北京市西城区2016年高三一模数学理试题含答案
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷-理数-含答案
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2017.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =-≤，那么AB =（A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤ （C ）{|10}x x -<≤（D ）{|12}x x <≤2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x = （C ）2xy =（D ）sin y x x =+3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x ±= （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 （A ）3（B ）（C ）6（D ）6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是 （A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]-（D ）(,1][1,)-∞-+∞8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是 （A）1] （B ）[1,3] （C）1,2] （D）1]第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____．10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．13．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤ 其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ， 90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数； （Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．18．（本小题满分13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）数字1,2,3,,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ； （Ⅱ）求集合nn A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；63 11． 3-12 13[4,9) 14．16 注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ω==, 解得 1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为 7π12x ≤≤0，所以 ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为2-． [13分]解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥， [ 1分]又因为 AB PA ⊥，所以 AB ⊥平面PAD ． [ 3分] 所以 平面PAD ⊥平面ABCD ． [ 4分] （Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ． [ 5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为 //BC AD ，12BC AD =，所以 //BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ． [7分]又 BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ． [ 8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 9分] 设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ． 所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=． 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ． [11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ， 解得 1a =． [13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． [ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3． [ 4分]4711(0)35C P X ===； 133447C C 12(1)35C P X ===； 223447C C 18(2)35C P X ===； 3447C 4(3)35C P X ===． [ 8分] 所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =． [13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， [ 1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-． [ 2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以 (1)1f '=-， 即 11a -=-， [ 3分] 所以 2a =． [ 4分] （Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以 对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥． [ 6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以 11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥． [ 8分] 令 ()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-． [10分] 因为 (0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以 (0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=． [12分] 所以 1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±， 所以||AB = [ 2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3， [ 4分]所以 △MAB面积的最大值是2． [ 5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而 2224t n +=． [ 6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±． [ 7分]直线MA 的方程为 00()y ny n x t x t--=--， [ 8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而 000ty nx OE y n-=-． [ 9分]直线MB 的方程为00()y ny n x t x t++=--， [10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而 000ty nx OF y n+=+． [11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222202204242=n y n y y n ---- [13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =． [ 3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤， 所以 ()()i j a i i a j j -+<-+， 所以 i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列，所以{(1,2,3,,)}n A n =． [ 5分]又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤， 都有 i j a i a j ++≤． 所以 (1,2,3,,)n n B ∈， 所以 n n A B ⊆． [ 7分]所以集合nn A B 的元素个数为1． [ 8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤， 所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥， 又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-． 依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =． 所以 11a =．此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个． [10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个． 综上 23111n n b b b b -=+++++，3n ≥． 因为 3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=， [12分] 所以 对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12n n b b -=． 所以 {}n b 成等比数列． [13分]。
2016年1月西城区高三期末理科数学试题及答案..
北京市西城区2015 — 2016学年度上学期期末试卷高三数学（理科）2016.1本试卷分第I 卷和第n 卷两部分，第I 卷I 至2页，第n 卷3至5页，共150 分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效•考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交.第I 卷（选择题共40 分）一、 选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合A 二｛x|x 1｝，集合B ^｛a 2｝，若A 「B 二.一，则实数a 的取值范围是（）（A ） （「:, -1]（ B ） （_：:,1]（C ） [-1, ：：）（ D ） [1,：：）2. 下列函数中，值域为 R 的偶函数是（）（A ） y =x 2 1（ B ） y =e x d （C ） y =lg|x|（ D ） y =；汉1 113. 设命题p ：“若sin ，则 ”，命题q ：“若a . b ，则 "，则（）26a b（A ）" p q ”为真命题 （B ）" p q ”为假命题 （C ）" —q ”为假命题（D ）以上都不对4. 在数列｛a n ｝中，“对任意的n E N *, a^ =a n a n 七”是“数列｛a .｝为等比数列”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（(C ) 20 2 3(D ) 20 2 5y -x W 1,6. 设x , y 满足约束条件 x y < 3,若z=x ，3y 的最大值与7. 某市乘坐出租车的收费办法如下： 不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米 2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于 0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.(A) 16 2 3 (B ) 16 2、、5泸m,最小值的差为7,则实数m =（ )33 1 1 (A )- (B ) --— (D ) 24 4 俯视图侧（左）视图相应系统收费的程序框图如图所示，其中 为行驶里程，y (单位：元)为所收费用，用 最大整数，则图中①处应填()1(A) y =2[x] 4 2 1(B) y =2[x ] 5 2 (C) y =2[x -]42 1(D) y =2[x ] 5 28.如图，正方形 ABCD 的边长为6，点E , F 分别在边AD , BC 上，且DE =2AE , CF =2BF .如果对于常数，，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得PE PF^成立，那么■的取值范围是 ()(A ) (0,7)( B ) (4,7)(C ) (0,4)( D ) (—5,16)第 H 卷 (非选择题共110分)9. ____________________________________________ 已知复数Z 满足z(1 +i) =2 —4i ，那么z =10•在 MBC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.若 A = B , a=3 , c = 2，则 cosC= __________________ .2 211.双曲线C : — _________________ =1的渐近线方程为 ;设F 1, F 2为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点,16 4且 | Ph |=4，则 | PF 2 |= ________ .12. 如图，在 ABC 中，.ABC=90 , AB =3 , BC =4，点O 为BC 的中点，以BC 为 直径的半圆与 AC , AO 分别相交于点 M , N ，则AN =; AM =.MC ------------------13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察， 要求每个兴趣小组的带队教师至、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________ 种.14. 