函数思想在数列问题中的应用
函数思想在数列中的应用
＊ 臻
函数 思想在 数 列 中的应 用
◎ 王 璐 （华 中 师 范 大 学数 统 学 院 ４３００７９ 湖 北省 襄 樊 市 南漳 县 第一 中学 ４４１５００）
数 列 一 直 备 受 高 考 命 题 人 的 青 睐 ，也 是 学 生 的难 点 问 题 ．我 们 可 以把 数 列 通 项 公 式 ％ 与 前 ｎ项 和 公 式 ５ 看 成 是 一 种 以 正 整 数 ｎ为 自变 量 的 函 数 ，那 么 数 列 的性 质 就 可 以通 过 函 数 的 性 质 反 映 出来 ．本 文着 重 用 函 数 的观 点 去 理 解 数 列 ，找 出它 们 之 间存 在 的 联 系 ，拓 展 学 生 的 思 维 结 构 ， 提 高 学 生分 析 问题 和 解 决 问题 的 能 力 ．
·。 ，ｒ … ．＋ 奇１ １ 寺
总 之 ，运 用 函 数 思 想 解 决 数 列 问题 ，能 使 一 些 数 列 问 题 简 单 化 、趣 味 化 ，提 高 学 生 学 习 数 列 的 兴 趣 ，锻 炼 其 思 维 ，培 养 其 能 力．
，
）（ ：
１，２… ）的表 达 式 ；
（２）设 直 线 ＝ ， ＝— ， 轴 及 ｙ＝／（ ）的 图像 围
成 的矩 形 的 面 积 为 （ ＝１，２… ），求 ａ１，ｎ２及ｌｉｍ （ａｌ ４－啦＋… ＋
％）的值 ． 分 析 本 题 考 查 函 数 、数 列 、极 限 等 基 本 知 识 的综 合 问
２．用 函 数 的 单 调 性 求值 域
例 已知 数 列 ｛ａｎ｝中 ， ＝ １＋— ，求 数 列 中 最 大
｝ ｎ 一
项 与 最 小 项． 分 析 这里 求 数 列 的 最值 ，不 妨 我 们 就 用 函数 的思 想
函数思想在数列中的应用
应用函数思想解决数列问题上海市澄衷高级中学 丁志伟数列问题一向是高中数学的重点与难点，除了其自身的一些特殊性质外，从函数角度来看，数列从根本上讲是一种特殊的函数（通常是离散函数）。
所以很多数列问题都可以从函数的角度来考虑，运用函数的概念、性质、图像来解决问题。
所以本文主要说明如何应用函数思想来解决数列问题。
基础知识：用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数列，∵a n =a 1+（n －1）d =dn +（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是n 的一次函数，对应的点（n ，a n ）是位于直线上的若干个点.当d ＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d =0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n 项和为S n ，则S n =pn 2+qn （p 、q ∈R ）.当p =0时，{a n }为常数列；当p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列：a n =a 1q n-1.可用指数函数的性质来理解.当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列是递增数列；当a 1＞0，0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是递减数列.当q =1时，是一个常数列.当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.一、运用函数的有关概念解决问题1．运用函数图像上点的坐标的意义来解决问题例1已知等差数列{}n a 的前 m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（C ）A 、130B 、170C 、210D 、260分析:等差数列的前n 项和n S =21()22d d n a n +-,可以看成关于 n 的二次函数,则n S n 可以看成关于n 的一次函数. 一次函数图像是一条直线,那么三个点)3,3(),2100,2(),30,(3mS m m m m m m 就在同一条直线上,利用斜率相等,得它的前3m 项和为210. 2．运用复合函数概念解决问题例2、已知122113,,,3n n n n a a a n Z a -*+==∈=求分析:条件21n n a a +=理解为2(1)()f n f n +=，而1122423)1()2()1()(--==⋯⋯=-=-=n n f n f n f n f二 、运用函数图像使数列问题直观化具体化1、利用凸凹函数图像解决问题例3、 某厂2001年投资和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同。
