等差数列知识梳理
初二数学等差数列知识点整理
初二数学等差数列知识点整理等差数列是初中数学中的重要概念之一，它在代数中有着广泛的应用。
本文将对初二数学等差数列的相关知识点进行整理，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指一个数列中，从第二个数起，每个数都与它的前一个数之差保持相等的数列。
这个固定差值称为公差，通常用字母d表示。
1. 定义：若数列a_1, a_2, a_3, ... , a_n满足a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = ...= a_n - a_(n-1) = d，则称该数列为等差数列。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以表示为a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_n表示数列的第n个数。
3. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式可以表示为S_n = (a_1+ a_n) * n / 2，其中S_n表示数列的前n项和。
二、等差数列的常见问题类型在学习等差数列的过程中，常见的问题类型包括求首项、公差、通项、前n项和、指定项的值等。
以下将分别介绍这些问题类型及解题方法。
1. 求首项和公差- 已知数列的前n项和S_n和n的值，求首项a_1：根据前n项和公式，可以得到n和S_n之间的关系式S_n = (a_1 + a_n) * n / 2，将已知量代入方程，解得a_1的值。
- 已知数列的前两项a_1和a_2，求公差d：根据等差数列的定义，可以得到d = a_2 - a_1。
2. 求通项和指定项的值- 已知数列的首项a_1和公差d，求第n个数a_n的值：根据通项公式，将a_1、d和n代入公式，计算得到a_n的值。
- 已知数列的首项a_1、公差d和第n个数a_n的值，求n的值：将a_1、d和a_n代入通项公式，得到一个关于n的方程，解方程求得n的值。
3. 求前n项和- 已知数列的首项a_1、公差d和n的值，求前n项和S_n的值：将a_1、d和n代入前n项和公式，计算得到S_n的值。
- 已知数列的首项a_1、公差d和前n项和S_n的值，求n的值：将a_1、d和S_n代入前n项和公式，得到一个关于n的方程，解方程求得n的值。
等差数列及性质
等差数列及性质一、知识梳理：1．等差数列的定义(1)前提条件：①从第2项起．②每一项与它的前一项的差等于同一个常数．(2)结论：这个数列是等差数列．(3)相关概念：这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示．2．等差中项(1)前提：三个数a，A，b成等差数列．(2)结论：A叫做a，b的等差中项．(3)满足的关系式：2A＝a＋b．34．等差数列通项公式的推广5.等差数列的性质(1){a n}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则：a m＋a n＝a p＋a q.特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝2a k.(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n ＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．（5）．等差数列的图象由a n＝d n＋(a1－d)，可知其图像是直线上的一些等间隔的点，其中是该直线的斜率．(6)．等差数列的单调性：对于a n＝d n＋(a1－d)，(1)当d＞0时，{a n}为；(2)当d＜0时，{a n}为；(3)当d＝0时，{a n}为．二、题型探究：探究一：等差数列的通项公式及其应用例1．(1)已知等差数列{a n}：3，7，11，15，….①135，4m＋19(m∈N*)是{a n}中的项吗？试说明理由．②若a p，a q(p，q∈N*)是数列{a n}中的项，则2a p＋3a q是数列{a n}中的项吗？并说明你的理由．(2)在等差数列{a n}中，已知a5＝10，a12＝31，则首项a1＝________，公差d＝________．1．(1)若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q ＝________．(2)已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？探究二：等差数列的判定例2．(1)已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且x ∈N *)确定．①求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；②当x 1＝12时，求x 2 015.(2)已知1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 成等差数列，证明：a 2，b 2，c 2也成等差数列．等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．2．(1)判断下列数列是否为等差数列：①在数列{a n }中a n ＝3n ＋2； ②在数列{a n }中a n ＝n 2＋n .(2)已知c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2，则数列{c n }________等差数列(填“是”或“不是”)．(3)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由.探究三：等差中项的应用例3．一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数．[互动探究]若将题中的三个数改为四个数成等差数列，且四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．三个数或四个数成等差数列的设法当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，方法一：可设出首项a1和公差d，列方程组求解．方法二：采用对称的设法，三个数时，设为a－d，a，a＋d；四个数时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.3．(1)方程x2－6x＋1＝0的两根的等差中项为()A．1 B．2C．3 D．4(2)已知单调递增的等差数列{a n}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n}的通项公式．探究四：等差数列性质的应用例4．在等差数列{a n}中：(1)若a5＝a，a10＝b，求a15；(2)若a3＋a8＝m，求a5＋a6.(3)若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.(1)利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法．(2)巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程．4．(1)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 101<0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51(2)若x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各成等差数列，那么a 1－a 2b 1－b 2等于( )A ．1 B.23C.34D.43探究五：等差数列的综合问题例5．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 2为方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的根，求数列{a n }的通项公式.例6．在数列{a n }中，a 1＝1，3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．5．(1)数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，则a n ＝________．(2)已知数列{a n }满足(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝16，且a 1＝1，a n >0.①求证：数列{a 2n }为等差数列； ②求a n .例7．已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，且a 11＝－26，a 51＝54，求a 14的值．