某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：°C )满足函数关系七^0,且该食2 , x>0.品在4「C的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示.给出以下四个结论:D该食品在^C的保鲜时间是8小时;15. (本小题满分13分)已知函数f(x) =cosx(sinx 亠，3cosx) , x ：= R . 2(I)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(n)设.0,若函数g(x)=f(x*)为奇函数，求：•的最小值.16. (本小题满分13分)甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分,未命中目标得0分•两人4局的得分情况如下：甲6699乙79x y(I)若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；(n)如果x = y =7，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，求X的分布列和数学期望；(川)在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值•(结论不要求证明)17. (本小题满分14 分)如图，在四棱锥P _ABCD中，底面ABCD是平行四边形，.BCD =135 ,侧面PAB _底面ABCD，. BAP=90j AB = AC = PA = 2 , E, F分别为BC,AD的中点，点M 在线段PD上.(I)求证：EF —平面PAC ; (n)若M为PD的中点，求证：ME //平面PAB ;(川)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求PM的值.PD218.(本小题满分13分)已知函数f (x)二X -1，函数g(x) = 2t In x，其中t < 1 .(I)如果函数f (x)与g(x)在x 处的切线均为l，求切线l的方程及t的值;(n)如果曲线y = f (x)与y = g (x)有且仅有一个公共点，求t的取值范围.D2 2 —在椭圆C上.19.(本小题满分14分)已知椭圆C二笃=A(a b ■ 0)的离心率为-2，点A(1 a b 2(I)求椭圆C的方程；(n)设动直线I与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点o为圆心的圆，满足此圆与I相交两点P , P2 (两点均不在坐标轴上)，且使得直线OP , OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由•20.(本小题满分13分)在数字12川，n(n》2)的任意一个排列A ：卯a?,川，4中，如果对于i，『，icj , 有a i ■ a j ,那么就称(a,a j)为一个逆序对•记排列A中逆序对的个数为S(A).如n=4 时，在排列B: 3, 2, 4, 1 中，逆序对有(3,2) , (3,1), (2,1) , (4,1)，则S(B)=4.(I)设排列C：3, 5, 6, 4, 1,2，写出S(C)的值；(n)对于数字1 , 2,「•，n的一切排列A，求所有S(A)的算术平均值；(川)如果把排列A：知a2jll, a n中两个数字a「a j(i cj)交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A': b n b2,川，b n，求证：S(A) S(A)为奇数.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1、选择题：本大题共 8小题，每小题 1. A 2. C 5. B6. C二、填空题：本大题共 6小题，每小题9. -1 -3i111. yx21213. 54注：第11，12题第一问2分，第二问 5分，共40分.3 . B 4. B7. D8. C5分共30分.710. 912..13-29 16因为函数g （x ）为奇函数，且R ,三、解答题：本大题共 6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分 15.（本小题满分13分） J 3 (I) 解：f(x) =cosx(si n x ….f 3 cosx) - 丁 =sin x cosx f (2cos 2x -1) 1 • c 3 c sin 2x cos2x 2 2所以函数f （x ）的最小正周期 2n =n . 2由 2k n w 2xW 2kn ■ — , k Z ,2325 nn得 k nw x < k T + —,1212所以函数f(x)的单调递增区间为[“-石，k n+ —] , k - Z .5 nn(注：或者写成单调递增区间为(k n-k n + ) , k ，Z .)12 124分 6分7分9分解：由题意，得 g(x)二 f (x 叱)二sin(2x 2：11分n 所以 2.二川_ k n,Z ,3解得〉k • Z ，验证知其符合题意.2 6 又因为二：0 ,n 所以:-的最小值为—. .......... 13分_16. (本小题满分13分)(I)解：记“从甲的4局比赛中，随机选取 2局，且这2局的得分恰好相等”为事件 A ,2 1由题意，得P(A )二C 7 =_ ,1所以从甲的4局比赛中，随机选取 2局，且这2局得分恰好相等的概率为 -.……4分(H)解：由题意，X 的所有可能取值为13 , 15 , 16 , 18 ,................... 5分所以X 的分布列为:X 13 15 16 18 P3 1 3 1 88883 13 1所以E(X) =13工巴+15疋丄+16工2+18疋丄=15.8 8 8 8 (川)解：X 的可能取值为6 , 7 , 8. 17. (本小题满分14分)(I)证明：在平行四边形 ABCD 中，因为AB =AC , BCD =13引, 所以AB _ AC .由E,F 分别为BC, AD 的中点，得EF//AB , 所以EF _AC因为侧面PAB —底面ABCD ，且• BAP =90® , 所以PA _底面ABCD .又因为EF 底面ABCD , 又因为 PAf] AAC =A , PA 二平面 PAC , AC 二平面 PAC , 所以EF _平面PAC .且 P(XT3)1 P(X 胡5)飞， 3P(X “6)託， 1P(X =18)飞，10分 13分所以 g(0) =0，即 sin(2：.(川)解：因为PA_底面ABCD , AB _AC ，所以AP, AB, AC 两两垂直，故以 AB, AC, AP分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), P(0,0,2), D(£2,0), E(1,1,0)，T —I T所以 PB =(2,0, -2), PD =(-2,2, ~2) , BC =(-2,2,0) , ................... 10 分PM ^^4 设伙=,(,.[0,1])，贝y P^(-2 ,2 ,-2 ),PD所以 M(2,2，,2-2), ME =(1 2，,1—2, ,2，—2), 易得平面ABCD 的法向量m =(0,0,1). ................... 11分设平面PBC 的法向量为n =(x, y, z), 由 n BC =0, n PB =0，得_2x 2y =0,gx —2z =0,令 x =1,得 n =(1,1,1).................... 12 分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等，所以 |cos ：：：ME, m 冃 cos ：：： ME, n |，即 型F m 丨二均F n 丨, (13)分|ME| | m | |ME| |n |. 2九 所以|2' -2円＜1， 解得.3，或.」3(舍)............ 14分^2^218. (本小题满分13分)2t(H)证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以ME//平面PAB. ................... 9分D(I)解：求导，得f (x) =2x , g(X)=2t, (x .0) . .................. 2 分x由题意，得切线I的斜率k=f(1)=g(1)，即k=2t=2，解得t =1. .............. 3分又切点坐标为(1,0)，所以切线I的方程为2x — y—2=0 . ..................... 4分(n)解：设函数h(x) = f (x) -g(x) =x2一1 -2tln x , x (0, ；). ...................... 5 分y = h(x)有且仅有"曲线y = f (x)与y =g(x)有且仅有一个公共点”等价于"函数个零点”.2t 2 x2_ 2t求导，得h(x) =2x 一三二'•x x①当t< 0时，由x (0,：：)，得h (x) 0 ,所以h(x)在(0,；)单调递增.又因为h(1)=0，所以y =h(x)有且仅有一个零点1，符合题意.②当t =1时，当x变化时，h(x)与所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,；)上单调递增,所以当x =1 时，h(X)min = h(1) = 0 ,故y =h(x)有且仅有一个零点1，符合题意. ........... 10分③当0 :: t ：：：1时，令h (x) = 0，解得 ^ = . t .当x变化时，h (x)与h(x)的变化情况如下表所示：Array所以h(x)在(0, t)上单调递减，在c.t,；)上单调递增，所以当x = .,t 时，h(x)mi n二h(・t) . ................ 11 分因为h⑴=0 , ..t ：：：1，且h(x)在上单调递增，所以h(、f) ：：：h(1)=0.1 1 1 1 1又因为存在(0,1) ，h(e 枕)=e 耳-1 -2tl ne 页二■ 0，所以存在x^ (0,1)使得九沧)=0 ,所以函数y =h(x)存在两个零点x0 , 1，与题意不符•综上，曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点时，t的范围是{t|t<0,或t =1} •.................... 13分19. (本小题满分14分)(I)解：由题意，得°=七'3, a2二b2• c2, ....................... 2分a 2又因为点“1,二)在椭圆C上，2所以丄• 2 =1 , ..................... 3分a24b2解得 a =2 , b =1 , c = • 3 ,2所以椭圆C的方程为—y2 =1. ..................... 5分4(H)结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2 y2 =5. ...................... 6分证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2y^r2(r 0).当直线l的斜率存在时，设I的方程为y = kx m . ................... 7分y 二kx m, 由方程组x2 2 得(4k2 1)x2 8kmx 4m2 -4 =0, 8 分u y =1,因为直线I与椭圆C有且仅有一个公共点，所以 1 =(8km)2 _4(4k2 1)(4m2 -4) =0，即m2=4k2 1 . .................... 9 分y =kx m,2 2 22由方程组2 22 得(k 1)x 2kmx m -r =0 , .................... 10 分[x +y =r ,则 2 =(2km)2 _4(k 2 1)(m 2 _r 2) 0.设直线OR , OP 的斜率分别为k 1 , k 2,2 2所以当圆的方程为 x y -5时，圆与I 的交点13分当直线I 的斜率不存在时，由题意知 I 的方程为x = 2，1 此时，圆x 2+y 2=5与I 的交点R,P 2也满足k 1k 2=—.41 综上，当圆的方程为 x2 y^5时，圆与I 的交点R,P 2满足斜率之积k !k 2为定值.4.................... 14分20. (本小题满分13分)(I)解：S(C) =10 ； (H)解：考察排列 D ： a,d 2, IH, d n 」,d n 与排列 D 1：d n ,山，d 2,a ,因为数对(d i ,d j )与(d j ,d i )中必有一个为逆序对(其中 1wi ：：：j < n ), 且排列D 中数对(d i ,d j )共有C ：二葺卫个， 所以 S(D) S(DJ 』；T ).所以排列D 与D 1的逆序对的个数的算术平均值为n(n T) 4设 P(X i ,yJ ,卩2(% y)，则 X i - X 2-2 kmk 2 12 2m -rx2 2~k 111分2 2y 1y 2(kx 1 m)(kx 2 m) k x 1x 2 km(x 1 x 2) m所以补2x 1x 2x 1x 2NX 22 2,2 m -r k 厂k 2 12 2 m -r k 2 1km 学 m 2 k 2 +1 2 2 2m -r k 2 2 ， m —r12分2 2将m =4k 1代入上式，得 k 1 k 22 2(4 -r )k 1 22~4k (1 — r )要使得Kk 2为定值，则 土丄4121 -r ，即r 2=5，验1R,P 2满足k 1k 2为定值2而对于数字1,2,…，n的任意一个排列A：a i,a?,川，a n，都可以构造排列A i：a n, a2, a ,且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为血却.4所以所有S(A)的算术平均值为12卫. ............ 7分4(川)证明：①当j -i 1，即厲，引相邻时，不妨设a, ::: a, i，则排列A•为a i, a?,川，a*, a’，a” q .2,川，a.,此时排列A■与排列A：印，a?,川，a n相比，仅多了一个逆序对(a, i,aj ,所以S(A) =S(A) 1,所以S(A) S(A) =2S(A) 1 为奇数. ..................... 10 分②当j - i 1，即a, ,a j不相邻时，假设a,,a j 之间有m 个数字，记排列A: a1, a：. Ill a,, 6 k：, ,lllk m,印,|||, a.,先将a,向右移动一个位置，得到排列A1：ai, a：, HI, a—心a,, k2, J|l,k m, a j,lli, a n,由②，知S(A)与S(A)的奇偶性不同，再将a,向右移动一个位置，得到排列A2：3, a2, a—匕，k：, a,, k3,||),k m, a」,川，％ , 由②，知S(A，)与S(A)的奇偶性不同，以此类推，a,共向右移动m次，得到排列A m: a1, a2, IIIK, k2川l,k m, a, a j,|||, a.,再将a」向左移动一个位置，得到排列A m+1: a1, a2,山,a』,匕，||),k m,a j, a,,山,a n , 以此类推，q共向左移动m+1次，得到排列A2m+1: a1, a2, HI, %,匕,11), k m, a,HI,a n, 即为排列A ,由②，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A经过2m十1次的前后两数交换位置，可以得到排列A：所以排列A与排列A•的逆序数的奇偶性不同，所以S(A) S(A)为奇数.13分综上，得S(A) S(A)为奇数.。
