2011高考数学精英解题集(全,整理完整)

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2011年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解天津理

2011年天津理一、选择题（共8小题；共40分）1. i是虚数单位，复数1−3i1−i= A. 2+iB. 2−iC. −1+2iD. −1−2i2. 设x,y∈R，则＂x≥2且y≥2＂是＂x2+y2≥4＂的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为 A. 3B. 4C. 5D. 64. 已知a n为等差数列，其公差为−2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为a n的前n项和，n∈N∗，则S10的值为 A. −110B. −90C. 90D. 1105. 在x2x 6的二项展开式中，x2的系数为 A. −154B. 154C. −38D. 386. 如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=3BD，BC=2BD，则sin C的值为 A. 33B. 36C. 63D. 667. 已知a=5log23.4，b=5log43.6，c=15log30.3，则 A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. c>a>b8. 对实数a与b，定义运算“ ⊗”：a⊗b=a,a−b≤1,b,a−b>1.设函数f x=x2−2⊗x−x2,x∈R．若函数y=f x−c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 A. −∞,−2∪ −1,32B. −∞,−2∪ −1,−34C. −∞,14∪14,+∞ D. −1,−34∪14,+∞二、填空题（共6小题；共30分）9. 一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为．10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为m3．11. 已知抛物线C的参数方程为x=8t2y=8t（t为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆x−42+y2=r2r>0相切，则r=．12. 如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=2，AF:FB:BE=4:2:1．若CE与圆相切，则CE的长为．13. 已知集合A=x∈R x+3+x−4≤9，B= x∈R x=4t+1t−6,t∈0,+∞，则集合A∩B=．14. 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90∘，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则PA+3PB的最小值为．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=tan2x+π4．（1）求f x的定义域与最小正周期；（2）设α∈0,π4，若fα2=2cos2α，求α的大小．16. 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在一次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；（2）求在两次中获奖次数X的分布列及数学期望E X．17. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=5．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A−A1C1−B1的正弦值；（3）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．18. 在平面直角坐标系xOy中，点P a,b a>b>0为动点，F1，F2分别为椭圆x2a +y2b=1的左右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率e；（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AM⋅BM=−2，求点M的轨迹方程．19. 已知a>0，函数f x=ln x−ax2，x>0．（f x的图象连续不断）（1）求f x的单调区间；（2）当a=18时，证明：存在x0∈2,+∞，使f x0=f32；（3）若存在均属于区间1,3的α，β，且β−α≥1，使fα=fβ，证明：ln3−ln25≤a≤ln23．20. 已知数列a n与b n满足：b n a n+a n+1+b n+1a n+2=0，b n=3+−1n2，n∈N∗，且a1=2，a2=4．（1）求a3，a4，a5的值；（2）设c n=a2n−1+a2n+1，n∈N∗，证明：c n是等比数列；（3）设S k=a2+a4+⋯+a2k，k∈N∗，证明：S ka k <76n∈N∗4nk=1．答案第一部分1. B2. A 【解析】当x≥2且y≥2时，一定有x2+y2≥4；反过来，当x2+y2≥4时，不一定有x≥2且y≥2，例如x=−4，y=0也可以．3. B 【解析】i=1时，a=1×1+1=2；i=2时，a=2×2+1=5；i=3时，a=3×5+1=16；i=4时，a=4×16+1=65>50．所以输出i=4．4. D 【解析】由a72=a3⋅a9，d=−2，得a1−122=a1−4a1−16,解得a1=20，从而S10=10×20+10×92−2=110.5. C【解析】由二项式展开式得：T k+1=C6k x26−kxk=−1k22k−6C6k x3−k，令k=1，则x2的系数为−1⋅22−6C61=−38．6. D 【解析】设AB=a，所以AD=a，BD=3，BC=2BD=3，故cos A=AB2+AD2−BD22AB⋅AD=2a2−43a22a =13，所以sin A=1−cos2A=223．由正弦定理知sin C=ABBC ⋅sin A=34×223=66．7. C 【解析】因为a=5log23.4，b=5log43.6，c=5log310，所以只需要比较它们的指数即可．由对数函数的性质知log43.6=log2 3.6<1<log3103<log33.4<log23.4，从而有a>c>b．8. B 【解析】f x=x2−2,x2−2−x−x2≤1 x−x2,x2−2−x−x2>1=x2−2,−1≤x≤3x−x2,x<−1,或x>3则f x的图象如图：∵y=f x−c的图象与x轴恰有两个公共点，∴y=f x与y=c的图象恰有两个公共点，由图象知c≤−2，或−1<c<−34．第二部分9. 12【解析】设抽取男运动员人数为n，则n48=2148+36，解之得n=12．10. 6+π【解析】如图：该几何体为一个棱柱与一个圆锥的组合体．所以V=3×2×1+1π×12×3=6+π.11. 212. 72【解析】设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF⋅FC=AF⋅BF，得2=8k2，即k=12，从而AF=2，BF=1，BE=12，AE=72，由切割线定理得CE2=BE⋅EA=12×72=74，故CE=72．13. x∈R−2≤x≤5【解析】因为A=x∈R−4≤x≤5，B= x∈R x≥24t×1t−6,t∈0,+∞=x∈R x≥−2，所以A∩B=x∈R−4≤x≤5∩x∈R x≥−2=x∈R−2≤x≤5．14. 5【解析】建立如图所示的坐标系，设DC= ，则A2,0，B1, ．设P0,y0≤y≤ ，则PA=2,−y，PB=1, −y，所以PA+3PB=25+3 −4y2≥第三部分15. （1）由2x +π4≠π2+kπ，k ∈Z ，得x ≠π8+kπ2,k ∈Z ,所以f x 的定义域为 x ∈R x ≠π8+kπ2,k ∈Z ，f x 的最小正周期为π2．（2）由f α2 =2cos2α，得tan α+π4=2cos2α，sin α+π4cos α+4=2 cos 2α−sin 2α ,整理得sin α+cos αcos α−sin α=2 cos α+sin α cos α−sin α . 因为α∈ 0,π4 ，所以sin α+cos α≠0.因此 cos α−sin α 2=12.即sin2α=12.由α∈ 0,π4 ，得2α∈ 0,π2 ，所以2α=π6，即α=π12.16. （1）①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i i =0,1,2,3 ，则P A 3 =C 3252⋅C 2132=1.