2014-2015年江苏省南京市秦淮区八年级(上)期中数学试卷(解析版)

2014-2015学年江苏省南京市秦淮区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2分）以下列数组为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（）A．5，12，13 B．8，15，16 C．9，16，25 D．12，15，203．（2分）如图，△ABD≌△ACE，若AB=6，AE=4，则CD的长度为（）A．10 B．6 C．4 D．24．（2分）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．∠B=∠D=90°B．∠BCA=∠DCA C．∠BAC=∠DAC D．CB=CD5．（2分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，AD是角平分线，AD=6，则BC的长度为（）A．6 B．8 C．12 D．166．（2分）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（）A．B．C．D．7．（2分）下列说法：①角平分线上的点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等；④等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中，所有正确说法的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④8．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．6 B．5 C．4 D．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．（2分）等腰三角形一个角等于100°，则它的一个底角是°．10．（2分）角是轴对称图形，则对称轴是．11．（2分）一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是三角形．12．（2分）如图，△ABD≌△BAC，若∠C=95°，∠ABC=50°，则∠ABD=°．13．（2分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识画出一个与此三角形全等的三角形，他画图依据的基本事实是．14．（2分）在直角三角形中，若两条直角边长分别为6cm和8cm，则斜边上的中线为cm．15．（2分）如图，∠C=90°，∠BAD=∠CAD，若BC=11cm，BD=7cm，则点D到AB的距离为cm．16．（2分）如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯米．17．（2分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是．18．（2分）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m（容器厚度忽略不计）．三、解答题（本大题共5小题，共36分）19．（6分）已知：如图，C是AB的中点，AE=BD，∠A=∠B．求证：∠ACE=∠BCD．20．（8分）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=10，求△ADE的周长；（2）若∠BAC=130°，求∠DAE的度数．21．（8分）小明发现有些轴对称图形的对称轴可以用无刻度的直尺画出，依据是“轴对称图形中，已知线段与其关于某直线对称的线段（或其延长线）的交点在对称轴上．”请利用上述知识解决下面的问题：如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在下面三个图中分别作出直线l．22．（8分）学过《勾股定理》后，八年级某班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1m（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1m，到旗杆的距离CE为8m，（如图2）．于是，他们很快算出了旗杆的高度，请你也来试一试．23．（6分）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图，在BC上作出一点P，使PA+PC=BC，并简述理由或依据（不写作法，保留作图痕迹）．四、思考与探索（本大题共3小题，共28分）24．（8分）我们在学习“§2.5等腰三角形的轴对称性”时，有一个思考：“如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果∠B=30°，那么AC与AB有怎样的数量关系？”请你写出AC与AB所满足的数量关系并证明．25．（9分）已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点，E、F分别在AB、BC 上，且DE=DF．试判断∠BED与∠BFD的关系并证明．下面方框中是小明的判断与证明：解：∠BED=∠BFD，证明如下：如图：过点D作DM⊥AB，DN⊥BC，垂足分别为M、N，∴△DEM和△DFN是直角三角形，∵BD是∠ABC的平分线，DM⊥AB，DN⊥BC，∴DM=DN．在Rt△DEM与Rt△DFN中，，∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），∴∠MED=∠NFD，∴∠BED=∠BFD．数学老师认为小明的判断不完整，请你认真思考给出完整的判断并证明．26．（11分）先阅读材料，再结合要求回答问题．【问题情景】如图①：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且线段BE，EF，FD满足BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．【初步思考】小王同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是．【探索延伸】若将问题情景中条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，请判断上述数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【实际应用】如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处且相距210海里．试求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小．2014-2015学年江苏省南京市秦淮区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：第一个、第三个和第四个是轴对称图形，只有第二个不是轴对称图形，故选：C．2．（2分）以下列数组为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（）A．5，12，13 B．8，15，16 C．9，16，25 D．12，15，20【解答】解：A、∵52+122=132，∴A正确；B、∵82+152≠162，∴B错误；C、∵92+162≠252，∴C错误；D、∵122+152≠202，∴D错误；故选：A．