2016-1市西城区高三上学期期末数学(理)试卷
北京市西城区2015 — 2016学年度上学期期末试卷高三数学（理科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,1]-∞-（B ）(,1]-∞（C ）[1,)-+∞（D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x = 3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为假命题 （C ）“q ⌝”为假命题 （D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个 几何体的表面积是（ ） （A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14 （D ）14-侧(左)视图正(主)视图俯视图22 1 1开始 4x >输出y 结束否 是 输入xy=12○1 7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ） （A ）12[]42y x =-+ （B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ） （A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.E FD P C A BB OC A NM12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时；○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+-，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下： 甲 6 6 9 9 乙79xy（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值.18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值； （Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．F CADPMB E已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点3(1,)2A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列 C ： 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；（Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7911．12y x =±12 12． 132- 91613．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+- 23sin cos (2cos 1)2x x x =+-13sin 2cos222x x=+ ………………4分πsin(2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分 （注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ） （Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ， 解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>，所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分 由题意，得2421()C 3P A ==， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：X 13 15 16 18P38 1838 18……………… 8分 所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分 （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以//MF 平面PAB . ………………5分 同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分 设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ， 由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分所以 2|22|||3λλ-=， 解得332λ-=，或332λ+=（舍）. ………………14分18.（本小题满分13分）F CADPMB Ezyx（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >． ………………2分 由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分 又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分 （Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一 个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分① 当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分② 当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1,)+∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分③ 当01t <<时， 令()0h x '=，解得x t =．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,)t t(,)t +∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增， 所以当x t =时，min()()h x h t =． ………………11分因为(1)0h =，1t <，且()h x 在(,)t +∞上单调递增，所以()(1)0h t h <=.又因为存在12e (0,1)t -∈ ，111122()12ln 0t t t t h t ----=--=>e e e e ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由题意，得32c a =，222a b c =+， ………………2分 又因为点3(1,)2A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，3c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-. 要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分 （Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤）， 且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分 所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分 所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分 而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分 （Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时，不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同， 再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ， 再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化， 而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '， 所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同， 所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分。
北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学理试题(WORD精校版)
市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若AB =∅，则实数a 的取值X 围是（）（A ）(,1]-∞-（B ）(,1]-∞（C ）[1,)-+∞（D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（）（A ）21y x =+（B ）e e x x y -=-（C ）lg ||y x =（D）y3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（） （A ）“p q ∧”为真命题（B ）“p q ∨”为假命题 （C ）“q ⌝”为假命题（D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个 几何体的表面积是（） （A）16+（B）16+ （C）20+（D）20+侧(左)视图正(主)视图俯视图6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（）（A ）32（B ）32-（C ）14（D ）14-7.某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8.如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值X 围是（） （A ）(0,7)（B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-FD P C B第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○1该食品在6C 的保鲜时间是8小时；○2当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()cos(sin)f x x x x=，x∈R.（Ⅰ）求()f x的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f xα=+为奇函数，求α的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，135BCD∠=，侧面PAB⊥底面ABCD，90BAP∠=,2AB AC PA===, ,E F分别为,BC AD的中点，点M在线段PD上.（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：//ME平面PAB；（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求PMPD的值. FCA DPMB E18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值； （Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值X 围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列C ：3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值； （Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7911．12y x =±1212291613．54 14．○1○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =+2sin cos 1)x x x =-1sin 22x x =………………4分πsin(2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =.………………7分 由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z .………………9分 （注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ） （Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=，………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ， 解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>，所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分 由题意，得2421()C 3P A ==， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18，………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：……………… 8分所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8.………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ， 所以EF AC ⊥.………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ， 所以PA EF ⊥.