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B =A 2∪A 3，又P A 2 =C 32C 52⋅C 22C 32+C 31C 21C 52⋅C 21C 32=12,且A 2，A 3互斥，所以P B =P A 2 +P A 3 =1+1=7.（2）由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2．P X =0 = 1−7 2=9,P X =1 =C 21⋅7⋅ 1−7 =21,P X =2 = 7 2=49.所以X 的分布列是X 012P92149E X =0×9+1×21+2×49=7.17. （1）方法一：由于AC ∥A 1C 1，故∠C 1A 1B 1是异面直线AC 与A 1B 1所成的角．因为C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，又H 为正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1=2 2，C 1H = 5．可得A 1C 1=B 1C 1=3.因此cos ∠C 1A 1B 1=A 1C 12+A 1B 12−B 1C 122A 1C 1⋅A 1B 1= 23.所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为 23．方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点．依题意得A 2 2,0,0 ,B 0,0,0 ，C 2,− 2, 5 ，A 1 2 2,2 2,0 ，B 1 0,2 2,0 ，C 1 2, 2, 5 ．易得AC= − 2,− 2, 5 ,A 1B 1= −2 2,0,0 ,于是cos AC ,A 1B 1 =AC ⋅A 1B 1AC ⋅ A 1B 1 =3×2 2= 2, 所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为 23．（2）方法一：连接AC 1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1C1，所以△AC1A1≌△B1C1A1，过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，于是B1R⊥A1C1，故∠ARB1为二面角A—A1C1—B1的平面角．在Rt△A1RB1中，B1R=A1B1⋅sin∠RA1B1=22⋅1−22=214.连接AB1，在△ARB1中，AB1=4，AR=B1R，cos∠ARB1=AR2+B1R2−AB12 2AR⋅B1R=−2 ,从而sin∠ARB1=35.所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为357．方法二：易知AA1=0,22,0,A1C1= − 2,− 2,5.设平面AA1C1的法向量m=x1,y1,z1，则m⋅A1C1=0,m⋅AA1=0,即− 2x1−2y1+5z1=0,22y1=0.不妨令x1=5，可得m=5,0,2,n⋅A1C1=0,n⋅A1B1=0.即− 2x2−2y2+5z2=0,−22x2=0.不妨令y2=5，可得n=0,5,2.于是cos m,n=m⋅nm⋅n=27⋅7=27,从而sin m,n=35.所以二面角A—A1C1—B的正弦值为357．（3）方法一：因为MN⊥平面A1B1C1，所以MN⊥A1B1．取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，所以ND∥C1H且ND=12C1H=52.又C1H⊥平面AA1B1B，所以ND⊥平面AA1B1B，故ND⊥A1B1．又MN∩ND=N，所以A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，则由DE AA1=B1EB1A1=B1DB1A=14,得DE=B1E=2 ,延长EM交AB于点F，可得BF=B1E=2 .连接NE，在Rt△ENM中，所以DM=ND2=52.可得FM=2 4 .连接BM，在Rt△BFM中，BM= FM2+BF2=104.方法二：由N为棱B1C1的中点，得N22,322,52．设M a,b,0，则MN=22−a,322−b,52.由MN⊥平面A1B1C1，得MN⋅A1B1=0,MN⋅A1C1=0.即22−a ⋅ −22=0,2 2−a ⋅ − 2+322−b ⋅ − 2+52⋅5=0.解得a=2 ,b=2 4 .故M22,24,0，因此BM=22,24,0,所以线段BM的长为BM=10 4 .18. （1）设F1−c,0，F2c,0c>0，由题意，可得PF2=F1F2,即a−c2+b2=2c.整理得2c2+c−1=0,即c a =−1舍,或 ca=12.所以e=1 2 .（2）由（1）知a=2c,b=3c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2方程为y=3x−c. A,B两点的坐标满足方程组3x2+4y2=12c2,y=3x−c.消去y并整理，得5x2−8cx=0.解得x1=0,x2=8 5 c.得方程组的解x1=0,y1=− 3c, x2=8c,y2=335c.不妨设A85c,335c ，B 0,−3c ，设点M的坐标为x,y，AM= x−85c,y−335c ,BM= x,y+3c ,由y=3x−c，得c=x−3 y.于是AM=83y−3x,8y−33x ,BM= x,3x .由AM⋅BM=−2，即83y−3x ⋅x+8y−33x ⋅3x=−2,化简得18x2−163xy−15=0.将y=2163xc=x−33y，得c=10x2+5>0.所以x>0．因此，点M的轨迹方程是18x2−163xy−15=0x>0.19. （1）fʹx=1x−2ax=1−2ax2x,x∈0,+∞,令fʹx=0，解得x=2a 2a.当x变化时，fʹx,f x的变化情况如下表：x0,2a2a2a2a2a2a,+∞fʹx+0−f x↗极大值↘所以，f x的单调递增区间是0,2a2a ，f x的单调递减区间是2a2a,+∞ ．（2）当a=18时，f x=ln x−18x2.由（1）知f x在0,2内单调递增，在2,+∞内单调递减．令g x=f x−f32．由于f x在0,2内单调递增，故f2>f 3 2 ,即g2>0.取xʹ=32e>2，则g xʹ=41−9e232<0.所以存在x0∈2,xʹ，使g x0=0，即存在x0∈2,+∞，使f x0=f32．（3）由fα=fβ及（1）的结论知α<2a2a<β,从而f x在α,β上的最小值为fα．又由β−α≥1，α,β∈1,3，知1≤α≤2≤β≤3.故f2≥fα≥f1,f2≥fβ≥f3.即ln2−4a≥−a,ln2−4a≥ln3−9a.从而ln3−ln2≤a≤ln2.20. （1）由b n=3+−1n2,n∈N∗，可得b n=1, n为奇数, 2, n为偶数.又b n a n+a n+1+b n+1a n+2=0，当n=1时，a1+a2+2a3=0,由a1=2，a2=4，可得a3=−3;当n=2时，2a2+a3+a4=0,可得a4=−5;当n=3时，a3+a4+2a5=0,可得a5=4.（2）对任意n∈N∗，a2n−1+a2n+2a2n+1=0, ⋯⋯①2a2n+a2n+1+a2n+2=0, ⋯⋯②a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0, ⋯⋯③②−③，得a2n=a2n+3. ⋯⋯④将④代入①，可得a2n+1+a2n+3=−a2n−1+a2n+1,即c n+1=−c n n∈N∗.又c1=a1+a3=−1，故c n≠0，因此c n+1c n=−1,所以c n是等比数列．（3）由（2）可得a 2k−1+a 2k +1= −1 k ,于是，对任意k ∈N ∗且k ≥2，有a 1+a 3=−1,− a 3+a 5 =−1,a 5+a 7=−1,⋮ −1 k a 2k−3+a 2k−1 =−1.将以上各式相加，得a 1+ −1 k a 2k−1=− k −1 ,即a 2k−1= −1 k +1 k +1 ,此式当k =1时也成立．由④式得a 2k = −1 k +1 k +3 .从而S 2k= a 2+a 4 + a 6+a 8 +⋯+ a 4k−2+a 4k =−k ,S 2k−1=S 2k −a 4k =k +3.所以，对任意n ∈N ∗，n ≥2，S ka k4nk =1= S 4m−3a 4m−3+S 4m−2a 4m−2+S 4m−1a 4m−1+S 4ma 4mnm =1= 2m +2−2m −1−2m +3+2mnm =1= 22m 2m +1 +32m +2 2m +3n m =1=22×3+ 52m 2m +1 +3 2n +2 2n +3 nm =2<1+ 5 +3 nm =2=1+5⋅ 1−1 + 1−1 +⋯+ 1−1 +3 =13+56−52⋅12n +1+3 2n +2 2n +3 <7.对于n =1，不等式显然成立．。

