Removed_2011年江西高考数学理科试卷(带详解)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考公式：样本数据，，…，的线性相关系数()11,x y ()22,x y (),n n x y ，其中，.∑∑∑===----=ni ini ini iiy yx x y yx x r 12121)()())((12n x x x x n ++⋅⋅⋅+=12ny y y y n++⋅⋅⋅+=锥体的体积公式，其中为底面积，为高. 13V Sh =S h 第Ⅰ卷1、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若,则复数( )1+2iiz =z = A.B.C.D.2i --2i -+2i -2i+【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数，求其共轭复数.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】，.221+2i i+2i i 22i i i 1z -====--2i z =+2.若集合,则 ( )2{|1213},{|0}x A x x B x x-=-+=………A B = A. B. C.D.{|10}x x -<…{|01}x x <…{|02}x x ……{|01}x x ……【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两集合，求其交集.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】.{}{}11,02,A x x B x x =-=< ………{}01A B x x ∴=< …3.若,则的定义域为( )()f x =)(x f A.B. C. D.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭(0,)+∞【测量目标】函数的定义域.【考查方式】给出函数解析式，求其定义域.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】.()12log 210,0211,x x +>∴<+< 1,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭4.若,则的解集为( )2()24ln f x x x x =--()0f x '> A. (0,) B. (1,0)(2,)∞+- ∞+ C. (2,) D. (1,0)∞+-【测量目标】利用导数解决不等式问题.【考查方式】给出函数，求出函数导数的不等式的解集.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】（步骤1）()242220,0,x x f x x x x--'=-->>.（步骤2）()()0,210,2x x x x >∴-+>∴> 5.已知数列的前项和满足:,且,那么( )}{n a n n S m n m n S S S +=+11=a =10a A.1B.9C.10D.55【测量目标】数列的前n 项和，由递推关系求数列的通项公式.【考查方式】给出递推关系，求出数列的项.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】(步骤1)221122,1S a a S a =+=∴= （步骤2）31233,1S S S a =+=∴=，.（步骤3）41344,1S S S a =+=∴= 101a ∴=6.变量与相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量与X Y U 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4）,（11.8,3），（12.5,2），（13,1).表示变量与之V 1r Y X 间的线性相关系数,表示变量与之间的线性相关系数,则( )2r V U A.B.C.D.012<<r r 120r r <<120r r <<12r r =【测量目标】变量的相关系数的判断.【考查方式】由数据得出相关系数之间的关系.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】，第一组变量正相关，第二组变量负相关.()()()()∑∑∑===----=ni ini ini iiy y x x yy x x r 121217.观察下列各式: 则的末四位数字为( )56753125,515625,578125,,===⋅⋅⋅20115 A.3125 B. 5625C. 0625D.8125【测量目标】合情推理.【考查方式】给出前几项指数幂的末尾数，找规律.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】,（步骤1）()()()5,4625,53125xf x f f === ，（步骤2）()()()615625,778125,8390625f f f ===.（步骤3）()2011420081,20118125f -=-∴=⋅⋅⋅8.已知是三个相互平行的平面,平面之间的距离为,平面之间的距离为123,,a a a 12,a a 1d 23,a a .直线与分别交于.那么是的( )2d l 123,,a a a 321,,P P P ”“3221P P P P =”“21d d = A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】充分必要条件、平面与平面间的距离.【考查方式】给出两个条件，判断它们之间的关系.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】平面平行，由图可以得知：123,,a a a 如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知，（步骤1）3221P P P P =如果，同样是根据两个三角形全等可知.（步骤2）3221P P P P =21d d =第8题图9.若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的02221=-+x y x C ：0)(2=--m mx y y C ：m 取值范围是( )A. B.)33,33(-(C. D.]33,33[-(,)-∞+∞ 【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给出直线与圆的交点个数，判断直线与圆的位置关系，求出直线方程中实数的取值范围.m 【难易程度】较难【参考答案】B【试题解析】曲线表示以为圆心，以1为半径的圆，（步骤1）0222=-+x y x ()0,1曲线表示，或，（步骤2）()0=--m mx y y 0y =0y mx m --=过定点，与圆有两个交点，故也应该与圆有两个交点，（步骤()0,1-0=y 0=--m mx y 3）由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应，由图可知，的取值范围应是.