………………3分 又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC .………………4分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以//MF 平面PAB .………………5分 同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB .………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-，………………10分 设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--， 易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m .………………11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ， 由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等， 所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ，………………13分D所以 |22|λ-=，解得λ=λ=.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >．………………2分 由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =．……………3分 又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=．………………4分（Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞．………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一 个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分①当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意．………………8分②当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意．………………10分③当01t <<时，令()0h x '=，解得x ．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当x=时，min()h x h=．………………11分因为(1)0h=1<，且()h x在)+∞上单调递增，所以(1)0h h<=.又因为存在12e(0,1)t-∈，111122()12ln0t t t th t----=--=>e e e e，所以存在0(0,1)x∈使得()0h x=，所以函数()y h x=存在两个零点x，1，与题意不符.综上，曲线()y f x=与()y g x=有且仅有一个公共点时，t的X围是0{|t t≤，或1}t=.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得ca=，222a b c=+， (2)分又因为点A在椭圆C上，所以221314a b+=，………………3分解得2a=，1b=，c，所以椭圆C的方程为1422=+yx. ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y+=.………………6分证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r+=>.当直线l的斜率存在时，设l的方程为mkxy+=.………………7分由方程组22,1,4y kx mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得0448)14(222=-+++mkmxxk，………………8分因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+.………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=，………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+，………………11分 设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r kmk km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+，………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =；………………2分 （Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤），且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个，………………3分所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分 所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -.………………6分 而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -.………………7分 （Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时， 不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数.………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时， 假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同， 再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同， 以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化， 而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '， 所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同， 所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数.………………13分。
2016年北京西城高三一模数学试卷(理科答案)
北京市西城区2016年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科）2016.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．B 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．29n - 16-11 y = 12．6 13．21 14．○1○4注：第10，11题第一问2分，第二问3分；第14题多选、少选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为 sin 3sin B C =， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得 3b c =. ………………3分由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-及π3A =，a ………………5分 得 227b c bc =+-，所以 222()733b b b +-=，解得 3b =. ………………7分 （Ⅱ）解：由π3A =，得2π3B C =-. 所以 2πsin()3sin 3C C -=. ………………8分1sin 3sin 2C C C +=， ………………11分5sin 2C C =，所以tan C =. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，………………2分 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有30100075040⨯=人. ……4分 （Ⅱ）解：设 “至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件A ， ………………5分由题意，得2325C 37()11C 1010P A =-=-=，因此至少有1人体育成绩在[60,70)的概率是710. ………………9分 （Ⅲ）解：a , b , c 的值分别是为79, 84, 90；或79, 85, 90. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由11CC D D 为矩形，得11//CC DD ，又因为1DD ⊂平面1ADD ，1CC ⊄平面1ADD ，所以1//CC 平面1ADD ， ……………… 2分 同理//BC 平面1ADD ， 又因为1BC CC C = ，所以平面1//BCC 平面1ADD , ……………… 3分 又因为1BC ⊂平面1BCC ，所以1//BC 平面1ADD . ……………… 4分 （Ⅱ）解：由平面ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠= ，得AB BC ⊥，又因为1AB BC ⊥，1BC BC B = ， 所以AB ⊥平面1BCC ， 所以1AB CC ⊥，又因为四边形11CC D D 为矩形，且底面ABCD 中AB 与CD 相交一点， 所以1CC ⊥平面ABCD ， 因为11//CC DD ， 所以1DD ⊥平面ABCD .过D 在底面ABCD 中作DM AD ⊥，所以1,,DA DM DD 两两垂直，以1,,DA DM DD 分 别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分则(0,0,0)D ，(4,0,0)A ，(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,2)C ，1(0,0,2)D ， 所以1(1,2,2)AC =- ,1(4,0,2)AD =-. 设平面11AC D 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由10AC ⋅= m ，10AD ⋅= m ，得22420,x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩ 令2x =，得(2,3,4)=-m . ………………8分易得平面1ADD 的法向量(0,1,0)=n . 所以cos ,||||⋅<>==m n m n m n 即平面11AC D 与平面1ADD . ………………10分 （Ⅲ）结论：直线1BC 与CP 不可能垂直. ………………11分证明：设1(0)DD m m =>，1((0,1))DP DC λλ=∈，由(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,)C m ，(0,0,0)D ，得1(1,0,)BC m =- ，1(3,2,)DC m = ，1(3,2,)DP DC m λλλλ== ，(3,2,0)CD =--，(33,22,)CP CD DP m λλλ=+=-- . ………………12分 若1BC CP ⊥，则21(33)0BC CP m λλ⋅=--+=，即2(3)3m λ-=-，因为0λ≠，1所以2330m λ=-+>，解得1λ>，这与01λ<<矛盾.所以直线1BC 与CP 不可能垂直. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：对()f x 求导，得1()(1)e e x x f x x a -'=+-， ………………2分 所以(1)2e e f a '=-=，解得e a =. ………………3分 故()e e x x f x x =-，()e x f x x '=. 令()0f x '=，得0x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()f x 的单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞. ………………5分 （Ⅱ）解：方程2()2f x kx =-，即为2(1)e 20x x kx --+=，设函数2()(1)e 2x g x x kx =--+. ………………6分 求导，得()e 2(e 2)x x g x x kx x k '=-=-．由()0g x '=，解得0x =，或ln(2)x k =. ………………7分 所以当(0,)x ∈+∞变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以函数()g x 在(0,ln(2))k 单调递减，在(ln(2),)k +∞上单调递增. ………………9分 由2k >，得ln(2)ln 41k >>.又因为(1)20g k =-+<， 所以(ln(2))0g k <.不妨设12x x <（其中12,x x 为2()2f x kx =-的两个正实数根），因为函数()g x 在(0,ln 2)k 单调递减，且(0)10g =>，(1)20g k =-+<，所以101x <<. ………………11分 同理根据函数()g x 在(ln 2,)k +∞上单调递增，且(ln(2))0g k <， 可得2ln(2)ln 4x k >>，所以12214||ln 41ln ex x x x -=->-=，即 124||lnex x ->. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，椭圆C ：2213x y m m+=， ………………1分所以21a m =，213b m=，故2a ==16m =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=. ………………3分因为2c =，所以离心率c e a == ………………5分 （Ⅱ）解：设线段AP 的中点为D ，因为||||BA BP =，所以BD AP ⊥， ………………7分 由题意，直线BD 的斜率存在，设点000(,)(0)P x y y ≠，则点D 的坐标为003(,)22x y +， 且直线AP 的斜率003AP y k x =-， ………………8分 所以直线BD 的斜率为0031AP x k y --=， 所以直线BD 的方程为：000033()22y x x y x y -+-=-. ………………10分令0x =，得2200092x y y y +-=，则220009(0,)2x y B y +-，由2200162x y +=，得220063x y =-， 化简，得20023(0,)2y B y --. ………………11分所以四边形OPAB 的面积OPAB OAP OAB S S S ∆∆=+200023113||3||222y y y --=⨯⨯+⨯⨯………………12分 2000233(||||)22y y y --=+ 0033(2||)22||y y =+32⨯≥=当且仅当00322y y =，即0[y =时等号成立. 