你能判断该数列从第几项开始为正数吗？[解] 由等差数列通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋10d ＝－26，a 1＋50d ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－46，d ＝2.∴a 14＝－46＋13×2＝－20.∴a n ＝－46＋(n －1)×2＝2n －48. 令a n ≥0，得2n －48≥0⇒n ≥24， ∴从第25项开始，各项为正数．[错因与防范] (1)忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，误认为n ＝24也满足条件．(2)由通项公式计算时，易把公式写成a n ＝a 1＋nd ，导致结果错误．(3)等差数列通项公式中有a 1，a n ，n ，d 四个量，知三求一，一定要准确应用公式．7．(1)首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d 的取值范围是________． (2)一个等差数列的首项为125，公差d ＞0，从第10项起每一项都大于1，求公差d 的范围．例8．(本题满分12分)两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？[解] 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{c n }，c 1＝11.2分 又等差数列5，8，11，…的通项公式为a n ＝3n ＋2，4分 等差数列3，7，11，…的通项公式为b n ＝4n －1.6分 所以数列{c n }为等差数列，且公差d ＝12，①8分 所以c n ＝11＋(n －1)×12＝12n －1.10分又a 100＝302，b 100＝399，c n ＝12n －1≤302，②得n ≤2514，可见已知两数列共有25个相同的项.12分[规范与警示] (1)解题过程中①处易出现令3n ＋2＝4n －1，解得n ＝3的错误，这实际上是混淆了两个n 的取值而导致的错误，也是常犯错误，解题过程中②处易出现c n ＝12n －1≤399，导致错误．这是对题意不理解造成的，两个数列的公共项应以较小的为基准求解．(2)在解决数列的问题时弄清公式中各量的含义，不同的数列中同一量的意义是相同的，但是并不一定对应．如本例中项数n 在数列{a n }和数列{b n }中的意义，当项相同时，对应的序号n 不一定相同．巩固练习：1．(2015·汉口高二检测)下列说法中正确的是( )A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c 成等差数列2．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( )A.m nB.m ＋1n ＋1C.n mD.n ＋1m ＋13．(2014·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8C ．10 D ．144．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A ．0 B ．37C ．100 D ．－37 5．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0 D ．a 1d >0 6．(2015·泰安高二检测)在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，则a 5＋a 8＝________．7．(2015·河北省石家庄市月考)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为________．8．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n＝________．9．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．10．在等差数列{a n }中，(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.11．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求{a n }的通项公式．12．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．备选：《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共为4升，则第5节的容积为________升．巩固练习答案：1.解析：选C.因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ， 所以2b ＋4＝a ＋c ＋4，即2(b ＋2)＝(a ＋2)＋(c ＋2)， 所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．2.解析：选D.设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 3.解析：选B.法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.法二：由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 4.解析：选C.设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100，c 2＝a 2＋b 2＝100， ∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0.∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100.5.解析：选C.设b n ＝2a 1a n ，则b n ＋1＝2a 1a n ＋1，由于{2a 1a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2a 1a n >2a 1a n ＋1.∵y ＝2x 是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.6.解析：由已知得a 3＋a 10＝3.又数列{a n }为等差数列，∴a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3. 答案：37.解析：由等差数列的性质可知，a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝(a 3＋a 11)＋(a 5＋a 9)＋a 7＝5a 7＝100，∴a 7＝20.∴3a 9－a 13＝2a 9＋a 9－a 13＝(a 5＋a 13)＋a 9－a 13＝a 5＋a 9＝2a 7＝40.答案：408.解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 29.解析：由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4. 由一个内角为120°，知其必是最长边x ＋4所对的角． 由余弦定理得，(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)·cos 120°， ∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10， ∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.答案：15 310.解：(1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝－1a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝1. (2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋5d ＝12a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴a 9＝2×9－1＝17.11.解：∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3. ∵a 1，a 2，a 3成等差数列，可设a 1＝a 2－d ，a 3＝a 2＋d ，∴a 2＝1. 由⎝⎛⎭⎫121－d＋12＋⎝⎛⎭⎫121＋d ＝218，得2d ＋2－d ＝174，解得d ＝2或d ＝－2. 