函数思想在数列中的渗透及应用
（责任 编 辑 金 铃 ）
（ ＋ ＝＝ ＝
＋
五，
一 Ⅲ （ ＋
）＋
·
Ｎ ＩＸＩＥ ＡＢ过 定 点 Ｍ （ Ｃ ｚ。，一 Ｃ ）·
当直线 ＡＢ的斜率 为 ０时，可 以验证 ＡＢ也 过定 点 Ｍ ．由于以上各步可逆 ，充分性也成立．
所 以原 命 题 得 证 ．
结 论 ３：对 于双 曲 线 一 一 １（。＞ ｏ，６＞ ｏ），点 ｃ （ ，Ｙ。）是双曲线上的一定点 ，ＡＢ是它的一动 弦 ，则 ＣＡ
知识 ，以函数 的概 念 、图象 、性质 为纽 带 ，架起 数 列 与 函
数的桥 梁 ，揭示 它们 之间 的内在联 系，从而有 效化解 数
列问题 ，本 文结合几个实例谈谈 函数思想 在数列 中的渗
透 及应 用 ．
一 、 运 用 函数 的有 关 概 念 研 究 数 列
数列 的通项公式 ａ 以及 前 项 和 Ｓ 均是关 于变量
（ ＋ 以。） ＋ （６。一口 ）ｍｙｏ＋ （６ ｍ ａ。）ｚ０— ０，
／
／。 ．
￣ＣＢ的充要 条 件 是 动 弦 ＡＢ过 定 点 Ｍ ‘
ｚ。，一
也 就 是 ”一 （ ＋ ）， 把 它 代 入 直 线 方 程 ｘ＝ｍｙ－￣ｎ得
一 ＋ ｛ （ ＋ 。）
）．（其 中 ｃ 一＆。＋６ 证 明 过程 与结 论 ２类 似 ．
．
【例 ２】 在等 比数列 ｛ｎ ）中，前 ｎ项 和为Ｓ ，已知 Ｓ 一３，Ｓ 一１５，求 Ｓ ．
思路导引 ：由题设知 ，公 比 ｑ≠１考虑 到等 比数列 前 项和对应 的 函数 为 ：Ｓ 一Ｋ ·矿一Ｋ（Ｋ 是 常数 且 ｑ≠ ０，ｑ≠ １，则 有 ：
浅谈结合函数思想巧解数列问题
浅谈结合函数思想巧解数列问题数列问题在数学中是一个常见的问题类型，需要通过数学方法来求解。
而结合函数思想可以巧妙解决很多数列问题，本文将从基本概念开始介绍函数思想与数列问题的结合，然后通过实例讲解如何利用函数思想巧解数列问题。
一、函数思想与数列问题的结合在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
而数列则是按照一定顺序排列的数的集合，可以看作是函数的一种特殊形式。
函数思想在解决数列问题时可以发挥重要作用，通过定义函数或利用函数的性质来解决数列问题，可以简化问题的复杂度，提高问题的解决效率。
二、利用函数思想解决数列问题的基本方法1. 定义函数在解决数列问题时，可以定义一个函数来描述数列的规律。
通过函数的定义，可以找到数列中各个元素之间的关系，从而解决数列问题。
对于等差数列an = a1 + (n-1)d，可以定义函数f(n) = a1 + (n-1)d，来直观表示等差数列的通项公式。
通过定义函数，可以将数列问题转化为函数问题，更容易解决。
三、实例分析下面通过几个实例来说明如何利用函数思想巧解数列问题。
实例一：求等差数列的前n项和对于等差数列an = a1 + (n-1)d，要求前n项和Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... + (a1+(n-1)d)，可以定义函数f(n) = a1 + (n-1)d，然后利用等差数列的性质来求解。
根据等差数列的性质，前n项和可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2 = (a1 + a1+(n-1)d) * n / 2 = (2a1 + (n-1)d) * n / 2 = f(1) * n + d * n * (n-1) / 2，这样就用函数思想巧妙解决了等差数列的前n项和问题。
实例二：求斐波那契数列的通项公式对于斐波那契数列an = an-1 + an-2，要求通项公式，可以利用递归函数的性质来求解。
例析函数思想在解决数列问题中的应用
