【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1课件：2.4.2抛物线的简单几何性质

[解析]
(1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程
是 x＝－1，由抛物线的定义知：点 P 到直线 x＝－1 的距离等 于点 P 到焦点 F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最 小． 显然， 连 AF 交抛物线于 P 点， 故最小值为 22＋12， 即 5．
[方法规律总结] 1．为了简化解题过程，有时 可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线 上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称 性避免分类讨论． 2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两 者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物 线却越来越接近于对称轴的平行线．

等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为 抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是 ( ) A．8p2 B． 4 p2 C．2p2 D．p2 [答案] B

[解析] 由抛物线的对称性质及 OA⊥OB 知，直线 OA 的 方程为 y＝x，
y＝x， 由 2 y ＝2px，
解得 A(2p,2p)，则 B(2p，－2p)，
1 ∴|AB|＝4p，∴S△ABO＝2· 4p· 2p＝4p2．
最值问题
设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，F 为抛物 线焦点． (1)求点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到直线 x＝－1 的距 离之和的最小值； (2)若 B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

(3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即
p2 2 － p x1·x2＝_______ ， y · y ＝ __________. 4 1 2
牛刀小试 ．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的 直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A．8 B．16 C．32 D．61 [答案] B [解析] 由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线 的方程为y＝x－2． 代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝ 0． ∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16．
[解析] 如图，设正三角形 OAB 的顶 点 A、 B 在抛物线上， 且它们坐标分别为(x1，
2 y1)和(x2，y2)则：y2 ＝ 2 px ， y 1 1 2＝2px2．
2 2 2 又|OA|＝|OB|，∴x2 ＋ y ＝ x ＋ y 1 1 2 2，
2 即 x2 1－x2＋2px1－2px2＝0，
y＝kx－4＋2， 由方程组 2 y ＝x，
消去 y 整理得，
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0． ∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解， 16k2－16k＋4 ∴4· xB＝ ， k2
4k2－4k＋1 即 xB＝ ， k2 4k2＋4k＋1 以－k 代替 xB 中的 k，得 xC＝ ， k2 yB－yC ∴kBC＝ xB－xC kxB－4＋2－[－kxC－4＋2] ＝ xB－xC 8k 2 ＋ 2 kxB＋xC－8 k k2 －8 1 ＝ ＝ ＝－4． xB－xC － 8k k2 所以直线 BC 的斜率为定值．

y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 方程 p p p p － x 0 x0＋2 焦半 y0＋2 －y0 2 2 |AF|＝_____ |AF|＝_____ |AF|＝_____ |AF|＝_____ 径|AF| 标准

3．p表示焦点到准线的距离，p>0．p值越大， 窄 ；p值越小，抛物线的开 抛物线的开口越______ 宽 口越_______ ．

[方法规律总结] 与抛物线有关的最值问题，一 是涉及到焦点或准线的距离，可利用抛物线的 定义(即抛物线上的点到准线的距离等于该点到 焦点的距离)，构造出“两点间线段最短”或 “点到直线的垂线段最短”使问题获解；二是 抛物线上的点到某曲线或直线的距离最小，常 转化为函数最值求解．
常见类型有： ①曲线上的点到定直线的距离的最值问题； ②过定点弦长的最值问题； ③三角形面积的最值问题； ④曲线上的点到定点和定直线(准线)距离的和 的最小值问题； ⑤曲线上的点到两定点距离(其中一点为焦点) 和的最小值问题．

[点评] 方法一应分直线斜率存在与不存在两种 情况讨论，容易忽略斜率不存在的情形，应引 起重视；方法二对直线方程的设法避免了直线 的斜率不存在这一情况，解答更为简洁，在学 习过程中应深刻体会．
抛物线的对称性
正三角形的一个顶点位于坐标原点， 另外两个顶 点在抛物线 y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
p y＝kx－ 2 ⇒ky2－2py－kp2＝0 由 2 y ＝2px
①
2 2 2 4 2 y y y y p p 1 2 1 2 所以 y1y2＝－p2，x1x2＝2p· ＝ 2p 2p2 ＝4p2＝ 4 ，当 AB⊥x
p 轴时，直线 AB 方程为 x＝2， 则 y1＝p，y2＝－p⇒y1y2＝－p2，
6．直线 l 过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交 于 A(x1，y1)和 B(x2，y2)两点． p2 求证：x1x2＝ 4 ，y1y2＝－p2．
[解析] 方法一： 因为焦点坐标为 轴时，可设直线 AB 的方程为
p F2，0， 当
AB 不垂直 x
p y＝kx－2(k≠0)．


