清华大学经济管理学院_武康平_高级微观经济学

效用最大化：消费者在预算集合中选择最满意的消费向量。 马歇尔需求：预算集合中消费者认为是最好的消费方案。这 是消费者最终决定的消费方案，即是消费者的需求(向量)。
需求集合D(p, r)：预算集合 ( p, r) 中消费者认为最好的消费 方案的全体，即 D( p, r) ={x( p, r): (z( p, r))( z x )}。
定理 在消费集合 X 为下有界闭子集 的情况下，对任何价格体系 p >> 0 及 收入 r，预算集合 ( p, r) 都是有界闭 集，从而是紧集。 X
( p, r)
a
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பைடு நூலகம்
效用最大化
(一) 预算约束
2. 最低生活保障
最低生活保障制度：为了保证消费者在收入限制下能选择到 商品，消费者收入不应低于最低收入标准。 最低收入标准：I( p) = inf { px: xX }，即消费集合X 中的 最低支出(这是在价格体系 p 下来谈的)。 最低生活保障： r I( p)，即这是一种让收入不低于 I( p) 的制度。 条件 r I( p) 也可叫做最低收入条件或最低支出条件。
预算约束：是指客观条件和经济条件对消费选择共同构成的 制约，可表示为：(xX ) ( px r)。
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效用最大化
(一) 预算约束
1. 预算集合
预算集合(budget set)：由预算约束确定的消费选择范围，它 是 X 的子集 ( p, r) = {xX : px r}。
预算线(budget line)：是指超平面 px = r。
定理 在假设HC和HP下，需求映射 : X 具有下述性质： ① 效用最大化：( p, r)， xX ， x ( p, r) px > r ； ② 零阶齐次性：( p, r)，t > 0，都有 (tp, tr)= ( p, r)； ③ 瓦尔拉定律：( p, r)，都有 p ( p, r) = r。
x D ( p, r )
X
y
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效用最大化
(二) 马歇尔需求
1. 关于马歇尔需求的基本问题
几个基本问题 需求是否存在？即需求集合D( p, r)是否非空。如果需求 集合是空集，那么效用最大化就是空谈。 需求是否唯一？即在 D( p, r) 非空的情况下，D( p, r) 是否 是单点集？如果 D( p, r) 不是单点集，那么就会引起消费 选择上的不确定，会让消费者“眼花缭乱”。 消费者是否不把收入用完就能实现效用最大化？这是一 个有关效用最大化理论是否符合实际现象的重要问题。 两个重要集合：回答以上问题，需要用到下面两个集合 。 价格收入集合 ： {( p, r ) R R : ( p 0) (r I ( p))} 集合的内部 ： {( p, r ) R R : ( p 0) (r I ( p))}
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(五) 应用事例
两个实际问题 问题1：销售税与所得税哪一种对消费者更为有利？ • 国家向居民征税有两种办法，一种是征收销售税，另 一种是征收所得税。 •假定不论采取哪种办法，居民纳税额一样。那么，哪 一种征税办法对居民会更为有利些? 问题2：涨价补贴对消费者是否有利？ •商品涨价，政府发放补贴。一种办法是不许涨价，把 价格补贴发给生产者。另一种办法是允许涨价，把价 格补贴发给消费者。 •哪一种补贴办法对消费者会更为有利些？ 假定：当前市场上，价格体系为 p，消费者收入为 r，消费者 的选择为 xD( p, r)。 14
效用最大化：理性消费者正是在服从种种限制的情况下, 选 择自己最满意的消费方案。 pR ，消费者收入 r。 前提假设：消费集合 X R ，价格体系
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效用最大化
(一) 预算约束
条件限制：客观条件限制、主观条件限制 客观条件限制：是指政策法规、生理、环境等非经济因 素对消费选择的制约。这些制约因素划出了消费者的消 费集合 X 。因此，客观条件限制可表示为 xX 。 经济条件限制：主要是价格与收入等经济因素对消费选 择的制约，可表示为 px r。 •理性消费者不偷、不抢、不骗，可赊账或借款消费。 但这不意味着可免费消费，天下没有免费的午餐。 •赊账和借款相当于收入扩大，然后在扩大的收入限制 下进行消费选择，并没有没有摆脱经济条件的限制。
定理 设 X 为消费集合，p 为价格体系，r 为消费者收入。 ① 如果 X 且 r > I( p)，则预算集合非空，即 ( p, r) ； ② 如果 X 是非空下有界闭集，p>>0 且 r I( p)，则 ( p, r)是 非空有界闭集。
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效用最大化
