高数上册复习要点
高等数学(上册)重点总结
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限： ⑴当∞→x时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x xx ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 000㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
大一上学期高数知识点大全
大一上学期高数知识点大全1. 代数的基本概念1.1. 实数和复数1.2. 整式与分式1.3. 幂与根1.4. 指数与对数2. 函数与极限2.1. 函数的基本概念2.2. 一次函数与二次函数2.3. 指数函数与对数函数2.4. 极限的定义与性质3. 导数与微分3.1. 导数的定义与性质3.2. 常见函数的导数3.3. 高阶导数3.4. 微分的定义与应用4. 积分与不定积分4.1. 不定积分的定义与性质 4.2. 基本积分公式4.3. 定积分的定义与性质4.4. 牛顿-莱布尼茨公式5. 一元函数的应用5.1. 函数的增减性与最值问题 5.2. 函数与导数的几何意义 5.3. 曲线的图像与拐点5.4. 泰勒展开与近似计算6. 二元函数与多元函数6.1. 二元函数的性质与图像 6.2. 多元函数的极值与最值6.3. 偏导数与全微分6.4. 隐函数与参数方程7. 重积分与曲线积分7.1. 二重积分的定义与计算 7.2. 三重积分的定义与计算 7.3. 曲线积分的定义与计算 7.4. 曲面积分的定义与计算8. 空间解析几何8.1. 点、直线和平面的方程 8.2. 空间曲线与曲面8.3. 空间向量与坐标系8.4. 空间几何运算和投影9. 常微分方程9.1. 基本概念与一阶微分方程9.2. 可降阶的一阶微分方程9.3. 二阶线性常微分方程9.4. 高阶常微分方程的初值问题以上是大一上学期高等数学的主要知识点，通过深入学习这些内容，可以为后续学习及应用数学打下坚实的基础。
希望对你的学习有所帮助！。
高数上册知识点
高数上册知识点
1. 极限呐，这可太重要啦！就像你跑步要跑到终点一样，极限就是函数接近的那个值哟。
比如说，1/x 当 x 趋近于无穷大时，它的极限不就是 0 嘛！
2. 导数呀，不就是变化率嘛！就好比汽车的速度，速度快变化就大呀。
像求曲线 y=x^2 的导数，得到 2x，这就能知道它在各个点的变化快慢喽。
3. 连续可不能小瞧哦！可以想想水流，一直不间断就是连续呀。
比如函数 y=sinx 就是连续的嘛。
4. 微分呢，就有点像把一个东西拆得更细致呀。
比如说一个面包，微分就是把它分成很小很小的部分。
像 y=x^2 的微分就是 2xdx 呀。
5. 积分呀，不就是把那些小部分又合起来嘛！类似把面包碎块再拼成一个完整面包哟。
求曲线下的面积不就是用积分嘛。
6. 无穷小和无穷大就像两个极端呀！无穷小接近 0，无穷大就超级大嘛。
想想 1/x，当 x 很大很大时，不就接近无穷小啦。
7. 函数的单调性和极值也很有趣呀！就好像爬山，有上坡有下坡，还有山顶这个极值点。
比如 y=x^3-3x，就能找到它的极值点呐。
我觉得呐，高数上册的这些知识点真的很神奇，能让我们看到数学世界里好多奇妙的现象呢！。
高数重要知识点
高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限一。
函数的概念1 两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim(1）l = 0，称f （x )是比g (x ）高阶的无穷小,记以f （x ） = 0［)(x g ］,称g(x)是比f （x)低阶的无穷小.（2）l ≠ 0,称f （x ）与g （x ）是同阶无穷小.（3)l = 1,称f （x ）与g (x )是等价无穷小,记以f （x ） ～ g (x ）2 常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ～ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ～ x1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ～ x ，)1ln(x + ～ x ，1)1(-+αx ～ x α二 求极限的方法1．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在 准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f （x ） ≤ h （x ） 放缩求极限若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim0=→x xx 公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式当x 0→时,有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n nn nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-=)()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1)0)(lim 0=→x f x x ,0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大)这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)(lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则。
高数上册知识点总结不挂科
高数上册知识点总结不挂科高等数学上册是高等数学的第一部分内容，主要包括数列、极限、函数、导数、微分与微分应用等内容。