当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3；当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5. 12.解：(1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1（4－4a n）－2－1a n －2＝a n 2（a n －2）－1a n －2＝a n －22（a n －2）＝12.又b 1＝1a 1－2＝12，∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知b n ＝12＋(n －1)×12＝12n .∵b n ＝1a n －2，∴a n ＝1b n ＋2＝2n ＋2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2.备选：解析：设自上而下各节的容积构成的等差数列为 a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝3，a 7＋a 8＋a 9＝3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，故a 5＝a 1＋4d ＝6766. 答案：67667(1)解析：a n ＝24＋(n －1)d ，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a 10<0，a 9≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋9d <0，24＋8d ≥0，解得－3≤d <－83.答案：⎣⎡⎭⎫－3，－83 (2)解：设等差数列为{a n }，由d ＞0，知a 1＜a 2＜…＜a 9＜a 10＜a 11…，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧1＜a 10＜a 11＜…，a 1＜a 2＜…＜a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 10＞1a 9≤1⇔⎩⎨⎧125＋（10－1）d ＞1，125＋（9－1）d ≤1，解得875＜d ≤325，即公差d 的取值范围是⎝⎛⎦⎤875，325.。
4.2.1.1等差数列得的概念和通项公式(知识梳理+变式+例题))
4.2.1.1等差数列的概念和通项公式要点一 等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d_表示． (2)符号语言：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)． 【重点概要】(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n 无关．(3)求公差d 时，可以用d ＝a n －a n －1来求，也可以用d ＝a n ＋1－a n 来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用a n －a n －1求公差时，要求n ≥2，n ∈N *. 要点二 等差中项(1)条件：如果a ，A ，b 成等差数列． (2)结论：那么A 叫做a 与b 的等差中项． (3)满足的关系式是________． 【重点概要】在等差数列{a n }中，任取相邻的三项a n －1，a n ，a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则a n 是a n －1与a n ＋1的等差中项． 反之，若a n －1＋a n ＋1＝2a n 对任意的n ≥2，n ∈N *均成立，则数列{a n }是等差数列．因此，数列{a n }是等差数列⇔2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．要点三 等差数列的通项公式以a 1为首项，d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n ＝1(1)a n d +-【重点总结】从函数角度认识等差数列{a n }若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f(n)＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d)． (1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( )(3)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列．( )(4)一个无穷等差数列{a n }中取出所有偶数项构成一个新数列，公差仍然与原数列相等．( ) 【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×2．(多选题)下列数列是等差数列的有( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2 【答案】ABC3．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3 【答案】C【解析】由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.故选C. 4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于________． 【答案】60°【解析】因为三内角A 、B 、C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，所以B ＝60°.题型一 等差数列的通项公式 探究1 基本量的计算【例1】(1)在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，则a 15＝________.【答案】(1)2n (2)－314【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12a 1＋17d ＝36，⎩⎪⎨⎪⎧解得d ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)法一：(方程组法)由⎩⎨⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得⎩⎨⎧a 1＝114，d ＝－34，∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 法二：(利用a m ＝a n ＋(m －n )d 求解)由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34，∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 探究2 判断数列中的项【例2】100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 【解析】∵a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5， 由7n －5＝100，得n ＝15， ∴100是这个数列的第15项．探究3 等差数列中的数学文化 【例3】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是( )A.116B.103C.56D.53【答案】D【解析】由题意可得中间的那份为20个面包， 设最小的一份为a 1，公差为d ，由题意可得[20＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )]×17＝a 1＋(a 1＋d )，解得a 1＝53，故选D.【方法归纳】(1)已知a n ，a 1，n ，d 中的任意三个量，求出第四个量．(2)应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝aa 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式．(3)若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷． 【跟踪训练】(1)等差数列{a n }中，a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 等于( )A ．50B ．49C ．48D ．47 【答案】A【解析】由题得2a 1＋5d ＝4，将a 1＝13代入得，d ＝23，则a n ＝13＋23(n －1)＝33，故n ＝50.(2)等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31. ①求a 20；②85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？ 