例析函数思想在解决数列问题中的应用作者：高青来源：《职业·中旬》2010年第05期数列是一类定义在正整数集或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的特殊函数,当自变量由小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值;数列的通项公式an=f(n)是数列的第n项an与自变量n 之间的函数解析式;数列的图像是横坐标为正整数的一系列的离散的点。
一、用函数观点认识数列数列的通项公式及其前n项和公式的作用在于反映an及Sn与n之间的函数关系式。
等差数列和等比数列式两类特殊的数列,它们的特殊性在通项公式和前n项和公式的结构特征中有充分体现,同时在两公式的相互关联上也有所反映。
对于等差数列{an},它的通项公式an=,an可以看作关于n的一次函数(特殊地,公差为0时是常数函数)图像上的离散点;当d≠0时,前n项和Sn可以看成为关于n的二次函数的图像上的离散点(特殊地,当公差为0时,Sn可看成为关于n的正比例函数或常数函数0的图像上的离散点)。
对于等比数列的通项公式n,前n项和公式的图像是类似于指数函数图像上的离散点。
在教学中充分注意到等差、等比数列的这些图像特征,对于理解等差、等比数列的性质有很大帮助,同时也为解决等差、等比数列的有关问题提供简捷、有效的方法。
二、用函数的方法解决数列问题1.用函数观点研究数列前n项和问题例1.已知数列{an}的前n项和公式为Sn,且S10=100,S100=10试求S110。
分析:由于等差数列前n项和的表达式可变形为当d≠0时,Sn是n的二次式,所以当d≠0时,可看成为n的一次函数图象上的离散点,因此{}也是等差数列。
解:已知{}是等差数列,所以点(10,),(100,),及(110,)三点共线,-110。
例2.已知数列{an}是等差数列,公差d≠0,a1>0,若SK=Sl(K≠1,K,L∈N),求:(1)SK+l的值;(2)Sn 取最值时,n的值。
分析:由于公差不为0的等差数列的前n的项和可看成为关于n的且常数项为0的二次函数图象上的离散点,因为图象经过原点,且,可判断其图象开口向下,所以可以利用二次函数的对称性求出SK+i的值和Sn取最值时n的值。
基于新课程论函数思想在数列中的重要性
基于新课程论函数思想在数列中的重要性：一、问题提出新课程对“双基”的要求越来越明确，其中对于数列内容的学习，要求学生不仅掌握数列的概念以及基本知识、理解这些概念及其本质，还要体会其中所蕴含的数学思想，对数列内容的处理突出函数思想、数学模型思想以及离散与连续的关系，能够学以致用。
但在有些教学课堂中常常看到这样的现象：仅仅单纯讲数列知识，很少将函数思想融入。
而函数与数列作为高中数学内容的两大模块，有着举足若轻的位置，更有着密不可分的关系。
二、在人教版教材数列一章中函数思想的体现1.教学目标中对函数的要求新课程教学目标要求学生不仅要对基础知识的掌握，还要认识现实世界和实际生活的联系，培养学生的数学应用意识。
数列作为一种离散函数，是一种重要的数学模型，培养学生能用函数的背景和研究方法来认识、研究数列，从而能解决一些实际问题。
2.教材内容的编排上函数思想的体现从教材编排上，函数内容几乎是必修1中所有内容，而数列在必修5第二章以一个独立章节出现，约占12个课时，说明这两个模块在高中数学上都处于相当重要地位。
而函数知识几乎贯穿高中数学学习的始末，在高中数学学习中起着决定性作用。
数列一章中学习，与函数的联系大部分是在概念和例题中直接体现出来，几乎每一节都能可看到函数的身影。
人教版高中数学必修5中2.1数列的概念和简单表示法一节中，解释数列的概念时将数列看成是：以正整数集N为定义域的函数an=fn当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一对函数值。
利用了函数的概念解释数列的概念，以及接下来在数列的简单表示法中介绍了通项公式、列表法、图像法、简单的递推公式四种表示法，其中的通项公式可看成数列的函数解析式，列表法和图像法也正是函数的表示法，这恰恰呼应了数列是一种特殊函数。
有了前面数列是一种特殊函数做铺垫，在后面等差数列和等比数列的学习中更加明确突出了与函数的联系。
如2.2等差数列例3，已知数列an的通项公式为an=pn+q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？此题通过利用等差数列的定义判定an是不是等差数列，最终得到an-an-1=d（n≥2）是一个与n无关的常数，证明这个数列是等差数列。
