是指随机变量与其期望之差的平方的期望。
12. 切比雪夫不等式：切比雪夫不等式是指随机变量距离其期望的距离小于等于标准差的k倍的概率不小于1-1/k^2。
13. 二维随机变量的联合分布：二维随机变量的联合分布指的是两个随机变量同时取某些值的概率。
14. 边缘分布：边缘分布是指从联合分布中得到的各个边缘概率分布。
15. 条件分布：条件分布是指在给定某个条件下的随机变量的概率分布。
16. 独立性：独立性是指两个随机变量的联合概率分布等于边缘概率分布的乘积。
17. 二项分布：二项分布是指n个相互独立的重复试验中成功次数的概率分布。
18. 泊松分布：泊松分布是指单位时间内随机事件发生次数的概率分布。
19. 几何分布：几何分布是指在独立重复试验中，第一次成功时进行的试验次数的概率分布。
20. 均匀分布：均匀分布是指一个区间内每个点的概率相等。
21. 指数分布：指数分布是一个连续型概率分布，描述时间的间隔。
贵州省考研数学专业复习资料概率与统计重点知识点整理
贵州省考研数学专业复习资料概率与统计重点知识点整理一、随机事件与概率在概率论中，随机事件是一类可以观察但是无法预测具体结果的事件。
概率则是对随机事件发生的可能性进行度量的数值。
1.1 随机事件随机事件是指在一次试验中，不确定具体结果的事件。
以掷硬币为例，正面朝上与反面朝上的结果就是两个随机事件。
1.2 概率的基本性质- 0 ≤ P(E) ≤ 1：概率的取值范围为0到1之间。
- P(S) = 1：样本空间中所有可能结果发生的概率和为1。
- P(E') = 1 - P(E)：事件E的对立事件E'的概率等于事件E未发生的概率。
二、事件的运算与计算在概率论中，我们经常需要对事件进行组合、求和或者求差等运算，以便得到更复杂的事件概率。
2.1 事件的并、交与差- 并：事件A、B的并集，表示为A∪B，即事件A或事件B发生的概率。
- 交：事件A、B的交集，表示为A∩B，即事件A和事件B同时发生的概率。
- 差：事件A、B的差集，表示为A-B，即事件A发生但事件B不发生的概率。
2.2 加法定理加法定理用于计算两个事件的并的概率，即P(A∪B)。
- 对于互斥事件（即A∩B=∅），P(A∪B) = P(A) + P(B)。
- 对于不互斥事件，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
2.3 乘法定理乘法定理用于计算两个事件的交的概率，即P(A∩B)。
- 对于独立事件，P(A∩B) = P(A) × P(B)。
- 对于非独立事件，P(A∩B) = P(A) × P(B|A)。
三、概率分布函数与密度函数概率分布函数和密度函数是对连续随机变量的概率进行描述的函数。
3.1 概率分布函数概率分布函数（Probability Distribution Function，简称PDF）是将随机变量的可能取值映射到对应概率的函数。
具体定义如下：F(x) = P(X ≤ x)，其中X为随机变量，x为实数。
考研概率论知识点总结
考研概率论知识点总结
概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是事件发生的可能性以及事件之间的关系。
在考研中，概率论是一个重要的考察内容，下面我将对概率论的一些知识点进行总结。
我们要了解概率的基本概念。
概率是指某个事件发生的可能性，它的取值范围在0到1之间。
当概率为0时，表示事件不可能发生；当概率为1时，表示事件一定会发生。
概率的计算可以通过频率或者几何概率来进行。
我们要了解概率的运算法则。
概率的运算法则包括加法法则和乘法法则。
加法法则适用于两个事件互斥的情况，即两个事件不可能同时发生；乘法法则适用于两个事件独立的情况，即两个事件的发生与否相互独立。
接下来，我们要了解条件概率的概念。
条件概率是指在已知某个条件下某个事件发生的概率。
条件概率的计算可以通过乘法法则来进行。
我们还要了解独立事件和互斥事件的概念。
独立事件是指两个事件的发生与否相互独立，即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生；互斥事件是指两个事件不可能同时发生，即一个事件的发生会排除另一个事件的发生。
我们还要了解概率分布和期望值的概念。
概率分布是指随机变量取
各个值的概率分布情况；期望值是指随机变量的平均值，可以通过概率分布和随机变量的取值来计算。
概率论是数学中的重要分支，它研究的是事件发生的可能性以及事件之间的关系。