【解析】(2)①设数列{a n }的公差为d . 因为a 5＝10，a 12＝31，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3. 即a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，则a 20＝3×20－5＝55. ②令3n －5＝85，得n ＝30，所以85是该数列{a n }的第30项． 题型二 等差数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }满足a 1＝4且a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12又b 1＝1a 1－2＝12∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝12＋(n －1)×12＝12n ∵b n ＝1a n －2∴a n ＝1b n ＋2＝2n＋2.要证{b n }是等差数列，只需证b n ＋1－b n ＝常数或b n －b n －1＝常数(n ≥2)．【变式探究1】将本例中的条件“a 1＝4，a n ＝4－4a n －1”改为“a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2”，求a n .【解析】∵a n ＋1＝2a na n ＋2∴取倒数得：1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ∴1a n ＋1－1a n ＝12，又1a 1＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列， ∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝12＋n 2－12＝n 2，∴a n ＝2n . 【方法归纳】定义法判断或证明数列{a n }是等差数列的步骤： (1)作差a n ＋1－a n ，将差变形；(2)当a n ＋1－a n 是一个与n 无关的常数时，数列{a n }是等差数列；当a n ＋1－a n 不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n }不是等差数列．【跟踪训练】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列．(2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：因为a n ＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1，所以a n ＋12n －a n2n －1＝1，n ∈N *.又b n ＝a n2n －1，所以b n ＋1－b n ＝1.所以数列{b n }是等差数列，其首项b 1＝a 1＝1，公差为1. (2)由(1)知b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝2n －1b n ＝n ·2n －1，经检验，n ＝1时a 1＝1也满足上式． 题型三 等差中项【例5】已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数为________． 【答案】3,5,7或7,5,3【解析】设此三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝15(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝83 解得x ＝5，d ＝±2.∴所求三个数分别为3,5,7或7,5,3.【总结】三个数成等差数列可设为x -d,x,x+d【变式探究2】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 【解析】法一：(设四个变量)设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＝26，(a 1＋d )(a 1＋2d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.【小结】四个数成等差数列可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d【变式探究3】已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．【解析】设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .由已知有 ⎩⎪⎨⎪⎧(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23. 当d ＝23时，这5个分数分别是－13，13，1，53，73.当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.【方法归纳】当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间的一项为a ，再以d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列的项数n 为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以2d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….【易错辨析】忽视等差数列中的隐含条件致误【例6】已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤325 【答案】D【解析】由题意可得a 1＝125，且⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1即⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1解得875<d ≤325，故选D.【易错警示】1. 出错原因(1)错选A ，只看到了a 10>1而忽视了a 9≤1，是审题不仔细而致误； (2)错选C ，误认为a 9<1，是由不会读题，马虎造成错误. 2. 纠错心得认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件.一、单选题1．等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前2n 项2n S =（ ）． A ．3(21)n n - B ．3(21)n n + C ．3(1)2n n + D ．3(1)2n n - 【答案】B 【分析】根据等差数列与等比数列的性质可得数列的通项公式，进而可得2n S . 【解析】等差数列{}n a 的公差为3，且2a ，4a ，8a 成等比数列，2428a a a ∴=，()()2222618a a a ∴+=+，解得26a =，1233a a ∴=-=，{}∴n a 的前2n 项， 22(21)2332n n n S n -=⋅+⨯ 3(21)n n =+．故选：B ．2．已知数列{}n a 满足()()11220n n n n a a a a ++--+=，下列结论正确的是（ ） A ．当11a =时，10a 的最大值258 B ．当11a =时，9a 的最小值384- C ．当101a =时，1a 的最小值17- D ．当91a =时，1a 的最大值132【答案】C【分析】根据题干中的条件可得：12n n a a +-=或120n n a a ++=，即{}n a 是等差数列或等比数列，A 选项分别把两种情况下的10a 算出来，比较大小，求出10a 的最大值，同样的道理，其他选项也可以判断出来，进而选出正确的选项 【解析】()()11220n n n n a a a a ++--+=则120n n aa +--=或120n n a a ++=A 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，101911819a a d =+=+= 当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()9102512a =-=-，10a 的最大值为19，故A 选项错误；B 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，91811617a a d =+=+=当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()892256a =-=，9a 的最小值为17，故B 选项错误；C 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当101a =时，即1192a +⨯=，解得：117a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当101a =时，即()9112a -=，解得：11512a =-，117512<--，故1a 的最小值为17-，故选项C 正确 D 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当91a =时，1161a += ，解得：115a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当91a =时，即()8112a -=，解得：11256a =，此时1a 的最大值为1256，D 选项错误 故选：C3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若235a a +=，728S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．