2011年高考数学最后压轴大题系列--解析几何

2011年高考数学最后压轴大题系列-解析几何1. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）. （Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.解：（I ）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ，其半焦距6=c 。

||||221PF PF a +=56212112222=+++=， ∴=a 53，93645222=-=-=c a b ，故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ；（II ）点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）关于直线y ＝x 的对称点分别为：)5,2(P '、'1F （0，-6）、'2F （0，6）设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ，由题意知半焦距61=c ，|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=， ∴=1a 52，162036212121=-=-=a c b ，故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x 。

2. 直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.02222,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x kk x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）. 则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c 代入③式化简得 .566).)(2,2(566566.066252的右焦点为直径的圆经过双曲线使得以可知舍去或解得C AB k k k k k +-=--∉-=+-==-+3. 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以4. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点，P 为C 上任意一点，且向量21PF PF 与向量的夹角余弦的最小值为31.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，求OMN ∆（O 为原点）的面积的最大值及相应的直线l 的方程. 解：(Ⅰ)设椭圆的长轴为2a ,a 2=22==c21222124cos PF PF PF PF ⋅-+=θ=2121221242)(PF PF PF PF PF PF ⋅-⋅-+=1244212-⋅-PF PF a又212PF PF ⋅≥∴221a PF PF ≤⋅即31211244cos 222=-=--≥aa a θ ∴32=a ∴椭圆方程为12322=+y x (Ⅱ) 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N()1111212OMN F OM F ON S S S OF y y ∆∆∆=+=+=2121y y -221,321.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩063)1(222=-+-y my即 044)32(22=--+my y m .由韦达定理得: 324221+=+m m y y 324221+-=⋅m y y ∴212212214)(y y y y y y -+=-= 3216)32(162222+++m m m =222)32()1(48++m m 令12+=m t , 则1≥t∴221y y -=4448)12(482++=+tt t t . 又令tt t f 14)(+=, 易知)(t f 在[1,+∞）上是增函数,所以当1=t ,即0=m 时)(t f 有最小值5.∴221y y -有最大值316 ∴OMN S ∆ 的面积有最大值332. 直线l 的方程为1-=x .5. 椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率eC (-1，0)的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足：CA =BC λ (2λ≥)．(Ⅰ)若λ为常数，试用直线l 的斜率k (k ≠0)表示三角形OAB 的面积． (Ⅱ)若λ为常数，当三角形OAB 的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．(Ⅲ)若λ变化，且λ= k 2＋1，试问：实数λ和直线l 的斜率()k k ∈R 分别为何值时，椭圆E 的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．解：设椭圆方程为22221+=x y a b(a ＞b ＞0)，由e =c aa 2=b 2+c 2得a 2=3 b 2，故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ① (Ⅰ)∵直线l ：y = k (x ＋1)交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，并且CA =BC λ (λ≥2)， ∴(x 1+1，y 1) =λ(-1-x 2，-y 2)，即12121(1)x x y y λλ+=-+⎧⎨=-⎩ ② 把y = k (x +1)代入椭圆方程，得(3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2-3b 2= 0，且 k 2 (3b 2-1)+b 2＞0 （*），∴x 1+x 2= -22631k k +， ③x 1x 2=2223331k b k -+， ④∴O AB S ∆=12|y 1-y 2| =12|λ+1|·| y 2| =|1|2λ+·| k |·| x 2+1|．联立②、③得x 2+1=22(1)(31)k λ-+，∴O AB S ∆=11λλ+-·2||31k k + (k ≠0)． (Ⅱ)OAB S ∆=11λλ+-·2||31k k +=11λλ+-·113||||k k +≤11λλ+-(λ≥2)．当且仅当3| k | =1||k ，即k=OAB S ∆取得最大值，此时x 1+x 2= -1．又∵x 1+1= -λ( x 2+1)，∴x 1=11λ-，x 2= -1λλ-，代入④得3b 2=221(1)λλ+-．此时3b 2≥5，,k b 的值符合(*) 故此时椭圆的方程为x 2＋3y 2=221(1)λλ+-(λ≥2)． (Ⅲ)由②、③联立得：x 1=22(1)(31)k λλ--+-1，x 2=22(1)(31)k λ-+-1，将x 1，x 2代入④，得23b =224(1)(31)k λλ-++1．由k 2=λ-1得23b =24(1)(32)λλλ--+1=432212(1)(1)(32)λλλ⎡⎤+⎢⎥---⎣⎦＋1．易知，当2λ≥时，3b 2是λ的减函数，故当2λ=时，23b 取得最大值3．所以，当2λ=，k =±1(符合(*))时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x 2 + 3y 2 = 3．6. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=共线. （I ）求椭圆的离心率；（II ）设M 为椭圆上任意一点，且(,)OM OA OB λμλμ=+∈R ，证明22μλ+为定值.解：（I ）设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入.化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x ++=+由与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a c ba c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又（II ）证明：由（I ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x μλ+==由已知得设⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由（I ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+222221222121212123.833()()a c ab x xc a b x x y y x x x c x c -∴==+∴+=+-- .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x 又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.7. 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点. （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 解：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F ， ∴圆心M 在直线12x =-上。

(2011年高考必备)湖北省黄冈中学高考数学压轴题精编精解100题(名师精选 131页).

黄冈中学高考数学压轴题精编精解精选100题，精心解答{完整版}1．设函数()1,121,23x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，()()[],1,3g x f x ax x =-∈，其中a R ∈，记函数()g x 的最大值与最小值的差为()h a 。

（I ）求函数()h a 的解析式；（II ）画出函数()y h x =的图象并指出()h x 的最小值。

2．已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若12,2a =则当n ≥2时,!n n b a n >⋅.个个3．已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：（1）21212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12,x x ∈R ，a 为常数）；（2）(0)()14f f π==；（3）当0,4x π∈［］时，()f x ≤2 求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式；（Ⅱ）常数a 的取值范围．4．设)0(1),(),,(22222211>>=+b a bx x y y x B y x A 是椭圆上的两点，满足0),(),(2211=⋅ay b x a y b x ，椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 5．已知数列{}n a 中各项为：12、1122、111222、 (111)⋅⋅⋅⋅⋅⋅14243222n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅14243 ……（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .6、设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.7、已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上. (1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.8、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

2011年高考数学(广东卷,理科)word版(全解全析)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式121()()()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑ , ay b x =- . 其中,x y 表示样本均值.n 是正整数，则()n na b a b -=-12(n n a a b --++ (21)n n ab b --+）.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i - 【解析】B ;依题意得211z i i==-+，故选B .2．已知集合{(,)|A x y =,x y 为实数,且}221x y +=,{(,)|B x y =,x y 为实数,且}y x =,则A B 的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【解析】C;题意等价于求直线y x =与圆221x y +=的交点个数,画大致图像可得答案为C . 3. 若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则⋅(2)=c a +bA ．4B ．3C ．2D ．0 【解析】D;因为a ∥b 且a ⊥c ,所以b ⊥c ，从而⋅⋅⋅(2)=20c a +b c a +c b =，故选D . 4. 设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A ．()()f x g x +是偶函数B ．()()f x g x -是奇函数C ．()()f x g x +是偶函数D ．()()f x g x -是奇函数【解析】A;依题意()(),()()f x f x g x g x -=-=-,故()|()|()|()|f x g x f x g x -+-=+,从而()|()|f x g x + 是偶函数，故选A .5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为A ．B ．C ．4D ．3【解析】C;目标函数即z y =+,画出可行域如图所示，代入端点比较之，易得当2x y ==时z 取得最大值4,故选C ．6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12B ．35C ．23D ．34【解析】D;设甲队获得冠军为事件A ,则A 包含两种情况:(1)第一局胜;(2)第一局负但第二局胜;故所求概率1113()2224P A =+⨯=,从而选D ．7. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．【解析】B ;该几何体是以正视图所在的平行四边形为底面，高为 3的四棱柱，又平行四边形的底边长为3,,所以面积 S=从而所求几何体的体积V Sh ==故选B ． 8.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T ,V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z = 且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B . ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C . ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D . ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的【解析】A;因为T V Z = ,故必．有．1∈T 或1∈V ,不妨设1∈T ,则令1c =,依题意对,a b T ∀∈,有ab T ∈,从而T 关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选A 了,但为了严谨,我们往下证明可以有一个不封闭以及可以两个都封闭),取T N =,则V 为所有负整数组成的集合,显然T 封闭,但V 显然是不封闭的,如(1)(2)2V -⨯-=∉;同理,若{T =奇数}，{V =偶数}，显然两者都封闭，从而选A ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换)

