等差数列的函数思想

初等数学知识纵横 之
③
nn 1 d, an 中, 其前n项的和Sn 有S n na1 在等差数列 2 nn 1 d d 2 d 即有 S n n a1 d n a1 nn 1 n a1 n n 2 2 2 2 ，
d 2 d 等价于 Sn n a1 n 2 2 ，
等差数列是项数n为自变量的二次函数， 解析式的常数项 为零，函数图象抛物线过坐标系原点 ,
抛物线开口向下，有对 称轴 x n0 , 可认为 S0 0 ,
S12 0 , S13 0 , 所以有 a1 S1 0 , 公差 d 0 ,
t 6 6.5 2 , 6数列的前 n0 6.5 , n N n项的和为 Sn , An2 Bn ,
d 2 d 等价于 Sn n a1 n 2 2 ，
d d 取 A B a1 ， 2 ， 2 d 有 Sn d n 2 a1 2 2
n ，
有结论：
等差数列的前n项的和 是项数n的二次函数， 并且其解析式的常数 项为零 .
a15 27,
等差数列的公差即直线 的斜率，根据直线上不 同两点 求斜率的原理，可求公 差 .
知识联通：
yB y A 直线：A x A , y A , B xB , yB , 有直线AB的斜率k xB x A ;
an 的公差d 等差数列：a p ，aq ，有等差数列
例题2. 在等差数列 a44 2 2,, an 中, a
求数列的通项公式.
解题：
a10 a4 38 2 36 d 6, 10 4 10 4 6
a10 38,
等差数列的公差即直线 的斜率，根据直线上不 同两点 求斜率的原理，可求公 差 .
知识联通：
yB y A 直线：A x A , y A , B xB , yB , 有直线AB的斜率k xB x A ;
d 22 d a d d n n n 等价于Sn n a 1 1 2 2 ， 2 2 ，
取 A
B ，
，
有
初等数学知识纵横 之
③
nn 1 d, an 中, 其前n项的和Sn 有S n na1 在等差数列 2 nn 1 d d 2 d 即有 S n n a1 d n a1 nn 1 n a1 n n 2 2 2 2 ，
所以有 a1 S1 0 , 公差 d 0 ,
Sn
数列的前n项的和为 Sn An2 Bn ,
此数列就是等差数列.
d 2A .
t
O
12
13
n
例题4. 在等差数列 an 中, 其前n项的和Sn 有 S12 0 , S13 0 ,
前 n 项的和最大，求n 的值是 .
an 中, 其前n项的和Sn 有 S12 0 , S13 0 , 在等差数列 解题：
n N .
有等差数列的前n项的和 Sn An2 Bn , d 就有 A , a1 S1 A B . 2
例题3. 在等差数列 an 中, 其前n项的和Sn 有 Sn 3n 2 7n ,
求通项公式.
解题：在等差数列 an 中, 其前n项的和Sn 有 Sn 3n 2 7n ,
有 an a5 n 5d ,
an a5 n 5d ,
有 an 3 n 5 3 3 3n 15 3n 18 , 所以 等差数列知识学习的启 示：
an ak n k d , k 、n N . an 有通项公式： 等差数列
d 有 3, 2
d 6,
a1 S1 3 12 7 1 3 7 4 ,
an a1 n 1d 4 n 1 6 4 6n 6 6n 10 ,
所以有 等差数列 an 的通项公式 an 6n 10 , n N .
d 2 前n项和公式 S n n r n 2
an , 前7项和为70， 例题2.已知公差为4 的等差数列
则其前n项的和S n 有
,
a1
.