2【答案】C 【分析】由等差数列性质，747S a =求得44a =，根据项与项之间的关系代入条件求得公差. 【解析】由题知，74728S a ==，则44a =，设数列公差为d ，则234424435a a a d a d d +=-+-=+-=， 解得1d =， 故选：C4．在等差数列{}n a 中，前9项和918S =，266a a +=，则3n a =（ ） A ．33-n B ．35n + C ．73n - D ．213n -【答案】C 【分析】根据918S =，266a a +=，可求得公差，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【解析】 解：()199599182a a S a ===+，52a ∴=，又26426a a a +==，43a ∴=，∴公差541d a a =-=-，()447n a a n d n =+-⋅=-，373n a n ∴=-．故选：C.5．在ABC ∆中，“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】若π3B =，则2π23AC B +==，若A ，B ，C 成等差数列，则π3B =，得到答案. 【解析】在ABC ∆中，若π3B =，则2ππ23A CB B +=-==，所以A ，B ，C 成等差数列，充分性成立. 反之，若A ，B ，C 成等差数列，则2B A C =+，因为3πA B C B ++==，所以π3B =，必要性成立.所以“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的充要条件. 故选：C.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且{}n a 满足122n n n a a a ++=+，532a a -=，若424S S =，则9a =（ ） A ．9 B ．172C ．10D ．192【答案】B 【分析】根据122n n n a a a ++=+判断出{}n a 是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案. 【解析】由122n n n a a a ++=+可知，{}n a 是等差数列，设公差为d ，所以53221a a d d -==⇒=， 由()1421114642241S S a a a ⇒+=⨯+⇒==，所以9117822a =+=. 故选：B.7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3724a a +=，840S =，则29a a +等于（ ） A ．44- B ．14C ．24D ．38【答案】D 【分析】根据条件，列出方程组，求出首项和公差即可求解. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由3724a a +=，840S =得112824,82840,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得144,14,a d =-⎧⎨=⎩则2912938a a a d +=+= 故选：D8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，43a =，1224S =，若i 0j a a +=（i ，j N *∈，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,3,4,5C ．{}6,7,8D ．{}6,7,8,9,10【答案】B 【分析】设公差为d ，结合等差数列的通项公式和求和公式即可求出首项和公差，即可写出数列中的项，从而可选出正确答案. 【解析】设公差为d ，由4133a a d =+=-及121121112242S a d ⨯=+=，解得19a =-，2d =， 所以数列为9-，7-，5-，3-，1-，1，3，5，7，9，11，…，故i 取值的集合为{}1,2,3,4,5. 故选:B .二、多选题9．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图： 1112131n a a a a ⋯⋯ 2122232n a a a a ⋯⋯ 3132333n a a a a ⋯⋯ ……123n n n nn a a a a ⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知1113612,1a a a ==+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ） A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1()313j ij a i -=⨯-D ． (13)131(4)n S n n =-＋ 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用等差数列和等比数列的通项公式以及求和公式，对各选项进行判断，即可得到结果. 【解析】由11136121a a a ==+，，可得22131161112525a a m m a a m m ===+=+，，所以22251m m =++，解得3m =或12m =- (舍去)，所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111[()][2]11333()(3)1j j j j ij i a a m a i m m i i ----==+-⋅⋅=+-⨯⨯=-⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++⋯++++⋯++⋯+++⋯+()()()11211131313...131313n n n n a a a ---=+++--- ()()()()23111 313131224n n n n n n +-=-⨯=+-，所以选项D 是正确的； 故选：ACD.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝0，a 4＝8，则（ ）A ．S n ＝2n 2－6nB ．S n ＝n 2－3nC ．a n ＝4n －8D ．a n ＝2n【答案】AC【分析】根据已知条件求得1,a d ，由此求得,n n a S ，从而确定正确选项，【解析】 依题意3408S a =⎧⎨=⎩， 1113304,438a d a d a d +=⎧⇒=-=⎨+=⎩， 所以2148,262n n n a a a n S n n n +=-=⋅=-. 故选：AC11．已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2021是该数列的一项，则公差d 不可能是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BCD【分析】由已知得2021＝3＋(n －1)d ，即有n ＝2018d ＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.由此可得选项.【解析】解：由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.故选：BCD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．设n S 为正项数列{n a }的前n 14n a +，则通项公式n a =___________ 【答案】21()4n n N +-∈ 【分析】当1n =时，求得114a =；当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减得到112n n a a --=，结合等差数列的定义，即可求解其通项公式. 