（步骤4）3333=-=m m 和m ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝第9题图10.如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，和是小M N 圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点在大圆内所,M N 绘出的图形大致是( )第10题图ABCD【测量目标】圆与圆的位置关系.【考查方式】给出大圆与小圆的位置关系，求小圆上的点的运动轨迹.,M N 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】根据小圆 与大圆半径1：2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此点的轨迹是个大圆，而点的轨迹是四条线，M N 刚好是产生的大圆的半径.M第10题图 第II 卷二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11.已知，，则与的夹角为 .2==a b ()()22+-=-A a b a b a b 【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】给出向量的模及等式，利用平面向量的数量积运算求值.【难易程度】容易【参考答案】或60π3【试题解析】根据已知条件，（步骤1）(2)()2+-=-A a b a b （步骤2）2422cos 242θ+-=+⨯⨯-⨯=-A a a b b 1cos ,602θθ⇒== 12.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若 此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否2141则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 .【测量目标】几何概型.【考查方式】将所求概率转化为几何概型，利用面积求解概率.【难易程度】容易【参考答案】1613【试题解析】方法一：不在家看书的概率=.2211π×ππ1342π16⎛⎫⎛⎫+-⨯ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==看电影打篮球所有情况方法二：不在家看书的概率=1在家看书的概率=1.--2211ππ1324π16⎛⎫⎛⎫⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=13.下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果是__________.第13题图【测量目标】循环结构程序框图.【考查方式】执行程序框图中的语句，求值.【难易程度】容易【参考答案】10【试题解析】;代入到解析式当中,；0,1s n ==()01102s n =+-+==△,;,;,（步骤1）0123s =++=3n =() 3135s =+-+= 4n = 51410s =++=此时,输出.（步骤2）9s >14.若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为12222=+b y a x x )21,1(122=+y x A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质.【考查方式】结合直线方程及与椭圆的位置关系，利用椭圆的性质求椭圆方程.【难易程度】较难【参考答案】14522=+y x 【试题解析】设过点（1，）的直线方程为：当斜率存在时，，2121)1(+-=x k y 根据直线与圆相切，圆心（0,0）到直线的距离等于半径1可以得到k=,直线与圆方程的43-联立可以得到切点的坐标（），（步骤1）当斜率不存在时，直线方程为：x =1，根据两54,53点A ：（1,0），B ：（）可以得到直线：,则与轴的交点即为上顶点坐标54,53220x y +-=y （2,0），与x 轴的交点即为焦点，根据公式，2=⇒b 1=⇒c 5,5222=⇒=+=a c b a 即椭圆方程为：.（步骤2）14522=+y x三.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本题共5分.15（1）.（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为，以极点θθρcos 4sin 2+=为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 .【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】将坐标方程与参数方程联立即可.【难易程度】容易【参考答案】02422=--+y x y x 【试题解析】（步骤1）222cos ,sin ,,x y x y ρθρθρ==⎧⎨=+⎩ 根据已知=（步骤2）θθρcos 4sin 2+=24,y xρρ+A 化简可得：（步骤3）22224,y x x y ρ=+=+所以解析式为：.（步骤4）02422=--+y x y x 15(2).(不等式选讲）对于实数，若，，则的最大值为 .x y △11x -…21y -…12+-y x 【测量目标】解对值不等式.【考查方式】利用绝对值不等式直接求解.【难易程度】容易【参考答案】5【试题解析】， 又，11x - …02x ⇒……21y - …13y ⇒……综上：，因为取绝对值最大，即为5.[](21)5,1x y -+∈-4.本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X 表示此人选对A 饮料的杯数.假设次人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力.（1）求X 的分布列；（2）求此员工月工资的期望.【测量目标】离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】利用古典概型计算概率，进而求解概率.【难易程度】中等【试题解析】（1）选对A 饮料的杯数分别为，，，，，0X =1X =2X =3X =4X =其概率分布分别为：，，()044448C C 10C 70P X ===()134448C C 161C 70P X ===，，.(步骤1)()224448C C 362C 70P X ===()314448C C 163C 70P X ===044448C C 1(4)C 70P X ===X 01234P170167036701670170（2）.(步骤2)()1163616135002800210022807070707070E ξ⎛⎫=⨯+⨯+++⨯= ⎪⎝⎭17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角的对边分别是，已知.C B A ,,c b a ,,2sin 1cos sin CC C -=+（1）求的值；C sin （2）若，求边的值.8)(422-+=+b a b a c 【测量目标】同角三角函数的基本关系，余弦定理，二倍角公式.