2．焦点弦问题 如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条 弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛 物线的准线为l．

相切 (1)以AB为直径的圆必与准线l__________ ；
p p (2)|AB|＝2(x0＋2)＝x1＋x2＋________ ；
如图，过抛物线 y2＝x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB、 AC 交抛 物线于 B、C 两点，求证：直线 BC 的斜率是 定值．
[解题思路探究]
第一步，审题．审结论明确解题目标，
欲证明直线 BC 的斜率为定值， 可写出直线 BC 的方程， 然后说 y2－y1 明其斜率为定值，或直接用 k0＝ ，写出斜率，然后说明 x2－x1 k0 的值与参数无关； 审条件，挖解题信息，已知直线 AB、AC 过定点，AB 与 AC 两直线倾斜角互补，故两直线方程可用同一参数(直线 AB 的斜率 k)来表示．

定点
10 M3， 3 与抛物线Fra biblioteky2＝2x
上的点 P 之间的距离为 d1，
P 到抛物线准线 l 的距离为 d2，则 d1＋d2 取最小值时，P 点坐 标为( ) B．(1， 2)
1 1 D．8，－2
A．(0,0) C．(2,2)

[答案] C

[解析] 如下图．

[方法规律总结] 解析几何中，常遇到定点、定 值问题，解决这类问题常用方法是依据题设条 件选取某个参数，将题中定值(或过定点的几何 对象)用参数表示，然后说明与参数无关，常涉 及方法有斜率法、方程法、向量法等．
设抛物线 C：x2＝2py 的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点． (1)若∠BFD＝90° ， △ABD 的面积为 4 2， 求 p 的值及圆 F 的方程． (2)若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值．
(2)如图把点 B 的横坐标代入 y2＝4x 中，得 y＝± 12，因为 12>2，所以 B 在抛物线内部，自 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交 抛物线于 P1． 此时，由抛物线定义知： |P1Q|＝|P1F|． 那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q| ＝|BQ|＝3＋1＝4． 即最小值为 4．
第二步，建联系确定解题步骤．先设直线AB的 斜率为k，用k将AB、AC的方程表示出来，再由 直线与抛物线交于两点，利用根与系数的关系 求得B、C点的坐标，然后验证kBC与k无关． 第三步，规范解答

[证明] 设 kAB＝k(k≠0)， ∵直线 AB，AC 的倾斜角互补，∴kAC＝－k(k≠0)， ∵AB 的方程是 y＝k(x－4)＋2．
连接 PF，则 d1＋d2＝|PM|＋|PF|≥|MF|，知 d1＋d2 最小值 是|MF|，当且仅当点 P 在线段 MF 上时，等号成立，而直线 MF 4 1 1 2 的方程为 y＝3x－2， 与 y ＝2x， 联立求得 x＝2， y＝2 或 x＝8， 1 y＝－2(舍去)，所以，P 点坐标为(2,2)．

抛物线焦点弦的性质
2 的直线经过抛物线 y2＝4x 的焦点，与抛物线相交于两点 A、B，求线段 AB 的长．

[解析] 如图，由抛物线的标准方程可知，焦 点F(1,0)，准线方程x＝－1．
由题设，直线AB的方程为：y＝2x－2． 代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－3x＋1＝ 0． 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知， |AF|等于点A到准线x＝－1的距离|AA′|， 即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5． [方法规律总结] 解决抛物线的焦点弦问题时， 要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将 焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借 助根与系数的关系进行求解．
∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0． ∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2， 由此可得|y1|＝|y2|， 即线段 AB 关于 x 轴对称． 由于 AB 垂直于 x 轴，且∠AOx＝30° ． y1 3 ∴x ＝tan30° ＝ 3 ，而 y2 1＝2px1，∴ y1＝2 3p． 1 于是|AB|＝2y1＝4 3p．