3．（2分）如图，△ABD≌△ACE，若AB=6，AE=4，则CD的长度为（）A．10 B．6 C．4 D．2【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴AB=AC=6，AE=AD=4，∴CD=AC﹣AD=6﹣4=2，故选：D．4．（2分）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．∠B=∠D=90°B．∠BCA=∠DCA C．∠BAC=∠DAC D．CB=CD【解答】解：A、∵∠B=∠D=90°，∴在Rt△ABC和Rt△ADC中∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），故本选项错误；B、根据AB=AD，AC=AC，∠BCA=∠DCA不能推出△ABC≌△ADC，故本选项正确；C、∵在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC（SAS），故本选项错误；D、∵在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC（SSS），故本选项错误；故选：B．5．（2分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，AD是角平分线，AD=6，则BC的长度为（）A．6 B．8 C．12 D．16【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC=10，AD是角平分线，AD=6，∴BC=2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，BD2+AD2=AB2，即BD2+62=102，解得BD=8，∴BC=16．故选：D．6．（2分）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：易得剪去的4个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间．故选：C．7．（2分）下列说法：①角平分线上的点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等；④等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中，所有正确说法的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④【解答】解：①角平分线上的点到角两边的距离相等，说法正确；②等腰三角形底边上的高、中线与顶角的角平分线互相重合，说法错误；③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等，说法正确；④等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是40．故选：C．8．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∴S=×4×2+AC×2=7，△ABC解得AC=3．故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．（2分）等腰三角形一个角等于100°，则它的一个底角是40°．【解答】解：∵该角为100°，∴这个角只能是等腰三角形的顶角，∴该等腰三角形的顶角为100°，∴底角为=40°，故答案为：40．10．（2分）角是轴对称图形，则对称轴是角平分线所在的直线．【解答】解：角的对称轴是角平分线所在的直线．11．（2分）一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是直角三角形．【解答】解：（a+b）2﹣c2=2ab，即a2+b2+2ab﹣c2=2ab，所以a2+b2=c2，则这个三角形为直角三角形．故答案为：直角．12．（2分）如图，△ABD≌△BAC，若∠C=95°，∠ABC=50°，则∠ABD=35°．【解答】解：∵△ABD≌△BAC，∴∠D=∠C=95°，∠DAC=∠ABC=50°，∴∠ABD=180°﹣95°﹣50°=35°故答案为：35．13．（2分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识画出一个与此三角形全等的三角形，他画图依据的基本事实是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．【解答】解：依据为：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）．故答案为：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．14．（2分）在直角三角形中，若两条直角边长分别为6cm和8cm，则斜边上的中线为5cm．【解答】解：根据勾股定理得，斜边==10cm，∴斜边上的中线=×斜边=×10=5cm．故答案为：5．15．（2分）如图，∠C=90°，∠BAD=∠CAD，若BC=11cm，BD=7cm，则点D到AB的距离为4cm．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，∠BAD=∠CAD，∴DE=CD，∵CD=BC﹣BD=11﹣7=4cm，∴DE=4cm，即点D到AB的距离为4cm．故答案为：4．16．（2分）如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯17米．【解答】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为=12米，则红地毯至少要12+5=17米长，故答案为：17．17．（2分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是．【解答】解：连接AM，∵AB=AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM===4，=MN•AC=AM•MC，又S△AMC∴MN==．18．（2分）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3m（容器厚度忽略不计）．【解答】解：如图：∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，∴A′D=0.5m，BD=1.2﹣0.3+AE=1.2m，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B===1.3（m）．故答案为：1.3．三、解答题（本大题共5小题，共36分）19．（6分）已知：如图，C是AB的中点，AE=BD，∠A=∠B．求证：∠ACE=∠BCD．【解答】证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴∠ACE=∠BCD．20．（8分）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=10，求△ADE的周长；（2）若∠BAC=130°，求∠DAE的度数．