【考查方式】对等式进行化简，直接求出角度，利用余弦定理求出边长.【难易程度】中等【试题解析】（1）已知2sin 1cos sin C C C -=+ （步骤1）2sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin22222CC C C C C C -+=-+∴整理即有：012sin 22cos 22sin 02sin 2sin 22cos 2sin22=⎪⎭⎫⎝⎛+-⇒=+-C C C C C C C又C 为中的角，ABC △02sin≠∴C 412sin 2cos 2cos 2sin 2412cos 2sin 212cos 2sin 222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒=-∴C C C C C CC C （步骤2）43sin 432cos 2sin2=⇒=∴C C C （2）()8422-+=+b a b a （步骤3）()()2,2022044442222==⇒=-+-⇒=++--+∴b a b a b a b a 又，.（步骤4）47sin 1cos 2=-=C C 17cos 222-=-+=∴C ab b a c 19.（本小题满分12分）设.22131)(23ax x x x f ++-=（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；)(x f ),32(+∞a （2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.20<<a )(x f []4,1316-)(x f 【测量目标】利用导数求函数的单调区间，利用导数求函数最值.【考查方式】利用导数求解函数的单调区间和最值.【难易程度】较难【试题解析】（1）已知，，函数在()ax x x x f 2213123++-=()22f x x x a '∴=-++()x f 上存在单调递增区间，即导函数在上存在函数值大于零的部分，⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32⎪⎭⎫⎝⎛+∞,32的对称轴为在递减，2()2f x x x a '=-++ 12x =2()2f x x x a '∴=-++1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(步骤1)22()(20,39f x f a ''∴<=+>19a ∴>-（2）已知0<a<2, 在上取到最小值，()x f []4,1316-而的图象开口向下，且对称轴，(步骤2)()22f x x x a '=-++21=x ()111220,f a a '∴=-++=>()416422120,f a a '=-++=-<则必有一点使得此时函数在上单调递增，[],4,10∈x ()00,f x '=()x f []0,1x在单调递减，， (]0,4x ()0261221311>+=++-=a a f ()11404641688(1)323f a a f ∴=-⨯+⨯+=-+<(步骤3)()131683404=⇒-=+-=∴a a f 此时，由或（舍去），()20000202f x x x x '=-++=⇒=1-所以函数.(步骤4)()()3102max ==f x f 20.（本小题满分13分）是双曲线：上一点，分别是双曲线))(,(000a x y x P ±≠E )0,0(12222>>=-b a by a x N M ,的左、右顶点，直线的斜率之积为.E PN PM ,51（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为双E B A ,O C 曲线上的一点，满足，求的值.OC OA OB λ=+λ【测量目标】双曲线的简单几何性质，直线与双曲线的位置关系.【考查方式】利用斜率关系求解双曲线方程，将直线方程与双曲线方程联立求解即可.【难易程度】较难【试题解析】（1）已知双曲线E ：，在双曲线上，M ，N()0,012222>>=-b a by a x ()00,y x P 分别为双曲线E 的左右顶点，所以，，直线PM ，PN 斜率之积为()0,a M -()0,a N .(步骤1)2220000022220001515PM PNy y y x y K K x a x a x a a a===⇒-=+--A A 而，比较得.(步骤2)1220220=-b y a x 5305651222222==⇒=+=⇒=a c e a b a c a b （2）设过右焦点且斜率为1的直线L ：，交双曲线E 于A ，B 两点，则不妨设c x y -=，又，点C 在双曲线E 上：()()2211,,,y x B y x A ()2121,y y x x OB OA OC ++=+=λλλ①()()()()222222121212122221221510255a y x y y x x y x a y y x x =-+-+-⇒=+-+λλλλλ又联立直线L 和双曲线E 方程消去y 得：(步骤3)05104222=++-a c cx x由韦达定理得：，代452221a c x x +=()222222121212545c c a c c x x c x x y y +-+=++-=入①式得：或(步骤4)22222271022a a a a a λλλλ+-+=⇒=，4.λ=-21.（本小题满分14分）（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面 4321A A A A ，使得（i =1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；4321,,,ααααi i A α∈ （2）给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离4321,,,αααα为1，若一个正四面体的四个顶点满足：（i =1,2,3,4），求该正四面4321A A A A i i A α∈体的体积.4321A A A A第21题图【测量目标】三棱锥的体积，面面平行的判定.【考查方式】由直线三等分点的性质求解.【难易程度】较难【试题解析】（1）将直线三等分，其中另两个分点依次为,连接,作平41A A 32,A A ''3322,A A A A ''行于的平面，分别过，即为.同理，过点作平面3322,A A A A ''3322,A A A A ''32,αα41,A A 即可得出结论. (步骤1)41,αα（2）现设正方体的棱长为a ,若，，(步骤2)则有,11==MN M A 211aM A =，由于得，，(步骤3)a E A D A E D 2521121111=+=,1111111E D M A E A D A ⨯=⨯5=a 那么，正四面体的棱长为，其体积为（即一个棱长为a 的102==a d 355313==a V 正方体割去四个直角三棱锥后的体积）. (步骤4)第21题（2）图。