高等数学上册的学习是后续数学学习的基础，因此对于学生来说，一定要认真学习，并掌握好其中的知识点。
一、数列数列是一组按照一定规律排列的数，它是高等数学中最基础的内容之一。
数列的概念、性质和应用是高等数学学习的重点之一。
1.1 数列的概念数列是指将按照一定的次序排列的一列数按照一定次序排列成的一个复数，例如{1，2，3，4，5…}就是一个数列，其中的数称为数列的项，用a1,a2,a3…表示。
1.2 数列的性质数列的常见性质包括：通项公式、公差、前n项和等内容。
1.3 数列的应用数列在实际生活和工程技术中有着重要的应用，例如在数学建模、物理问题、工程优化等领域都有着广泛的应用。
二、极限与函数极限是数学分析的一个重要概念，它是高等数学的核心内容之一。
而函数是数列的推广，是现代数学和工程技术中最重要的数学概念之一。
2.1 极限极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了数列或函数在某一点或无穷远处的特定性质。
极限是高等数学中的一个核心内容，它在微积分、微分方程等数学分支中都有着重要的应用。
2.2 函数函数是数学中的一个基本概念，描述了自变量和因变量之间的对应关系。
函数在数学和工程技术中有着广泛的应用，在微积分、微分方程、概率统计等领域都有着重要的地位。
三、导数导数是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点的变化率。
导数的概念和性质是高等数学学习的重点内容，也是后续微积分学习的基础。
3.1 导数的定义导数的定义是描述函数在某一点的变化率，它可以通过极限的概念来进行定义。
3.2 导数的性质导数有着许多重要的性质，例如导数的几何意义、导数的计算法则、导数的应用等。
3.3 导数的应用导数在实际生活和工程技术中有着重要的应用，例如在物理问题、工程优化、金融经济等领域都有着广泛的应用。
四、微分与微分应用微分是导数的推广，它是微积分学中的一个重要内容。
(完整版)高数上册知识点
高等数学上册知识点第一章 函数与极限、、、函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数在连续)(x f 0x )()(lim 00x f x f x x =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
、、、极限1、定义1、数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2、函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00、、、左极限： 右极限：)(lim )(00x f x f xx -→-=)(lim )(00x f x f xx +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 、、2、极限存在准则1、夹逼准则：1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim ax n n =∞→lim 2、单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、无穷小（大）量1、定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量。
0lim =α∞=αlim2、无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小k Th1;)(~ααββαo +=⇔Th2 （无穷小代换）αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~、、、、4、求极限的方法1、单调有界准则；2、夹逼准则；3、极限运算准则及函数连续性；4、两个重要极限：a) b)1sin lim 0=→xxx e xx xx xx =+=++∞→→11(lim )1(lim 105、无穷小代换：（）0→x a)xx x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b)221~cos 1x x -c)（）x e x ~1-a x axln ~1-d)（）x x ~)1ln(+axx a ln ~)1(log +e)xx αα~1)1(-+第二章 导数与微分、、、导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数在点可导)(x f 0x )()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率。
高一上学期数学重点知识点复习
高一上学期数学重点知识点复习一、函数与方程1.函数的概念与表示方法：自变量、因变量、定义域、值域、图像等。
2.函数的基本性质：奇偶性、周期性、单调性、最值等。
3.常见函数的图像特征：线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
4.函数的运算：加减乘除、复合函数、反函数等。
5.一次方程与一次不等式的解法。
6.二次方程及其解的求法：配方法、因式分解、公式法等。
7.二次函数与二次方程的关系：顶点坐标、轴对称性等。
二、集合与运算1.集合的表示方法：枚举法、描述法、图示法等。
2.集合的基本运算：并集、交集、差集、补集等。
3.集合的运算规律：交换律、结合律、分配律等。
4.集合的关系：包含关系、相等关系、互不相交关系等。
5.数与集合的基本关系与运算：自然数、整数、有理数、实数等。
三、数列与数列的运算1.数列的概念：顺序数、项数、公差、通项等。
2.常见数列的性质：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
3.数列的运算规律：加法、减法、乘法、除法等。