所以四边形OPAB面积的最小值为 ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离为7. ………………2分 （Ⅱ）解：设1a p =，其中0p ≠，且1p ≠±. 由111n n n a a a ++=-，得211p a p +=-，31a p =-，411p a p -=+，5a p =， 所以15a a =，因此A 中数列的项周期性重复，且每隔4项重复一次. ………………4分 所以{}n b 中，432k b -=，423k b -=-，4112k b -=-，413k b =（*k ∈N ），所以{}n c 中，433k c -=，422k c -=-，4113k c -=-，412k c =（*k ∈N ）. ……………5分 由111||||k ki i i i i i b c b c +==--∑∑≥，得项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大.由417||3i i i b c =-=∑， ………………6分 得34564864117||||86420163i i i i i i b c b c ⨯==-=-=⨯=∑∑.所以当3456m <时，1||2016mi i i b c =-<∑.故m 的最大值为3455. ………………8分 （Ⅲ）证明：假设T 中的元素个数大于或等于17个. 因为数列{}n a 中，0i a =或1，所以仅由数列前三项组成的数组123,,)(a a a 有且只有8个：,0,0)(0，,0,0)(1，,1,0)(0，,0,1)(0，,1,0)(1，,0,1)(1，,1,1)(0，,1,1)(1.那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的123,,a a a . ………………10分设这三个数列分别为1234567,,,,,,{}n c c c c c c c c ：；1234567,,,,,,{}n d d d d d d d d ：；123456,,,,,,{}n f f f f f f f f ：，其中111d f c ==，222d f c ==，333d f c ==.因为这三个数列中每两个的距离大于或等于3，所以{}n c 与{}n d 中，(4,5,6,7)i i c d i ≠=中至少有3个成立.不妨设445566,,c d c d c d ≠≠≠.由题意，得44,c d 中一个等于0，而另一个等于1. 又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立， 同理，得55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立，所以“(4,5,6)i i f c i ==中至少有两个成立”或“(4,5,6)i i f d i ==中至少有两个成立”中必有一个成立.所以71||2i iif c =-∑≤和71||2i iif d =-∑≤中必有一个成立.这与题意矛盾，所以T中的元素个数小于或等于16.………………13分。
北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学理试题(WORD精校版)
...所以 S(D )n(n 1),,,,,,5 分S(D 1).2所以排列 D 与 D 1的逆序对的个数的算术平均值为 n(n 1) . ,,,,,, 6 分4而对于数字 1 ， 2 ， ， n 的任意一个排列A ：a 1, a 2 ,, a n ，都可以构造排列A 1：a n , a n 1, , a 2 , a 1，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为n(n 1)4.所以所有 S(A)的算术平均值为 n(n 1) .,,,,,,7 分4○当 ji 1 ，即a i , a j 相邻时， 〔Ⅲ〕 证明 ： 1不妨设 a ia i 1，那么排列A 为a 1, a 2 ,, a i 1 , a i 1 , a i , a i2 ,, a n ，此时排列 A 与排列A ：a 1, a 2, , a n 相比，仅多了一个逆序对(a i 1 ,a i ) ，所以 S(A)S( A) 1，所以 S(A) S(A ) 2S(A) 1为奇数.,,,,,,10 分○当 ji 1 ，即a i , a j 不相邻时，2假设 a i , a j 之间有 m 个数字，记排列A ： a 1 , a 2 ,, a i , k 1 , k 2 , , k m , a j , , a n ，先将 a向右移动一个位置，得到排列 A1：a 1, a 2,, a i 1 , k 1 , a i , k 2 , ,,k m , a j ,, a n ，i由 1 ，知 S( A 1) 与S( A)的奇偶性不同，○再将 a 向右移动一个位置，得到排列A 2： a 1, a 2 ,, a i 1, k 1, k 2 , a i , k 3,, k m , a j ,, a n ，i由 1 ，知 S( A 2 ) 与 S( A 1) 的奇偶性不同，○以此类推， a i 共向右移动m 次，得到排列A m ：a 1,a 2 , , k 1, k 2 , , k m , a i , a j , ,a n ，再将 a j 向左移动一个位置，得到排列A m+1： a 1 , a 2 , , a i 1 , k 1,, k m ,a j , a i , , a n ，以此类推， a j 共向左移动 m+1 次，得到排列 A 2m+1： a 1, a 2 ,, a j , k 1,, k m , a i ,,a n ，即为排列 A ，由○1 ，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列 A 经过 2m 1次的前后两数交换位置，可以得到排列A ，所以排列A 与排列 A 的逆序数的奇偶性不同，所以 S( A) S(A) 为奇数.综上，得 S(A) S(A ) 为奇数.,,,,,,13 分。
北京市西城区高三一模考试数学(理)试题 Word版含答案
西城区高三统一测试数学（理科） 2017.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U A B = ð （A ）{|02}x x <≤ （B ）{|02}x x << （C ）{|0}x x < （D ）{|2}x x <2．在复平面内，复数i1i+的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是（A ）2π （B ）π（C ）32π （D ）2π4．函数2()2log ||x f x x =+的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则（A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=-（B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+（C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=- （D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+6．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小 正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（A ） （B ）（C ）6 （D ）7．数列{}n a 的通项公式为*||()n a n c n =-∈N ．则“1c ≤”是“{}n a 为递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8．将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2．考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m ，则m 的最大值为 （A ）8 （B ）9（C ）10（D ）11第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在5(12)x +的展开式中，2x 的系数为____．（用数字作答）10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若13a =，29S =，则n a =____；n S =____．11．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．曲线cos ,1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）与直线10x y +-=相交于,A B 两点， 则||AB =____．13．实数,a b 满足02a <≤，1b ≥．若2b a ≤，则ba的取值范围是____．14． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足1A P P 组成，则W 的面积是体积的最大值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的取值范围．16．（本小题满分14分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB =，E ，F 分别为PB ，PD 的中点．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AE 所成角的余弦值； （Ⅲ）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求PMPC的值．17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：（Ⅰ）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设i P '为第i 题的实测难度，请用i P 和iP '设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．18．（本小题满分13分）已知函数21()e 2xf x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-．（Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，直线1x =分别与直线l 和x 轴交于,A B 两点,求△AOB 的面积的最小值．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -， ||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 且平行于AP 的直线与直线4x =交于点E ．求证：ODF OEF ∠=∠．20．（本小题满分13分）如图，将数字1,2,3,,2(3)n n ≥全部填入一个2行n 列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为12,,,n a a a ，第二行填入的数字依次为12,,,n b b b ．记11221||||||||nn i i n n i S a b a b a b a b ==-=-+-++-∑ ．（Ⅰ）当3n =时，若11a =，23a =，35a =，写出3S 的所有可能的取值；（Ⅱ）给定正整数n ．试给出12,,,n a a a 的一组取值，使得无论12,,,n b b b 填写的顺序如何，n S 都只有一个取值，并求出此时n S 的值；（Ⅲ）求证：对于给定的n 以及满足条件的所有填法，n S 的所有取值的奇偶性相同．西城区高三统一测试高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．40 10．132n -⋅；3(21)n ⋅- 11．6 12．2 13． 1[,2]214．π4；43注：第10，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） 由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a CA c C⋅=． [ 1分]由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分]所以 1cos 2C =． [ 4分]因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以 π3C =． [ 6分]（Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]3sin 2A A =+ [ 8分]π)6A+．[ 9分]因为π3C=，所以2π3A<<，[10分]所以ππ5π666A<+<，[11分] 所以1πsin()126A<+≤，[12分]所以sin sinA B+的取值范围是．[13分] 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设AC BD O=，则O为底面正方形ABCD中心．连接PO．因为P ABCD-为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD．[ 1分]所以PO AC⊥．[ 2分]又BD AC⊥，且PO BD O=，[ 3分]所以AC⊥平面PBD．[ 4分]（Ⅱ）因为OA，OB，OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O xyz-．[ 5分] 因为PB AB=，所以Rt RtPOB AOB≅△△．所以OA OP=．[ 6分] 设2OA=．所以(2,0,0)A，(0,2,0)B，(2,0,0)C-，(0,2,0)D-，(0,0,2)P，(0,1,1)E，(0,1,1)F-．所以(2,1,1)AE−−→=-，(2,0,2)PC−−→=--．[ 7分]所以||cos,|||||AE PCAE PCAE PC−−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉=|．