图4O 图4BC F2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（17选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换）一、几何证明选讲：选修4—1；几何证明选讲1.(2011北京理)如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。

给出下列三个结论：○1AD+AE=AB+BC+CA ； ○2AF ·AG=AD ·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（）（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③1.【答案】A.【解析】：①正确。

由条件可知，BD=BF ，CF=CE ，可得CA BC AB AE AD ++=+。

②正确。

通过条件可知，AD=AE 。

由切割定理可得2AF AG AD AD AE ⋅==⋅。

③错误。

连接FD （如下图），若ADG AFB ∽△△，则有ABF DGF ∠=∠。

通过图像可知 2ABF BFD BDF DGF ∠=∠+∠=∠，因而错误。

答案选A. 2．(2011广东文) 如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，4AB =，2CD =，,E F 分别为,AD BC 上的点，且3EF =，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________． 2. 解析：75如图，延长,AD BC ，ADBC P = ∵23CD EF =，∴49PCD PEF SS ∆∆= ∵24CD AB =，∴416PCD PEF SS ∆∆= ∴75ABEF EFCD S S =梯形梯形3．(2011广东理)如图4，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于,A B ，且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，BAC APB ∠=∠，则AB =___________ 3.由弦切角定理得PAB ACB ∠=∠，又BAC APB ∠=∠，则△PAB ∽△ACB ，则PB AB AB BC=，235AB PB BC =⋅=，即4.(2011江苏) 如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为1r 与212()r r r >，圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上），求证：:AB AC 为定值。

2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(14统计、统计案例、算法初步、框图、推理与证明)

2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（14统计、统计案例、算法初步、框图、推理与证明）一、选择题：1. (2011北京文)执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)51.【答案】C【解析】执行三次循环，12S A =≤=成立，112p =+=，1131122S P =+=+=，322S A =≤=成立，213p =+=，3131112236S P =+=+=，1126S A =≤=成立，314p =+=1111112566412S p =+=+=，25212S A =≤=不成立，输出4p =，故选C2.(2011北京理)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）（A ）-3 （B ）-12（C ）13 （D ）22.【答案】D【解析】：循环操作4次时S 的值分别为11,,3,232--，选D 。

3. (2011福建文)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。

现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A. 6B. 8C. 10D.12解析：由30:406:,n =可得8n =，答案应选B 。

4. (2011福建文)阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A.3B.11C.38D.1234.解析：110,12310,a a =<=+=<2321110,11a a =+=>=,答案应选B 。

5. (2011广东理) 设S 是整数集Z 的非空子集，如果S b a ∈∀,,有S ab ∈,则称S 关于数的乘法是封闭的，若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，T ∪V=Z, 且T c b a ∈∀,,,有T c ab ∈,;V z y x ∈∀,,,有V xyz ∈,则下列结论恒成立的是（）A. T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. T,V 中每一个关于乘法是封闭的5. 解析：（A ）．若T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、C ，若T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，排除D 。

2011高考数学解析几何高考真题分类解析素材新人教版

2011年高三冲刺阶段解答题训练题集4 ——解析几何部分一、理科解析几何解答题及参考答案1、实数m>1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－.(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)当m＝时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？解: (1)设S(x，y)，那么k SA＝，k SB＝.由题意得＝－，即＋y2＝1(x≠±m)．∵m>1，∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.(2)当m＝时，曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±)．由消去y得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.①令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3，∵t>0，∴t＝3.此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．②令Δ>0且直线2x－y＋t＝0恰好过点(－，0)时，t＝2.此时直线与曲线C有且只有一个公共点．综上所述，当t＝3或2时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．2、椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕假设P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

解： (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由得，所以椭圆的标准方程为.〔Ⅱ〕设，其中。

由及点在椭圆上可得。

整理得，其中。

〔i〕时,化简得所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。

〔ii〕时，方程变形为，其中当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分.当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆.3、矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．〔I〕求边所在直线的方程；〔II〕求矩形外接圆的方程；〔III〕假设动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．解：〔I〕因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为．即．〔II〕由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为．所以为矩形外接圆的圆心．又．从而矩形外接圆的方程为．〔III〕因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即．故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．从而动圆的圆心的轨迹方程为．4、菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；(2)当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值．解: (1)由题意得直线BD的方程为y＝x＋1.因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n.由得4x2－6nx＋3n2－4＝0.因为A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋64>0，解得－<n<.设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么x1＋x2＝，x1x2＝，y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n.所以y1＋y2＝.所以AC的中点坐标为.由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y＝x＋1上，所以＝＋1，解得n＝－2.所以直线AC的方程为y＝－x－2，即x＋y＋2＝0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|.所以菱形ABCD的面积S＝|AC|2.由(1)可得|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，所以S＝(－3n2＋16)3.所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值4.5、在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值X围；(2) 设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.解: (1)由条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>.即k的取值X围为∪.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么由方程①得x1＋x2＝－.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2，③而所以与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝.由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.6、向量，动点M到定直线的距离等于，并且满足，其中O为坐标原点，K为参数；〔1〕求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；〔2〕当k=时，求的最大值和最小值；〔3〕在〔2〕的条件下，将曲线向左平移一个单位，在x轴上是否存在一点P〔m，0〕使得过点P的直线交该曲线于D、E两点、并且以DE为直径的圆经过原点，假设存在，请求出的最小值；假设不存在，请说明理由.解：〔1〕设，那么由，且O为原点得A〔2，0〕，B〔2，1〕，C〔0，1〕从而代入得为所求轨迹方程当K=1时，=0 轨迹为一条直线当K1时，，假设K=0，那么为圆；假设K，那么为双曲线〔2〕当K=时，假设或那么为椭圆方程为，即且从而又∴当时，取最小值，当时，取最大值16故，〔3〕在〔2〕的条件下，将曲线向左平移一个单位后曲线方程为假设存在过P〔m,0〕直线满足题意条件，不妨设过P〔m,0〕直线方程为设D〔x1,y1〕,E(x2,y2)，消去x得：即由韦达定理，得由于以DE为直径的圆都过原点那么,即又因为即显然能满足故当7、椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x2的焦点．(1)求椭圆C的标准方程；C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，假设求λ1＋λ2的值．解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，抛物线方程为x2＝4y，其焦点为(0,1)，椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b＝1，由e＝＝＝，得a2＝5，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)由(1)得椭圆C的右焦点为F(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，代入＋y2＝1，并整理得：(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.又＝(x1，y1－y0)，＝(x2，y2－y0)，＝(2－x1，－y1)， (2－x2，－y2) 由得(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)，(x2，y2－y0)＝λ2(2－x2，－y2)，∴λ1＝，λ2＝，∴λ1＋λ2＝＋＝＝－10.8、设椭圆E: 〔a,b>0〕过M〔2，〕，N(,1)两点，O为坐标原点，〔I〕求椭圆E的方程；〔II〕是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B, 且？假设存在，写出该圆的方程，假设不存在说明理由。

2011高考数学立体几何大题汇总

2011高考数学立体几何大题汇总D因此可取n=(3,1,3)设平面PBC 的法向量为m ，则 00m PB m BC ⋅=⋅=可取m=（0，-1，3-）27cos ,727m n ==-故二面角A-PB-C 的余弦值为277-2如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD ⊥,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====．（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小．解法一：（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，连结SE ，则, 3.SE AB SE ⊥= 又SD=1，故222ED SE SD =+，所以DSE ∠为直角。

