2010年江西高考数学(理)试题

2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学试题
第Ⅰ卷
一．选择题：本小题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则实数分别为()(1)x i i y +-=,x y A ． B ．1,1x y =-=1,2x y =-=C ．
D ．1,1x y ==1,2
x y ==2．若集合，则{}{
}
2
|1,,|,A x x x R B y y x x R =≤∈==∈A B =I A ． B ．{}|11x x -≤≤{}|0x x ≥C ． D ．{}|01x x ≤≤∅
3．不等式
的解集是22
x x x x
-->
A ．
B ．(0,2)(,0)-∞
C ．
D ．(2,)+∞(,0)(0,)
-∞+∞U 4．2111lim(1333n n →∞+
++⋅⋅⋅+=
A ．
B ．
C ．
D ．不存在
5332
25．等比数列中，，函数，则{}n a 182,4a a ==128()()()()f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-'(0)f =A ． B ．
C ．
D ．6
29
212
215
2
6．展开式中不含项的系数的和为
8(24x A ． B ． C ． D ．1-012
7．E ，F 是等腰直角斜边AB 上的三等分点，则ABC ∆tan ECF ∠=
A ．
B ．
C D ．
16
27
2
3
34
8．直线与圆相交于M ，N 两点，若的3y kx =+2
2
(3)(2)4x y -+-=MN ≥k 取值范围是
A ．
B ．3,04⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
[)
3,0,4
⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝
⎦
U C ．
D
．⎡⎢⎣2,03⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
9．给出下列三个命题：①函数与是同一函数；11cos ln 21cos x y x -=
+ln tan 2
x
y =②若函数与的图像关于直线对称，则函数与
()y f x =()y g x =y x =(2)y f x =的图像也关于直线对称；1
()2
y g x =
y x =③若奇函数对定义域内任意都有，则为周期函数．()f x x ()(2)f x f x =-()f x 其中真命题是
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．②
10．过正方体的顶点A 作直线，使与棱1111ABCD A B C D -l l 所成的角都相等，
这样的直线可以作1,,AB AD AA l A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
11．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各参入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为和．则1p 2p A ．
B ．
C ．
D ．以上三种情况都有可能
12p p =12p p <12p p >12．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为，t ()((0)0)S t S =则导函数的图像大致为
'()y S t =二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填写在答题卡上．
13．已知向量满足与的夹角为60°，则______________．
,a b
r
r 1,2,a b a ==r r r b r a b -=r r
14．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________种（用数字作答）．
15．点在双曲线的右支上，若点A 到右焦点的距离等于，则00(,)A x y 221432
x y -=02x 0x =
__________．
16．如图，在三棱锥中，三条棱两两垂直，且O ABC -,,OA OB OC ，分
别经过三条棱作一个截面平分三棱锥的体积，截OA OB OC >>,,OA OB OC 面面积依次为，则的大小关系为________________．
123,,S S S 123,,S S S 三．解答题：本大题共小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数．
2
()(1cot )sin sin()sin(44
f x x x m x x π
π
=+++-（1）当时，求在区间上的取值范围；0m =()f x 3,84ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦（2）当时，，求的值．tan 2α=3
()5
f α=
m 18．（本小题满分12分）
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令表示走出迷宫所需的时间．
ξ（1）求的分布列；（2）求的数学期望．ξξ19．（本小题满分12分）
设函数．()ln ln(2)(0)f x x x ax a =+-+>
（1）当时，求的单调区间；1a =()f x （2）若在上的最大值为
，求的值．()f x (]0,11
2
a 20．（本小题满分12分）
如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面
BCD ∆MCD ∆MCD ⊥
，平面BCD ，BCD AB ⊥AB =（1）求点A 到平面MBC 的距离；
（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值．21．（本小题满分12分）
设椭圆，抛物线．
22122:1(0)x y C a b a b
+=>>22
2:C x by b +=
（1）若经过的两个焦点，求的离心率；（2）设，2C 1C 1C 5
(0,),)4
A b Q b
又M 、N 为与不在轴上的两个交点，若
1C 2C y 得垂心为，且的重心AMN ∆3
(0,)4
B b QMN ∆在上，求椭圆和抛物线的方程．
2C 1C 2C 22．（本小题满分14分）
证明以下命题：
（1）对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列；a ,()b c b c <2
2
2
,,a b c （2）存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等n ∆,,n n n a b c 2
2
2
,,n n n a b c 差数列．。