即异面直线PC与AE．[ 9分]（Ⅲ）连接AM．设 PM PCλ=，其中 [0,1]λ∈，则 (2,0,2)PM PC λλλ−−→−−→==--， [10分]所以 (22,0,22)AM AP PM λλ−−→−−→−−→=+=---．设平面AEMF 的法向量为(,,)x y z =n ，又(2,1,1)AF −−→=--，所以0,0,AE AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即20,20.x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩所以 0y =．令1x =，2z =，所以(1,0,2)=n ． [12分]因为 AM ⊂平面AEF ，所以0AM −−→⋅=n ， [13分]即 222(22)0λλ--+-=，解得 13λ=，所以13PM PC =． [14分] 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为40.220=． [ 2分]所以，估计240人中有2400.248⨯=人实测答对第5题． [ 3分]（Ⅱ）X 的可能取值是0，1，2． [ 4分]216220C 12(0)19C P X ===； 11164220C C 32(1)95C P X ===； 24220C 3(2)95C P X ===． [ 7分]X 的分布列为：[ 8分]123233801219959595EX =⨯+⨯+⨯=． [10分]（Ⅲ）将抽样的20名学生中第i 题的实测难度，作为240名学生第i 题的实测难度．定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++- ，其中i P 为第i 题的预估难度．并规定：若0.05S <，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理． [11分]222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]注：本题答案不唯一，学生可构造其它统计量和临界值来进行判断．如“预估难度与实测难度差的平方和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的和”，“预估难度与实测难度差的绝 对值的平均值”等，学生只要言之合理即可．18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 4分]（Ⅱ）依题意，切线方程中令1x =，得 00020000011e e )22(e )(1)(2)(x x x y x x x x x =+=--+--. [ 5分]所以 (1,)A y ，(1,0)B .所以 1||||2AOB S OB y =⋅△0001|(2)(1e 22)|x x x =-- 000(1)(11|e )|22x x x =--，0[1,1]x ∈-. [ 7分]设 ()(111e )22)(x x g x x -=-，[1,1]x ∈-. [ 8分]则 11111e )(1)(e )(1)(e 1)22(2()22x x x x x x g x -+'=-----=-. [10分]令 ()0g x '=，得0x =或1x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：所以 ()g x 在(1,0)-单调递减；在(0,1)单调递增， [12分]所以 min ()(0)1g x g ==，从而 △AOB 的面积的最小值为1． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =．所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 4分] （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=，[ 6分] 所以 21216243k x k --+=+． [ 7分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43ky k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 8分]所以直线OM 的斜率是2263438443k k k k k +=--+， [ 9分]所以直线OM 的方程是 34y x k=-．令4x =，得3(4,)D k -． [10分]直线OE 的方程是 y kx =．令4x =，得(4,4)E k ． [11分]由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是44413k k=-，所以EF OM ⊥，记垂足为H ； 因为直线DF 的斜率是 3141k k-=--，所以DF OE ⊥，记垂足为G ． [13分]在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以 ODF OEF ∠=∠． [14分]解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -．[ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分]所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分]直线OE 的方程是 112y y x x =+．令4x =，得114(4,)2y E x +． [ 9分]由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是 1143(2)EF y k x =+， [10分]因为 211121114413(2)23(4)EF OMy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， 所以EF OM ⊥，记垂足为H ； [12分] 同理可得 211121114413(2)23(4)DF OEy y y k k x x x ⋅=⋅==--+-， 所以DF OE ⊥，记垂足为G ． [13分]在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以 ODF OEF ∠=∠． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 3S 的所有可能的取值为3，5，7，9. [ 3分] （Ⅱ） 令i a i = (1,2,,)i n = ，则无论12,,,n b b b 填写的顺序如何，都有2n S n =．[ 5分]因为 i a i =，所以 {1,2,,2}i b n n n ∈++ ，(1,2,,)i n = ． [ 6分]因为 i i a b < (1,2,,)i n = ，所以 22111111||()nnnnn nn i i i i i i i i i i i n i S a b b a b a i i n=====+==-=-=-=-=∑∑∑∑∑∑． [ 8分]注：12{,,,}{1,2,,}n a a a n = ，或12{,,,}{1,2,,2}n a a a n n n =++ 均满足条件．（Ⅲ）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变．不妨设i i a b >，记1n i i A a ==∑，1ni i B b ==∑，其中1,2,,i n = ．则 1111||()nnnnn i i i i i i i i i i S a b a b a b A B =====-=-=-=-∑∑∑∑． [ 9分]因为 212(21)(21)2ni n n A B i n n =++===+∑， 所以 A B +与n 具有相同的奇偶性． [11分]又因为 A B +与A B -具有相同的奇偶性， 所以 n S A B =-与n 的奇偶性相同，所以 n S 的所有可能取值的奇偶性相同． [13分]解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变．考虑如下表所示的任意两种不同的填法，1||n n i i i S a b ==-∑，1||nni i i S a b ='''=-∑，不妨设i i a b <，i i a b ''<，其中 1,2,,i n = ． [ 9分]111111()()()()n ni i i i i i i i i i i i i i S S b a b a b b a a ======'''''+=-+-=+-+∑∑∑∑∑∑． 对于任意{1,2,,2}k n ∈ ，① 若在两种填法中k 都位于同一行，则k 在n nS S '+的表达式中或者只出现在11n niii i b b =='+∑∑中，或只出现在11n niii i a a =='+∑∑ 中，且出现两次，则对k 而言，在n nS S '+的结果中得到2k ±． [11分]② 若在两种填法中k 位于不同行，则k 在n nS S '+的表达式中在11n n i i i i b b =='+∑∑与11n ni i i i a a =='+∑∑中各出现一次， 则对k 而言，在n nS S '+的结果中得到0． 由 ① ② 得，对于任意{1,2,,2}k n ∈ ，n nS S '+必为偶数． 所以，对于表格的所有不同的填法，n S 所有可能取值的奇偶性相同． [13分]。
北京市西城区2016届高三上学期期末考试理数试题(解析版)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【答案】A【解析】试题分析：∵A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，∴a+2≤1，即a≤﹣1，则实数a的范围为（﹣∞，﹣1]，故选：A．考点：交集及其运算．2．下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=e x﹣e﹣x C．y=lg|x| D．y=【答案】C【解析】试题分析：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=e x﹣e﹣x是奇函数．y=lg|x|是偶函数，值域为：R．y=[0，+∞）．故选：C考点：函数奇偶性的判断．3．设命题p：“若1sin2α=，则6πα=”，命题q：“若a＞b，则11a b<”，则（）A．“p∧q”为真命题 B．“p∨q”为假命题C．“￢q”为假命题D．以上都不对【答案】B 【解析】试题分析：命题p ：“若1sin 2α=，则6πα=”是假命题， 命题q ：“若a ＞b ，则11a b<”，如：a=1，b=﹣1，故命题q 是假命题， 故p∨q 是假命题， 故选：B ．考点：复合命题的真假．4．“212*,n n n n N a a a ++∀∈=”是“数列{a n }为等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：若数列{a n }是等比数列，根据等比数列的性质得：212*,n n n n N a a a ++∀∈=，反之，若“212*,n n n n N a a a ++∀∈=”，当a n =0，此式也成立，但数列{a n }不是等比数列， ∴“212*,n n n n N a a a ++∀∈=”是“数列{a n }为等比数列”的必要不充分条件，故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ）（A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+ 【答案】B 【解析】试题分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱， 其底面面积为：×（1+2）×2=3， 底面周长为：高为：2，故四棱柱的表面积S=2×3+（16+， 故选：B考点：由三视图求面积、体积．6．设x ，y 满足约束条件13y x x y y m -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z=x+3y 的最大值与最小值的差为7，则实数m=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：由约束条件13y x x y y m -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩作出可行域如图，联立13y x x y -=⎧⎨+=⎩，解得A （1，2），联立1y my x =⎧⎨-=⎩，解得B （m ﹣1，m ），化z=x+3y ，得33x zy =-+． 由图可知，当直线33x zy =-+过A 时，z 有最大值为7，当直线33x zy =-+过B 时，z 有最大值为4m ﹣1，由题意，7﹣（4m ﹣1）=7，解得：m=14．考点：简单线性规划．7．某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，y（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．可得：当x＞4时，所收费用y=12+[x﹣4+12]×2+1=12[]52x++，考点：程序框图；分段函数的应用；函数模型的选择与应用．8．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE=2AE ，CF=2BF ．如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得成立，那么λ的取值范围是（ ）A ．（0，7）B ．（4，7）C ．（0，4）D ．（﹣5，16） 【答案】C 【解析】试题分析：以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则E （0，4），F （6，4）． （1）若P 在CD 上，设P （x ，0），0≤x≤6．∴PE =（﹣x ，4）， PF =（6﹣x ，4）． ∴PE PF ⋅=x 2﹣6x+16，∵x∈[0，6]，∴7≤PE PF ⋅≤16． ∴当λ=7时有一解，当7＜λ≤16时有两解．（2）若P 在AD 上，设P （0，y ），0≤y≤6．∴PE =（0，4﹣y ），PF =（6，4﹣y ）． ∴PE PF ⋅=（4﹣y ）2=y 2﹣8y+16，∵0≤y≤6，∴0≤PE PF ⋅≤16． ∴当λ=0或4＜λ≤16，有一解，当0＜λ≤4时有两解．（3）若P 在AB 上，设P （x ，6），0≤x≤6. PE =（﹣x ，﹣2），PF =（6﹣x ，﹣2）． ∴PE PF ⋅=x 2﹣6x+4，∵0≤x≤6．∴﹣7≤PE PF ⋅≤4． ∴当λ=﹣7时有一解，当﹣7＜λ≤2时有两解．