…………3分由,,AB DE AB SE DE SE E ⊥⊥=，得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥。

SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。

所以SD ⊥平面SAB 。

…………6分（II ）由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SED 。

作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，3SD SE SF DE⨯== 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。

连结SG ，则SG BC ⊥，又,BC FG SG FG G ⊥=，故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。

…………9分作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 。

37SF FG FH SG ⨯==，即F 到平面SBC 的距离为217 由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也有217 设AB 与平面SBC 所成的角为α，则2121sin arcsin 77d EBαα=== …………12分解法二：以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz 。

设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）。

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（1）数学精英解“集合题”与“函数题”1．（07安徽理5）若22{228}{l og 1}xA xB x x -=∈<=∈>Z R ≤，，则A ∩(R B )的元素个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】：C 由23{222}x A x -=∈≤<Z ，故{11}A x x =∈-<≤Z ，解2{log 1}B x x =∈>R 得22{log 1log 1}B x x x =∈><-R 或得1{2}2B x x x =∈><<R 或0，所以R B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤∈0221x x x 或|R ，则A ∩(R B )={0，1}，故有两个元素. 【说明】对于指数的考查利用单调性来脱去“底”从而比较“幂”的大小是常考的知识点，在第二题中也要注意对数的定义域，不少的同学因忽视定义域而选择B.2．（07山东理6）给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，下列函数中不．满足其中任何一个等式的是（） A ．()3xf x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =【分析】解决本题的关键是正确熟练的记住这些运算性质，把选项中函数代入验证即可. 【解析】 B ()()()f xy f x f y =+是对数模型，()()()f x y f x f y +=是指数模型，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-是正切的两角和公式的模型.故选B3． (07天津文4)设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【解答】解决的关键是选好关键值，如0，1等.A 由12log 31a =<-，0.21013b ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，1321c =>可得a b c <<.4．（07湖北理15）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为考场精彩O 0.11y （毫克）t （小时）116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为；（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．【分析】本题以应用题的形式考查学生的阅读能力，识图能力，本题的关键是(0.1,1)这点，通过此点求两个函数关系式，即可迎刃而解.【解答】：通过读题可以发现这是一个分段函数前段是正比例函数，后段是指数函数，所以把(0.1,1)分别代入两个解析式可得：110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；第二问通过0.25y =代入指数函数解析式可得求得0.6【说明】：本题的题目简单但是要求审题细致，否则第二问很容易错填2340.5.（07江苏6）设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则有（）Ａ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ｂ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ｃ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ｄ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解答】 B 由题当1x ≥时()31xf x =-是单调递增函数又它的图像关于直线1x =对称，所以当1x <时，函数()f x 是单调递减函数，且3111()(1)(1)()2222f f f f =+=-=，因为1121323<<<，所以112()()()323f f f >>即231()()()323f f f << 【说明】解决的关键是放到一个单调区间上比较.比较大小是考查指数函数的性质灵活运用的常见题型，利用单调性比较或是选择关键值进行比较是常用的方法.6．（07重庆理13）若函数22()21xax af x --=-的定义域为R ，则α的取值范围为______．【分析】解题关键是正确转化题干的含义. 【解答】22()21xax af x --=-的定义域为R ，可知x R ∈，2221xax a--≥恒成立，即220x ax a --≥恒成立，即2440a a ∆=+≥得[]10a ∈-，.7.（07上海理4）方程 96370x x -∙-=的解是．【解答】令3x t =，0t >，则方程变为2670t t --=，解得1(,7t t =-=舍去），故337,log 7x x == 【说明】指数方程不等式在利用换元法解决问题时应特别注意换元后的新元的取值范围.指数与对数的相互转化是高考命题的一大热点.8．(07天津理5) 函数2log (42)(0)y x x =++>的反函数是（）Ａ．142(2)x x y x +=-> Ｂ．142(1)x x y x +=-> Ｃ．242(2)x x y x +=->Ｄ．242(1)x x y x +=->【解答】 C 由2log (42)(0)y x x =++>，解得242(0)y y x x +=->得242(2)x x y x +=->.9.（07全国卷1理14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．【解答】 3()xx ∈R 函数3l o g (0)y x x =>关于直线y x =对称的函数就是3log (0)y x x =>的反函数，故应填3()x x ∈R ，请注意定义域.10.（07四川理2）函数f (x )=1+log 2x 与g(x )=2-x +1在同一直角坐标系下的图象大致是【解答】C 通过特殊点来判断图像()f x 过点(1,1)，()g x 过点(0,2)可得选C.（3）数学精英解“数列”题1．（广东卷第5题）已知数列｛n a ｝的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足５＜k a ＜８，则k =（A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6解答： B 此数列为等差数列，1210n n n a S S n -=-=-，由5<2k -10<8得到k =8.2．（天津卷第8题）设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（）Ａ．2 Ｂ．4Ｃ．6 Ｄ．8解答：由题意得，a n =（n +8）d ,a k k a a 212=, ∴（k +8）2d 2=9d (2k +8)d .∴k =4. 答案为B.3．（湖北卷第6题）若数列{a n }满足∈=+，n p p a a nn 为正常数(221N*),则称{a n }为“等方比数列”.甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列.则A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解答：p a a nn ±=+1，所以此数列{a n }并不是等比数列；若{a n }是等比数列，则2212121q a a a a n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++，数列{a n }是等方比数列. 答案为B.【说明】 1，2，4，8，-16，-32，……是等方比数列，但不是等比数列.4．（湖北卷第8题）已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且3457++=n n B A n n ，则使得n n b a为整数的正整数n 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 解答：运用中值定理，n n a n S )12(12-=-.考场精彩(3)()()()()212121721451438212132271912711n n n n n n n a n a A n b n b B n n n n n ----++====--+++==+++可见，当且仅当n=1，2，3，5，11时，nn b a 为正整数.答案为D.5．（辽宁卷第4题）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则a 7+a 8+a 9=（）A ．63B ．45C ．36D ．27 解析1：设等差数列首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+.2,1.362566,92233111d a ••d a d a 解得 ∴a 7+a 8+a 9=3a 8=3(a 1+7d )=3³(1+7³2)=45.解析2：由等差数列的性质知：S′3=S 6-S 3=36-9=27，d′=S′3-S 3=27-9=18. ∴S 〞3=S 3+2d′=9+2×18=45. 答案为B.6．（福建卷第2题）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（）A ．1B ．56C ．16D ．130解答：由)1(1+=n n a n ，得111+-=n n a n ，.65611514141313121211543215•••a a a a a S =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++=答案为B.7.（全国卷Ⅰ第15题）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为．解法一：将S 2=（1+q ）S 1,S 3=（1+q +q 2）S 1代入4.0332312=-+=q q ，S S S 得注意到q ≠0,得公比q =.31解法二：由题设得),(3)(4,34321121312a a a a a a S S S +++=++=即化简得a 2=3a 3，故公比q =.3123=a a 解法三：由4S 2=S 1+3S 3，得S 2-S 1=3（S 3-S 2）,即a 2=3a 3,故公比q =.3123=a a 8．