四、概率与统计1.概率的基本概念：随机试验、样本空间、事件、概率等。
2.事件的运算：包含关系、互不相交关系、并事件、积事件等。
3.概率的计算：古典概率、几何概率、条件概率、独立事件等。
4.统计的概念与方法：频数、频率、分组表、频数分布图等。
五、平面几何1.点、直线、平面及其性质：共线、平行、垂直等。
2.三角形的性质：角的性质、边长关系、面积计算等。
3.四边形的性质：平行四边形、矩形、正方形、菱形等。
4.圆的性质：圆心角、弧长、周长、面积计算等。
5.三角形的相似与全等性质：比例关系、角度关系等。
六、空间几何1.空间图形的基本概念与性质：点、线、面、体等。
2.立体图形的表面积计算：长方体、正方体、棱柱、棱锥等。
3.空间图形的体积计算：长方体、正方体、棱柱、棱锥、球等。
4.空间图形的投影与剖面：平行投影、垂直投影、平面剖面等。
七、导数与微分1.导数的概念与性质：斜率、变化率、图像、导函数等。
(完整版)高等数学(上)重要知识点归纳
高等数学（上)重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1） )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小。
（2)（保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ,则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。
（3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。
二、求极限的主要方法与工具 1、＊两个重要极限公式 (1)1sin lim=∆∆→∆ （2)e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则 （1） ＊夹逼准则 （2)单调有界准则 3、＊等价无穷小替换法常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin (2)∆∆~tan(3)∆∆~arcsin (4)∆∆~arctan（5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- （8）nn ∆-∆+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较＊ 高阶、同阶、等价1、连续的定义＊)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f A y A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章 导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义＊a f x f a f x a f y dy a f y ax x x a x a x -=-∆+=∆=='='→→∆→∆==)()(lim )()(lim lim |)(|002、左右导数 左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(03、导数的几何意义＊k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系： 连续，反之不然。
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14页到16页可以不看 记住 17页定义2
lim
n
xn
A
0, N , 当 n> N 时, xn A
记住18页 例3，例5 的结果，其他的 可以不看 19页 20页 记住定理 的条件结论不看 证明过程
重点： 21页 夹逼准则 例6 子数列的定义 定理 22页 极限的四则运算 的条件
23页 定理8 24页 例8 例9
27页 重要极限 lim 1 1 e
n
n
29页 作业 3题全部 4题全部 不做7题
函数极限 记住
limf
x x0
( x)
A
当 0 x x0 时, f ( x) A
可以不看 30页 到34页的内容
重点：35页最后一行
左极限 f ( x0 ) 右极限 f ( x0 )
[u( x) v( x)] [u( x)]v( x)u( x)[v( x)]
[vu((xx)) ]
[u( x)]v( x)u( x)[v( x)] [v( x)]2
3.复合函数 90页 到92页 所有例子
4.隐函数 93页 到95页 所有例子
5.参数方程 96页 两个例子
f (a) f (b),则 介于 f (a), f (b) 之间 的任何实数C
必存在
使 f ( ) C
即 连续函数 必取得 介于端点函数值之间的任何值.
推论1:在闭区间上 连续的函数 必取得 介于
最大值 与最小值 之间 的任何值 .
y y f (x)
f (b)
C
f (a)
o a bx
第二章复习要点 导数 与微分 y f ( x)
微分：
108页 两个例子 必须记住107页的微分公式
一阶导数： y , f ( x) , dy , df ( x)
dx dx
二阶导数：
d( dy )
f ( x) ,
d2 y
dx2
dx dx
n阶导数：
dn1 y
f
(n)(x) ,
dn y dxn
证:
因为 f ( x)在闭区间[0, 1] 上连续,
且 f (0) f (1) 0,
所以 必存在
使 f ( )
结论正确
64页 例27 例28 例29 例30 66页 作业 不需要做的有 2题 3题 10题
其余的题 都必须独立完成
67页 总习题一 不需要做的有 20题
其余的题 都必须独立完成
推论2 (根的存在定理) 若 f ( x)在[a , b] 上连续,
且 f (a) f (b) 0, 则 必存在
使 f ( ) 0,
即 方程 f ( x) 0 在
内至少有一个实根
y
f (b)
a o f (a)
y f (x)
x
b x 例1.证程明方
在区间 内至少有 一个根 .