(二) 马歇尔需求
y
z
x
瓦尔拉定律的意义：为了效用最大化，必须把钱花光。 实际事实：人们不会把钱花光！其实，货币也是商品。当把 货币加入到商品行列时，瓦尔拉定律正表明，为了效用最大 10 化，消费者不会把钱花光。
效用最大化
(二) 马歇尔需求
4. 零阶齐次性
定理 对任何( p, r)及任何正实数 t，都有D(tp, tr) = D( p, r)。 证明：这是因为预算集合不受影响。 零阶齐次性的意义：价格和收入的同比例变动不改变人们的 选择，不影响人们的生活水平。 消费者方面：收入来自要素报酬。所有商品价格同比例 上涨，意味着消费者收入同比例上升。 生产者方面：以后要讲述的生产者理论也会说明，所有 商品价格的同比例上升不影响生产选择，产品供应和要 素需求不会变化，而生产者的利润要同比例上升。 通胀效应：所有商品价格同比例上升，既不改变消费选 择，也不改变生产选择，反而使企业利润同比例上升。
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效用最大化
(四) 间接效用函数
“价格-收入”决定生活水平： 价格与收入决定消费者的需 求向量，而需求向量决定实际生活水平。因此，价格与收入 共同决定消费者的实际生活水平。
间接效用函数：当偏好 是通过效用函数 u 来表达时，需求 向量 ( p, r) 的效用值 u( ( p, r)) 便代表消费者生活水平。这就 确定了一个函数：u ( p, r ) u( ( p, r )) (( p, r ) ) ，叫做消费者 的间接效用函数。 间接效用是由价格和收入决定的消费者效用水平。 间接效用函数 u : R 反映了价格和收入同消费者的实 际生活水平之间的关系，因而是代表实际生活水平的效 用函数。
支出最小化
先验命题：任何人都希望在不改变生活水平的情况下，让自 己的消费支出达到最小而非最大。
支出最小化：当消费者面临一种消费方案时，常常还要看有 没有其他具有同样效用但支出更少的方案。 理由：货币也是具有效用的商品，支付货币就是支付效 用。以货币换商品，就是以效用换效用，理性消费者当 然希望以较少的效用换得较多的效用。 准确表述：在保证生活水平不降低的情况下，消费者谋 求消费支出达到最少。这就是说，消费者首先确定一个 效用水平，然后在不低于这个效用水平的前提下，使消 费支出达到最小。 希克斯从支出最小化出发，分析了消费者的选择，给出 了今天称谓的希克斯需求概念。
效用最大化
(五) 应用事例
1. 销售税与所得税的比较
销售税：税率向量 t = (t1, t2,, t)，ti 为 购买一单位商品 i 的税额。按 t 征收销 售税，相当于价格从 p升为p+t，于是 需求从 xD( p, r)变到 yD( p+t, r)，纳 税额为 T = ty。注意， y ( p+t, r ) ( p, r)，故 y x。 y x
证明：用反证法，假定 xD( p, r)使得 px < r。 无满足 ( yX )( y x)，故 p y > r。在连接 x 与 y 的直线段上必有一 点 z 使得 pz = r，故 z( p, r)。 的凸性 保证了 z x，这与 xD( p, r)相矛盾。可 见，反证法假定不成立。
效用最大化
(五) 应用事例
2. 价格补贴发放办法的比较
不许涨价：把补贴发给生产者，不许 x 商品涨价。这种情况下，消费者的选 择为 xD( p, r)。 允许涨价：把补贴发给消费者，允许 商品涨价。假定涨价后，价格体系为 q。消费者得到补贴后，收入从r 提高 到s，需求向量从 x 变为 yD(q, s)。 x y 补贴标准：补贴后，要保证消费者仍 可以按照原来的方案进行消费，即补 贴 = qx px，也即 qx = s。 比较：x (q, s)，故 x y。这说明，“涨价 +补贴消费者” 要比“不涨价 +补贴生产者”对消费者更为有利一些。 16
所得税：把销售税改为所得税，直接 x y 从收入r中扣除销售税情况下的税额T z = ty，则预算集合变为 ( p, r- T )，消 费者选择变为 zD( p, r- T )。 比较：易见，y( p, r- T )，故 y z。这说明，虽然纳税额相 同，但征收所得税要比征收销售税对居民更为有利一些。 15
定理 马歇尔需求集合中任何两种方 案都无差异：(x,yD( p, r))(x ~ y)。 证明：任意给定 x,yD( p, r)。 xD( p, r) & y( p, r) y x。 yD( p, r) & x( p, r) x y。 因此，x ~ y。
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效用最大化
(二) 马歇尔需求
2. 存在性与唯一性
定理 如果 X 是非空下有界闭集， 连续，(p, r)，则需求 集合D( p, r)是非空闭集，从而马歇尔需求存在。另外，如果 X 是凸集且 弱凸，则D( p, r)是凸集。
需求集映：从上述存在性定理可知，理性消费者的马歇尔需 求确定了一个从 到 X 的对应(取值为非空集合的集值映射) D : X ，称为消费者的需求对应或需求集映。
Lecture 4
消费最优化