（全国卷Ⅰ第22题）已知数列{}n a 中12a =，1(21)(2)n n a a +=-+，123n =，，，…．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，证明：432n n b a -<≤，123n =，，，…．解答：（Ⅰ）解法1：由题设：1(21)(2)n n a a +=-+(21)(2)(21)(22)n a =--+-+ (21)(2)2n a =--+， 12(21)(2)n n a a +-=--．所以，数列{}2n a -是首项为22-，公比为21-的等比数列，22(21)n n a -=-，即n a 的通项公式为2(21)1nn a ⎡⎤=-+⎣⎦，123n =，，，…．解法2：设),)(12(1t a t a n n +-=++ 整理得.)22()12(1t a a n n -+-=+ 由已知)12(2)12(1-+-=+n n a a 比较系数得2-=t .∴)2)(12(21--=-+n n a a .即数列{}.12公比为,22221的等比数列是以首项为--=--a a n ∴n n a )12(22-+=，（n ∈N +）（Ⅱ）解法1：用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =时，因22<，112b a ==，所以112b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =时，结论成立，即432k k b a -<≤，也即43023k k b a -<--≤．当1n k =+时，1342223k k k b b b ++-=-+(322)(432)23k k b b -+-=+(322)(2)023k k b b --=>+，又1132223223k b <=-++，所以 1(322)(2)223k k k b b b +---=+2(322)(2)k b <-- 443(21)(2)k a ---≤ 412k a +=-．也就是说，当1n k =+时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知432n n b a -<≤，123n =，，，…．解法2：由32)2)(223(232432,324311+--=-++=-++=++n n n n n n n n b b b b b b b b 得于是)223(22)223(2)32)(223()2)(223(322121++-+=-++=--+=-+n n n n n n b b b b b b 令),223(2)223(,2121+++==-+n n n n c c c b 得有.42)223(4221⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=++n n c c ∵423142214211+=+-=+b c ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+42n c 是以首项为1+423，公比为（3+22）2的等比数列. ∴()12223423442-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+=+n n c , .221)12(2221)223(22212412>+-+=+-+=+=--n n n n c b 又2)12(23434+-=--n n a ,∴要证明34-≤n n a b ，只需证明().2)12(1123424≥-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--n n 而()()()[],22112)12(12)12(1212)12()12(1123434343424=-++≥--+=---++=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-----n n n n n综上所得.234-≤<n n a b（4）数学精英解 “三角函数”题1．（北京卷第1题）已知0tan cos <θ∙θ，那么角θ是 A.第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D.第一或第四象限角解答 ⇒<θ=θθ∙θ⇒<θ∙θ0sin cos sin cos 0tan cos θ是第三或第四象限角. 答案为C.2．（山东卷第5题）函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和最大值分别为（） A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2解答： x x x x x y 2cos 232sin 212cos 212cos 232sin =⋅-⋅+⋅+⋅= ∴T =π，y max =1答案为A.3．（江苏卷第1题）下列函数中，周期为π2的是（）Ａ．sin2x y =Ｂ．sin 2y x =Ｃ．cos4x y =Ｄ．cos 4y x =解答：逐一验证，422=ω⇒π=ωπ=T ，只有D. 答案为D.4．（浙江卷第2题）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)3f =，则（）A ．126ωϕπ==，B ．123ωϕπ==， C ．26ωϕπ==， D ．23ωϕπ==，解答： .3,3sin 2)0(,2,2π=ϕ=ϕ==ϖπ=ϖπf 答案为D.5．（福建卷第5题）已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数考场精彩(4)的图象（） A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称解答：由题意知ω=2，所以解析式为⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=32sin )(x x f ，经验证可知它的一个对称中心为.0,3•••⎪⎭⎫⎝⎛π 答案为A.6．（江苏卷第5题）函数[]()sin 3cos (π0)f x x x x =-∈-，的单调递增区间是（）Ａ．5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，Ｂ．5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，Ｃ．π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，Ｄ．π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，解答： ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=3s i n 2)(x x f .0,6656,0),(65262),(22322符合题意由此可得得令得令⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-π≤≤π-=∈π+π≤≤π-π∈π+π≤π-≤π-πx k k k x k k k x k Z Z答案为D.7．（湖北卷第2题）将⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=63cos 2x y 的图象按向量a =⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4平移，则平移后所得图象的解析式为 A.243cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y B. 243cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛π-=x y C. 2123cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π-=x y D. 2123cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y 解答：看向量a =⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4的数据“符号”，指令图象左移和下移，按“同旁相减，异旁相加”的口诀，立可否定B 、C 、D. 答案为A.8．（全国卷Ⅱ第2题）函数sin y x =的一个单调增区间是（） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭，解法一：∵函数y =|sin x |的一个单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0，又函数y =|sin x |是以π为周期的函数，∴函数y =|sin x |的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+ππ2,k k （k ∈Z ）. 当k =1时，函数y =|sin x |的一个单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ23,.故选C. 解法二：作出函数y =|sin x |的图象，由图易知y =|sin x |的一个单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ23,.故选C.解法三：将每个选择支中区间的两个端点值代入函数表达式，A 、B 两个选择支的端点值相等，而选择支D 的左端点值大于右端点值，所以根据单调递增的概念判断，可排除A 、B 、D ，故选C.9.（全国卷Ⅰ第12题）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解法一： ()()2cos 1cos f x x x =-+215cos 24x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭以下将各选项中的两个数据依次代入估算，只有A 项是递增的，故选A.解法二：由f ＇(x )= -2cos x ²sin x +4cos0)cos 21(sin 212sin 2>-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x ，得 ⎩⎨⎧<-<⎩⎨⎧>->.0cos 21,0sin 0cos 210sin x x x x 或当-π<x <π时，上面不等式组的解集为⎪⎭⎫⎝⎛ππ⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛π-,30,3.故选A. 解法三：令cos x =t ，则f (t )=cos 2x -cos x -1=t 2-t +1.∴f (t )在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21上递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,上递减，而当x ∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ32,3时，cos x <21且t =cos x 递减.∴由复合函数的单调性可知，f (x )一个单调递增区间为⎪⎭⎫⎝⎛ππ323，.故选A.(5) 数学精英解“平面向量”题1.