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用【摘要】本文将探讨函数思想在高中数学解题中的重要性和应用。
在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们理解和解决复杂的方程，提高解题效率。
在几何问题中，通过函数图像的分析，我们可以深入理解几何形状的性质，从而更好地解决几何难题。
函数思想在数列与数论中的应用也不可忽视，通过函数的性质可以发现数列中的规律，解决数论中的难题。
使用函数思想解决数学建模问题和简化解题过程都是本文要探讨的内容。
通过本文的学习，读者将更好地认识到函数思想在高中数学解题中的广泛应用和重要性，为未来高中数学教学提供思路和方法。
【关键词】函数思想、高中数学、解题、代数方程、函数图像、几何问题、数列、数论、数学建模、函数性质、广泛应用、教学、重要性。
1. 引言1.1 介绍函数思想在高中数学解题中的重要性函数思想在高中数学解题中起着至关重要的作用。
函数是数学中非常基础且重要的概念，它是描述自变量和因变量之间关系的工具。
在高中数学学习中，函数思想可以帮助我们更好地理解和解决各种数学难题。
通过函数思想，我们可以将问题抽象化，找到问题之间的关联，从而更好地解决问题。
在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们建立数学模型，将复杂的代数方程化简为函数的表示形式，进而更容易解决问题。
在几何问题中，函数图像可以帮助我们直观地理解问题，进而找到解题的方法。
在数列与数论中，函数思想可以帮助我们研究数列的性质及规律，从而更好地掌握数学知识。
1.2 概述本文内容本文将重点探讨函数思想在高中数学解题中的应用。
通过引入函数的概念和性质，我们可以更加灵活地解决各种数学难题。
本文将从代数方程问题、几何问题、数列与数论、数学建模以及函数性质等方面展开讨论，阐述函数思想在这些领域中的作用和意义。
通过具体的例题和解题方法，读者可以更深入地理解函数思想在高中数学中的实际运用。
本文将总结函数思想在数学解题中的广泛应用，并展望未来在高中数学教学中的重要性。
函数思想在数列解题中的应用
[]2012.247随着新课程改革的实施与不断创新，近几年来，数列与函数的综合已成为高考命题的重点与热点，两者交融的试题常常作为学生综合能力考查的把关题。
因此，在解决数列问题时，应充利用函数有关知识，以它的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地解决数列与函数的综合问题。
一、理清数列与函数的关系从函数观点来看，数列是一类定义在正整数集或的有限子集｛1，2，…n｝上的一些特殊函数，当自变量从小到大依次取值时，a n 即为所对应的一列函数，而数列的通项公式、求和公式也就是相应函数的解析式。
可见，任何数列问题都蕴涵着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征。
特别地，对于等差数列的前n 项求和公式与二次函数联系相当紧密，一般都是按照求二次函数的最值方法来求数列前n 项和的最值问题。
同时，等比数列的通项公式及前n 项求和公式也与我们非常熟悉的指数函数联系相当紧密。
二、巧助函数解析式解决数列问题数列是特殊的函数，由已知的函数解析式巧解数列问题是函数与数列交汇的基本形式体现。
一般地，解决此类问题，主要是要对数列的通项公式及前n 项和公式的特殊函数关系这一概念的理解与分析，进而合理地找到解决问题的主要思路和方法。
例1设函数f （x ）=4x4x +2，求和s n =f(12002)+f(22002)+…+f(20012002)。
解析：我们知道，函数f （x ）=a xa x +a √具有一个重要特性，即f （1-x ）+f （x ）=1，因此可利用这一特性解决求和的相关问题。
解：因为f （x ）=4x4x +2，所以f （1-x ）=41-x41-x +2=44+2·4x =4x4x +2，所以由f （1-x ）+f （x ）=1可知，有s n =f(12002)+f(22002)+…+f(20012002)，①s n =f(20012002)+f(20002002)+…+f(12002)。