初等数学知识纵横 之
①
an 中, an a1 n 1 d , 在等差数列
等价于 an d n a1 d ,
取 k d ,
初等数学知识纵横
通项公式 已知的两个独立条件 其第n项a a a3 n2 , 1 3 3 n 5 5. 12 5 有 2 . a 3 n n 1n为 1 na
首项a1
， 公差d ， ，
解题：d a ,a a ， 有 a n 25 10 d 25 n 10 3 10 n3 10 对于等差数列 ， 在已知的两个条件之下 ， n 30 3 n d 有an a1 n 125 , 3n a10 a 10 5 1,d , 1 有其通项公式的信息如 下 25 a1有第 10 1 3 a1. 27 , a1 2 , n 项 an 为 a,n 25 3n 5
an dn t , t 为常数. an ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ通项公式都有形式： 等差数列
初等数学知识纵横 之
②
nn 1 d, an 中, 其前n项的和Sn 有S n na1 在等差数列 2 d d 2 d 即有 Sn n a1 nn 1 n a1 n n 2 2 2 ，
2 有 2 7 7t 息如下 70 , 2 7 t 10 , 有其通项公式的可设信 可得 t 4 , 有可解题的 结论 已知的一个条件 其前n项的和为 Sn 2n2 4n ，
公差d
1 d n 2 t 有a1 通项公式 S1 2 12 a 2. n
an a1 n 1d
等差数列知识中的解题展示 解题：d 3 , a10 25，
第k项ak ， 公差d
an ak n k d
a p aq an d , 第 例题 1p .已知公差为 3 的， 等差数列 有 公差 第 项a p ， 第q项 aq 10项和为 25， pq a 则第n项an 有 . , 1
通项公式 an d n t
公差d
d 2 前n项和公式 S n n r n 2
an , 第10项和为 25， 例题1.已知公差为 3 的等差数列
则第n项an 有
,
a1
.
解题：d 4 , S 7 70， 等差数列知识中的一次 函数思想 解题展示 nn 1d 77 14 S n na1 S 7 7 a1 , , 2 2 an ， 对于等差数列 在已知的一个条件之下 ， 70 7 a1 7 6 2 , 10 a1 6 2 , a1 2 , 有其通项公式的可设信 息如下 nn 14 其前n项的和为S n 2n 2n 2n 2 2n , 2 na1 an 前 n 项和公式 Sn 2 有Sn 2n 4n . 2 公差d 前n项和公式
d d B a1 取 A ， 2 ， 2
有结论：
等差数列的前n项的和 是项数n的二次函数， 并且其解析式的常数 项为零 .
有 Sn A n 2 B n

例题3. 在等差数列 an 中, 其前n项的和Sn 有 Sn 3n 2 7n ,
求通项公式.
解题：
d 有 3, 2
a p aq pq .
例题1. 在等差数列 an 中, a5 3,
求数列的通项公式.
a15 27,
an 中, a5 3, 解题：在等差数列
a15 a5 27 3 30 d 3, 15 5 15 5 10
a15 27,
an a5 d n5 ,
6A d 2 此数列就是等差数列 . n的值为 n 所以有 S6最大， 7 远一些， 即所求 .. 0距 6 近距
12 t 13 2 2 2 ,
S6 S Sn
7
0t t 有 n0 2 2 ,
n0
t
7
12
O
6
13
n
初等数学知识纵横 之
③ ④
nn 1 d, an 中, 其前n项的和Sn 有S n na1 在等差数列 2 nn 1可得 d d 2 d Sn 即有 S n n a1 nB na1 n n d n a1 1 A nn ， 2 2 2 2 ， n 取 y Snd， x n ，d 有 y A x B 2 有结论： S 等价于 n n a1 n 2 S n 2 ， S n2 S n3 1 n 可知 点 P 等差数列的前 n 项的和 P n 1 1 点 2 P3 n3 2 点 , , , n n2 , , d 1 B d , n 3 取 A a 是项数 n 的二次函数， 1 2 ， 2 ， 等这些点都在前n 项和相关的同一直线上 . 并且其解析式的常数
解题：d 3 , a10 25， 等差数列知识中的一次 函数思想 解题展示 设其第n项an 有an 3n t , 有 3 10 t 25 , 30 t 25 , a 对于等差数列 ， 在已知的一个条件之下 ， n 可得 t 5 , 有其通项公式的可设信 息如下 an 3 3n n 5 5， 其第n项an为a n 有可解题的 结论 已知的一个条件 有a1 3 1 5 2.
an 的公差d 等差数列：a p ，aq ，有等差数列
a p aq pq .
例题1. 在等差数列 an 中, a4 2 ,
求数列的通项公式. a44 2 , an 中, a 解题：在等差数列