（湖北卷第2题）将⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=63cos 2x y 的图象按向量a =⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4平移，则平移后所得图象的解析式为 A.243cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y B. 243cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛π-=x y C. 2123cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π-=x y D. 2123cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y 解答：看向量a =⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4的数据“符号”，指令图象左移和下移，按“同旁相减，异旁相加”的口诀，立可否定B 、C 、D.答案为A.【说明】口诀是经验的总结.直用口诀可不讲道理.沿向量a =(m,n)移动y=f(x)图象的结果是 y-n=f(x-m) (同旁相减) 或y=f(x-m)+n (异旁相加)2.（北京卷第4题）已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且OC OB OA ++2=0，那么A ．OD AO = B.OD AO 2= C.OD AO 3= D.OD AO =2 解答：.,2OD AO OD OC OB ==+因此答案A.3.（湖南卷第4题）设，a b 是非零向量，若函数f （x ）=(x a +b )²(a -x b )的图象是一条直线，则必有（） A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b解答： f (x )的图象是一直线，则f (x )是x 的一次式.而f (x )展开后有x 的二次-x 2a ²b ，故-a ²b=0⇒a ⊥b ，故选A.4.（全国卷Ⅰ第3题）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （） A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向D ．平行且反向解答：05665=⨯+⨯-，即a ²b =0. 答案为A.考场精彩（5）5.（浙江卷第7题）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（）Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a bＤ．22<+b a b解答： +=a b b ,∴|a+b |2=|b |2,即(a+b )2=b 2,整理得a ²b =-21|a |2. ∴（|a +2b |-|2b |）2=a 2+4a ²b =-|a |2<0,∴|a +2b |<|2b |. 答案为C.6.（全国卷Ⅱ第5题）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则λ=(A)32(B)31 (C) -31 (D) -32 解答： 1222()33AD DB CD CA CB CD CD CA CB =⇒-=-⇒=+，故选A【说明】本题在正常运算的情况下，基本不会出现错误，除非在马虎大意的情况下，将向量“移项”过程中没有变号.7．（全国卷Ⅱ第9题）把函数y =e x 的图象按向量a =(2,3)平移，得到y =f (x )的图象，则f (x )= (A) e x -3+2 (B) e x +3-2 (C) e x -2+3 (D) e x +2-3 解答：按“左加右减，上加下减”法则和所给向量易知，答案为C. 【说明】如果法则和向量平移问题连接不好，易选错为A 或B 或D.8.（天津卷第10题）设两个向量22(2cos)λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（）Ａ．[-6,1]Ｂ．[48]，Ｃ．[-1,1]Ｄ．[-1,6]解答：由题意知λ+2=2m ， ①α+=α-λsin 2cos 22m , ②由①得.22mm -=λ 由①②得,3sin 2sin 4cos sin 294222-α+α-=-α+α=-m m ∴-6≤4m 2-9m ≤-2.∴41≤m ≤2. ∴]1,6[22-∈-=λmm答案为A.【说明】两个参数的比值转化为只含一个参数，再求其范围.9.（重庆卷第10题）如题（10）图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=，0,4||||||||=∙=∙=∙+∙DC BD BD AB DC BD BD AB ，则AC DC AB ∙+)(的值为（）Ａ．2Ｂ．22Ｃ．4Ｄ．42解答：由,4|)||(|||,4|)||(|||=+⋅=++DC AB BD DC AB BD 以及得.2||||||=+=DC AB BD∴.42|)||(|2)()()(222222==+=+⋅⋅+=+⋅+⋅+⋅+⋅+=++⋅+=⋅+DC AB DCDC AB AB DC BD DC AB DC DC AB BD AB AB DC BD AB DC AB AC DC AB答案为C.【说明】向量积的简单运用.10.（辽宁卷第3题）若向量a 与b 不共线，a ²b ≠0，且b b a b a a c ⎪⎭⎫⎝⎛∙∙-=，则向量a 与c 的夹角为（）A ．0B ．6π C ．3πD ．2π解答： 0=∙-∙=⎪⎭⎫⎝⎛∙∙∙-∙=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∙∙-∙=∙a a a a b a a a b a a a b b a b a a a c a . 则a 与c 的夹角为2π. 答案为D.11.（辽宁卷第6题）若函数y=f(x)的图象按向量a 平移后，得到函数y=f(x+1)-2的图象，则向量a =( )A ．（-1，-2）B ．（1，-2）C ．（-1，2）D ．（1，2）解答：由y=f(x+1)-2，得y+2=f(x+1)，可知它是由函数y=f(x)的图象向左平移一个单位，再向下平移两个单位得到的，所以向量a =（-1，-2）.答案为A.DCAB题（10）图12.（福建卷第4题）对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（） A ．若a ²b=0，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0aC ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若a ²b=a ²c ，则b =c解答：对于A ，可举反例：当a ⊥b 时，a ∙b =0，对于C ，a 2=b 2只能推得|a |=|b |，而不能推出a =±b . 对于D ，a ∙b = a ∙c 可以移项整理推得a ⊥(b - c ). 答案为B.(6) 数学精英解 “不等式”题1.（北京卷第7题）如果正数a,b,c,d 满足a+b=cd=4,那么 A.ab ≤c+d ，且等号成立时，a,b,c,d 的取值唯一 B.ab ≥c+d ，且等号成立时，a,b,c,d 的取值唯一 C.ab ≤c+d ，且等号成立时，a,b,c,d 的取值不唯一 D.ab ≥c+d ，且等号成立时，a,b,c,d 的取值不唯一解答：由平均值不等式知. 答案A .【说明】平均值不等式等号成立的条件，而且又给定了具体的数值，所以a ,b ,c ,d 取值唯一.2．（湖南卷第2题）不等式201x x -+≤的解集是（） A ．(1)(12]-∞-- ，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞ ，， D ．(12]-，解答：原不等式可化为()()21012,10x x x x ⎧-+≤⇒-<≤⎨+≠⎩故选D.3.（山东卷第7题）命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（） A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤ B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤C ．存在x ∈R ，3210x x -+>D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>解答：全称命题的否定是存在性命题.答案为C.【说明】命题是新课标的内容，只要理解其内涵，就不难了.4.（江苏卷第10题）在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域{}()100A x y x y x y =+，≤，且≥，≥，则平面区域{}()()B x y x y x y A =+-∈，，的面积为（）Ａ．2Ｂ．1Ｃ．12Ｄ．14解答：令x+y=x,x-y=t,由题意可得平面区域B={（x,t ）|s ≤1,s+t ≥0,s-t ≥0}.画出可行域可得..11221=⨯⨯=∆AOB S 答案为B.5. （全国卷Ⅱ第6题）不等式:412--x x >0的解集为考场精彩（6）(A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞) (C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)解答：令0x =，原不等式成立，即可排除B 、D ，再令3x =，原不等式仍成立，故再排除A ，所以选C.【说明】本题的选择支中，区间端点值只有涉及原不等式相应的方程的根，所以主要的错点在于解不等式过程中求并或求交过程中的丢解，这样的结果可能选错为A 或B.6.（天津卷第9题）设a b c ，，均为正数，且122log a a =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（）Ａ．a b c <<Ｂ．c b a <<Ｃ．c a b <<Ｄ．b a c <<解答： ;210l o g 221<<⇒=a a a 1log 21;121log 21221>⇒=⎪⎭⎫⎝⎛<<⇒=⎪⎭⎫⎝⎛c c b b cb故有a<b<c .答案为A.7.（重庆卷第2题）命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（）Ａ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤ Ｂ．若11x -<<，则21x <Ｃ．若1x >或1x <-，则21x >Ｄ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥解答： A 是已知命题的否命题，B 是逆命题，比较C 、D 易知.答案为D.8.（福建卷第7题）已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（）A ．(11)-，B ．(01)，C ．(10)(01)- ，，D ．(1)(1)-∞-+∞ ，，解答：因为f (x )为R 上的减函数. 所以11,11-<>x ••x 解得或11>x ，即-1<x <0或0<x <1.答案为C.9.（湖北卷第21题）已知m ，n 为正整数.（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x >-1时，(1+x )m ≥1+mx ；（Ⅱ）对于n ≥6，已知21311<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n ，求证mn n m ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2131，m =1,1,2…，n ；（Ⅲ）求出满足等式3n +4m +…+(n +2)m =(n +3)n 的所有正整数n .【分析】一题多问的试题，后面的各问往往需要应用前此各问的结论.本题第（Ⅰ）问不难，但第（Ⅱ）问却令人相当棘手.我们猜想：第（Ⅱ）问是否可以利用第（Ⅰ）问的结论？第（Ⅲ）问更难，是否又可以利用第（Ⅱ）问的结论？解题实践证明：这个猜想是对的. 解答：（Ⅰ）略（Ⅱ）∵6,n ≥且1,2,,m n = 知.m n ≤令1,3x n '-=+则10x '- . ∴011x '+ ，即10113n -+ （注：这是利用第（Ⅰ）问的前提条件）根据（Ⅰ），()111,11033mmm x mx n n ⎛⎫''+≥+-≥- ⎪++⎝⎭即. 