【解析】由n S 为正项数列{n a }的前n 14n a =+，当1n =114a =+，可得2111()4a a =+，解得114a =， 当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减，可得1-11()()02n n n n a a a a -+--=， 因为0n a >，所以112n n a a --=， 所以数列{n a }是以12为公差，以14为首项的等差数列， 所以1121(1)424n n a n -=+-=. 故答案为：21()4n n N +-∈. 13．在等差数列{a n }中，a 3＝0．如果a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，那么k ＝________．【答案】9【分析】根据等比数列的性质以及等差数列的通项公式求解即可.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得a 3＝a 1＋2d ＝0，∈a 1＝－2d ．又∈a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，266k k a a a +∴=，即[a 1＋(k －1)d ]2＝(a 1＋5d )·[a 1＋(k ＋5)d ]，[(k －3)d ]2＝3d ·(k ＋3)d ，解得k ＝9或k ＝0(舍去)． 故答案为：914．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，则a 11＋a 15＝________.【答案】32【分析】由a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，两式相减求得公差即可.【解析】因为a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，所以(a 3＋a 7)－(a 1＋a 5)＝4d ＝6，解得d ＝32， 所以a 11＋a 15＝(a 1＋a 5)＋20d ＝2＋20×32＝32. 故答案为：32四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，9411S a =. （1）求n a ；（2）若3n n S a =+2 ，求n .【答案】（1）21n a n =+（2）4n =【分析】（1）设公差为d ，根据28S =，9411S a =，列出方程组，求得首项跟公差，即可得出答案； （2）利用等差数列前n 项和的公式求得n S ，再根据3n n S a =+2 ，即可的解. （1）解：设公差为d ，由已知294811S S a =⎧⎨=⎩， 得：()11128936113a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：132a d =⎧⎨=⎩， 所以21n a n =+；（2）解：()232122n n n S n n ++==+， 因为3n n S a =+2 ，即()223212n n n +=++，得2450n n --=，解得4n =，或1n =-（舍去）， 所以4n =.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1646,2a a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及相应的n 的值.【答案】（1）102n a n =-（2）当4n =或5n =时，n S 有最大值是20【分析】（1）用等差数列的通项公式即可. （2）用等差数列的求和公式即可. （1）在等差数列{}n a 中，∈1646,2a a a +==, ∈1125632a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得182a d =⎧⎨=-⎩， ∈1(1)102n a n d a n ==--+；（2）∈18,2a d ==-，1(1)2n n n S na d -=+ ∈1(1)(1)8(2)22n n n n n S na d n --=+=+-29n n =-+ ， ∈当4n =或5n =时，n S 有最大值是20。
等差数列知识点总结和题型总结
等差数列知识点总结与题型归纳
一．等差数列知识点：
知识点 1、等差数列的定义:
①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示
知识点 2、等差数列的判定方法:
②定义法：对于数列an ，若 an1 an d (常数)，则数列an 是等差数列
n
项和，求使得 Tn
m 20
对所有 n N 都成立的
最小正整数 m
6
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五、等差数列习题精选
1、等差数列{an}的前三项依次为 x ， 2x 1 ， 4x 2 ，则它的第 5 项为（ ）
A、 5x 5
B、 2x 1
C、5
D、4
2、设等差数列{an}中， a4 5, a9 17 ,则 a14 的值等于（ ）
1
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也就是： a1 an a2 an1 a3 an2
⑨若数列 an 是等差数列， Sn 是其前 n 项的和， k N * ，那么 Sk ， S2k Sk ，
S3k S2k 成等差数列 如下图所示：
S3k a1 a2 a3 ak ak 1a2k a2k1a3k
11、在等差数列an 中， a2 a8 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 （ ）
A．18
B 27
C 36
D9
12、设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 9 ， S6 36 ，则 a7 a8 a9 （ ）
A．63
B．45
C．36
D．27
13、在等差数列 an 中， a1 a2 a3 15, an an1 an2 78 ， Sn 155 ，
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结在数学的世界里，等差数列是一个重要且基础的概念。
理解和掌握等差数列的相关知识，对于解决很多数学问题都有着至关重要的作用。
下面就让我们一起来详细了解一下等差数列。
一、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
例如：数列 1，3，5，7，9就是一个公差为 2 的等差数列；数列 10，8，6，4，2则是一个公差为－2 的等差数列。
二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中 an 表示第 n 项的值，a1 表示首项，n 表示项数，d 表示公差。
通过通项公式，我们只要知道了首项、公差和项数，就能够求出相应的项的值。
例如：在等差数列 2，5，8，11中，首项 a1 ＝ 2，公差 d ＝ 3 ，那么第 5 项 a5 ＝ 2 ＋（5 1)×3 ＝ 14 。
三、等差数列的性质1、若 m，n，p，q ∈ N+ ，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 am ＋ an ＝ ap ＋ aq 。
比如在等差数列 3，6，9，12，15 中，因为 1 ＋ 4 ＝ 2 ＋ 3 ，所以a1 ＋ a4 ＝ a2 ＋ a3 ，即 3 ＋ 12 ＝ 6 ＋ 9 。
2、从等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，且公差为原公差的倍数。
例如在等差数列1，4，7，10，13，16，19，22 中，抽出奇数项1，7，13，19 ，其公差为 6 ，是原公差 3 的 2 倍。
3、若数列{an}是等差数列，则{kan ＋ b}（k，b 为常数）也是等差数列。
比如数列 2，5，8 是公差为 3 的等差数列，那么 2×2 ＋ 1，2×5 ＋1，2×8 ＋ 1 即 5，11，17 也是等差数列，公差为 6 。
四、等差数列的前 n 项和公式等差数列的前 n 项和公式有两个：1、 Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 ，这个公式需要知道首项和末项的值。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中重要的概念之一，也是初等数学中最基础的数列形式。
在这篇文章中，我们将对等差数列的定义、性质以及常见问题进行总结。
让我们一起来探索等差数列的奥秘吧！一、等差数列的定义等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差都相等的数列。