在考研中，我们需要了解概率的基本概念、概率的运算法则、条件概率、独立事件和互斥事件、概率分布和期望值等知识点。
通过对这些知识点的深入学习和掌握，我们可以更好地理解概率论的基本原理和应用，为考研取得好成绩打下坚实的基础。
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V (X )=V (X )+V (Y) 2
独立性不能通过相关性来判定，应从独立性的定义来判断若X、Y独立，则2 =0
给一题：给联合密度 ，求E(X)、E(Y)、E(X*Y)，V(X)、V(Y)、 、 、V(5X-3Y)。
【用 = （ 为函数， 为密度最方便，注意求 时务求极尽，即须从- ，而求密度时则分区域，且积分中可以用到奇偶函数的性质】
离散型：
二位随机变量独立充要条件:连续型: 离散型: (用到x、y的2.由公式:V(X)=E(X)2 [E(X)]2性质:V(X)=1E(X)=0 （或变F为定义P）
期望： 函数期望Y = g(X)：连续型： 离散型：
二项B(n,p)：E(X)=npV(X)=p(1-p)；泊松P()：E(X)=V(X)=；指数E()： = E(X)= V(X)=
查表时,除了N(0,1),查的是x左面区域的概率之外,其他的泊松、卡方、t、F分布都是x右边区域的概率。
区间估计:1：正态期望u区间估计三步：
（2）、利用 查正态表知 值
（3）、得出正态期望的范围
（注意 只是一个对应于标准正态代表位置的数值）
方差2未知：（1）、求出 , 画出置信区间,写出小区域概率值a/2.（样本方差： ）
标准正态分布: ~ 单个正态分布的平方是自由1的卡方分布(此性质在F分布中可用到)
卡方分布: 自由度n为随机变量平方的个数
t分布: 形式: X正态,Y卡方,自由度由 内变量卡方分布 的卡方自由度确定n的值
F分布: 形式: 或 ,每个 标准正态
N无穷大时,t趋于正态(0,1)自由度为上面的标准正态平方的个数/下面的标准正态平方的个数,写作
,则
(因为独立，所以 ，把y替换为含x、z的函数，式子上下限是x的值，注意根据y的范围确定a、z的新区域，并分别讨论)
由联合密度求联合分布直接双重积分： 反过来双微分：
由联合密度求边缘密度（连续型）：若知联合密度 ，则 从而有： （+-无穷再具体为y的范围，含的x则作常数看并最终讨论x的区域）
由联合分布求边缘分布（连续型）：若知联合分布 ，则 即令y=+ （定义）
单个正态 可以看作自由度为1的卡方分布;T分布的平方可看做F分布;此类题步骤:1根据形状确定分布类型.2数个数确定自由度
矩估计:把一个样本看作是总体,求出其期望和方差.利用公式 ,得出以 表达的, 为样本测值,可看作已知; =E(X2) [E(X)]2 可做已知量，注意分母是n（n阶矩估计）
最大似然估计:（即对函数某个未知量进行估计）根据密度 ,求 对 或 的 求导令其=0,求出 或 、
方差：V(X) =E[X E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2V (X )=V (X )+V (Y)
标准化： 连续分布函数： = （注意有绝对值）
二维随机变量的期望,由联合密度,对一个变量微分求边缘密度,再用 E(XY)=E(X)*E(Y)
最值: * 用Z取代各x、y； 即1-都大于z的概率
关于X、Y的函数z= 的期望：戴入 = （ 为函数， 为密度，利用此公式可以直接由 求 、 ，即将Z看作z=x，两次积分）
2、方差2未知令 卡方 则接受
检验方差H0：2=02令
结果对，却拒绝了 ，称弃真，又称第一类错误；结果错，却接受了 ，称取伪，第二类错误
二维连续Z=X+Y.的函数分布
变为x、z（或y、z）的函数，根据y的范围注意讨论z与x在某几区域上，对于x来说由于x的上下限不同, 是不一样的。
结论:
1、若 正态分布,则
如：
2、设X ~ P(1),Y ~ P(2),且独立，Z=X + Y ~ P(1+2)的泊松分布。
线性和的分布：Z = aX + bY
（2）、利用 查t（n--1）表知 值
（3）、得出正态期望的范围
2：正态方差2区间估计：置信区间 ，构造卡方分布，右区域，求出
未知2区间估计：= 卡方查表知 、
假设检验：检验期望，
1、方差2已知给出小概率事件显著水平a（a其实是概率值）已知
（ 为题目已知， 待检验）
2、在 成立下，令 正态
，若 ，则小概率事件未发生，接受