但.m n ≤时，仍有()10,13m n -∈+，111113322nmnmnmm n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-≤- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （注：这里连续利用放缩法达到了证题的目的）（Ⅲ）当06n 时，直接验算：显然n=2符合条件：()2223423+=+n=3时，左边=33+43+53=216，右边=（3+3）3=216，∴n=3也符合条件.n=4时，左边=44443456+++，而右边=()33437+=.注意到：两个奇数之和必是奇数，而任意多个偶数之和还是偶数，那么左边=偶数，而右边=奇数，故两边必不相等，∴n=4不符合条件.n=5时，左边=5555534567++++，而右边=()33538+=.注意到：任一整数的5次幂与其本身，其个位数相同，容易判断左边的个位为5，而右边的个位是2，仍为左奇右偶，∴n=5也不符合条件.故当06n 时，n=2或3.（注：在数学高考中，也用到了与整数论有关的课外基本知识，这个动向值得注意）当n ≥6时，假定存在0,n 使得()()0000003423n nnnn n ++++=+ 成立，则有：0033n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()00000241133n n n n n ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭但是：0033n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭00002433n n n n n ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=00013n n n ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭00000111133n n n n n ⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.根据（Ⅱ），右式012n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ()001111112222n n -⎛⎫++=- ⎪⎝⎭（1）与（2）矛盾，故当不存在满足等式3n +4m +…+(n +2)m =(n +3)n 的正整数.（注：当06n 时，只有2与3两个数符合条件，据此我们已经猜想到n ≥6时，符合条件的正整数不存在.而证题的策略是，先假定存在，然后用反证法推翻这个假定.）综上，适合该等式的所有正整数只有2与3.(7) 数学精英解“直线与圆的方程”题1.(湖北卷第10题) 已知直线1=+bya x （a,b 是非零常数）与圆x 2+y 2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有A.60条B.66条C.72条D.78条解答：找整点，这些点分别是：（10，0），（8，6），（6，8），（0，10），（-6，8），（-8，6），（-10，0），…，（8，-6）共12个点. 过整点的直线分两类：一类是圆的割线，过这12点中的每两点可作21266C =条直线，其中的6条直径和8条平行于坐标轴的直线不合条件舍去，即割线有66-6-8=52条；一类是过不在坐标轴上的点可以作圆的8条切线也都符合条件. 故这样的直线共有52+8=60条. 答案为A.【说明】直线是截距式，所以过原点和平行于坐标轴的直线都应除去，还有圆的切线我们不可忘哦.2.（北京卷第6题）若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是A.34≥a B.10≤<a C.341≤≤a D.3410≥≤<a a 或解：由不等式组的前三个条件已经确定一个三角形区域（如图阴影）.所以x+y=a 只能在图中两条虚线所夹区间之外,因此a 有两个范围. 答案为D.【说明】线性规划只要作出图形，问题便一目了然.3.（全国卷Ⅰ第6题）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为22，且位于考场精彩（7）1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（） A ．(11)， B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，解答：先看满足第一个条件的点，1-1+1=1,-1-1+1=-1,-1-(-1)+1=1, 1-(-1)+1=3,排除D.再看满足x-y +1>0的点，可以排除B ，而A 不满足 x+y -1<0,故只有C.【说明】排除法，第一个条件和第二个条件有关联，列出各项，可以达到一箭双雕.4.（浙江卷第3题）直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（）Ａ．210x y +-= Ｂ．210x y +-= Ｃ．230x y +-=Ｄ．230x y +-=解答：看选择支，哪个答案与已知直线相加除以2得x=1,能消y 的只有D. 答案为D.【说明】由于是选择题，我们可以不取点，两条直线相加除以2，就是对称轴了.5.（江苏卷第10题）在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域{}()100A x y x y x y =+，≤，且≥，≥，则平面区域{}()()B x y x y x y A =+-∈，，的面积为（）Ａ．2Ｂ．1Ｃ．12Ｄ．14解答：令x+y=x,x-y=t,由题意可得平面区域B={（x,t ）|s ≤1,s+t ≥0,s-t ≥0}.画出可行域可得..11221=⨯⨯=∆AOB S 【而答】答案为B.6.（天津卷第2题）设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（）Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．14 解答：只需画出线性规划区域，如下图可知，z =4x +y 在A （2，3）处取得最大值11. 答案为B.【说明】用图说话.7.（辽宁卷第8题）已知变量x 、y 满足约束条件 xy•y x x y x 则⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-,07,1,02的取值范围是（）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59•• B ．⎥⎦⎤⎝⎛∞-59,••∪[)∞+••,6 C ．(]3,••∞-∪[)∞+••,6 D ．[3，6] 解答：约束条件•y x x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-,07,1,02 所表示的区域如图所示：x y 的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率. 6,595254===OC OB •k •．．k .∴x y ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59••. 答案为A.【说明】本题考查线性规划问题及数形结合的思想.(8) 数学精英解 “圆锥曲线”题1.(2007年湖北卷第7题) 双曲线C 1：12222=-by a x （a>0,b>0）的左准线为l ,左焦点和右焦点分别为F 1和F 2；抛物线C 2的准线为l ，焦点为F 2.C 1和C 2的一个交点为M ，则||||||||21121MF MF MF F F -等于 A.-1 B.1 C.21- D.21解答：设双曲线的离心离为e,如图：||||||||21121MF MF MF F F -=e MF e aeMN MN e MF c -=-||2||||||211 11)||||1(||||||121-=--=--=--∙=e e e MN e MN e e MF MF MF e答案为A.【说明】MN 是转换的中介，巧用定义.2.(湖南卷第9题) 设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．202⎛⎤⎥ ⎝⎦，B ．303⎛⎤⎥ ⎝⎦，C ．212⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D ．313⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，解：椭圆的右准线方程为()()22121,,0,,0,,,a a x F c F c P y PF c c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的中垂线过2,F 则24222222221232,c a a c y y c c a c P F F F -+=⇒+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴=，当0y =时，2y 最少，即：22133320 1.33e e e e -+≥⇒≥⇒≤<故选D. 考场精彩（8）答案为D.【说明】充分利用圆锥曲线的性质寻找解题的突破口.3.(全国卷Ⅰ第4题) 已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= 解答：c =4，e =2，则a =2.焦点在x 轴上.答案为A. 【说明】 .,222c b a ac e =+=4.(全国卷Ⅰ第11题) 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则A K F △的面积是（）A ．4B ．33C ．43D ．8解答： )32,3()1(342A x y xy ⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==联立,|AK |=3-（-1）=4， 3432421=⨯⨯=∆ABC S .答案为C.【说明】 A 点是突破点，只要求出它，便迎刃而解.5.(浙江卷第4题) 要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6解答：每一条边上至少得2个，则对称性知，最少得安装4个. 【而答】答案为B.6.(浙江卷第9题) 已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab = ，则双曲线的离心率是（）Ａ．2Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．3解答： ∵21PF PF ⊥,∴021=⋅PF PF.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y c a P ,2,则0,,22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---y c a c y c a c 解得c a c y 44||-=,又由ab y F F S ab PF PF S F PF F PF 2||||212||||2121212121=⋅===∆∆及得.3,3,222144=∴==-⨯⨯e a c ab ca c c 解得答案为B.【说明】用向量解决解析几何.7.(江苏卷第3题) 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程为20x y -=，则它的离心率为（）Ａ．5Ｂ．52Ｃ．3 Ｄ．2解答：渐近线的斜率5211,2122=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==a b e b a .答案为A.【说明】离心率22221⎪⎭⎫⎝⎛+=+==a b a b a ace .8.(全国卷Ⅱ第11题) 设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。