简单来说，如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。
通常用字母 "a" 表示首项，字母 "d" 表示公差，递推公式可以写作：an = a1 + (n-1)d，其中 n 表示数列中的第 n 项。
二、等差数列的性质1. 公差 (d)：等差数列中相邻两项之间的差称为公差。
任意两项之差为公差的倍数。
2. 首项 (a1)：等差数列中第一项称为首项。
3. 通项公式：等差数列的通项公式用来计算数列中第 n 项的值。
通项公式为：an = a1 + (n-1)d。
4. 项数 (n)：数列中项的个数称为项数。
5. 数列和公式：等差数列的前 n 项和可以通过数列的首项、末项以及项数来计算得出。
数列和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)。
三、等差数列的常见问题1. 求和问题：给定一个等差数列，如何计算前 n 项的和？使用数列和公式 Sn = (n/2)(a1 + an) 可以得到结果。
2. 求特定项问题：在一个等差数列中，找到第 n 项的值。
可以利用通项公式 an = a1 + (n-1)d 来计算。
3. 求公差问题：已知一个等差数列的首项和任意两个相邻项之间的差，怎样求出公差？公差可以通过任意两项之差来求得。
4. 推理问题：已知一个等差数列中的几个项，如何判断一个数是否属于这个数列？当且仅当这个数与该等差数列中的任意两个相邻项之差相等时，该数属于该等差数列。
四、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学、物理、经济等领域。
在数学中，等差数列是数学研究的基础，也是其他数列的基础形式之一。
在物理学中，等差数列用来描述匀速直线运动的位移变化。
(完整版)等差数列知识点总结
(完整版)等差数列知识点总结1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等的数列。
2. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1) * d。
3. 等差数列的前 n 项和公式设等差数列的首项为 a1，末项为 an，项数为 n，公差为 d，则前 n 项的和公式为 Sn = n * (a1 + an) / 2。
4. 判断数列是否为等差数列- 检查数列中连续两项的差是否相等，即是否满足等差数列的定义。
- 可以通过计算数列的前 n 项和是否满足 Sn = n * (a1 + an) / 2 来判断。
5. 求等差数列的公差设等差数列的首项为 a1，第二项为 a2，则公差可以通过计算差值 d = a2 - a1 获得。
6. 求等差数列的项数设等差数列的首项为 a1，末项为 an，公差为 d，则项数可以通过以下公式计算：n = (an - a1 + d) / d。
7. 求等差数列的首项设等差数列的第一项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项为an，则首项可以通过以下公式计算：a1 = an - (n - 1) * d。
8. 求等差数列的末项设等差数列的首项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项可以通过以下公式计算：an = a1 + (n - 1) * d。
9. 等差数列的性质- 等差数列的任意三项成等差数列。
- 等差数列中的取任意几项可以组成一个等差数列。
- 等差数列的平均数等于首项与末项的平均数。
10. 应用场景等差数列的应用非常广泛，常见的应用场景包括：- 数学题中的数列问题，如求和、推导等。
- 统计学中的数据分析，如平均数、标准差等。
- 金融学中的投资计算，如等额本息还款、定期存款等。
- 工程学中的时间序列分析，如温度变化、电压波动等。
以上是等差数列的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
在学习等差数列的过程中，我们需要掌握以下几个方面的知识点。
1.等差数列的定义等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的差相等。
即对于数列 {a1, a2, a3, ..., an}，满足 ai - ai-1 = d，其中 d 为常数，称为公差。
2.等差数列的通项公式通项公式是等差数列的核心，它表示第 n 项的值与 n 之间的关系。
对于等差数列 {a1, a2, a3, ..., an}，通项公式可以表示为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差。
3.等差数列的性质等差数列具有多个性质，包括：- 任意两项的差是公差，即 ai - aj = d；-任意三项可以构成一个等差数列；-一个数列是等差数列的充分必要条件是数列的前三项成等差数列；-等差数列中的任意k项组成的数列也是等差数列。
4.等差数列的和等差数列的和表示数列中前 n 项的和。
求和公式为 Sn = (n/2)(a1 + an)，其中 Sn 表示前 n 项的和。
5.等差数列的前n项和的推导利用等差数列的通项公式可以从数列中推导出前n项和的公式。
具体的推导过程为：-两个等差数列的和相减，得到每一项与公差的关系；-利用等差数列的通项公式，将每一项与公差的关系代入前n项和的公式；-化简表达式，得到前n项和的公式。
6.等差数列的媒数等差数列的媒数是指两个等距离首项相同的等差数列之间的项。
媒数可以用公式表示为M=a1+(n-1)d/27.等差数列的应用等差数列在数学中具有广泛的应用，特别是在算术和几何等领域实际问题的数学建模中。
常见的应用包括：-财务问题中的等差数列：如每月定期存款、贷款还款等；-时间和距离的等差数列：如速度与时间的关系、地理坐标系等；-数据分析中的等差数列：如平均数、中位数、众数等。
总之，等差数列是数学中的重要概念之一，通过掌握其定义、通项公式、性质、求和公式和应用，能够帮助我们更好地理解和应用等差数列的知识。
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等差数列【考纲要求】1．理解等差数列概念.2．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.3．了解等差数列与一次函数的关系.4．灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.5．掌握常见的求等差数列通项的一般方法；6．用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：等差数列382420 知识要点】考点一、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.要点诠释：(1)｛n a ｝为等差数列⇔1n n a a d +-=(n ∈N ※)⇔n a －1-n a =d (n ≥2, n ∈N ※)（ d 为常数） (2)等差中项：若三个数a ，x ，b 成等差，则x 称为数a ，b 的等差中项。
任意实数a ，b 的等差中项存在且唯一，为.2b a + (3)证数列{n a }是等差数列的方法：① 1n n a a d --=(n ≥2) （ d 为常数）；② n a 为1-n a 和1n a +的等差中项。
考点二、通项公式1(1)n a a n d =+-(归纳法和迭加法)要点诠释：①｛n a ｝为等差数列⇔n a 为n 的一次函数或n a 为常数⇔n a =kn+b (n ∈N +)等差数列 等差中项等差数列的通项公式及应用等差数列定义②式中n a 、1a 、n 、d 只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。
③公式特征：等差数列{n a }中n a =kn+b 是关于n 的一次函数(或常数函数)，一次项系数k 为公差d 。
④几何意义：点(n ，n a )共线；n a =kn+b 中，当k=d>0时，{n a }为递增数列；当k=d<0时，{n a }为递减数列；当k=d=0时，{n a }为常数列。