若
是分段函数，且 x0 是分界点，
则条件f (左x右0 )极xli限mx0都存x在x且0 相等
否则 计算 左右导数
即 在x0 左右两侧
的表达式 相同 且变化趋势相同
左导数
右导数
f
(
x0
)
lim
x x0
x x0
f
(
x0
)
lim
x x0
82页 到84页 所有例子
x x0
7、 导数的几何意义
(cot x ) csc2 x
(csc x)
1 1 x2
1
1
x2
(sec x) sec x tan x
1 1 x2
1
1
x
2
2.四则运算的导数
[u( x) v( x)] [u( x) ][v( x)] [u( x)v( x) ] [u( x)][v( x)]
～ 一个分式 的极限
数
arcsin x～ x
分子 或分母 有 减法加法 左边的函数不能替换
～ 两个分式 差的极限
ex 1～ x
必须通分 变成一个分式 变成一个分式 此时
～
分母 可以替换
～ ax
分子 ？
62页 例24 例25 例26
极限 (1) 若 (2) 若 (3) 若
证明
的计算方法 则 则
则
1
e 58页 例21
在点 连续
lim f ( x)
x x0
f ( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 ) 左连续,
且 f ( x0 ) f ( x0 ) 右连续
一切初等函数 在定义区间内连续
间断点分类:第一类间断点： 及 均存在,
若
称 x0为
的可去 间断点.
定理 x0为
的可去间断点 lim f ( x)存在 x x0
若
称 x0 为跳跃间断点 .
第二类间断点：
与
至少有一个 不存在,
若其中 有一个为 , 称x0为无穷间断点 .
若其中 有一个振荡 例如
,
称
x0
y
为振荡间断点 y sin 1 x
.
o
x
x0为
的振荡间断点.59页 例22 例23
闭区间上函数连续的性质 定理9.在闭区间上连续的函数在该区间上
一定有最大值 和最小值. 定理10(介值定理) 若 f ( x)在闭区间[a , b]上连续,
36页定理1 例8 例9
37页 定理2 定义4
38页 例11 39页 重要极限
sinx x
1
sin 右边的 x0
可以 去掉 sin
41页 定理7 例12 重点：42页 定理8 例14 到44页所有例题
无穷小量与无穷大量
是
时的无穷小 .
有界函数 与无穷小的乘积 是无穷小 .
46页 例20 48页 例23 习题1-4 不需要做的有 1题 其余的题 都必须独立完成 某些题 可以用 罗比达法则
123页 到129页所有例题 所有习题
61页 定义7 定理8 等价无穷小替换
设
则
lim
f (x)
g( x)
常用等价无穷小 : 当 x 0 时
sin x ～ x
四则运算中
～
1 cos x～1 x2
只有乘法、除法 可以替换
加法、 减法 不能替换 左边的函数 乘以除以其它函数
2
可以替换 成右边的函
曲线
在点
的切线斜率 k f ( x0 )
曲线在点
处的
切线方程:
法线方程:
y y f (x)
CM
T
o x0
x
法线
( f ( x0 ) 0)
第一章 函数 极限 连续
重点： 极限 各种计算方法，
判别函数 是否连续 函数的定义域 反函数的计算（中学的方法）
1页到11页可以不看 记住12页的初等函数
若
则
[ ]
[
]
[ (t)]
d2 y
dx2
(t )
[ ]
99页 到102页所有例子
6、 某一点处的导数
在点 处的导数 有下列记号
y x x0
f
(
x0
)
dy dx
x x0
算法： 若 是初等函数，或[ f ( x)] 在 连续
则 f ( x0 ) [ f ( x)] xx0
d(dxn1 ) dx
1. 常数和基本初等函数 的导数 (P92) ( ) 0
x( a ) a xa1 ( x ) 1
2x
(ln x)
1
x
( ) a x ln a
( ) e x
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x