（4）若P 在BC 上，设P （6，y ），0≤y≤6，∴PE =（﹣6，4﹣y ），PF =（0，4﹣y ）． ∴PE PF ⋅=（4﹣y ）2=y 2﹣8y+16，∵0≤y≤6，∴0≤PE PF ⋅≤16． ∴当λ=0或4＜λ≤16，有一解，当0＜λ≤4时有两解． 综上，∴0＜λ＜4．考点：平面向量数量积的运算．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足z （1+i ）=2﹣4i ，那么z= ． 【答案】13i -- 【解析】试题分析：由z （1+i ）=2﹣4i ，得24(24)(1)26131(1)(1)2i i i iz i i i i -----====--++-． 故答案为：﹣1﹣3i ．考点：复数代数形式的乘除运算．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若A=B ，a=3，c=2，则cosC= ． 【答案】79【解析】试题分析：∵A=B，a=3，c=2，可得：b=3，∴cosC=2229942233a b c ab +-+-=⨯⨯=79．故答案为：79． 考点：余弦定理．11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为 ；设F 1，F 2为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且|PF 1|=4，则|PF 2|= ． 【答案】12y x =±,12 【解析】试题分析：双曲线C ：221164x y -=中a=4，b=2，则渐近线方程为12y x =±，由题意P 在双曲线的左支上，则|PF 2|﹣|PF 1|=2a=8， ∴|PF 2|=12 故答案为：12y x =±，12． 考点：双曲线的简单性质．12．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN= ；AMMC= ．2-，916【解析】试题分析：由题意，AO==， 由切割线定理可得9=AN•（+2），∴AN=． AC==5，由切割线定理可得9=AM•5，∴AM=95， ∴MC=165， ∴916AM MC =．2-，916．考点：与圆有关的比例线段．13．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有 种．（用数字作答） 【答案】54 【解析】试题分析：第一类，把甲乙看做一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中（2，1，1），C 42A 33=36种， 第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲乙分配到其中2个小组，A 33C 32=18种， 根据分类计数原理可得，共有36+18=54种， 故答案为：54．考点：排列、组合的实际应用．14．某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系664,02,0kx x t x +≤⎧=⎨>⎩且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；②当x ∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间． 其中，所有正确结论的序号是 ．【答案】①④ 【解析】试题分析：∵食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系664,02,0kx x t x +≤⎧=⎨>⎩且该食品在4℃的保鲜时间是16小时． ∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=﹣12， ∴16264,02,0x x t x -+≤⎧⎪=⎨⎪>⎩，当x=6时，t=8，故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；②当x ∈[﹣6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x ∈（0，6]时，该食品的保鲜时间t 随看x 增大而逐渐减少，故错误；③到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确， 故正确的结论的序号为：①④， 故答案为：①④．考点：命题的真假判断与应用．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数()cos (sin )f x x x x =+-，x ∈R ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设α＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，求α的最小值． 【答案】（Ⅰ）周期是π，单调递增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k ∈Z ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f （x ）的单调递增区间．（Ⅱ）由题意可得g （0）=0，即sin(2)03πα+=，由此求得α的最小正值．试题解析：（Ⅰ）解：2()cos (sin )sin cos 1)f x x x x x x x =+-=+-1sin 222x x ==sin(2)3x π+，所以函数f （x ）的最小正周期22T ππ==． 由222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+， 所以函数f （x ）的单调递增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k ∈Z ． （Ⅱ）解：由题意，得()()sin(22)3g x f x x παα=+=++，因为函数g （x ）为奇函数，且x ∈R ，所以g （0）=0，即sin(2)03πα+=，所以23k παπ+=，k ∈Z ，解得26k ππα=-，k ∈Z ，验证知其符合题意． 又因为α＞0，所以α的最小值为3π．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．16．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果x=y=7，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值．（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）13；（Ⅱ）分布列见解析，期望为15；（Ⅲ）6，7，8．（Ⅱ）解：由题意，X的所有可能取值为13，15，16，18，…且3(13)8P X==，1(15)8P X==，3(16)8P X==，1(18)8P X==，…所以X的分布列为：所以()13151618158888E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）解：x的可能取值为6，7，8考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥AC．EF⊥AC．推出PA⊥底面ABCD，即可说明PA⊥EF，然后证明EF⊥平面PAC．（Ⅱ）证明MF∥PA，然后证明MF∥平面PAB，EF∥平面PAB．即可证明平面MEF∥平面PAB，从而证明ME∥平面PAB．（Ⅲ）以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面ABCD 的法向量，平面PBC的法向量，利用直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，列出方程求解即可试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠BCD=135°，∠ABC=45°．所以AB⊥AC．由E，F分别为BC，AD的中点，得EF∥AB，所以EF⊥AC．…因为侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，所以PA⊥底面ABCD．…又因为EF⊂底面ABCD，所以PA⊥EF．…又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以EF⊥平面PAC．…（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，所以MF∥PA，又因为MF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以MF∥平面PAB．…同理，得EF∥平面PAB ．又因为MF∩EF=F，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面MEF∥平面PAB ．…又因为ME ⊂平面MEF ，所以ME∥平面PAB ．…（Ⅲ）解：因为PA⊥底面ABCD ，AB⊥AC，所以AP ，AB ，AC 两两垂直，故以AB ，AC ，AP分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），D （﹣2，2，0），E （1，1，0）， 所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-，… 设([0,1])PM PDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以M （﹣2λ，2λ，2﹣2λ），(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量m =（0，0，1）．…设平面PBC 的法向量为n =（x ，y ，z ），由0n BC ⋅=，0n PB ⋅=，得220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩令x=1，得n =（1，1，1）．…因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等， 所以cos ,cos ,ME m ME n <>=<>，即ME m ME n ME m ME n ⋅⋅=⋅⋅，所以2λ解得λ=，或λ=（舍）．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．18．已知函数f（x）=x2﹣1，函数g（x）=2tlnx，其中t≤1．（Ⅰ）如果函数f（x）与g（x）在x=1处的切线均为l，求切线l的方程及t的值；（Ⅱ）如果曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点，求t的取值范围．【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）分别求得f（x），g（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得t=1，即可得到切线的斜率和切点坐标，可得切线的方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），“曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h（x）有且仅有一个零点”．对h（x）求导，讨论①当t≤0时，②当t=1时，③当0＜t＜1时，求出单调区间，即可得到零点和所求范围．试题解析：（Ⅰ）求导，得f′（x）=2x，2'()tg xx=，（x＞0）．由题意，得切线l的斜率k=f′（1）=g′（1），即k=2t=2，解得t=1．又切点坐标为（1，0），所以切线l的方程为2x﹣y﹣2=0；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣1﹣2tlnx，x∈（0，+∞）．“曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h（x）有且仅有一个零点”．求导，得2222'()2t x th x xx x-=-=．①当t≤0时，由x∈（0，+∞），得h'（x）＞0，所以h （x ）在（0，+∞）单调递增．又因为h （1）=0，所以y=h （x ）有且仅有一个零点1，符合题意．②当t=1时，当x 变化时，h'（x ）与h （x ）的变化情况如下表所示：所以h （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x=1时，h （x ）min =h （1）=0，故y=h （x ）有且仅有一个零点1，符合题意．③当0＜t ＜1时，令h'（x ）=0，解得x =．当x 变化时，h'（x ）与h （x ）的变化情况如下表所示：所以h （x ）在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当x =时，min ()h x h ==．因为h （1）=01<，且h （x ）在)+∞上单调递增，所以(1)0h h <=．又因为存在12(0,1)t e -∈，111122()12ln 0t t t th e e t e e ----=--=>， 所以存在x 0∈（0，1）使得h （x 0）=0，所以函数y=h （x ）存在两个零点x 0，1，与题意不符．综上，曲线y=f （x ）与y=g （x ）有且仅有一个公共点时，t 的范围是{t|t≤0，或t=1}．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数的零点问题的解法，注意运用构造法，通过导数求得单调性，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，点A 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1，OP 2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值14-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a ，b 然后求出椭圆的方程． （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，验证直线OP 1，OP 2的斜率之积．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m 与椭圆联立，利用直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，推出m 2=4k 2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k 1•k 2为定值即可．试题解析：（Ⅰ）解：由题意，得c a =a 2=b 2+c 2，…又因为点A 在椭圆C 上， 所以221314a b+=，解得a=2，b=1，c =所以椭圆C 的方程为2214x y +=．