考点三、通项公式的性质：（1）等差中项：a 、G 、b 成等差数列，则.2a b G +=； （2）通项公式的推广：+(n m n m a a =－）d（3）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a +=+； 特别，若2m n p +=，则2m n p a a a +=（4）等差数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等差数列. 【典型例题】类型一：等差数列的概念、公式、项的性质例1. （1）－20是不是等差数列0，72-，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【思路点拨】题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.【解析】（1）由题意可知：10a =,72d =-， ∴此数列的通项公式为：7722n a n =-+, 令772022n -=-+,解得477n N =∉， 所以－20不是这个数列的项.（2）根据题意可得：12a =,927d =-=.∴此数列通项公式为：27(1)75n a n n =+-=-（1n ≥,n N +∈）.令75100n -=,解得：15n =,∴100是这个数列的第15项.【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项1a 和公差d ，写出通项公式n a .2.要注意解题步骤的规范性与准确性.举一反三：【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项【解析】由18a =，58253d =-=-=-，∴218(211)(3)52a =+-⨯-=-.【变式2】求集合*{|7,,100}M m m n n N m ==∈<的元素的个数，并求这些元素的和【解析】∵7100n <， ∴2147n <， ∵*n N ∈，∴M 中有14个元素符合条件，又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列，即17a =，7d =，1498a =， ∴7352)987(1414=+=S . 例2、已知等差数列{}n a 中，1533a =,45153a =，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。
【思路点拨】判断某个数值是否为某数列中的项，基本的思路是先得到这个数列的通项公式，再验证这个数值是否为其中的某项。
【解析】法一：由通项公式，得⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+==+=4231534433141145115d a d a a d a a ，∴1(1)427n a a n d n =+-=-,由217427n =-，解得61n =.∴217是此数列的第61项。
法二：由等差数列性质得45153015333a a d -==-，即4d =,又15(15)n a a n d =+-，∴217334(15)n =+-, 得61n =.∴217是此数列的第61项。
法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点，∵点P(15,33), Q(45,153), R(n,217)在同一条直线上，∴ 45153217154533153--=--n ，得61n =。
∴217是此数列的第61项。
【总结升华】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，要熟悉其基本概念，基本公式及性质。
举一反三：【变式1】等差数列{}n a 中，已知113=a ，a 2+a 5=4，a n =33，则n 是（ ） A.48B.49C.50D.51【答案】C ；【解析】由已知得251112541335013⎧⎪+=+=⎪⎪=+-=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩（）n a a a d a a n d n a例3．若数列{}n a 为等差数列，1510a =, 4590a =, 求60a ；【解析】法一：令数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则⎩⎨⎧+=+=d a a d a a 1444115145 即 ⎩⎨⎧+=+=d a d a 1410449011 解之有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=383821d a ， ∴60159130a a d =+=.法二：∵, 4515(4515)a a d =+-,∴ 90=10+30d ∴ 38=d , ∴6015(6015)130a a d =+-=. 法三：∵{}n a 为等差数列，1510a =, 4590a =,∴0d ≠,n a An B =+(n ∈N).∴ ⎩⎨⎧+=+=BA B A 45901510解之有 ⎪⎩⎪⎨⎧-==3038B A ，∴6060130a A B =+=.法四：∵{}n a 为等差数列，∴15a 、30a 、45a 、60a ,…为等差数列，∴ 50290102451530=+=+=a a a ， 又2603045a a a +=， ∴6045302130a a a =-=. 【总结升华】依条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。
举一反三：【变式】若数列{}n a 为等差数列，1050100a a +=, 4515900⋅=a a ,且公差0d > 求60a ；【解析】∵{}n a 为等差数列 ∴10501545100a a a a +=+=又∵4515900⋅=a a∴45a 、15a 是方程21009000x x -+=的根 ∴15451090a a =⎧⎪⎨=⎪⎩或15459010a a =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去） 以下解法同例2（1）得60130a =类型二：等差数列的判断与证明【高清课堂：等差数列382420 典型例题三】例4．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1()2n n n a a S +=.求证：数列{}n a 为等差数列． 【思路点拨】判断一个数列是否为等差数列，需要严格按照等差数列的概念或性质进行判断。
本题中已知条件是关于数列前n 项和的，所以应该从前n 项和的思路着手考虑。
证明：由1()2n n n a a S +=得111(1)()2n n n a a S ++++=，所以 11111(1)()()22n n n n n n a a n a a a S S ++++++=-=- 整理得11(1)n n n a na a +--=-，又得11(2)(1)(1)n n n a n a a n ----=->相减并整理得: 112(2)n n n a a a n +-+=≥所以数列{}n a 是个等差数列【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:(1)定义法:a n+1-a n =d(常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列;(2)中项公式法:2a n+1=a n +a n+2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列;(3)通项公式法:a n =kn+b(k 、b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列;(4)前n 项和公式法:S n =An 2+Bn(A 、B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.举一反三：【变式】已知数列{a n }，a n ∈N *，S n =2)2(81+n a ，求证：{a n }是等差数列； 【答案】a n+1 = S n+1–S n 221)2(81)2(81+-+=+n n a a , ∴8a n+1 =221)2()2(+-++n n a a ,∴0)2()2(221=+--+n n a a ,∴11()(4)0n n n n a a a a +++--=，∵a n ∈N *，∴10n n a a ++≠， ∴140n n a a +--=，即14n n a a +-=，∴数列{a n }是等差数列.例5．设{a n }是等差数列,证明以b n =na a a n +⋅⋅⋅++21(n ∈N *)为通项公式的数列{b n }是等差数列. 【思路点拨】等差数列的概念是以递推关系的形式给出的，这也是判定一个数列是否为等差数列的首要考虑。
证法一:设等差数列{a n }的公差是d(常数),当n ≥2时，1n n b b --=na a a n +⋅⋅⋅++21-1121-+⋅⋅⋅++-n a a a n=)1(2))(1(2)(111-+--+-n a a n n a a n n n =22111-+-+n n a a a a =112n n a a --（） =12d (常数) ∴{b n }是等差数列.证法二:等差数列{a n }的前n 项和1(1)2n n n S na d -=+, ∴b n =121111(1)1[]()2222n a a a n n n d d na d a d n a n n ++⋅⋅⋅+--=+=+=⋅+- ∴{b n }是等差数列.。