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD=BD，AE=CE，又∵BC=10，∴△ADE周长为：AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10；（2）∵AD=BD，AE=CE，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，又∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=50°，∴∠DAE=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）=130°﹣50°=80°．21．（8分）小明发现有些轴对称图形的对称轴可以用无刻度的直尺画出，依据是“轴对称图形中，已知线段与其关于某直线对称的线段（或其延长线）的交点在对称轴上．”请利用上述知识解决下面的问题：如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在下面三个图中分别作出直线l．【解答】解：延长对应线段，找到交点，过交点作直线即可．22．（8分）学过《勾股定理》后，八年级某班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1m（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1m，到旗杆的距离CE为8m，（如图2）．于是，他们很快算出了旗杆的高度，请你也来试一试．【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳子长为（x+1）米，在Rt△ACE中，AC=x米，AE=（x﹣1）米，CE=8米，由勾股定理可得，（x﹣1）2+82=（x+1）2，解得：x=16．答：旗杆的高度为16米．23．（6分）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图，在BC上作出一点P，使PA+PC=BC，并简述理由或依据（不写作法，保留作图痕迹）．【解答】解：如图所示，点P为所求．理由：连接PA．∵由作图得，点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB．∵PB+PC=BC，∴PA+PC=BC．四、思考与探索（本大题共3小题，共28分）24．（8分）我们在学习“§2.5等腰三角形的轴对称性”时，有一个思考：“如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果∠B=30°，那么AC与AB有怎样的数量关系？”请你写出AC与AB所满足的数量关系并证明．【解答】解：数量关系：AB=2AC．理由如下：方法一：取AB的中点D，连接CD，∵∠ACB=90°，∴DB=CD=AD，又∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=CD=AD，∴AC=CD=AD=BD，即AB=2AC；方法二：证明：延长AC到D，使AC=DC，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠ACB=∠DCB=90°，∠A=60°，在△BCA和△BCD中，，∴△BCA≌△BCD（SAS），∴∠ABC=∠DBC=30°，∠D=∠A=60°，即∠DBA=60°，∴△ABD是等边三角形，AD=AB，又∵AC=DC，∴AD=2AC，∴AB=2AC．25．（9分）已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点，E、F分别在AB、BC 上，且DE=DF．试判断∠BED与∠BFD的关系并证明．下面方框中是小明的判断与证明：解：∠BED=∠BFD，证明如下：如图：过点D作DM⊥AB，DN⊥BC，垂足分别为M、N，∴△DEM和△DFN是直角三角形，∵BD是∠ABC的平分线，DM⊥AB，DN⊥BC，∴DM=DN．在Rt△DEM与Rt△DFN中，，∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），∴∠MED=∠NFD，∴∠BED=∠BFD．数学老师认为小明的判断不完整，请你认真思考给出完整的判断并证明．【解答】证明：∠BED=∠BFD 或∠BED+∠BFD=180°．过点D作DM⊥AB，DN⊥BC，垂足分别为M、N，（1）当DE与DF同侧时，如图①，∵BD是∠ABC的平分线，DM⊥AB，DN⊥BC，∴DM=DN，在Rt△DEM与Rt△DFN中，，∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），∴∠MED=∠NFD，∴∠BED=∠BFD；（2）当DE与DF不同侧时，如图②，同理可证Rt△DEM≌Rt△DFN，∴∠MED=∠NFD，又∵∠NFD+∠BFD=180°，∴∠BED+∠BFD=180°．26．（11分）先阅读材料，再结合要求回答问题．【问题情景】如图①：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且线段BE，EF，FD满足BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．【初步思考】小王同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是∠EAF=∠BAD．【探索延伸】若将问题情景中条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，请判断上述数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【实际应用】如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处且相距210海里．试求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小．【解答】解：【初步思考】∠EAF=∠BAD；【探索延伸】∠EAF=∠BAD仍然成立．证明：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．又∵EF=BE+DF，DG=BE，∴EF=DG+DF=GF．在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SSS）．∴∠EAF=∠GAF．又∵∠GAF=∠DAG+∠DAF，∴∠EAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．而∠EAF+∠BAE+∠DAF=∠BAD，∴∠EAF=∠BAD．【实际应用】如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C．∵1.5小时后，舰艇甲行驶了90海里，舰艇乙行驶了120海里，即AE=90，BF=120．而EF=210，∴在四边形AOBC中，有EF=AE+BF，又∵OA=OB，且∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的条件．∴∠EOF=∠AOB．又∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∴∠EAF=∠AOB=70°．答：此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小为70°．。