… （Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2+y 2=5．…证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2+y 2=r 2（r ＞0）．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m ．…由方程组2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得（4k 2+1）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，… 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即m 2=4k 2+1．… 由方程组222y kx m x y r=+⎧⎨+=⎩得（k 2+1）x 2+2kmx+m 2﹣r 2=0，… 则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->．设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -=+，… 设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x M k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m rk --⋅+⋅+-++==--+，… 将m 2=4k 2+1代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+=+-． 要使得k 1k 2为定值，则224141r r-=-，即r 2=5，验证符合题意． 所以当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值14-．… 当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x=±2，此时，圆x 2+y 2=5与l 的交点P 1，P 2也满足1214k k =-． 综上，当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值14-． 考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．20．在数字1，2，…，n （n≥2）的任意一个排列A ：a 1，a 2，…，a n 中，如果对于i ，j ∈N *，i ＜j ，有a i ＞a j ，那么就称（a i ，a j ）为一个逆序对．记排列A 中逆序对的个数为S （A ）．如n=4时，在排列B ：3，2，4，1中，逆序对有（3，2），（3，1），（2，1），（4，1），则S （B ）=4．（Ⅰ）设排列 C ：3，5，6，4，1，2，写出S （C ）的值；（Ⅱ）对于数字1，2，…，n 的一切排列A ，求所有S （A ）的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：a 1，a 2，…，a n 中两个数字a i ，a j （i ＜j ）交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A'：b 1，b 2，…，b n ，求证：S （A ）+S （A'）为奇数．【答案】（Ⅰ）10；（Ⅱ）(1)4n n -；（Ⅲ）证明见解析．所以1(1)()()2n n S D S D -+=． 所以排列D 与D 1的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -． 而对于数字1，2，…，n 的任意一个排列A ：a 1，a 2，…，a n ，都可以构造排列A 1：a n ，a n ﹣1，…，a 2，a 1， 且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -． 所以所有S （A ）的算术平均值为．（Ⅲ）证明：（1）当j=i+1，即a i ，a j 相邻时，不妨设a i ＜a i+1，则排列A'为a 1，a 2，…，a i ﹣1，a i+1，a i ，a i+2，…，a n ，此时排列A'与排列A ：a 1，a 2，…，a n 相比，仅多了一个逆序对（a i+1，a i ），所以S （A'）=S （A ）+1，所以S（A）+S（A'）=2S（A）+1为奇数．（2）当j≠i+1，即a i，a j不相邻时，假设a i，a j之间有m个数字，记排列A：a1，a2，…，a i，k1，k2，…k m，a j，…，a n，先将a i向右移动一个位置，得到排列A1：a1，a2，…，a i﹣1，k1，a i，k2，…，k m，a j，…，a n，由（1）知S（A1）与S（A）的奇偶性不同，再将a i向右移动一个位置，得到排列A2：a1，a2，…，a i﹣1，k1，k2，a i，k3，…，k m，a j，…，a n，由（1）知S（A2）与S（A1）的奇偶性不同，以此类推，a i共向右移动m次，得到排列A m：a1，a2，…，k1，k2，…，k m，a i，a j，…，a n，再将a j向左移动一个位置，得到排列A m+1：a1，a2，…，a i﹣1，k1，…，k m，a j，a i，…，a n，以此类推，a j共向左移动m+1次，得到排列A2m+1：a1，a2，…，a j，k1，…，k m，a i，…，a n，即为排列A'，由（1）可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A经过2m+1次的前后两数交换位置，可以得到排列A'，所以排列A与排列A'的逆序数的奇偶性不同，所以S（A）+S（A'）为奇数．综上，得S（A）+S（A'）为奇数．考点：数列与函数的综合．：。
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北京市西城区2016高三一模试卷
数学（理科） 2016．4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.设集合{}240A x x x =+<，集合{
}21,B n n k k ==-∈Z ，则A B = (A){}1,1- (B){}1,3 (C){}3,1-- (D){}3,1,1,3--
2.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为2x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数），则C 曲线是
(A)关于x 轴对称的图形
(B)关于y 轴对称的图形 (C) 关于原点对称的图形 (D)关于y x =对称的图形
3.如果()f x 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是
(A) ()y x f x =+ (B)()y xf x = (C)()2y x f x =+ (D)()2
y x f x = 4.在平面直角坐标系xOy 中，向量()1,2OA =- ,()2,OB m = ，若O ，A ，B 三点构成的
三角形，则
(A) 4m =-
(B)4m ≠- C)1m ≠ (D)m ∈R 5.执行如图所示的程序库按图，若输入的A 、S 分别为0，1则输出的S = (A)4 (B)16 (C)27 (D)36 6.设10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则“(),0a ∈-∞ ”是“12log x x a >+”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
7.设函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>），且函数()f x 的
部分图像如图所示，则有
(A)357436f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(B)375463f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (C) 573364f f f π
ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (D)537346f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 8.如图，在棱长为()0a a >的正四面体ABCD 中，点B ，C ，D 分别在棱AB ，AC ，AD
上，且平面111B C D ∥平面BCD ，1A 为
BCD △内一点，记三棱锥1111A B C D -的体积为V ，设1AD x AD =，对于函数()V F x =，则 (A)当23x = 时，函数()f x 取得最大值 (B)函数()f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数 (C)函数()f x 的图像关于直线12
x =对称 (D)存在0x ，使得()013
A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD
的体积） A
D C B
D 1C 1B 1
A 1
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
9.在复平面内，复数1z 与2z 对应的点关于虚轴对称，且11i z =-+，则12
z z = . 10.已知等差数列{}n a 的公差0d >，33a =-，245a a =，则n a = ；记{}n a 的前项和为n S ，则n S 的最小值为 .
11.若圆()22
21x y -+=与双曲线()2
22:10x C y a a -=>的渐近线相切，则a = ；双曲线C 的渐近线方程是 .
12.一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是
.
俯视图
13.在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者工作，且甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，共有 种不同的志愿者分配方案.（用数字作答）
14.一辆赛车在一个周长为3km 的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系.
根据图1，有一些四个说法：
①在这第二圈的2.6km 到2.8km 之间，赛车速度逐渐增加；
②在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6km ；
③大约在这第二圈的0.4km 到0.6km 之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；
④在图2的四条曲线（注：s 为初始记录数据位置）中，曲线B 最能符合赛车的运动轨迹. 其中，所有正确说法的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设3A π=
，sin 3sin B C =.
（Ⅰ）若a =b 的值；
（Ⅱ）求tan C 的值.
16．（本小题满分13分）
某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.
（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被成为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生，试估计，高一全年级中“体育良好”的学生人数；
（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[)60,70和[)80,90的样本学生中随机抽取2人，至少有1人体育成绩在[)60,70的概率；
（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a ，b ，c ，且分别在[)70,80，[)80,90，[]90,100三组中，其中a ，b ，c ∈N ，当数据a ，b ，c 的方差2s 最小时，写出a ，b ，c 的值.（结论不要求证明） （注：()()()
2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）
17．（本小题满分14分）
如图，四边形为梯形ABCD ，DAD BC ∥，90BAD ∠=
，四边形11CC D D 为矩形，已知1AB BC ⊥，4AD =，2AB =，1BC =.
（Ⅰ）求证：1BC ∥平面1ADD ；
（Ⅱ）若12DD =，求平面11AC D 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）设P 为线段1C D 上的一个动点（端点除外），判断直线1BC 与直线CP 能否垂直？并说明理由.
D 1
C 1
D C B
A
18．（本小题满分13分） 已知函数()1e e x x f x x a -=- ，且()'1e f =.
（Ⅰ）求a 的值及()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若关于x 的方程()()2
22f x kx k =->存在两不相等的正实数根1x ，2x ，证明：124ln e
x x ->.
19．（本小题满分14分）
已知椭圆()22:310C mx my m +=>
的长轴长为O 为坐标原点
（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；
（Ⅱ）设点()3,0A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且P 在y 轴的右侧，若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.
20．（本小题满分13分）
设数列{}n a 和{}n b 的项均为m ，则将数列和的距离定义为
1m i i i a b =-∑.
（Ⅰ）该出数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离
（Ⅱ）设A 为满足递推关系111n n n
a a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，{}n
b 和{}n
c 为A 中的两个元素，且项数均为m ，若12b =，13c =，{}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 得最大值；
素的距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16.。